棣莫弗公式
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棣莫弗公式复数乘方用三角表示式来解比较简便.
复数r(cosθ+isinθ)的n次方是：
z^n=[r(cosθ+isinθ)]^n=r^n(cosnθ+isinnθ)
n∈N.
复数开方也用三角表示式来解比较简便.
复数r(cosθ+isinθ)的n次方根是：
(n次根号r){cos[(θ+2kπ)n]+isin[(θ+2kπ)n]
(k=0,1,2,......). n∈N.
这两条公式叫做棣莫弗公式
[编辑本段]证明
棣莫弗公式证明
先引入欧拉公式：e^ix = cosx + isinx
将e^t，sint ， cost 分别展开为泰勒级数：
e^t = 1 + t + t^22! + t^33! + …… + t^nn！+ ……
sint = t - t^33!+t^55!-t^77!+……-……
cost = 1 - t^22!+t^44!-t^66!+……-……
将t = ix 代入以上三式，可得欧拉公式
应用欧拉公式，（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n
=e^inx
=cos(nx)+isin(nx)
另外一种证法：
根据两复数相乘的公式，设Z=r(cos x+isin x),Z'=r'(cos x'+isin x')
则ZZ'=rr'(cos (x+x')+isin (x+x'))
令Z=Z'，得Z^2=r^2(cos 2x+isin 2x)
继续用Z乘这个式子，得Z^3=r^2(cos 3x+isin 3x)
最后可以由数学归纳法导出，对于n∈N，Z^n=r^n(cos nx+isin nx)
[编辑本段]在三角问题中的应用
在r=1时：
（cosx＋isinx）^n = cos(nx)+isin(nx)
有这个公式可以得到一个特别重要的结果。
我们可以令n=3为例，此时
（cosx＋isinx）^3 =cos(3x)+isin(3x)
而等式左边根据二项式定理展开得到
（cosx＋isinx）^3 =cos^3 x+3cos^2 x isinx+3cosx i^2 sin^2 x+i^3 sin^3 x =cos^3 x-3cos x sin^2 x+i(3cos^2 x sin x-sin^3 x)
最后根据右边得到
cos^3 x-3cos x sin^2 x+i(3cos^2 x sin x-sin^3 x)=cos(3x)+isin(3x)
这相当于实数间的一对等式，因为复数相等的条件是实部和虚部分别相等，所以cos(3x)=cos^3 x-3cos x sin^2 x
sin(3x)=3cos^2 x sin x-sin^3 x
再根据式子sin^2 x+cos^2 x=1,代入并整理后得
cos 3x=4cos^3 x-3cos x
sin 3x=-4sin^3 x+3sin x
以此类推，对于n∈N，可以用sin x 和 cos x的幂分别表示sin nx 和cos nx.
棣美弗定理
[编辑本段]定理
法国数学家亚伯拉罕·棣·美弗(Abraham de Moivre, 1667-1754)于1707年创立该定理，并与1730年发表。
定理内容如下：
设复数z=r(cosθ+isinθ)，其n次方z^n = r^n (cos(nθ)+isin(nθ))，其中n为正整数。
[编辑本段]证明
用数学归纳法证明：
设命题p(n): z^n=r^n (cos(nθ)+isin(nθ)), n为正整数.
显然p(1)成立.
假设p(k)成立, 则当n=k+1时,
z^(k+1)=r^(k+1) (cosθ+isinθ)^(k+1)
=r^(k+1) (cosθ+isinθ)^k (cosθ+isinθ)
=r^(k+1) (cos(kθ)+isin(kθ)) (cosθ+isinθ) (∵p(k)成立)
=r^(k+1) (cos(kθ)cosθ+cos(kθ)isinθ+isin(kθ)cosθ+isin(kθ)isinθ)
=r^(k+1) (cos(kθ)cosθ-sin(kθ)sinθ+i(cos(kθ)sinθ+sin(kθ)cosθ))
=r^(k+1) (cos((k+1)θ)+isin((k+1)θ))
因此p(k+1)也成立.
所以对于全体正整数n, 原命题成立, 定理得证.
[编辑本段]应用
可用于给复数开方：
解关于x的方程 x^n=z=r(cosθ+isinθ)
有n个根 xk = (n次√r)(cos((θ+2kπ)/n)+isin((θ+2kπ)/n))
其中θ为z的辐角，k=0,1,2,...,n-1
例如解方程x^3=1
得x1=1 , x2=(-1/2)+i(√3)/2 , x3=(-1/2)-i(√3)/2 .。
