湍流的多重分形谱分析.ppt

在研究多分形时，可以利用配分函数Z来计算 (q)和Dq ，然后通过Legender变换

(q) min [q f ( )]

f
(
)


min
[q


(q)]

q



(q)

q
求出 和f ( ) 。
3、小波分析
• 小波理论 • 分形与小波分析
小波理论
多分形的物理含义
6-4分cantor集
2-6-2分cantor集
多分形的物理含义
多分形的物理含义
多分形谱图的计算：
P( )
N ( ) ~ f ( )
6-4分cantor集：
(i) ln(0.6i0.4Ki ) (K ln 3)
2-6-2分cantor集：
f
N (r) r DH
DH ln N(r) / ln(1/ r)
分形维数
• 以瑞典数学家Von Koch在1904年首次提出 的Koch曲线为例 。Koch曲线是由把全体缩 小成1/3的四个相似形构成的，其基本单元 由4等长的线段构成，每段长度为1/3，即：
N 4 r 1/3
DH

ln 4 ln 3
6-4分cantor集
f ()
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2 WTMM
0.1
K=100 Theory
0.0
0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85

6-4分cantor集 ~ f () 的关系
2-6-2分cantor集
X S
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0.000
0
cantor
500 1000 1500 2000 2500
i
2-6-2分cantor集
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
0
sum
500 1000 1500 2000 2500
i
2-6-2分cantor集的累加曲线
2-6-2分cantor集
lnZ(a)
(q)
120 100 q=-10
多分形的定义
• 多分形对于系统中每一个不同的奇异指数不是 做一个整体的平均，而是计算出每一个奇异指 数的所占的比例，形成一个谱图，由这个谱图， 我们能更加准确和详细地了解该系统的特性。
• 多分形用一个谱函数来描述分形体不同层次的 生长特征，从系统的局部出发来研究其最终的 整体特征。每一个不同的层次用不同的参量来 表示，这些不同的参量构成一个完整几何体。
•
f (min) 和 f ( max) 的数值分别描述了测度取极小值
和极大值时，所对应的子集的分维数。
• 由于在 处有 ，也就是 。 fmax()
f ' ( ) q 0
f max( ) (0) d f
对于所有 f () fmax() 构成的子集，它们的分维
数都比分形维数 d f 小。
则 f ( ) 称为该多分形的奇异性谱。
描述多分形的 q Dq 语言
设测度支集x经迭代后的单元为{i} ，概率测度为 ，第i单元的概率为Pi

d ( x)
i
当q 1时 Pi Pj，则 Piq Pjq，那么可以定义 的 q 阶矩： (q, ) i Piq ( )
• 小波变换的函数形式如下：
T
(x0 , a)

1 a
s(x) ( x x0 )dx

a
• 一族常用的具有连续可导的Gaussian实函数，可 用来做母小波，其定义为：
(N ) (x) d N (ex2 / 2 ) dx N
当N=2时，又称为Mexican-hat小波。
分形与小波分析
D(h) min[qh (q)]

q
h


q
三、WTMM理论验证及其应用
1. WTMM理论的验证 2. WTMM理论在RayleighBénard对流中的
应用
1、WTMM理论的验证
• 对于6-4分标准非均匀三分cantor集的分析 • 对于2-6-2分标准非均匀三分cantor集的分
4、WTMM方法刻画分形特征
• 直接计算信号的分形特征参数比较困难，在研究 分形时，最为著名的是所谓的基于小波分析的 “小波极大模理论(Wavelet Transform ModulusMaxima Method，简称WTMM)”，它是由法国几 位学者A Arneodo E. Bacry和J. F. Muzy等人提 出的。

H
r
( x
,

)

inf{
(diamU i )r : x
i}
i 1
i
H
r
(x
,

)

lim
0
H
r
( x
,

)
此时若存在临界指数 f ( ) ，使得：
0, r f ( ) H r (x , ) , r f ( )
有限正值，r f ( )
WTMM
80
60
40
20
0
-20
-40 q=10
• 由于小波变换的时频局部刻画特性，以及对信号逐 层剥离，层层分解，得到信号的各级细节和近似部 分的分析能力，与复杂现象的分形形态，结构与组 织的分解和分裂过程，从整体向局部、从宏观到微 观转化的过程非常相似，都强调了是整体与局部的 自相似特征。因此，小波变换与分形过程在认识事 物上有共通之处，其本质是一致的。用小波方法来 进行多分形的分析和计算，除开能够得到所有的多 分形参数外，它还具有良好的局部特性，即能够给 出信号的多层次多尺度的空间结构，因此，用它来 进行多分形研究是理想的。
• WTMM方法实际上是结合小波变换，构造了配分 函数，计算出 q (q) ，再利用Legender变换， 求出 f () 。
4、WTMM方法刻画分形特征
• WTMM方法的实现过程：

K (q, a) | W f (b, a) |qdx a (q)
Z(q, a) (|Wf (x, a) |q ) a (q) xl (a)
分形的特征
• 有精细的结构，在任意小的尺度之下，它总有更 复杂的细节；
• 分形是不规整的，整体和局部不能用传统的几何 语言描述；
• 分形通常有自相似形式，这种自相似可以是近似 的或是统计意义下的；
• 一般地，分形的某种定义下的分形维数大于它的 拓扑维数；
• 分形以非常简单的方法确定，可以由非线性的迭 代过程产生。
lnZ(a) (q)
80
q=-10
60
WTMM
40
20
0
-20
-40 q=10
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
lna
6-4分cantor集a ~ Z(a)的对数关系
6 4 2 0 -2 -4 -6 -8
-10
-5
0
q-1
WTMM
5
10
6-4分cantor集 (q 1) ~ (q) 的关系
1.2618
2、多分形理论
• 多分形的定义 • 多分形的物理含义 • 描述多分形的 f () 语言 • 描述多分形的q Dq 语言 • f ()语言和q Dq 语言的关系 • 多分形的谱图物理意义
多分形的定义
• 简单的分形对所研究的对象只能作一整体 性的、平均性的描述与表征，无法反映不 同区域、不同层次、不同局域条件形成的 各种复杂的分形结构全面精细的信息，不 能完全的揭示出产生相应分形结构的动力 学过程，为此人们提出了多分形的概念。
分形维数
Peano曲线
Koch雪花曲线
分形维数
•
如果某图形是由全体缩小
1 a
的b个相似形所组成，
即 b aD ，所以定义相似维数为：
Ds

ln b ln a
• 1919年，Hausdorff提出维数可以是分数，并定义了分数 维的Hausdorff测度，其定义都是基于“用尺度 进行量度”
这样的设想。
[
(i)]

ln(C
i K
)
(K ln 3)
(i) ln(0.6i0.2Ki ) (K ln 3)
f
[
(i)]

ln(C
i K
2
K
i
)
(K ln 3)
多分形的物理含义
7-3分cantor集：
(i) ln(0.7i0.3Ki ) (K ln 3)
f
[
(i)]

ln(C
2、WTMM理论
• 现实存在的分形结构几乎都是无规分形，其多分维 谱的计算十分复杂，需要进行大量的图像分析与统 计运算，而利用小波变换的WTMM理论将使研究变 得方便许多。
• 研究多分形时，最著名的是所谓基于小波分析的 “小波极大模理论”，它是法国学者A. Arneodo E. Bacry和J. F. Muzy等人提出的，其在湍流、生命科 学、经济等方面的研究和应用有突出的优点，如湍 流信号的多分形研究、DLA模型、DNA结构模型、 湍流涡结构以及标度率的研究等方面，他们都做了 大量的研究。已有的研究表明，小波理论在刻画系 统的多层次、多尺度、多强度结构的关系方面特别 有效，尤其是多标度特性，也即多分形特性。
3、本文工作
• 应用WTMM方法对几个简单的标准多分形 结构进行分析 。
• 用WTMM方法分析了一个是充分发展的 Rayleigh Benard对流温度信号 。