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运筹学基础及应用第二章 线性规划的对偶理论

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运筹学基础-线性规划(对偶)

运筹学基础-线性规划(对偶)

第二章线性规划的对偶理论2.1对偶线性规划问题的提出任一线性规划问题都存在另一与之伴随的线性规划问题，他们从不同角度对一个实际问题提出并描述，组成一对互为对偶的线性规划问题。

一、对偶线性规划问题某工厂计划安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知每种单位产品的利润、生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、现有原材料和设备台时的定额如下表所示：【例1】ⅠⅡ设备128台时原材料A4016Kg原材料B0412Kg每单位产品利润（万元）23⏹原问题的策略:⏹问应如何安排生产才能使工厂获利最大？⏹现在的策略:⏹假设不生产Ⅰ、Ⅱ产品,而是计划将现有资源出租或出售,从而获得利润,这时需要考虑如何定价才合理?2132x x f +=max ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+0x ,x 12x 4 16 x 48x 2x .t .s 212121设x 1、x 2分别表示计划生产产品Ⅰ、Ⅱ的单位数量，由题意原问题的模型为：工厂获得最大利润符合资源限制原材料A 原材料B0412Kg每单位产品利润（万元）23原问题的模型改变策略后，需要考虑如何给资源定价的问题！设y 1、y 2 、y 3分别表示出租单位设备台时的租金和出售单位原材料A 、B 的利润.y 1+4y 2≥2，2y 1+4y 3≥3则：❑工厂出租设备、原材料的租金要大于生产的利润才合算。

321y 12y 16y 8g min ++=工厂把所有设备台时和资源都出租和出让，用户支付为：❑要寻找使租用者支付的租金最少的策略。

原材料A 原材料B0412Kg每单位产品利润（万元）23⏹新问题的模型工厂改变策略以后的数学模型为：321y 12y 16y 8g min ++=⎪⎩⎪⎨⎧=≥≥+≥+3,2,1,034y 2y 24y y ..3121i y t s i工厂获得相应利润用户所付租金最少32112168min y y y g ++=⎪⎩⎪⎨⎧=≥≥+≥+3,2,1,034y 2y 24y y ..3121i y t s i2132x x f +=max ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+0,12416482..212121x x x x x x t s 联系在于，它们都是关于工厂生产经营的模型,并且使用相同的数据；原模型和对偶模型既有联系又有区别区别在于,它们所反映的实质内容是完全不同的：前者是站在工厂经营者的立场上追求工厂的销售收入最大，而后者则是站在谈判对手的立场上寻求应付工厂租金最少的策略。

第2章线性规划的对偶理论

第2章线性规划的对偶理论

第2章 线性规划的对偶理论2.1 对偶线性规划模型2.1.1 引例在线性规划问题中，存在这样一个问题，即每一个线性规划问题都伴随有另一个线性规划问题，称它为对偶线性规划问题。

【例2.1】某企业用四种资源生产三种产品，工艺系数、资源限量及价值系数如表2－1所示。

表2－1【解】设x 1，x 2，x 3分别为产品A ，B ，C 的产量，则线性规划数学模型为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤++≤++≤++≤++++=0,5504673002384507455006897080100max 3,21321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z现在从另一个角度来考虑企业的决策问题。

假如企业自己不生产产品，而将现有的资源转让或出租给其它企业，那么资源的转让价格是多少才合理？合理的价格应是对方用最少的资金购买本企业的全部资源，而本企业所获得的利润不应低于自己用于生产时所获得的利润。

这一决策问题可用下列线性规划数学模型来表示。

设y 1，y 2，y 3及y 4分别表示四种资源的单位增值价格（售价＝成本＋增值），总增值最低可用min w =500y 1+450y 2+300y 3+550y 4表示。

企业生产一件产品A 用了四种资源的数量分别是9，5，8和7个单位，利润是100，企业出售这些数量的资源所得的利润不能少于100，即10078594321≥+++y y y y同理，对产品B 和C 有70427680634843214321≥+++≥+++y y y y y y y y增值价格不可能小于零，即有y i ≥0,i =1,2,3,4 从而企业的资源价格模型为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+++≥+++≥++++++=0,7042768063481007859550300450500min 3,214321432143214321y y y y y y y y y y y y y y y y y y y w这是一个线性规划数学模型，称这一线性规划问题是前面生产计划问题的对偶线性规划问题或对偶问题(Dual Problem ，缩写为DP)。

第二章 运筹学对偶理论

第二章 运筹学对偶理论

7
二、对称形式下对偶问题的一般形式
满足下列条件的线性规划问题称为具有对称形式，其变量均 有非负约束，其约束条件当目标函数求极大时均取“≤”号， 当目标函数求极小时均取“≥”号。 定义 设以下线性规划问题 Max z=CX s.t. X≥0 为原问题。 AX ≤ b (LP)
8
• 则称以下问题 • Min z=bTY • s.t. ATY≥ C Y≥0 • 为原问题的对偶问题。
•
问如何安排Ⅰ、Ⅱ两产品的产量，使利润为最大。
4
第二章 对偶理论
一、对偶问题 • 现从另一个角度提出问题。假定有某个公司想租赁 美佳公司的设备，它至少应付出多大的代价才能使 美佳公司愿意放弃生产，出租自己的资源。 • 在这个问题上美佳公司面临着两种选择：自行生产 或出租设备。首先要弄清两个问题：
Max z=CX st. AX b X0 标准形 Max z=CX+0Xs st.
AX +IXs = b X0
A=[ B N ]
XB X X N
CB=[ CB CN ]
max z=CBXB+ CNXN+0XS 式中， B——最终表中基对应的矩阵， st BXB+ NXN+IXS=b N——初始表与最终表中均为
22
3．最优性。 若 X0——原问题可行解，Y0——对偶问题可行解，且 CX0 = Y0 b 则 X0——原问题最优解， Y0——对偶问题最优解 证明：设 X* ——原问题最优解， Y* ——对偶问题最优解
则 CX0 CX* Y* b Y0 b
但 CX0 = Y0 b， ∴ CX0 = CX* = Y* b = Y0 b ∴ X0 = X* ， Y0 = Y* 即 X0——原问题最优解， Y0——对偶问题最优解 证毕。
运筹学：chap2_线性规划的对偶理论

运筹学：chap2_线性规划的对偶理论


w 0 = bTy0=(x0TAT+xs0T)y0 = x0TATy0 + xs0Ty0
证明：由于xs0Ty0=0 ， x0Tys0=0，故有z 0 =w 0 = x0TATy0
由最优性知：可行解x0、y0分别是原始问题和对偶问题 的最优解。
互补松弛性证明(必要性)
原始问题
对偶问题
max z=cx
(Ax0- b)Ty0=0 和 x0T (ATy0 - cT )=0 或
xs0Ty0=0 和 x0Tys0=0。
互补松弛性证明(充分性)
原始问题
对偶问题
max z=cx
min w=bTy
s.t. Ax+xs= b x, xs ≥0
s.t. ATy-ys = cT y, ys ≥0
z 0= cx0 =x0T (ATy0 - ys0 ) = x0TATy0- x0T ys0
如何选取y，使 w = bTy 最小? min w= bTy
取y = (cBB-1)T 可得： ATy cT
s.t. ATy CT y 0
y 0
x
xs
当xB=B-1b为原始问题cB的x最B 优B-解1b 时，yB-=1A(cBB-1)T 是 B-1
新问题的可行解。
j
c - cBB-1A
- cBB-1
对偶的定义
原始问题 max z=cx s.t. Ax≤b
x ≥0
max
c
对偶问题 min w=bTy s.t. ATy ≥ cT
y ≥0
min bT
m
A
≤b
n AT ≥ cT
n
m
对偶的对偶就是原始问题
max z = cx s.t. Ax ≤ b
运筹学基础及应用第二章 线性规划的对偶理论

运筹学基础及应用第二章 线性规划的对偶理论


■影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺
■影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺 ■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源 的影子价格 一定等于0
max z 2 x1 x2
5 x2 15
s.t.
x2
6 x1 2 x2 24 x1 x2 5 x1, x2 0
5 3 (7/2,3/2） (3,3)
8 2 1 2 5 5 2 8 1 3 5 5 3 8 1 5 5 5 8 3 1 6 5 5
x4 = 0
对偶最优解 ( 8/5,-1/5) , ω﹡ =19/5
x1+2x2 + 3x3 =2
2 A 1
3 2
5 3 0
-2x1 + x2 - x3 = -3
max z s.t.
c1 x1 a11 x1 a21 x1
c2 x 2 a12 x2 a22 x2
cjxj a1j x j a2j x j

cn xn a1n xn a2n xn
b1 y1 b2 y2
am1 x1 am2 x2 amj x j amn xn bm ym x1 x2 xj xn 0
≥
产品 资源
甲
乙
资 源 拥有量
Ａ Ｂ
单件收益
6
２ ４ ６
３ ２ ４
100 120
（千元）
同理，对于乙产品则有： 3y1 + 2y2 ≥ 4 ②变量非负限制 y1
≥
0， y2
≥
0
整理得：
§2.1对偶问题的提出
minW = 100y1 + 120y2 2y1 + 4y2 s.t. 3y1 + 2y2 y1
运筹学课件第二章线性规划的对偶理论及其应用

运筹学课件第二章线性规划的对偶理论及其应用

对偶问题同时解
– 原问题为基础可行解，对偶问题为非可行解，但满足
互补松弛条件；则当对偶问题为可行解时，取得最优 解
13
2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解
• 在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最 优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松 弛变量检验数的绝对值
• 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题 对应变量的检验数的绝对值
1
1/2 5/2
1
1
0
1/2 3/2
0
0
0
1/2 3/2
OBJ=
39
9/2
3
6
6
0
3/2
3/2
cj - zj
1/2
0
0
0
0
3/2 -M-3/2
0
x4
4
0
0
1
1
1
1
3
5
x1
6
1
0
2
2
0
1
1
3
x2
4
0
1
1
(1)
0
1
2
OBJ=
42
5
3
7
7
0
2
1
cj - zj
0
0
1
1
0
2 -M+1
0
x4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
0
1
0
0
1
0
1
5
x1
数值，
g(Y0)=Y0b= CBB1 b
而原问题最优解的目标函数值为
f(X0)=CX0= CBB1 b 故由最优解判别定理可知Y0 为对偶问题的最优解。证毕。
第二章对偶理论

第二章对偶理论


3 5
x1 , x2 , x3 0
解：首先将原式变形
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x 3 x2 5 x3 2
3 x1 x2 7 x3 3
x1 4 x2 6 x3
5
x1 , x2 , x3 0
注意：以后不强调等式右段项 b≥0，原因在对偶单
纯型表中只保证 而j 不0 保证
=（1.1），分别是
（P_）_ 和__（D）的可行解。Z=10 ，W=40，故有
C X ＜ Y b ，弱对偶定理成立。由推论⑴可知，W 的最
小值不能小于10，Z 的最大值不能超过40。
例二、已知
p : max Z x1 2x2
D : minW 2 y1 y2
x1 x2 x3 2
2x1 x2 x3 1
n
j 1
aij
yi
cj
（对偶问题）
yi 0
目标函数 约束条件
原问题
对偶问题
max
min
≤
≥
变量数量 约束条件个数
约束条件个数 变量数量
例三、
23
x1
x2
原问题
12 y1 2
2
≤ 12
8
y2
1
2
≤
8
16 y3 4 0 ≤ 16 12 y4 0 4 ≤ 12
对偶问题 2 3
二、线性规划的对偶理论
原问题 问题无界
无可 行解
对偶问题 无可 行解
问题无界
（对）
y1 y1
y1
y2 y2 0, y2
2 1 0
无可 行解
推论⑶.在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可 行（如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的 问题无界。
运筹学(第2章 线性规划的对偶理论)

运筹学(第2章 线性规划的对偶理论)


min w 15 y1 24 y 2 5 y 3 6 y 2 y 3 y4 2 s.t 5 y1 2 y 2 y 3 y5 1 yi 0
分别用单纯形法求解上述2个规划问题，得到最终单纯形表如 下表：
原问 题最 优表
XB x3 x1 x2
-2 3 -3 1 5 7 1 -4 -6
2 y1 3 y2 y3 2 3 y y 4 y 3 1 2 3 5 y1 7 y2 6 y3 4 y1 , y2 , y3 0
(2) 非对称型对偶问题 若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成对 称形式再写对偶问题。也可直接按教材表2-2中的对 应关系写出非对称形式的对偶问题。
y2
y3
1/4
1/2
-4/5
15/2 15/2
1
0 0
0
1 0
-1/4
1/2 7/2
1/4
-3/2 3/2
j
原问题与其对偶问题的变量与解的对应关系： 在单纯形表中，原问题的松弛变量对应对偶 问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问 题的变量。
弱对偶性；强对偶性；
最优性; 无界性; 互补松弛性
性质1 对称性定理：对偶问题的对偶是原问题 min W= Y b s.t. YA ≥ C Y≤0
对偶性质（Dual property）

性质4 强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解， 则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等， 即 max z min w
故
证明：将原问题化成标准形式
m ax z c j x j
j 1 n n
yi 0 (i 1,, m)
是对偶问题的可行解, 又因
运筹学第二章线性规划的对偶理论

运筹学第二章线性规划的对偶理论


(5.5) (5.6)
4.3 对偶问题的基本性质
证： 设B是一可行基，于是A=(B,N)
max z=CBXB+ CNXN BXB+BXN +Xξ=b X,XB,Xξ ≥0
其中Yξ=(Yξ1, Yξ2)
min ω =Yb YB－Yξ1=CB YN－Yξ2=CN Y, Yξ1 Yξ2 ≥0
(5.5) (5.6)
x1﹐x2 ≥0
关系？
对原模型设： 1 2
A= 4 0 b=(8,16,12)T C=(2，3) 04
X=（x1，x2）T Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
4.1 对偶问题的提出
min ω=8 y1+16y2 +12y3
y1+4y2
≥2
2 y1 +4y3≥3
与
y1 ， y2 ，y3≥0 12
max z＝2x1+3x2 x1＋ 2x2 ≤8
4x1
≤16
4x2 ≤12
x1﹐x2 ≥0
有何关 系？
对愿模型设： A= 4 0 04
b=(8,16,12)T C=(2，3)
X=（x1，x2）T
Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
max z=CX AX≤b （5.1） 和
min ω =Yb YA ≥ C （5.2）
120
A=
1 -3
0 2
1 1
1 -1 1
b=(2,3,-5,1)T C=(5,4, 6)
确定约束条件
YA
C
x1 ≥0 ﹐x2≤0, x3 无约束
解：因原问题有3个变 于是 量，4个约束条件， 所以对偶问题4个 变量，3个约束条
运筹学 线性规划的对偶理论

运筹学 线性规划的对偶理论


线性规划单纯形表
初始单纯形表
cs xs b x A c
max z=cx+ 0xs s.t. Ax+xs= b x0, xs0
xs I 0
j
迭代单纯形表
x
cB xB B-1b B-1A c - cBB-1A
xs
B-1 - cBB-1
j
从数学上提出对偶问题
当线性规划问题找到最优解z*时，有：
如果极大化原始问题中一个约束是“≥”约束，则对偶问 题中相应的变量≤0
其他对偶关系
max z=cx s.t. Ax ≤ b
x ≥0
Ax ≥ b Ax = b x≤0
min w=bTy s.t. ATy ≥ CT y≥0
y≤0 y
free
ATy ≤ cT
x
free
ATy = cT
原始问题的经济解释
1、原始问题是利润最大化的生产计划问题
总利润（元） 单位产品的利润（元/件）
产品产量（件）
max z = c1 x 1 + c 2 x 2 L + c n x n s.t. a11 x 1 + a12 x 2 L + a1n x n + x n +1 + x n+2 a 21 x 1 + a 22 x 2 L + a 2 n x n
c - cBB-1A 0 - cBB-1 0 取y = (cBB-1)T 可得： ATy cT y0
cB xB B b 当xB=B-1b为原问题的最优解时， y
-1
如何选取y，使 w = bTy 最小?
min w= bTy
s.t. ATy CT y0
运筹学第2章-线性规划的对偶理论

运筹学第2章-线性规划的对偶理论

❖ 影子价格不是市场价格，而是在现有技术和管理条件下， 新增单位资源所能够创造的价值，是特定企业的一种边 际价格；不同企业或同一企业不同时期，同种资源的影 子价格可能不同；当市场价格高于影子价格，可以卖出； 相反，则应买进，以获取更大收益
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0

第2章：线性规划的对偶理论《运筹学》


讨论：
C CB B1A 0
⑴由上三个检验数可以看出，它们都有乘子
乘子，用符号表示为：
Y T CB B1
(1) (2)
(3)
C，B B称1 它为单纯
⑵上面(3)式可以写为：
C CB B1A C Y T A 0
⑶将 Y T C同B B时1右乘 b 得：
Y T b CB B1b
即：
w Y T b CB B1b
注：本点性质的逆不成立，当对偶问题无可行解时，其原问 题或具有无界解或无可行解，反之亦然。
推论⑶：若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则原问 题目标函数值无界；反之，对偶问题有可行解而其原问题无可 行解，则对偶问题的目标函数值无界
3、最优性
若 xˆ j ( j 1,2,, n和) yˆi (i 1,2,, m分) 别是P 和D的可行解
第二章 线性规划的对偶理论
(Duality Theory)
线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 对偶问题的经济解释----影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析 WinQSB软件应 用
第一节 线性规划的对偶问题
一、对偶问题的提出
对偶性是线性规划问题的最重要的内容之一。每一个线性 规划(LP)问题必然有与之相伴而生的另一个线性规划问题，即 任何一个求 max z 的LP都有一个求 min w 的LP。其中的一个 问题叫“原问题”，另一个称为“对偶问题” 。
将为块后的数据放入单纯形表，得：
初始
单纯形表 0 Xs b σj
非基变量
XB
XN
B
N
CB
CN
基变量
Xs
I 0
用 B1左乘上表第3行得：
用 CB 左乘下表第3行，加上表第4行得：

《运筹学》第二章 对偶问题



3 x1 2 x2
7x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无 约 束
解：原问题的对偶问题为
mi nW 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2

20
一组互为对偶的线性规划问题的解之间只有 下列三种情况:
(1)两个规划问题都有可行解(此时,两个规划问题都有最优 解,且最优值相等);
(2)两个规划问题都不可行; (3) 一个规划问题不可行,另一个规划问题有可行解,且具有
无界解。
21
（4）互补松弛性： 在线性规划问题的最优解中，
则 aij xj * = bi ；
bi , 则 y i* = 0 (4)’ 互补松弛性：
在线性规划问题的最优解中， 则 aij yi * = cj ；
>cj , 则 xj* = 0
n
若 y i * >0,
j=1 n
若 a ij xj * <
j=1
m
若 x j * >0,
i=1 m
若 a ij yi*
i=1 22
m
= 证b：i y∵i*
y1 3 y1

2 y2
3 y3 4 y3
3 5

2 y1 7 y2 y3 1
y1

0,
y2

0,
y
无
3
约
束
对偶问题的对 偶还是原问题
14
• 练习 写出下列线性规划问题的对偶问题.
max Z 4x1 3x2 2x3
4x1

运筹学第二章——第八节—线性规划的对偶理论


四、对偶问题经济学含义——影子价格
因为Z*=Y*=Yb 所以：Δ Z/ Δ b=Y b——资源的量 Z——目标函数 经济学含义：资源每变动一个单位，目标函 数（利润、总产值等）变动的大小。 资源对生产做出的贡献。（影子价格） 是对现有资源实现最大效益的一个评价，叫 机会成本。
V*X=0， Y*U=0，其中V是对偶问题的剩余变量，U是 原问题的松弛变量。
（七）原问题在单纯性法迭代过程中的检验 数对应于对偶问题的一个基本解。（对应性 定理） 原问题 XB XN 对应基B检验数 0 CN-CBB-1BN 对偶问题的变量 -YS1 -YS2 XS –CBB-1 -Y
对偶问题性质的启示
原问题 有最优解 无可行解 有可行解无上界 无有限最优解 对偶问题 有最优解 无可行解 无有限最优解 有可行解但无下界
由互补松弛性定理可知： 当U>0，即AX <b时，资源未充分利用时，影 子价格为0。
二、原问题与对偶问题之间的转化
1、目标函数 MAX——Min 2、约束条件——变量 约束条件n个——变量n个 约束条件≥0 ——变量≤ 0 约束条件≤ 0 ——变量 ≥ 0 约束条件=0——变量无约束 要点：max为反向关系（约束条件——变量）
二、原问题与对偶问题之间的转化
3、变量——约束条件 变量m个——约束条件m个 变量≥0——约束条件≥ 0 变量≤ 0 ——约束条件≤ 0 变量无约束——约束条件=0 4、目标函数中变量的系数C为对偶问题中约 束条件的右端常数项b，个数对等变动。
（五）若原问题和对偶问题具有可行解，若 原问题或对偶问题之一有最优解，则另一个 对偶问题也必有最优解，且最优值相同。 （主对偶性定理） 证明 含义： 若原问题有一个对应于基B的最优解，则 CBB-1为对偶问题的最优解。

运筹学-第二章 线性规划的对偶理论


解：用（-1）乘以第二个约束方程 两边 min S=x1+2x2 +3x3 2x1+3x2 + 5x3 ≥ 2 y1 -3x1- x2 - 7x3 ≥ -3 y2 x1 ，x2 ， x3 ≥ 0
s.t.
该问题的对偶问题： 该问题的对偶问题：
max z = 2 y1 - 3y2 s.t. 2y1- 3y2 ≤ 1 3y1- y2 ≤ 2 5y1- 7y2 ≤ 3 y 1， y 2 ≥ 0
例2-6：写出下列线性规划问题的 对偶问题 s.t. min S = 2x1 + 3x2 - 5x3 x1 + x2 - x3 ≥ 5 2x1 + x3 = 4 x1 ，x2 ， x3 ≥ 0
解：将原问题的约束方程写成不等式 约束形式： 约束形式： min S = 2x1 + 3x2 - 5x3 x1 + x2 - x3 ≥ 5 y1 2x1 + x3 ≥ 4 y 2’ -2x1 - x 3 ≥ -4 y 2” x1 ，x2 ， x3 ≥ 0
例：max Z=2x1+3x2 max s.t. 2x1+2x2 +x3≤ 12 4x1 +x4≤ 16 5x2+x5 ≤15 x1,x2 ≥ 0
原问题变量 原问题松弛变量
CB 基 2 x1 0 x4 3 x2 Cj-zj
b 3 4 3
x1 1 0 0 0
x2 0 0 1 0
x3 -2 0 -1
如果模型(2.1)称为原问题， 如果模型(2.1)称为原问题， (2.1)称为原问题 则模型(2.2)称为对偶问题。 则模型(2.2)称为对偶问题。 (2.2)称为对偶问题 任何线性规划问题都有对偶问题， 任何线性规划问题都有对偶问题， 而且都有相应的意义。 而且都有相应的意义。
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max z s.t.
c1 x1 a11 x1 a21 x1
c2 x 2 a12 x2 a22 x2
cjxj a1j x j a2j x j

cn xn a1n xn a2n xn
b1 y1 b2 y2
am1 x1 am2 x2 amj x j amn xn bm ym x1 x2 xj xn 0
(LP)
x1+2x2 + 3x3 =2
-2x1 + x2 - x3 + 3x4 ≤ - 3
xi 0
( i =1 … 4 )
-2x1 + x2 - x3 = -3
2x1+3x2+5x3=19/5 y1 ≠ 0 ， y2≠ 0 ， Lp 两个不等
式为等式
max = 2y1-3y2 y1- 2y2 ≤ 2 (DP) 2y1 + y2 ≤ 3 3y1 - y2 ≤5 y1 + 3 y2 ≤6 y1 0，y2 ≤ 0
√
×
（原问题是极小化问题，因此应从原始对偶 表的右边往左边查！）
练习
min z 7 x1 4 x2 3x3
4 x1 2 x2 6 x3 24
s.t.
3x1 6 x2 4 x3 15
2 x2 6 x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
§2.3对偶问题的基本性质 定理1 (弱对偶定理)： 若 X, Y分别是原问题和对偶问题的可行解， 推论： 则有
符号表示：
x* j 0

i
aij yi* c j

i
aij yi* c j
x* j 0
例： minz = 2x1+3x2+5x3+6x4
Max ω = 2y1-3y2 y1-2y2 ≤ 2 2y1 + y2 ≤ 3
(DP)
x1+2x2 + 3x3 + x4 2
(LP)
-2x1 + x2 - x3 + 3x4 ≤- 3
0
θ
50 30
20 60
Y1=0.5
x2
j
x
20 1 20 -200
Y2=1.25
1.影子价格的定义
原始问题是利润最大化的生产计划问题
原始问题和对偶问题都取得最优解时，最大利润
max z=min w
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、...、 ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price）
* xm i 0
条件： 结论：
若某一约束条件为严格不等式
对应的对偶变量为0
互补松弛性(二）： x* , y*分别为(LP)、(DP)的最优解 条件： 原问题最优解中某一变量严格大于0 结论： 对偶问题对应的约束条件为严格等式 条件： 结论： 若对偶问题中某一约束条件为严格不等式 原问题对应的变量的最优解为0
下面的答案哪一个是正确的？为什麽？
MaxW 7 y1 11y 2 14 y3 4 y1 8 y 2 12 y3 4 5 y1 9 y 2 13y3 2 s.t. 6 y1 10 y 2 3 y1符号不限, y 2 0, y3 0 MaxW 7 y1 11y 2 14 y3 4 y1 8 y 2 12 y3 4 5 y1 9 y 2 13y3 2 s.t. 6 y1 10 y 2 3 y1符号不限, y 2 0, y3 0
≥ ≥ ≥ ≥
maxZ
=
6x1
+
4x2
6 4 0
2x1 + 3x2 ≤100 s.t. 4x1 + 2x2 ≤ 120 x1≥0, x2 ≥0 原问题模型 原问题:企业Ⅰ生产两种产 品，需要两种原料，有关数据见 表。如何安排生产计划可使总的 收益最大.
0， y2
对偶问题模型 对偶问题:企业Ⅱ想把企 业Ⅰ的资源买过来,它至少应 付出多大代价,该企业愿意放 弃生产活动,让出自己的资源.
产品 资源 Ａ Ｂ 单件收益 ２ ４ ６ ３ ２ ４ 甲 乙 资 源 拥有量 100 120 （千元）
但对于企业Ⅰ来说，让出资源的前提条件是，将资源卖给企业Ⅱ所 获得的收益，至少不应低于自己利用这些资源组织生产所获得的收益。 则约束条件为：
§2.1对偶问题的提出
①让出资源不应低于自 己组织生产所获得的收益。 甲产品：生产一件消耗2个 A和4个B，卖出后获得6千元收 益。将2个A和4个B卖出也不应 低于6千元收益，则有： 2y1 + 4y2
CX Yb
1. LP任一可行解目标函数值是DP目标函数值的下界； DP任一可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。 2. LP有可行解 ,且目标函数值无界 DP有可行解，且目标函数值无界 3. LP有可行解，DP无可行解 DP有可行解，LP无可行解 DP无可行解 LP无可行解 LP目标函数值无界； DP目标函数值无界
j j
4 6 0 6 0 0
x3 100 x4 120 x3 x1
40 30 -180
b
x1
2 4 6 0 1 0 0 1 0
6
x2 x3
3 2 4 2 1/2 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1/2 -1/4 -1/2
4
0
x4
0 1 0 -1/2 1/4 -3/2 -1/4 3/8 -5/4
MaxZ 2 x1 x 2 3 x1 4 x 2 15 s.t.5 x1 2 x 2 10 x , x 0 1 2
MinW 15y1 10y2
3 y1 5 y2 2
s.t
4 y1 2 y2 1
y1 , y2 0
原问题（或对偶问题）
2x1+3x2+5x3=19/5
原 问 题 最 优 解
2 1 1
( 8/5, 1/5, 0 , 0) x1≠ 0 ， DP 第一个不等式为等式 x2≠ 0 ， DP第二个不等式为等式 ( 7/5, 0 , 1/5, 0) x1≠ 0 ， DP 第一个不等式为等式
x3 ≠ 0 ，
DP 第三个不等式为等式
决策变量数：n个 第j个变量≥0 第j个变量≤0 第j个变量是自由变量
价值系数
课堂练习：写出下面线性规划的对偶规划：
MinZ 4 x1 2 x 2 3 x3 4 x1 5 x 2 6 x3 7 8 x1 9 x 2 10x3 11 s.t. 12x1 13x 2 14 x1 0, x 2 符号不限, x3 0
8 2 1 2 5 5 2 8 1 3 5 5 3 8 1 5 5 5 8 3 1 6 5 5
x4 = 0
对偶最优解 ( 8/5,-1/5) , ω﹡ =19/5
x1+2x2 + 3x3 =2
2 A 1
3 2
5 3 0
-2x1 &#化
?
相对稳定
影子价格与市场价格

未知价格 已知价格
影子价格是资源的估计价格
2、资源影子价格是一种边际价格
z w b1 y1 b2 y2 bi yi bm ym
z z
b1 y1 b2 y2 (bi bi ) yi bm ym
§2.2原问题与对偶问题
MaxZ CX
（L）s.t. AX b
MinW Yb
（D） s.t.YA C
X 0
Y 0
怎样从原始问题写出其对偶问题？
按照定义；
记忆法则：
“ 上、下”交换，“左、右”换位，
不等式变号，“极大”变“极小”
写出下面线性规划的对偶问题：
产品 资源 Ａ Ｂ 单件收益 甲 ２ ４ ６ 乙 ３ ２ ４ 资 源 拥有量 100 120 （千元）
maxZ = 6x1
+
4x2
2x1 + 3x2 ≤100 s.t. 4x1 + 2x2 ≤ 120
x1≥0, x2 ≥0
§2.1对偶问题的提出
设: y1,y2分别表示A、B两 种资源的价格。 对于企业Ⅱ来说，希望付 出的代价越小越好，则目标函 数为： minW=100y1+120y2
定理2(最优性) 条件：x* ,y*分别为(LP )、(DP )的可行解，且cx*=y*b 结论： 它们分别是(LP )、(DP )的最优解。 定理3（对偶定理） 条件： 结论： 原问题与对偶问题均具有可行解 两者均具有最优解，且最优解的目标函数值相等。
定理4. 互补松弛性(一)： x* , y*分别为LP、DP的最优解 条件： 若对应某一约束条件的对偶变量非零 结论： 该约束条件为等式
对偶问题（或原问题）
目标函数 MaxZ
约束条件数：m个 第i个约束条件类型为“≤”
目标函数 MinW
对偶变量数：m个 第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量是自由变量 价值系数 约束条件数：n个 第j个约束条件类型为“≥” 第j个约束条件类型为“≤” 第j个约束条件类型为“=” 资源系数
第i个约束条件类型为“≥” 第i个约束条件类型为“=” 资源系数
(0, -7/5, 8/5, 0)
§2.4对偶解—影子价格
求对偶问题的解： minW = 100y1 + 120y2 2y1 + 4y2 s.t. 3y1 + 2y2 y1
≥ ≥ ≥ ≥
6 4 0
0， y2
j c j ci aij c j z j
i 1
m