关于KdV方程行波解的一个注记

基金项目 : 国家自然科学基金项目 ( 10871129 ) ; 河南省教育厅 自然科 学基金 项目 ( 2007110010 ) ; 上海市研究 生创新 基金项 目
( JWCXSL090114) ; 河南科技大学青年科学基金项目 ( 2008QN026)
[5 - 7]
( Ⅰ)当 Δ = V 2 + 12C > 0 时 , 记 a =
+ 除轨线 Ha , Ha 及奇点外系统 ( 5 ) 的每条轨线 Γ关于 x1 有上界 , 记此上界为 MΓ , 则轨线 Γ过点 (MΓ , 0 ) 且 MΓ ∈ ( - ∞, a ) ∪ ( b, + ∞) 。
2
) ]max = V + 若 MΓ ∈ ( b, p) , 由 MΓ = [ u1 (ξ
0 前言
作为描述浅水波著名的 KdV 方程
ut + 6 uux + uxxx = 0
( 1)
也出现在其它许多描述孤波现象的模型中 ,如非谐振晶格的振动 ,等离子体声波和弹性杆中纵向色散波 [1 - 4] 等 。为此 ,人们从不同角度研究 KdV 方程 ,用各种方法寻找 KdV 方程的精确行波解 , 如文献 [ 1 ]用 F2 展开法得到方程 ( 1 )的由 Jacobi椭圆函数表示的行波解 ,文献 [ 2 ]用 ( G ′ /G ) 展开法得到方程 ( 1 ) 的由 三角函数 、 双曲函数及有理函数表示的行波解 。 KdV 方程 ( 1 )的行波解 ) ,ξ = x - V t ( 2) u ( x, t) = u (ξ (ξ ) + 6 u (ξ ) u′ (ξ ) + u (ξ ) =0 ( 3) 满足 - V u′ 2 ) + 3 u (ξ ) + u″ (ξ ) - C =0 ( 4) 对式 ( 3 )积分一次得 - V u (ξ ) = u (ξ ) , x2 (ξ ) = u′ (ξ ) 则方程 ( 4 ) 等价于系统 其中 V 为待定常数 , C 为积分常数 。 令 x1 (ξ
2 + 3 / 2。
[8 - 9] ) ～u11 (ξ ) 给出 。 下面通过与定性分析的结果相结合 ,证明 KdV 方程的所有行波解均可由 u1 (ξ ) ～ u11 (ξ ) 给出 KdV 方程 ( 1 )的所有行波解 。 定理 4 若不考虑相位差 ,则 u1 (ξ ) ～ u11 (ξ ) 中的某一个表出 (通过令 证明 只需证明对应于系统 ( 5 ) 每条轨线的解均可由 u1 (ξ ) = ui (ξ ) , x2 (ξ ) = u i′ (ξ ) , i是式 1 ～11 中的某一个 ) 。 x1 (ξ
关于 KdV 方程行波解的一个注记
李二强 ,李向正
1 1, 2
( 1. 河南科技大学 理学院 ,河南 洛阳 471003; 2. 上海理工大学 理学院 ,上海 200093 )
摘要 : 通过对 KdV 方程行波约化后所得常微分方程组 (ODEs)进行定性分析 ,结合 F2 展开法和 ( G′ /G) 展开法 的结果 ,指明了 KdV 方程的行波解可由 Jacobi椭圆函数 、 三角函数 、 双曲函数及有理函数表示 。这里精确求 解与定性分析相结合的思路对 mKdV 方程 , KP方程行波解的讨论同样有效 。 关键词 : F 2 展开法 ; KdV 方程 ; 行波解 ; Jacobi椭圆函数 ; 定性分析 ; 相图 中图分类号 : O175. 29 文献标识码 : A
(- 3 ξ + Vξ + C ) d ξ 为势能 , T = x / 2为动 ∫
2 2 2
x 1
2 能 , E = T + U 为总机械能 , { ( x1 , x2 ) : x2 / 2 + U ( x1 ) = E} 为能量水平集 。
由常微分方程的理论 可得 定理 1 ( a )总能量 E = T + U 是系统 ( 5 )的一个首次积分 ; ( b )系统 ( 5 )的每条相曲线整个位于能量的一个水平集上 。 下面分情况画出系统 ( 5 )的相图 。
V - Δ V + Δ V +2 Δ V - 2 Δ ,b = ,p = ,q =
作者简介 : 李二强 ( 1979 - ) ,男 ,河北新乐人 ,讲师 ,硕士 ,主要研究可积系统 . 收稿日期 : 2009 - 04 - 27
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( 8)
其中 k =
1 2
4
V
2
16m
4
+ 12C ,0 <m < 2 - 16m + 1
2 -
3 / 2或
2Hale Waihona Puke 2 + 3 / 2 < m < 1。 当模 m → 1 时
2 2
) , u3 (ξ ) → u4 (ξ ) = ( V - 4 k ) / 6 + 2 k sech ( k ξ ) u1 (ξ ) → u5 (ξ ) = ( V - 4 k ) / 6 - 2 k c sch ( k ξ ) u2 (ξ
6 6 6 6 其中 a, b是 U ( x1 ) 的两个临界点 , 容易算得 U ( q) = U ( b) < U ( a ) = U ( p) 。 系统 ( 5 ) 的两个奇点为 A ( a, 0 ) , B ( b, 0 ) 。系统 ( 5 )势能函数的图象见图 1,相图见图 2。 ( Ⅱ)当 Δ = V 2 + 12C = 0 时 , 系统 ( 5 ) 有唯一的奇点 A ( V / 6, 0 ) , 此时相图如图 3。

・84・
河 南 科 技 大 学 学 报 : 自 然 科 学 版 2009 年
结合文献 [ 1 - 2 ]的结果可以得 KdV 方程的下列行波解 。 定理 3 ( Ⅰ)当 Δ = V 2 + 12C > 0 时 , 方程 ( 4 ) 有下列解 2 2 2 2 2 ) = [V + 4 k ( 1 - 2m ) ] / 6 + 2m k cn [ k ξ u1 (ξ ,m ]

第 5期
李二强等 : 关于 KdV 方程行波解的一个注记
・8 3 ・
( Ⅲ)当 Δ = V 2 + 12C < 0 时 , 系统 ( 5 )无奇点 ,相图如图 4。
定理 2 ( Ⅰ)当 Δ = V2 + 12C >时 ( a )系统 ( 5 )有两个奇点 ,其中 A ( a, 0 ) 是系统的鞍点 , B ( b, 0 ) 是系统的中心 ; ( b )临界能量 E = U ( a ) 的水平集构成鞍点 A 的分界线 S =Γa ∪ Ha+ ∪ Ha- [ 5 ] , 其中 Γa 为鞍点 A 的 同宿轨线 。 临界能量 E = U ( b) 由中心 B 及过点 Q ( q, 0 ) 的无界轨线 Γq 构成 ;
( Ⅱ)当 Δ = V 2 + 12C = 0 时 ( a ) A ( V / 6, 0 ) 为系统 ( 5 )的 L iapunov型奇点中的退化奇点 [ 7 ] ; ( b )临界能量 E = U ( a ) 的水平集构成奇点 A 的分界线 S = Ha+ ∪ Ha2
[5 ]
。
( Ⅲ)当 Δ = V + 12C < 0 时 ,系统 ( 5 )没有奇点 ,所有轨线均为同胚于直线的无界轨线 。
2 2 2 4 2
( 9) ( 10 )
式 ( 9 )和式 ( 10 )中 , k =
V + 12C / 2。 当模 m →0 时 ) → u6 (ξ ) ≡ ( V + Δ) / 6 = b u1 (ξ ) → u7 (ξ ) = ( V + 4 k ) / 6 - 2 k c sc ( k ξ ) u2 (ξ ) → u7 (ξ ) = ( V + 4 k ) / 6 - 2 k sec ( k ξ ) u3 (ξ
) = [V + 4 k ( 1 - 2m ) ] / 6 + 2m k cn [ k ξ ξ u11 (ξ , m ] - 2 ( 1 - m ) k nc [ k ,m ]
( 17 )
其中 k =
1 2
4
V
2
16m
4
+ 12C , 模数 m 满足 2 - 16m + 1
2 -
3 /2 < m <
( c )能量 E > U ( a ) 的每一个水平集确定系统 ( 5 ) 的一条无界轨线 , 如图 2 中 R E 所示 ;
能量 U ( b) < E < U ( a ) 的每一个水平集确定系统 ( 5 ) 的二条轨线 , 一条是位于奇异闭轨线 Γa 内部
+ 的周期闭轨线 (如图 2中 S E 所示 ) , 一条是位于 Γq 与 Ha ∪ Ha ∪A 之间的无界轨线 (如图 2中 KE 所示 ) ; 能量 E < U ( b) 的每一个水平集确定系统 ( 5) 的一条无界轨线 ,它位于轨线 Γq 左侧 (如图 2中 L E 所示 ) 。
2 KdV 方程的行波解
2 2 ) 是它的解 , 则对于任意常数 k,ν(ξ ) = ( 1 - k ) V /6 + k u ( k ξ ) 也是其解 。 对于方程 ( 3 )而言 ,若 u (ξ
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第 30 卷 第 5 期 2009 年 10 月
河南科技大学学报 :自然科学版 Journal of Henan University of Science and Technology: Natural Science