中国农业大学2014-2015学期研究生数值分析试题

中国农业大学数值分析研究生课程重点后面有笔者的笔记！！第1章1、 5个概念（绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限，有效数字）及其计算，数值运算的误差估计2、算法稳定性的概念及算法设计的5个原则第2章1、牢记拉格朗日插值公式、牛顿插值公式，掌握余项推导2、了解均差的性质3、会用基函数和承袭性两种方法构造埃尔米特插值问题，并会推导余项4、为何要分段低次插值？会构造分段线性和分段三次埃尔米特插值5、三次样条插值的2种构造思路第3章会利用最小二乘法解决具体问题第4章1、机械求积公式、代数精度的概念理解和计算2、插值型求积公式的定义和判断，插值型求积公式中求积系数有何特点？如何证明？3、求积公式余项的推导4、什么叫牛顿-柯特斯求积公式？总结其优缺点5、牢记梯形公式、辛普森公式及其余项（会推导），牢记柯特斯公式6、复化求积公式的计算7、高斯型求积公式的定义、判断和使用，高斯型求积公式中求积系数有何特点？如何证明？8、总结学过的数值求积公式，说明其关系第5章1、会用高斯消去法、高斯列主元素法、直接三角分解法、（改进）平方根法、追赶法求解线性方程组2、会计算矩阵和向量的常用范数3、线性方程组性态的分析第6章1、三种迭代法（雅可比、高斯-赛德尔、松弛法）的构造及其矩阵形式的推导2、会构造迭代公式求方程组的解，并判断是否收敛第7章1、了解不动点迭代法是否收敛的判断方法2、会判断迭代法收敛的收敛速度（收敛阶）3、会构造不动点迭代公式求方程的根，并指明收敛阶数4、牛顿迭代法公式推导，求单根和重根收敛性的证明5、牛顿迭代法的优缺点及其改进第9章1、牢记欧拉的5个公式及其推导2、会用三种不同方法推导欧拉显式单步公式3、掌握局部截断误差的概念及其应用Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。

2013 ~2014 学年秋季学期 概率论与数理统计（C ） 课程考试试题（A ）一、 填空题 （每空3分，满分21分）1．设N 件产品中有D 件是不合格品，从这N 件产品中任取2件产品。

则2件中有1件合格品、1件不合格品的概率为_______________。

2．设随机事件A ,B 互不相容，且3.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则=)(A B P 。

3.某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是0.1斤，标准差是0.01斤.则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为___________（答案用标准正态分布函数表示）。

4．某车间生产的圆盘其直径在区间(,)a b 上服从均匀分布, 则圆盘面积的数学期望是_______________。

5. 设()3D X =，31Y X =-+，则,X Y ρ= 。

6. 设1234,,,X X X X 是来自标准正态分布总体(0,1)N 的简单样本, 又设221234()()Y X X X X =+++，则当常数C =_________，时, CY 服从2χ分布，自由度为_________。

二、选择题 （每题3分，满分15分）1. 设有三个随机事件,,A B C ，事件“,,A B C 中恰好有两个发生”可以表示成（ ）（A ）AB AC BC ⋃⋃（B ）ABC ABC ABC ABC ⋃⋃⋃ （C ）ABC ABC ABC ⋃⋃ （D ）ABC ABC ABC ⋃⋃2．设随机变量()2,1~N X ，()4,2~N Y ，且X 与Y 相互独立，则下面（ ）正确。

（A ）()1,0~2N Y X -; （B ）()1,0~322N YX -; （C ）()9,1~12N Y X +-; （D ()~0,1N .3．设1210,,,X X X 是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，则12101ˆ10X X X μ+++= ，21ˆX μ=，3123ˆ236X X X μ=++，3124ˆ234X X X μ=++中有（ ）个是μ的无偏估计量。

数值分析实验(2014,9,16~10,28)信计1201班，人数34人数学系机房数值分析计算实习报告册专业__________________学号_______________姓名_______________2014~2015年第一学期实验一数值计算的工具Matlab1. 解释下MATLABS序的输出结果程序：t=0.1n=1:10e=n/10-n*te 的结果：0 0 -5.5511e-017 0 0-1.1102e-016 -1.1102e-016 0 0 02. 下面MATLABS序的的功能是什么？程序：x=1;while 1+x>1,x=x/2,pause(0.02),e nd用迭代法求出x=x/2,的最小值x=1;while x+x>x,x=2*x,pause(0.02),e nd用迭代法求出x=2*x,的值，使得2x>Xx=1;while x+x>x,x=x/2,pause(0.02),e nd用迭代法求出x=x/2,的最小值，使得2x>X3. 考虑下面二次代数方程的求解问题2ax bx c = 0公式x=电上4ac是熟知的，与之等价地有_____________________________ ,对于2a-b ■ b -4aca =1,b =100000000,c =1，应当如何选择算法。

b ~4ac计算，因为b与b2— 4ac相近，两个相加减不宜应该用2a u做分母3 5 74. 函数sin(x)有幂级数展开sin x = x - x - - ■■3! 5! 7!利用幕级数计算sinx的MATLAB程序为fun cti on s=powers in(x)s=0;t=x;n=1;while s+t~=s;s=s+t ；t=-x A2/ ((n+1)*(n+2) ) *t ;n=n+2 ；endt仁cputime;pause(10);t2=cputime;t0=t2-t1(a) 解释上述程序的终止准则。

2017中国农业大学数值分析考点总结1、考试时间：1月14日上午9点（2.5-3个小时）2、考试地点：一教401或者一教圆厅，考前一到两天会在邮箱发布每个人所在考场3、考试工具：计算器、几张干净的草稿纸、证件4、答疑时间：1月12日上午9点-下午2点；答疑地点：理学院407一、题型：（1）填空题6-7个，每题两分，共计12-14分（2）计算题、证明题、公式推导题、简述（可能考比较）二、具体内容第一章1.2 （1）五个概念：绝对误差（限）、相对误差（限）、有效数字；（2）数值运算的误差估计：估计函数的误差（一元、多元）1.3 （1）算法稳定性概念；（2）设计算法五个原则注意：本章习题很重要第二章：分值15分（1）牢记拉格朗日、牛顿公式及余项公式（2）差商的计算（牛顿）（3）关注差商的性质3（4）埃尔米特差值，用两种方法构造（基函数、承袭性）（5）掌握为什么要分段低次插值；计算分段线性插值、分段三次插值（6）简答题：简述样条插值过程（没看PPT2-6）第三章（1）最佳平方逼近和最小二乘法会做题第四章分值15分（1）机械求积公式的定义；代数精度的求法（2）插值型求积公式定义和判定方法（2条）（3）会求求积公式的余项（4）牢记梯形公式、辛普森公式、柯特思3个公式，会推导余项（5）会计算复合求积公式（6）高斯求积公式的定义；推导一个点两个点的高斯-勒让德公式，会计算（不）。

（7）定理证明：1、插值型求积公式充要定理；2、高斯点充要条件定理（不）第五章（1）会用五种办法解方程组：高斯消去法、列主元素法、三角分解法、平方根法（包括改进的平方根法）、追赶法（2）会计算矩阵向量常用范数，2分，填空题（3）会计算矩阵条件数，判断病态第六章（1）三种迭代法的构造和矩阵形式推导；（2）判断是否收敛（无定理）（PPT6-3 27疑问）第七章（1）不动点迭代法收敛判断：共四个定理（2）判断收敛的速度（3）牛顿公式推导（4）定理：牛顿局部收敛2阶证明第九章（1）会推导欧拉五个公式（用差商代替求导来推导，用数值积分办法推导）（2）会求局部截断误差（所有、特别作业7、8、11、12 例题7、8）（3）一阶微分方程租和高阶微分方程会计算总结：1、3+3+5 共11个公式（1）牢记拉格朗日、牛顿公式及余项公式（2）牢记梯形公式、辛普森公式、柯特思3个公式（3）欧拉五个公式2、定理：第二章余项；第四章两个冲要；第七章一个收敛（牛顿）定理最后一个题目：三选一（1）总结本学期学过的加速方法1松弛法：待定系数法、松弛法（解方程组的）答三个满分写出一般规律；2基于误差分析埃特金、史蒂芬逊龙贝格（忘记记下来的一种）（2）（3）讨论两种非线性方程组转化为一元二次方程（4）简述样条插值的构造思路。

例1、 已知函数表求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。

解：（1）插值基函数分别为()()()()()()()()()()1200102121()1211126x x x x x x l x x x x x x x ----===--------()()()()()()()()()()021*******()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+---+-()()()()()()()()()()0122021111()1121213x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+--+-故所求二次拉格朗日插值多项式为()()()()()()()()()()()2202()11131201241162314121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==⎡⎤=-⨯--+⨯-+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦=---++-=+-∑（2）一阶均差、二阶均差分别为[]()()[]()()[][][]010*********011201202303,11204,41234,,52,,126f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----===----===---故所求Newton 二次插值多项式为()()[]()[]()()()()()20010012012,,,35311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-++++-=+-例2、 设2()32f x xx =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。

数值分析复习题一、选择题1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。

A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+= C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-二、填空1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。

4．求方程 21.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =， 那么 1______x =。

5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =⎧⎨=⎩近似解的梯形公式是 1______k y +≈。

试题__2009___年~__2010___年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。

2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。

3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。

4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。

二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥L ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。

三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。

（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。

（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。

（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦（10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。

数值分析实验（2014,9,16~10,28）信计1201班，人数34人数学系机房数值分析计算实习报告册专业学号姓名2014~2015年第一学期实验一 数值计算的工具 Matlab1.解释下MATLAB 程序的输出结果 程序： t=0.1 n=1:10 e=n/10-n*te 的结果：0 0 -5.5511e-017 0 0 -1.1102e-016 -1.1102e-016 0 0 0 2.下面MATLAB 程序的的功能是什么？ 程序：x=1;while 1+x>1,x=x/2,pause(0.02),end 用迭代法求出x=x/2,的最小值x=1;while x+x>x,x=2*x,pause(0.02),end 用迭代法求出x=2*x,的值，使得2x>X x=1;while x+x>x,x=x/2,pause(0.02),end 用迭代法求出x=x/2,的最小值，使得2x>X3.考虑下面二次代数方程的求解问题02=++c bx ax公式a acb b x 242-+-=是熟知的，与之等价地有ac b b c x 422-+-=，对于1,100000000,1===c b a ，应当如何选择算法。

应该用aacb b x 242-+-=计算，因为b做分母4.函数)sin(x 有幂级数展开...!7!5!3sin 753+-+-=x x x x x利用幂级数计算x sin 的MATLAB 程序为 function s=powersin(x) s=0; t=x; n=1;while s+t~=s; s=s+t ；t=-x^2/（(n+1)*(n+2)）*t ； n=n+2； end t1=cputime; pause(10); t2=cputime; t0=t2-t1(a)解释上述程序的终止准则。

当s+t=s ，终止循环。

(b)对于2/21,2/11,2/πππ=x 计算的进度是多少？分别计算多少项？ X=pi/2时，s =1.0000 x=11pi/2时，s=-1.0000 x=21pi/2时，s =0.9999 Cputime 分别是0.1563 0.0469 0.01565.考虑调和级数∑∞=11n n，它是微积分中的发散级数，在计算机上计算该级数的部分和，会得到怎么样的结果，为什么？function s=fun(n) s=0; t=1/n;for i=1:n s=s+1/i; end当n=100时s =5.1874 当n=80时s =4.9655 当n=50时，s =4.4992 当n=10时，s =2.92906.指数函数的级数展开...!3!2132++++=x x x e x，如果对于0<x ，用上述的级数近似计算指数函数的值，这样的算法结果是否会好，为什么？function s=powerexp(x) s=1; n=1; t=1;while s+t~=s;t=(x^n)/factorial(n); s=s+t; n=n+1; end当x=-1时，s =0.3679 当x=-2时，s =0.1353 当x=-3时，s =0.04987.考虑数列n i x i ,...2,1,=，它的统计平均定义为∑==ni i x n x 11，标准差2121)(11⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑=x x n n i i σ数学上等价于21221)(11⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=∑=x n x n n i i σ作为标准差的两种算法，你将如何评价他们的得与失。

学号： 姓名：中国农业大学2014-2015秋季学期研究生《数值分析》试题一． 填空题1．*3587.6x =是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差≤*r e ___________.2．设f (x )=a n x n +1 (a n ≠0)，则f [x 0, x 1,…, x n ]=_________ .3．设0)(≥''x f , 则由梯形公式计算的近似值T 和定积分⎰=ba dx x f I )(的值的大小 关系为___________.（大于或者小于）4．已知=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,4032A A 则_______. 5．超松弛迭代法（SOR 方法）收敛的必要条件是 .6．求方程x = cos x 根的牛顿迭代格式是 .二．序列{y n }满足递推关系 y n =10y n -1-1，（n =1,2,…），若41.120≈=y （三位有效数字），计算到y 10时误差有多大？这个计算过程数值稳定吗？三．已知f ( x )的如下函数值以及导数值：5)2(,2)1(,3)1(,2)0(=='==f f f f ，(1) 建立不超过3次的埃尔米特插值多项式)(3x H ，并计算)8.1(3H ；（2）推导)(3x H 的插值余项；若1)(max )4(20≤≤≤x f x ，求)8.1()8.1(3H f -.用最小二乘法求形如b x a y +=的经验公式.五．已知数值积分公式)53(95)0(98)53(95)(11f f f dx x f ++-≈⎰-， (1) 证明上面的求积公式是高斯型求积公式；(2) 试给出计算积分⎰b a dx x g )(的3点高斯型求积公式.(3) 应用(2)所构造的求积公式计算积分⎰-63dx e x 的近似值（结果保留4位小数）.六． 对于方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+3221522321321321x x x x x x x x x ，(1)用三角分解法解此方程组；(2)讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解该线性方程组的敛散性；(3)取初值0)0(=X ，写出雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法的迭代公式，并迭代2次.七．给定方程,032=-x e x(1) 构造一种迭代公式在]4,3[上线性收敛该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭代收敛的原因）；(2) 构造一种二次收敛的不动点迭代公式局部收敛该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭代收敛的原因）.八．设有求解初值问题00)(),,()(y x y y x f x y =='的龙格—库塔公式)),(2,2(1n n n n n n y x f h y h x hf y y +++=+ (1) 证明：该公式至少是二阶公式； (2) 用该公式计算积分⎰220x t dt e 在x =0.5, 1处的值.九．证明：设A 是非奇异阵，线性方程组0≠=b Ax ，且b b x x A δδ+=+)(则 b bA A x xδδ⋅⋅≤-1. 十．请你设计三种不同类型的算法求75.0的近似值，并评价你提出方法的精确程度.（注：直接按计算器不算作一种算法）。

中国农业大学2015研究生入学考试807环境化学与环境监
测真题（回忆版）
一、名词解释（3’×10）
1、POPs
2、BOD5
3、结合反应
4、生物氧化
5、土壤矿物质
6、等效声级
7、环境标准
8、潜性酸度
9、精密度
（共10个，想不起来了）
二、简答题（6’×10）
(由于记忆不清，可能与论述题混淆)
1、腐殖质的组成成分，每种成分在环境中的作用。

2、土壤中氮素流失的途径，及造成的影响。

3、有机污染物在水环境中迁移转化的途径。

4、环境监测按目的和性质该如何分类？
5、测BOD时，什么情况下需要接种，什么情况下需要加驯化菌种的稀释水？
6、为什么要将地表水环境标准分为ⅠⅡⅢⅣⅤ类？（题目中列出了五类水体标准的适用范围和氨氮、BOD、溶解氧的标准数值）
7、水体中颗粒物吸附作用的种类，并解释。

8、物质穿过生物膜的方式。

9、酚酞碱度、总碱度的表达式。

10、ppm在水中和大气中使用有什么区别？与mg/L有什么不同？
三、论述（12’×5）
1、已知某河流深7米，宽85米，接受生产氮肥工厂的废水。

从参数选择、断面设置、布点情况这几个方面说明如何布点。

2、比较伦敦烟雾与洛杉矶烟雾。

北京雾霾属于哪一类？应如何治理？
3、影响重金属在土壤-植物体系中迁移转化的因素。

4、测大米中或土壤中的总砷，用新银盐法或银盐法，说明测定原理和消解方法选择的原则。

5、辛醇-水分配系数与溶解度对有机物在水中迁移作用的影响。

数值分析复习题及答案(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数值分析复习题一、选择题1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。

A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=- 二、填空1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。

4．求方程 21.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =， 那么1______x =。

太原科技大学硕士研究生2014/2015学年第1学期《数值分析》课程试卷一、填空题（每空4分，共32分）1、设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-++<≤+=21,13210,)(2323x x bx x x x x x s 是以0,1,2为节点三次样条函数，则b=__-2___ 2、解线性方程组1231231238892688x x x x x x x x x -++=-⎧⎪-+=⎨⎪-+-=⎩ 的Jacobi 迭代格式（分量形式）为(1)()()123(1)()()213(1)()()31288(69)/288k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=++⎪=-++⎨⎪=--+⎩，其相应的迭代矩阵为01891022180⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭。

3、方程03=-a x 的牛顿法的迭代格式为__3123k k k kx axx x +-=-__________，其收敛的阶为 2 。

4、已知数x 的近似值0.937具有三位有效数字，则x 的相对误差限是310534.0-⨯解：x 1≈0.937， 311021)(-⨯≤x ε 33111110(x )2(x )0.53410x 0.937r εε--⨯=≤=⨯5、用列主元高斯消去法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=++=++2333220221321321x x x x x x x x作第1次消元后的第2，3个方程分别为⎩⎨⎧=+--=-5.35.125.15.03232x x x x6、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3211A ，则=∞)(A Cond __4____.二、（本题满分15分）证明方程350x x --=在区间[1,2]有唯一实根，构造一种收敛的迭代格式1(),0,1,2,k k x x k φ+== 使对任何初值0x ∈[1,2]都收敛，并说明收敛理由和收敛的阶。

解：（1）证明方程350x x --=在区间[1,2]有唯一实根.------5分设3()5f x x x =--，(1)(2)50f f =-<，而且2'()310f x x =->，所以3()5f x x x =--在区间[1,2]有唯一实根。