重庆市南开中学2019届九年级上期末考试数学试题

重庆南开中学2019 年初三上半期考试数学试题及分析数学试卷（全卷共五个大题，满分150 分，考试时间 120 分钟）注意事项：1、试题的答案书写在答题卡（卷）上，不得在试卷上直接作答；．．．．2、作图（包含作协助线），请一律用黑色署名笔达成。

．．一、选择题：（本大题共12 个小题，每题 4 分，共 48 分）在每个小题的下边，都给出了代号为 A 、 B 、C、 D 的四个答案，此中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确．．．答案标号涂黑。

1、1 2的值为（）A 、 0B 、 1 C、 2 D 、32、以下药品商标中是中心对称图形的是（）A． B．C． D．33、计算2a2 b3的结果是（）A 、2a6b9B、8a6b9C、8a6b9D、6a6b91 2的解是（）4、方程0x 1 x 31A 、x 5B 、x 1 C、x D 、原方程无解25、以下检查，不适适用全面检查的是（）A、认识湖南卫视“爸爸去哪儿”节目的收视率B、游客上飞机前的安检C、检查 2013 年全运会100 米参赛运动员喜悦剂的使用状况D、认识全班同学每周体育锻炼的时间6、在Rt ABC 中， C 90o ,sin A 3，则 cosA 的值是（）3 3 54 4C、D、A 、B、5 34 57、重庆市园博园准备选购500 棵高度大概为 2 米的树苗来进行绿化，有四个苗圃基地招标（单株树的价钱同样），采买小组从四个苗圃中随意抽查了20 株树苗的高度，获得下表中的数据：甲苗圃乙苗圃丙苗圃丁苗圃树苗的均匀高度（米） 1.8 1.8 2.0 2.0标准差0.2 0.4 0.2 0.4你以为应选（）A 、甲苗圃的树苗B 、乙苗圃的树苗C、丙苗圃的树苗 D 、丁苗圃的树苗8、将一副直角三角板如图搁置，使含30o角的三角板的短直角边和含45o角的三角板的一条直角边重合，则 1的度数为（）A 、30o B、45o C、60o D、75o9、某人驾车从 A 地上高速公路匀速前去 B 地，半途在服务区歇息了一段时间。

2019届重庆市南开九年级上阶段测试数学试卷（一）详细答案一、单选题（共12小题）1．3的倒数是（）A．3B．C．D．考点：实数的相关概念答案：D试题解析：3的倒数是，故选D.2．今年9月4日至5日我国成功举办了G20杭州峰会，下列图形是部分成员国国旗，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：轴对称与轴对称图形答案：C试题解析：A、D不是轴对称图形；B为中心对称图形；C为轴对称图形且只有一条对称轴。

故选C。

3．下列计算正确的是（）A．B．C．D．考点：幂的运算答案：C试题解析：A．，故A错；B．，故B错；C．，故C对；D．，故D错。

故选C。

4．下列调查中，更适合普查方式的是（）A．调查收看里约奥运会女排决赛的人数B．调查某种灯泡的使用寿命C．调查居民对“梦”的知晓率D．调查“天宫二号”零件的质量情况考点：数据的收集与整理答案：D试题解析：A．调查收看里约奥运会女排决赛的人数，调查面广，没必要很准确，采用抽样调查；B．调查某种灯泡的使用寿命，调查面广，没必要很准确，采用抽样调查；C．调查居民对“梦”的知晓率，调查面广，没必要很准确，采用抽样调查；D．调查“天宫二号”零件的质量情况，此项涉及到安全问题需要精确，适宜采用普查方式；故选D5．如图，是的平分线，，，则的度数为（）A．B．C．D．考点：平行线的判定及性质答案：D试题解析：∵，，∴=∠B=40º，∠DAC=，又∵是的平分线，∴∠DAC=20º，∴∠C=20º。

故选D.6．在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数答案：A试题解析：A．∵，∴，故A选项正确；B．∵，∴，故B选项正确；C．∵，∴，故C选项错误；D．∵，∴，故D选项错误。

故选A．7．二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（）A．开口向下，直线，B．开口向上，直线，C．开口向下，直线，D．开口向下，直线，考点：二次函数的图像及其性质答案：D试题解析：图像的开口方向由a决定，当a>0时，开口向上，反之，开口向上，∵A=-1<0，∴图像的开口向下，对称轴为x=—3顶点坐标为(—3,2)故选D。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在同一直角坐标系中，函数-ayx=与y＝ax+1（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题可先由反比例函数-ayx=图象得到字母a的正负，再与一次函数y＝ax+1的图象相比较看是否一致即可解决问题．【详解】解：A、由函数-ayx=的图象可知a＞0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＜0故选项A错误．B、由函数-ayx=的图象可知a＞0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＞0，且交于y轴于正半轴，故选项B正确．C、y＝ax+1（a≠0）的图象应该交于y轴于正半轴，故选项C错误．D、由函数-ayx=的图象可知a＜0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＞0，故选项D错误．故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型.2．把函数y＝﹣3x2的图象向右平移2个单位，所得到的新函数的表达式是（）A．y＝﹣3x2﹣2 B．y＝﹣3（x﹣2）2C．y＝﹣3x2+2 D．y＝﹣3（x+2）2【答案】B【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．【详解】二次函数y＝﹣3x1的图象向右平移1个单位，得：y＝﹣3（x﹣1）1．故选：B．【点睛】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．3．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：A 、不是轴对称图形，故此选项错误； B 、不是轴对称图形，故此选项错误； C 、是轴对称图形，故此选项正确； D 、不是轴对称图形，故此选项错误． 故选C ． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 4．二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图，则反比例函数y=ax与一次函数y=bx ﹣c 在同一坐标系内的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据二次函数的图象找出a 、b 、c 的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论．【详解】解：观察二次函数图象可知： 开口向上，a ＞1；对称轴大于1，2ba＞1，b ＜1；二次函数图象与y 轴交点在y 轴的正半轴，c ＞1． ∵反比例函数中k ＝﹣a ＜1，∴反比例函数图象在第二、四象限内； ∵一次函数y ＝bx ﹣c 中，b ＜1，﹣c ＜1， ∴一次函数图象经过第二、三、四象限．故选C ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、反比例函数的图象以及一次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出a 、b 、c 的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象找出a 、b 、c 的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论．5．边长相等的正方形与正六边形按如图方式拼接在一起，则ABC ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．30【答案】B【解析】利用多边形的内角和定理求出正方形与正六边形的内角和，进而求出每一个内角，根据等腰三角形性质，即可确定出所求角的度数．【详解】正方形的内角和为360°，每一个内角为90°； 正六边形的内角和为720°，每一个内角为120°， 则BAC ∠ =360°-120°-90°=150°， 因为AB=AC,所以ABC ∠=ACB ∠=15° 故选B 【点睛】此题考查了多边形内角和外角，等腰三角形性质，熟练掌握多边形的内角和定理是解本题的关键． 6．毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张.设某班共有x 名学生，那么所列方程为( ) A ．()1119802x x += B ．()1119802x x -= C ．()11980x x += D ．()11980x x -=【答案】D【分析】根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x 个人，然后根据题意可列出方程：（x-1）x=1． 【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x 个人， ∴全班共送：（x-1）x=1， 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送(x-1)张贺卡，有x 个人是解决问题的关键．7．已知关于x 的方程x 2﹣3x+2k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A．k＞98B．k＜98C．k＜﹣98D．k＜89【答案】B【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4•2k＞0，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4•2k＞0，解得k＜98．故选：B．【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的情况，解题的关键是熟知根的判别式．8．已知点（－1，y1）、（2，y2）、（π，y3）在双曲线21kyx+=-上，则下列关系式正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2【答案】B【解析】分析：根据题意，可得这个反比例函数图象所在的象限及每个象限的增减性，比较三个点的纵横坐标，分析可得三点纵坐标的大小，即可得答案．详解：∵双曲线21kyx+=-中的-（k1+1）＜0，∴这个反比例函数在二、四象限，且在每个象限都是增函数，且1<π, ∴y1＞0，y1＜y3＜0；故有y1＞y3＞y1．故选B．点睛：考查了运用反比例函数图象的性质判断函数值的大小，解题关键牢记反比例函数kyx=（x≠0）的性质：当k>0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；当k<0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大.9．如图，已知矩形ABCD和矩形EFGO在平面直角坐标系中，点B，F的坐标分别为(－4,4)，(2,1)．若矩形ABCD和矩形EFGO是位似图形，点P(点P在GC上)是位似中心，则点P的坐标为()A．(0,3)B．(0,2.5)C．(0,2) D．(0,1.5) 【答案】C【分析】如图连接BF交y轴于P ，由BC∥GF可得GPPC＝GFPC，再根据线段的长即可求出GP，PC，即可得出P点坐标.【详解】连接BF交y轴于P，∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为(－4,4)，(2,1)，∴点C的坐标为(0,4)，点G的坐标为(0,1)，∴CG＝3，∵BC∥GF，∴GPPC ＝GFPC＝12，∴GP＝1，PC＝2，∴点P的坐标为(0,2)，故选C.【点睛】此题主要考查位似图形的性质，解题的关键是根据位似图形的对应线段成比例.10．如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数kyx与一次函数y=kx−1(k为常数，且k≠0)的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】分k ＞0和k ＜0两种情况，分别判断反比例函数()0ky k x=≠的图象所在象限及一次函数y=-kx-1的图象经过的象限．再对照四个选项即可得出结论． 【详解】当k ＞0时， -k ＜0， ∴反比例函数ky x=的图象在第一、三象限，一次函数y=kx-1的图象经过第一、三、四象限； 当k ＜0时， -k ＞0， ∴反比例函数ky x=的图象在第二、四象限，一次函数y=kx-1的图象经过第二、三、四象限． 故选：B ． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质以及一次函数图象与性质，熟练掌握两种函数的性质并分情况讨论是解题的关键．11．将函数22y x =的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，可得到的抛物线是：（ ） A ．22(1)3y x =-- B ．2y 2(x 1)3=-+ C ．22(1)3y x =+-D ．2y 2(x 1)3=++【答案】C【分析】先根据“左加右减”的原则求出函数y=-1x 2的图象向左平移2个单位所得函数的解析式，再根据“上加下减”的原则求出所得函数图象向下平移1个单位的函数解析式．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将函数22y x =的图象向左平移1个单位所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将函数y=2（x+1）2的图象向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2-1． 故选：C ． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 12．下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补．其中正确的结论是（ ） A ．① B ．②C ．③D ．④【答案】D【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结论．【详解】解：①不共线的三点确定一个圆，故①表述不正确； ②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②表述不正确；③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故③表述不正确；④圆内接四边形对角互补，故④表述正确．故选D．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，圆内接四边形的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况如表，请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是_____．【答案】110m1．【分析】先计算这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数400即可解答．【详解】解：20名同学各自家庭一个月平均节约用水是：（0.2×2+0.25×4+0.1×6+0.4×7+0.5×1）÷20＝0.125（m1），因此这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是：400×0.125＝110（m1），故答案为：110m1．【点睛】此题考查的是根据样本估计总体，掌握样本平均数的公式是解决此题的关键．14．九年级学生在毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班共写了2256段毕业感言，如果该班有x名同学，根据题意列出方程为____．【答案】（x﹣1）x＝2256【分析】根据题意得：每人要写（x-1）条毕业感言，有x个人，然后根据题意可列出方程．【详解】根据题意得：每人要写(x−1)条毕业感言，有x个人，∴全班共写：(x−1)x=2256，故答案为：(x−1)x=2256.【点睛】此题考查一元二次方程，解题关键在于结合实际列一元二次方程即可.15．一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，这次测验中甲、乙两组学生人数都为6人，成绩如下：甲：7，9，10，1，5，9；乙：9，6，1，10，7，1．（1）请补充完整下面的成绩统计分析表：（2）甲组学生说他们的众数高于乙组，所以他们的成绩好于乙组，但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出一条支持乙组学生观点的理由_____________________________． 【答案】（1）83，1.5，1；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【分析】（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中位数；（2）根据（1）中表格数据，分别从反应数据集中程度的中位数和平均分及反应数据波动程度的方差比较甲、乙两组，由此找出乙组优于甲组的一条理由． 【详解】（1）甲组方差：()()()()()()22222218789810888589863⎡⎤-+-+-+-+-+-=⎣⎦ 甲组数据由小到大排列为：5，7，1，9，9，10 故甲组中位数：（1+9）÷2=1.5 乙组平均分：(9+6+1+10+7+1)÷6=1 填表如下：（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组，所以乙组成绩更稳定．故答案为：83，1.5，1；两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【点睛】本题考查数据分析，熟练掌握反应数据集中趋势的中位数、众数和平均数以及反应数据波动程度的方差的计算公式和定义是解题关键．16．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 的重心，连结BP ，CP ，则△BPC 的面积为_____．【答案】1【分析】△ABC的面积S＝12AB×BC＝1642⨯⨯＝12，延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝23BE，即可求解．【详解】解：△ABC的面积S＝12AB×BC＝1642⨯⨯＝12，延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝23BE，（证明见备注）△BEC的面积＝12S＝6，BP＝23 BE，则△BPC的面积＝23△BEC的面积＝1，故答案为：1．备注：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点．EC、FB交于G．求证：EG＝12CG 证明：过E作EH∥BF交AC于H．∵AE＝BE，EH∥BF，∴AH＝HF＝12 AF，又∵AF＝CF，∴HF＝12 CF，∴HF：CF＝12，∵EH∥BF，∴EG：CG＝HF：CF＝12，∴EG＝12 CG．【点睛】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．17．如图：⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径均为1，则图中三个阴影扇形的面积之和为.【答案】12π．【解析】试题分析：根据三角形的内角和是180°和扇形的面积公式进行计算．试题解析：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴阴影部分的面积=2180113602ππ⨯=．考点：扇形面积的计算．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点E是AB边上一动点，过点E作DE⊥AB交AC边于点D，将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的F处，连接FC，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为_____．【答案】2或52或75．【分析】由勾股定理求出AB，设AE=x，则EF=x，BF=1﹣2x；分三种情况讨论：①当BF=BC时，列出方程，解方程即可；②当BF=CF时，F在BC的垂直平分线上，得出AF=BF，列出方程，解方程即可；③当CF=BC时，作CG⊥AB于G，则BG=FG12=BF，由射影定理求出BG，再解方程即可．【详解】由翻折变换的性质得：AE=EF．∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB2286=+=1．设AE=x，则EF=x，BF=1﹣2x．分三种情况讨论：①当BF=BC时，1﹣2x=6，解得：x=2，∴AE=2；②当BF=CF时．∵BF=CF，∴∠B=∠FCB．∵∠A+∠B=90°，∠FCA+∠FCB=90°，∴∠A=∠FCA，∴AF= FC．∵BF=FC，∴AF=BF，∴x+x=1﹣2x，解得：x52 =，∴AE52 =；③当CF=BC时，作CG⊥AB于G，如图所示：则BG=FG12=BF．根据射影定理得：BC2=BG•AB，∴BG22618105 BCAB===，即12(1﹣2x)185=，解得：x75 =，∴AE75 =；综上所述：当△BCF为等腰三角形时，AE的长为：2或52或75．故答案为：2或52或75．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、射影定理、等腰三角形的性质；本题有一定难度，需要进行分类讨论．三、解答题（本题包括8个小题）19．已知ABC 为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC ，点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为(3，m)（m>0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P(1，0)为顶点的抛物线过点B 、D ．（1）求点A 的坐标（用m 表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：FC(AC+EC)为定值．【答案】（1）(3﹣m ，0)；（2）2(1)y x =-；（3）见解析【分析】（1）AO=AC−OC=m−3，用线段的长度表示点A 的坐标；（2）ABC 是等腰直角三角形，因此AOD △也是等腰直角三角形，即可得到OD=OA ，则D(0，m−3)，又由P(1，0)为抛物线顶点，用待定系数法设顶点式，计算求解即可；（3）过点Q 作QM ⊥AC 与点M ，过点Q 作QN ⊥BC 与点N ，设点Q 的坐标为2(,(1))x x -，运用相似比求出FC ，EC 长的表达式，而AC=m ，代入即可．【详解】解：（1）由B (3，m)可知OC=3，BC=m ，∴AC=BC=m ，OA=m ﹣3，∴点A 的坐标为(3﹣m ，0)（2）∵∠ODA=∠OAD=45°∴OD=OA= m ﹣3，则点D 的坐标是(0，m ﹣3)又抛物线的顶点为P(1，0)，且过B 、D 两点，所以可设抛物线的解析式为：2(1)y a x =-得：221(31)4(01)3a a m m a m =⎧-=⎧⎨⎨=-=-⎩⎩解得： ∴抛物线的解析式为：2(1)y x =-（3）证明：过点Q 作QM ⊥AC 与点M ，过点Q 作QN ⊥BC 与点N ，设点Q 的坐标为2(,(1))x x -，则2(1)3QM CN x MC QN x ==-==-，∵QM ∥CE∴△PQM ∽△PEC 则2(1)12(1)2QM PM x x EC x EC PC EC --===-即得 ∵QN ∥FC∴△BQN ∽△BFC 则234(1)441QN BN x x FC FC BC FC x ---===+即得 又∵AC=m=4 ∴[]44()42(1)2(1)811FC AC EC x x x x +=+-=⨯+=++ 即()FC AC EC +为定值8本题主要考查了点的坐标，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，合理做出辅助线，运用相似三角形的性质求出线段的长度是解题的关键．20．如图，已知双曲线1k y x =与直线2y ax b =+交于点()14A ，和点()1B m -， （1）求双曲线的解析式；（2）直接写出不等式k ax b x+<的解集【答案】（1）14y x=；（2）01x <<或4x <- 【分析】（1）将点A 坐标代入双曲线解析式即可得出k 的值，从而求出双曲线的解析式；（2）求出B 点坐标，利用图象即可得解．【详解】解：（1）∵双曲线1k y x =经过点(14)A ，，414k =⨯=. ∴双曲线的解析式为14y x= （2）由双曲线解析式可得出B(-4，-1)，结合图象可得出，不等式k ax b x+<的解集是：01x <<或4x <-． 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是从图象中得出相关信息． 21．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0，a 、b 、c 为常数）的图像经过点A （－1，0）、B （0，2）． （1）b ＝ （用含有a 的代数式表示），c ＝ ；（2）点O 是坐标原点，点C 是该函数图像的顶点，若△AOC 的面积为1，则a ＝ ；（3）若x ＞1时，y ＜1．结合图像，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）a+2；2；（2）-2或642±（3）8215a ≤--【分析】（1）将点B 的坐标代入解析式，求得c 的值；将点A 代入解析式，从而求得b ；；（2）由题意可得AO=1，设C 点坐标为（x,y ），然后利用三角形的面积求出点C 的纵坐标，然后代入顶点坐标公式求得a 的值；（3）结合图像，若x ＞1时，y ＜1，则顶点纵坐标大于等于1，根据顶点纵坐标公式列不等式求解即可.【详解】解：（1）将B （0，2）代入解析式得：c=2将A （－1，0）代入解析式得： a ×（-1）2＋b ×（-1）＋c=0∴b=a+2故答案为：a+2；2（2）由题意可知：AO=1设C 点坐标为（x,y ） 则1112y ⨯⨯= 解得：2y =±当y=2时，2424ac b a-= 由（1）可知，b=a+2;c=2 ∴242(2)24a a a⨯-+= 解得：a=-2当y=-2时，2424ac b a-=- 由（1）可知，b=a+2;c=2 ∴242(2)24a a a⨯-+=-解得：6a =±∴a 的值为-2或6±（3）若x ＞1时，y ＜1，又因为图像过点A （－1，0）、B （0，2）∴图像开口向下，即a ＜0则该图像顶点纵坐标大于等于1 ∴2454ac b a-≥ 即242(2)54a a a⨯-+≥解得：8a ≤--或8a ≥-+（舍去）∴a 的取值范围为8a ≤--【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握顶点坐标公式及数形结合思想解题是本题的解题关键.22．某校七年级一班和二班各派出10名学生参加一分钟跳绳比赛，成绩如下表：（1）两个班级跳绳比赛成绩的众数、中位数、平均数、方差如下表：表中数据a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ．（2）请用所学的统计知识，从两个角度比较两个班跳绳比赛的成绩．【答案】解：（1）a ＝135，b ＝134.5，c ＝1.6；（2）①从众数（或中位数）来看，一班成绩比二班要高，所以一班的成绩好于二班；②一班和二班的平均成绩相同，说明他们的水平相当；③一班成绩的方差小于二班，说明一班成绩比二班稳定．【分析】（1）根据表中数据和中位数的定义、平均数和方差公式进行计算可求出表中数据；（2）从不同角度评价，标准不同，会得到不同的结果．【详解】解：（1）由表可知，一班135出现次数最多，为5次，故众数为135；由于表中数据为从小到大依次排列，所以处于中间位置的数为134和135，中位数为1341352+=134.5； 根据方差公式:s 2=()()()()()2222211321351341355135135213613513713510⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦=1.6， ∴a ＝135，b ＝134.5，c ＝1.6；（2）①从众数看，一班一分钟跳绳135的人数最多，二班一分钟跳绳134的人数最多；所以一班的成绩好于二班；②从中位数看，一班一分钟跳绳135以上的人数比二班多；③从方差看，S 2一＜S 2二；一班成绩波动小，比较稳定；④从最好成绩看，二班速度最快的选手比一班多一人；⑤一班和二班的平均成绩相同，说明他们的水平相当.【点睛】此题是一道实际问题，不仅考查了统计平均数、中位数、众数和方差的定义，更考查了同学们应用知识解决问题的发散思维能力．23．有六张完全相同的卡片，分,A B 两组，每组三张，在A 组的卡片上分别画上“√，×，√”，B 组的卡片上分别画上“√，×，×”，如图①所示．（1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是“√”的概率（请用“树形图法”或“列表法”求解）．（2）若把,A B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片，其正、反面标记如图②所示，将卡片正面朝上摆在桌上，并用瓶盖盖住标记．①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率是多少？②若揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，猜想它的反面也是“√”，求猜对的概率．【答案】（1）29；（2）①23；②12【分析】（1）画出树状图计算即可；（2）①三张卡片上正面的标记有三种可能，分别为“√，×，√”，然后计算即可；②正面标记为“√”的卡片，其反面标记情况有两种可能，分别为“√”和“×”，计算即可；【详解】（1）解：根据题意，可画出如下树形图：从树形图可以看出，所有可能结果共9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是“√”的结果有2种，∴P（两张都是“√”）29（2）解：①∵三张卡片上正面的标记有三种可能，分别为“√，×，√”，∴随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率为23．②∵正面标记为“√”的卡片，其反面标记情况有两种可能，分别为“√”和“×”，∴猜对反面也是“√”的概率为12．【点睛】本题主要考查了概率的计算，准确理解题意是解题的关键．24．如图，某中学准备建一个面积为300m2的矩形花园，它的一边利用图书馆的后墙，另外三边所围的栅栏的总长度是50m，求垂直于墙的边AB的长度？（后墙MN最长可利用25米）【答案】垂直于墙的边AB 的长度为15米．【分析】花园总共有三条边组成，可设AB=x ，则BC=（50-2x ）,根据题意有x(50-2x)=300,解得x=10或15，又因为BC 要不大于25m ，可知x=10要舍去，得AB=15m.【详解】解：设AB 为xm ，则BC 为（50﹣2x ）m ，根据题意得方程：x （50﹣2x ）＝300，2x 2﹣50x+300＝0，解得；x 1＝10，x 2＝15，∵50﹣2x≤25，解得：x≥12.5，答：垂直于墙的边AB 的长度为15米．【点睛】本题的考点是二次函数的应用.方法是根据题意列出一元二次方程，解出方程即可.易错点在于BC 边不能大于25，这是一个陷阱.25．如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧），已知A 点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明．【答案】（1）21234y x x =-+；（2）相交，证明见解析 【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A 点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l 的解析式及B 、C 的坐标，分别求出直线AB 、BD 、CE 的解析式，再求出CE 的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可．【详解】解：（1）设抛物线为y ＝a （x ﹣4）2﹣1，∵抛物线经过点()0,3A ，∴3＝a （0﹣4）2﹣1，a ＝14；∴抛物线的表达式为：21234y x x =-+； （2）相交． 证明：连接CE ，则CE ⊥BD ，14（x ﹣4）2﹣1＝0时，x 1＝2，x 2＝1．()0,3A ，()2,0B ，()6,0C ，对称轴x ＝4，∴OB ＝2，AB ＝13，BC ＝4，∵AB ⊥BD ，∴∠OAB+∠OBA ＝90°，∠OBA+∠EBC ＝90°，∴△AOB ∽△BEC ，∴AB OB BC CE =，即132CE =，解得813CE =， ∵813>2， 故抛物线的对称轴l 与⊙C 相交．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、直线与圆的位置关系等内容，掌握数形结合的思想是解题的关键．26．京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式，现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率（图案为“红脸”的两张卡片分别记为1A 、2A ，图案为“黑脸”的卡片记为B ）.【答案】抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是49.【分析】根据题意画出树状图，求出所有的情况数和两次抽取的卡片上都是“红脸”的情况数，再根据概率公式计算即可．【详解】画树状图如图由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片都是“红脸”的结果有4种，所以P（两张都是“红脸”）4 9答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是4 9 .【点睛】此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为树状图和概率的求法，概率=所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意画出树状图．27．某小区为改善生态环境，实行生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分成三类：厨房垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为, ,m n p，并且设置了相应的垃圾箱“厨房垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为,,A B C．（1）为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了小区三类垃圾箱中总共1200吨生活垃圾，数据统计如下图(单位：吨)：A B Cm500150150n3024030p202060请根据以上信息，估计“厨房垃圾”投放正确的概率；（2）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图或列表格的方法求出垃圾投放正确的概率．【答案】（1）58；（2）13．【分析】（1）利用频率估计概率，通过计算“厨房垃圾”投放正确的百分比估计“厨房垃圾”投放正确的概率．（2）先画树状图展示所有9种可能的结果数，再找出垃圾投放正确的结果数，然后根据概率公式计算；【详解】解：（1）∵5005 5001501508=++∴估计“厨房垃圾”投放正确的概率为58；()2画树状图如下∵共有9种等可能的结果数，其中垃圾投放正确的结果数为3，∴垃圾投放正确的概率为31 93 =故答案是：（1）58；（2）13【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件的结果数目m，求出概率．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．某商店以每件60元的价格购进一批货物，零售价为每件80元时，可以卖出100件（按相关规定零售价不能超过80元）．如果零售价在80元的基础上每降价1元，可以多卖出10件，当零售价在80元的基础上降价x 元时，能获得2160元的利润，根据题意，可列方程为（ ）A ．x （100+10x ）＝2160B ．（20﹣x ）（100+10x ）＝2160C ．（20+x ）（100+10x ）＝2160D ．（20﹣x ）（100﹣10x ）＝2160【答案】B【分析】根据第一句已知条件可得该货物单件利润为806020-=元,根据第二句话的已知条件,降价几个1元,就可以多卖出几个10件,可得降价后利润为()20x -元,数量为()10010x +件,两者相乘得2160元,列方程即可.【详解】解:由题意得,当售价在80元基础上降价x 元时, ()()20100102160x x -+=.【点睛】本题主要考查的是一元二次方程应用题里的利润问题,理解掌握其中的数量关系列出方程是解答这类应用题的关键.2．硬币有数字的一面为正面，另一面为反面.投掷一枚均匀的硬币一次，硬币落地后，可能性最大的是（ ）A ．正面向上B ．正面不向上C ．正面或反面向上D ．正面和反面都不向上 【答案】C【分析】根据概率公式分别求出各选项事件的概率, 即可判断．【详解】解: 若不考虑硬币竖起的情况,A ． 正面向上概率为1÷2=12; B ． 正面不向上的概率为1÷2=12; C ． 正面或反面向上的概率为2÷2=1;D ． 正面和反面都不向上的概率为0÷2=0∵1＞12＞0 ∴正面或反面向上的概率最大故选C ．【点睛】此题考查的是比较几个事件发生的可能性的大小,掌握概率公式是解决此题的关键．3．我们知道，一元二次方程可以用配方法、因式分解法或求根公式进行求解．对于一元三次方程。

重庆南开2019—2020 学年度（上）初三年级期末考试数学试题、选择题（本大题共12个小题，每小题 4 分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代其中只有一个是正确的，请将解答书写在答题卡（卷）对应的位置上.1．下列各数中是无理数的是（B ．1 22．下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（A ．点AB ．点BC ．点CD ．点DOB上分别取点 C 、D ，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向3 x6xA ．3xD．4．如图，四边形B．x y 0xyC ．2xy2C ．24x yABCD是⊙ O 的内接四边形，AB AD ，若 C 70 ，则ABD 的度数为A．35 B ．55 C ．7D ．115．如图，数轴上的点可近似表示 3 630 6 的值的是（）6．如图，42的正方形网格中，在A，B，C， D 四个点中任选三个点，能组成等腰三角形的概率为（A．1B．7．对于问题，如图)121，C．13已知AOB，D．14只用直尺和圆规判断AOB 是否为直角？小意同学的方号为A、B、C、D 的四个答案，D．0.5A．0法如图2：在OA、延长线于点 E ，若测量得OE OD ，则AOB 90 ，则小意同学判断的依据是（物，每人出8钱，会多3钱；每人出7 钱，又差4钱.问人数、物价各多少？”设人数为x 人，物价为y 钱，则根据题意可列方程组为（）8x3y8x3y8x3y8x3yA．B．C．D．7x4y7x4y7x4y7x4y9．如图，已知菱形OABC , OC在x轴上，AB交y轴于点D，点A在反比例函数y1圆形，直径AB垂直水平地面于点C，最低点B离地面的距离BC为1.6米. 某天，妈妈带着洋洋出来坐摩天轮，当她站在点 D 仰头看见摩天轮的圆心时，仰角为37 ，为了选择更佳角度为洋洋拍照，妈妈向后退了49米到达点D'，当洋洋坐的轿箱 F 与圆心O在同一水平线时，他俯视看见妈妈的眼睛，此时俯角为42 ，已知妈妈的眼睛到地面的距离为 1.6米，妈妈两次所处的位置与摩天轮在同一平面上，则该摩天轮最高点A离地面的距离AC 约是（）米（参考数据：sin37 0.60，tan37 0.75 ，sin 42 0.67，tan42 0.90）A．等角对等边B．线段中垂线上的点到线段两端距离相等C ．垂线段最短D ．等腰三角形“三线合一”8．《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：有共买物，人出八，盈三；人出七，不足问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购k上，点 B 在反比例函数y22k上，且ODx2 2, 则k的值是（A．3B． 2 22C． 5 2D．53310．如图，重庆欢乐谷的摩天轮是西南地区最高的摩天轮，号称“重庆之眼”.摩天轮是一个在答题卡（卷）对应的位置上 .13．可乐和牛奶中含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天摄入的咖啡因不能超过0.000085kg ，将数据 0.000085用科学记数法表示为.14．若两个相似三角形的面积之比为1: 4，则它们对应角的角平分线之比为 .115．若 cosA tanB 3 0 ，那么 ABC 的形状是.216．如图，在 Rt ABC 中， BCA 90 ， BAC 30 ，BC 4，将Rt ABC 绕点 A 顺时针旋转 90 得到 Rt ADE ，则 BC 扫过的面积为 . （结果保留 ）17．某个周末小月和小华在南滨路跑步锻炼身体，两人同时从 A 点出发，沿直线跑到 B 点后A ．118.8B ． 127.6C ． 134.4D ． 140.211．已知关于 x 分式方程mx 2 x 3 x 6 x 33 x6无解，关于 y 的不等式组 2y yy 1 4m 2 44则符合条件的所有 C ．52 的整数解之和恰好为 10 ， A ． 9 B ． 7 22 12．已知 Rt ABC ， ACB 90 ，BC 10, AC 20，点 D 为 D ． m 的和为（32 斜边中点，连接 CD ，将 BCD 沿CD 翻折到 则DE 的值为（AC 于点 E ，A ．56二、填空题： B． 3 5本大题共 6个小题，每小题 4 分，共 24分）在每小题中，请将正确答案书写B'CD , B'D 交马上掉头原路返回A点算一个来回，回到A点后又马上掉头去往 B 点，依此类推，每人要完成 2 个来回. 已知两人全程均保持匀速，掉头时间忽略不计. 如图所示是小华从出发到他率先完成第一个来回为止，两人到 B 点的距离之和y （米）与小华跑步时间x （分钟）之间的函数图像，则当小华跑完 2 个来回时，小月离 B 点的距离为米.18．如图，平行四边形纸片ABCD中，AB 8cm，AD 6cm，ABC 120 .按下列步骤进行裁剪和拼图；第一步：如图①，在线段AD 上任意取一点E，沿EB ，EC剪下一个三角形纸片EBC （余下部分不再使用）；第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH 上任意取一点M ，线段BC上任意取一点N ，沿MN将梯形纸片GBCH 剪成两部分；第三步：如图③，将MN 左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180 ，使线段GB与GE重合，将MN 右侧纸片绕H 点按逆时针方向旋转180 ，使线段HC 与HE 重合，拼成一个与三角形纸片EBC 面积相等的四边形纸片（裁剪和拼图过程中均无缝且不重叠）. 则拼成的这个四边形纸片的周长的最大值为cm.三、解答题：（本大题共8小题，共78 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）对应的位置上.2 a 1 119．（10 分）计算：（1）4y y x x 2y 2（2） a 1a 2 a 220．（10分）如图，在ABC中，AB AC，BD是ABC的角平分线，EF 是BD的中垂线，且分别交BC于点E ，交AB于点F，交BD于点K ，连接DE、DF .1）求证：DE// AB；2）若CD 3，求四边形BEDF 的周长.21．（10 分）中华鲟是国家一级保护动物，它是大型洄游性鱼类，生在长江，长在海洋，受生态环境的影响，数量逐年下降，中华鲟研究所每年定期通过人工养殖放流来增加中华鲟的数量，每年放流的中华鲟中有少束体内安装了长效声纳标记，便于检测它们从长江到海洋的适应情况，这部分中华鲟简称为“声纳鲟” ，研究所收集了它们到达下游监测点A的时间t h的相关数据，并制作如下不完整统计图和统计表.已知，今年和去年分别有20 尾“声纳鲟”在放流的96小时内到达监测点 A ，今年落在24 t 48 内的“声纳鲟”比去年多1尾，今年落在48 t 72内的数据分别为49，60，68，68，71.关于“声纳鲟”到达监测点 A 所用时间t h 的统计表平均数中位数众数方差去年 64.2 6873 715.6 今年56.2a68629.7（1）请补全频数分布直方图，并根据以上信息填空： a .（2）中华鲟到达海洋的时间越快，说明他从长江到海洋的适应情况就越好，根据上述信息， 选择一个统计量说明去年和今年哪一年中华鲟从长江到海洋的适应情况更好；（3）去年和今年该放流点共放流 1300尾中华鲟，其中”声纳鲟“共有 50 尾，请估计今年和 去年在放流 72 小时内共有多少尾中华鲟通过监测点 A.22．（10 分）已知函数 y 1 ，请根据已学知识探究该函数的图像和性质过程如下：x21）该函数的自变量的取值范围为2）下表列出 y 与 x 的几组对应值，请在平面直角坐标系中描出下列各点，并画出图像：②横纵坐标均为整数的点称为整点，若直线y x b 的图像与该图像相交形成的封闭图 形（包含边界）内刚好有 6个整点，则 b 的取 值范围为 .23．（10分）如图1，抛物线 y x 2 bx c 与x 轴交x8 1 3 1 1 12 4 31 49 449 4 y3212 13 232 75（3）结合所画函数图象，解决下列问题：①写出该函数的一条性质：于点A、点B，与y轴交于点 C 0，3 ，对称轴为直线x 1，交x轴于点 D ，顶点为点 E.（1）求该抛物线的解析式；（2）连接AC 、CE、AE ，求ACE的面积；（3）如图2，点F 在y轴上，且OF 2 ，点N是抛物线在第一象限内一动点，且在抛物线对称轴的右侧，连接ON交对称轴于点G，连接GF ，若GF 平分OGE ，求点N的坐标.时指数首次排全国榜首，为此，交管部门在A、B 两拥堵路段进行调研；A路段平峰时汽车通行平均时速为45千米/ 时，B 路段平峰时汽车通行平均时速为50千米/ 时，平峰时A路段通行时间是B路段通行时间的5倍，且A路段比B路段长1千米.3（1）分别求平峰时A、 B 两路段的通行时间；（2）第二季度大数据显示：在高峰时， A 路段的拥堵延时指数为 2 ，每分钟有150辆汽车进入该路段；B路段的拥堵延时指数为 1.8，每分钟有125辆汽车进入该路段.第三季度，交管部门采用了智能红绿灯和潮汐车道的方式整治，拥堵状况明显改善，在高峰时， A 路段拥堵延65时指数下降了a% ，每分钟进入该路段的车辆增加了6a%；B 路段拥堵延时指数下降了5a% ，59 每分钟进入该路段的车辆增加了a辆. 这样，整治后每分钟分别进入两路段的车辆通24 ．10 分）一段路的拥堵延时指数计算公式为：拥堵延时指数高峰时段通过该路段的平峰时段通过该路段的时间时间，指数越大，道路越堵，高德大数据显示第二季度重庆拥堵延过这两路1 段所用时间总和，比整治前每分钟分别进入两路段的车辆通过这两路段所用时间总和多1 a50 小时，求 a 的值.25．（10 分）如图，点E为□ ABCD中一点，EA ED，AED 90 ，点F ，G分别为AB，BC上的点，连接DF ，AG ，AD AG DF ，且AG DF 于点H ，连接EG ，DG ，延长AB，DG 相交于点P.（1）若AH 6，FH 2 ，求AE 的长；（2）求证：P 45 ；（3）若DG 2PG ，求证：AGE EDG .26．（8分）对于平面直角坐标系中的两个图形K1和K2，给出如下定义：点G为图形K1上任意一点，点H为图形K2上任意一点，如果G，H 两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形K1和K 2的“近距离” .如图1，已知ABC, A 1, 8 ，B 9,2 ，C 1,2 ，边长为2的正方形PQMN ，对角线NQ 平行于x轴或落在x 轴上.（1）填空：①原点O与线段BC 的“近距离”为；②如图1，正方形PQMN 在ABC内，中心O'的坐标为m,0 ，若正方形PQMN 与ABC的边界的“近距离” 1，则m的取值范围为；（2）已知抛物线 C : y 1 x23x a，且 1 x 9 ，若抛物线 C 与ABC的“近距离”为1，4求 a 的值；（ 3 ）如图 2 ，已知点 D 为线段AB 上一点，且 D 5, 2 ，将ABC 绕点 A 顺时针旋转0 180 ，将旋转中的ABC记为AB'C'，连接DB'，点 E 为DB '的中点，当正方形PQMN 中心O'坐标为5, 6 ，直接写出在整个旋转过程中点 E 运动形成的图形与正方形PQMN 的“近距离” .11。

重庆市南开中学九年级上册期末精选试卷检测题一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，求t的值；（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t 47758．【解析】【分析】（1）先求出△ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，列出方程、解方程即可解答；（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.【详解】（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴S△ABC＝12×6×6＝18，∵AP＝t，CP＝6﹣t，∴△PBC与△PAD的面积和＝12t2+12×6×（6﹣t），∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，∴12t2+12×6×（6﹣t）＝18×79，解之，得t1＝2，t2＝4；（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，∴PQ＝2t，①如图1，当0≤t≤2时，S＝（2t）2﹣12t2＝72t2＝8，解得：t1＝477，t2＝﹣477（不合题意，舍去），②如图2，当2≤t≤3时，S＝12×6×6﹣12t2﹣12（6﹣2t）2＝12t﹣25t2＝8，解得：t1＝4（不合题意，舍去），t2＝45（不合题意，舍去），③如图3，当3≤t≤6时，S＝126×6﹣12t2＝8，解得：t1＝25，t2＝﹣25（不合题意，舍去），综上，t的值为477或25时，重叠面积为8．【点睛】本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.2．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是20%；（2）到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率；（2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几.【详解】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x，()2517.2x +=，解得，10.2x =，2 2.2x =-（舍去），答：这两年藏书的年均增长率是20%；（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有()7.2520%0.44-⨯=（万册）， 到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：5 5.6%0.44100%10%7.2⨯+⨯=， 答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题.3．有n 个方程：x 2+2x ﹣8=0；x 2+2×2x ﹣8×22=0；…x 2+2nx ﹣8n 2=0．小静同学解第一个方程x 2+2x ﹣8=0的步骤为：“①x 2+2x=8；②x 2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x 1=4，x 2=﹣2．” （1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．（2）用配方法解第n 个方程x 2+2nx ﹣8n 2=0．（用含有n 的式子表示方程的根）【答案】（1）⑤；（2）x 1=2n ，x 2=﹣4n ．【解析】【分析】（1）根据移项要变号，可判断；（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解.【详解】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，故答案为⑤；（2）x 2+2nx ﹣8n 2=0，x 2+2nx=8n 2，x 2+2nx+n 2=8n 2+n 2，（x+n ）2=9n 2，x+n=±3n ，x 1=2n ，x 2=﹣4n ．4．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A ，B 两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表： A 型销售数量（台）B 型销售数量（台） 总利润（元） 5 10 2 000（1）每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；（3）已知A型空气净化器的净化能力为300 m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200 m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为200 m２，室内墙高3 m．该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，至少要购买A型空气净化器多少台？【答案】（1）每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元；（2）为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台；（3）至少要购买A型空气净化器2台.【解析】解：（1）设每台A型空气净化器的利润为x元，每台B型空气净化器的利润为y元，根据题意得：5102000,200, {{ 1052500.100. x y xx y y+==+==解得答：每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元. （2）设购买A型空气净化器m台，则购买B型空气净化器（100﹣m）台，∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，∴100-m≥2m，解得：m≤100. 3设销售完这100台空气净化器后的总利润为W元.根据题意，得W=200m+100（100﹣m）=100m+10000.∵要使W最大，m需最大，∴当m=33时，总利润最大，最大利润为W：100×33+10000=13300（元）.此时100﹣m=67.答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台.（3）设应购买A型空气净化器a台，则购买B型空气净化器（5﹣a）台，根据题意得：12[300a+200(5-a)]≥200×3.解得：a≥2.∴至少要购买A型空气净化器2台.5．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P2﹣1，2）；②P（﹣32，154）【解析】试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x=-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；②ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c=++与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为1x=-，∴{312a b ccba++==-=-，解得：1{23abc=-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x=--+=2(1)4x-++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x=--+=，解得3x=-或1x=，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在223y x x=--+上，∴设点P（x，223x x--+），①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即2232y x x=--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P（21-，2）；②设P(x，y)，则223y x x=--+，∵ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x⨯⨯⨯+++-=333222x y-+=2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．已知函数2266()22()x ax a x a y x ax a x a ⎧-+>=⎨-++≤⎩（a 为常数，此函数的图象为G ） （1）当a ＝1时，①直接写出图象G 对应的函数表达式②当y=-1时，求图象G 上对应的点的坐标（2）当x >a 时，图象G 与坐标轴有两个交点，求a 的取值范围 （3）当图象G 上有三个点到x 轴的距离为1时，直接写出a 的取值范围【答案】（1）①2266(1)22(1)x x x y x x x ⎧-+>=⎨-++≤⎩，②(1,1),(32,1),(32,1)--+--；（2）0a <或2635a <<；（3）314125a --<，1153a <<，1123a <<-【解析】【分析】（1）①将1a =代入函数解析式中即可求出结论；②分1x >和1x ≤两种情况，将y=-1分别代入求出x 的值即可；（2）根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可；（3）先求出266y x ax a =-+的对称轴为直线6321a x a -=-=⨯，顶点坐标为()23,96a a a -+，222y x ax a =-++的对称轴为直线()221a x a =-=⨯-，顶点坐标为()2,2a a a +，然后根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可．【详解】（1）①1a =时，2266(1)22(1)x x x y x x x ⎧-+>=⎨-++≤⎩②当1x >时，2661x x -+=-2670x x -+=1233x x ==当1x ≤时，2221x x -++=-2230x x --=121,3x x =-=（舍）∴坐标为(1,1),(31),(31)----（2）当0a <时266()y x ax a x a =-+>与y 轴交点坐标(0,6)a ，266y x ax a =-+对称轴为直线6321a x a -=-=⨯，过点(1,1) ∴x ＞a ＞3a ，此时图像G 与坐标轴有两个交点（与x 轴一个交点，与y 轴一个交点） 当0a ≥时，266()y x ax a x a =-+>的图像与y 轴无交点顶点坐标为()23,96a a a -+当x a =时，256y a a =-+＞0①，且2960a a -+<②时，此时图像G 与x 轴有两个交点 将①的两边同时除以a ，解得65a <； 将②的两边同时除以a ，解得23a >∴2635a << 即当2635a <<时，图像G 与坐标轴有两个交点， 综上，0a <或2635a << （3）266y x ax a =-+的对称轴为直线6321a x a -=-=⨯，顶点坐标为()23,96a a a -+222y x ax a =-++的对称轴为直线()221a x a =-=⨯-，顶点坐标为()2,2a a a + ①当a ＜0时， ()222y x ax a x a =-++≤中，当x=a 时，y 的最大值为22a a +由()210a +≥可得221a a +≥-，即此图象必有一个点到x 轴的距离为1而()266y x ax a x a =-+>必过（1,1），即此图象必有一个点到x 轴的距离为1，此时x ＞3a ，y ＞225666a a a a a a ⋅+=-+-当2221561a a a a ⎧+<⎨-+<-⎩时，()222y x ax a x a =-++≤与x 轴只有一个交点，()266y x ax a x a =-+>与x 轴有两个交点解得：315a --<； 当2221561a a a a ⎧+>⎨-+>-⎩时，()222y x ax a x a =-++≤与x 轴有两个交点，()266y x ax a x a =-+>与x 轴有一个交点解得：315a +-+<<，与前提条件a ＜0不符，故舍去； ②当a ≥0时， ()222y x ax a x a =-++≤中，当x=a 时，y 的最大值为22a a +，必过点（-1，-1），即此图象必有一个点到x 轴的距离为1而()266y x ax a x a =-+>，此时当x=3a 时，y 的最小值为296a a -+，由()2310a --≤可得2961a a -+≤，即此图象必有一个点到x 轴的距离为1当222221561961961a a a a a a a a ⎧+<⎪-+>⎪⎨-+>-⎪⎪-+≠⎩时，()222y x ax a x a =-++≤与x 轴只有一个交点，()266y x ax a x a =-+>与x 轴有两个交点解得：115a <<-+且13a ≠； 当222221561961961a a a a a a a a ⎧+<⎪-+<⎪⎨-+<-⎪⎪-+≠⎩时，()222y x ax a x a =-++≤与x 轴只有一个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有两个交点此不等式无解，故舍去；当222221561961961a aa aa aa a⎧+>⎪-+<⎪⎨-+>-⎪⎪-+≠⎩时，()222y x ax a x a=-++≤与x轴有两个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有一个交点此不等式无解，故舍去；综上：315a--<或1153a<<或113a<<-【点睛】此题考查的是二次函数的性质和分段函数的应用，此题难度较大，掌握二次函数的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．7．在平面直角坐标系中，点(),p tq与(),q tp()0t≠称为一对泛对称点．（1）若点()1,2，()3,a是一对泛对称点，求a的值；（2）若P，Q是第一象限的一对泛对称点，过点P作PA x⊥轴于点A，过点Q作QB y⊥轴于点B，线段PA，QB交于点C，连接AB，PQ，判断直线AB与PQ的位置关系，并说明理由；（3）抛物线2y ax bx c=++()0a＜交y轴于点D，过点D作x轴的平行线交此抛物线于点M（不与点D重合），过点M的直线y ax m=+与此抛物线交于另一点N．对于任意满足条件的实数b，是否都存在M，N是一对泛对称点的情形？若是，请说明理由，并对所有的泛对称点(),M MM x y，(),N NN x y探究当My＞Ny时Mx的取值范围；若不是，请说明理由．【答案】（1）23；（2）AB∥PQ，见解析；（3）对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M(x M，y M)，N(x N，y N)，当y M＞y N时，x M的取值范围是x M＜1且x M≠0【解析】【分析】（1）利用泛对称点得定义求出t的值，即可求出a.（2）设P，Q两点的坐标分别为P（p,tq），Q（q,tp），根据题干条件得到A（p,0），B （0,tp），C（p,tp）的坐标，利用二元一次方程组证出k1=k2，所以AB∥PQ.（3）由二次函数与x轴交点的特征，得到D点的坐标；然后利用二次函数与一元二次方程的关系，使用求根公式即可得到答案.【详解】（1）解：因为点（1，2），（3，a）是一对泛对称点，设3t＝2解得t＝23所以a＝t×1＝23（2）解：设P，Q两点的坐标分别为P（p,tq），Q（q,tp），其中0＜p＜q，t＞0.因为PA⊥x轴于点A，QB⊥y轴于点B，线段PA，QB交于点C，所以点A，B，C的坐标分别为：A（p,0），B（0,tp），C（p,tp）设直线AB，PQ的解析式分别为：y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2，其中k1k2≠0.分别将点A（p,0），B（0,tp）代入y＝k1x＋b1，得111pk b tpb tp+=⎧⎨=⎩. 解得11k tb tp=-⎧⎨=⎩分别将点P（p,tq），Q（q,tp）代入y＝k2x＋b2，得2222pk b tpqk b tp+=⎧⎨+=⎩. 解得22k tb tp tp=-⎧⎨=+⎩所以k1＝k2.所以AB∥PQ（3）解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）交y轴于点D，所以点D的坐标为（0,c）.因为DM∥x轴，所以点M的坐标为（x M,c），又因为点M在抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）上.可得ax M 2＋bx M＋c＝c，即x M（ax M＋b）＝0.解得x M＝0或x M＝－ba.因为点M不与点D重合，即x M≠0，也即b≠0，所以点M的坐标为（－ba,c）因为直线y＝ax＋m经过点M，将点M（－ba,c）代入直线y＝ax＋m可得，a·（－ba）＋m＝c.化简得m＝b＋c所以直线解析式为：y＝ax＋b＋c.因为抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝ax＋b＋c交于另一点N，由ax2＋bx＋c＝ax＋b＋c，可得ax2＋（b－a）x－b＝0.因为△＝（b－a）2＋4ab＝（a＋b）2，解得x1＝－ba，x2＝1.即x M＝－ba，x N＝1，且－ba≠1，也即a＋b≠0.所以点N的坐标为（1,a＋b＋c）要使M（－ba,c）与N（1,a＋b＋c）是一对泛对称点，则需c＝t ×1且a＋b＋c＝t ×（－ba ）.也即a＋b＋c＝（－ba ）·c也即（a＋b）·a＝－（a＋b）·c.因为a＋b≠0，所以当a＝－c时，M，N是一对泛对称点.因此对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形.此时点M的坐标为（－ba,－a），点N的坐标为（1,b）.所以M，N两点都在函数y＝bx（b≠0）的图象上.因为a＜0，所以当b＞0时，点M，N都在第一象限，此时 y随x的增大而减小，所以当y M＞y N时，0＜x M＜1；当b＜0时，点M在第二象限，点N在第四象限，满足y M＞y N，此时x M＜0.综上，对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M（x M,y M），N（x N,y N），当y M＞y N时，x M的取值范围是x M＜1且x M≠0.【点睛】本题主要考察了新定义问题，读懂题意是是做题的关键；主要考察了二元一次方程组，二次函数、一元二次方程知识点的综合，把握题干信息，熟练运用知识点是解题的核心.8．如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在．P（﹣34，1916）．（3）1539(,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M【解析】【分析】（1）将A,B,C三点代入y＝ax2+bx+4求出a,b,c值，即可确定表达式；（2）在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，构建△DCB≌△GCB，求直线BG的解析式，再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点，（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.【详解】解：如图：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．∴4016440a ba b-+=⎧⎨++=⎩解得13ab=-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）存在．理由如下：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣32）2+254．∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．连接CD，∴CD∥x轴，∴∠DCB＝∠OBC＝45°，∴∠DCB＝∠OCB，在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，∴△DCB≌△GCB（SAS）∴∠DBC＝∠GBC．设直线BP解析式为y BP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得k＝﹣14，b＝1，∴BP解析式为y BP＝﹣14x+1．y BP＝﹣14x+1，y＝﹣x2+3x+4当y＝y BP时，﹣14x+1＝﹣x2+3x+4，解得x1＝﹣34，x2＝4（舍去），∴y＝1916，∴P（﹣34，1916）．（3）1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M理由如下，如图B(4，0),C(0，4) ，抛物线对称轴为直线32x=，设N(32，n)，M(m, ﹣m2+3m+4)第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN∥BC,MN=BC,∴4-32=0-m，∴m=52-∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴1539 (,)24M--；或∴0-32=4-m，∴m=11 2∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴21139 (,) 24M-；第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2)，∴322 2m∴m=5 2∴﹣m2+3m+4=21 4∴3521 (,) 24M综上所述，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M.【点睛】本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.9．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A 在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A(-1,0) ，B(2,3)（2）△ABP最大面积s=1927322288⨯=; P（12，﹣34）（3）存在；25【解析】【分析】（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1，然后解方程组211y xy x⎧=⎨=+⎩﹣即可；（2）设P（x，x2﹣1）．过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1），所以利用S△ABP=S△PFA+S△PFB，，用含x的代数式表示为S△ABP=﹣x2+x+2，配方或用公式确定顶点坐标即可．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，用k分别表示点E的坐标，点F的坐标，以及点C的坐标，然后在Rt△EOF中，由勾股定理表示出EF的长，假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，设点N为OC中点，连接NQ，根据条件证明△EQN∽△EOF，然后根据性质对应边成比例，可得关于k的方程，解方程即可.【详解】解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A （﹣1，0），B （2，3）．（2）设P （x ，x 2﹣1）．如答图2所示，过点P 作PF ∥y 轴，交直线AB 于点F ，则F （x ，x+1）．∴PF=y F ﹣y P =（x+1）﹣（x 2﹣1）=﹣x 2+x+2．S △ABP =S △PFA +S △PFB =PF （xF ﹣xA ）+PF （xB ﹣xF ）=PF （xB ﹣xA ）=PF∴S △ABP=（﹣x 2+x+2）=﹣（x ﹣12）2+278 当x=12时，yP=x 2﹣1=﹣34． ∴△ABP 面积最大值为，此时点P 坐标为（12，﹣34）． （3）设直线AB ：y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，则E （﹣1k ，0），F （0，1），OE=1k，OF=1． 在Rt △EOF 中，由勾股定理得：EF=22111=k k +⎛⎫+ ⎪⎝⎭．令y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k=0，即（x+k ）（x ﹣1）=0，解得：x=﹣k 或x=1．∴C （﹣k ，0），OC=k ．假设存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，如答图3所示，则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°． 设点N 为OC 中点，连接NQ ，则NQ ⊥EF ，NQ=CN=ON=2k ．∴EN=OE﹣ON=1k﹣2k．∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN∽△EOF，∴NQ ENOF EF=，即：1221kkkk-=，解得：k=±25，∵k＞0，∴k=25．∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=25．考点：1.二次函数的性质及其应用；2.圆的性质；3.相似三角形的判定与性质.10．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数2y ax bx c=++（其中a、b、c 是常数，且a≠0）的图像经过点A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0），联结AB、AC．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果:3:2ABD BCDS S∆∆=，求tan∠DBC的值；（3）如果点E在该二次函数图像的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．【答案】（1）243y x x=-+-；（2）32；（3）E（2，73-）【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，把A、B、C三点代入解析式，即可得到答案；（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，利用面积的比得到32ADDC=，然后求出DH和BH，即可得到答案；（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，先证明△OAB∽△OFA，求出点F的坐标，然后求出直线AF的方程，即可求出点E的坐标.【详解】解：（1）将A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入20y ax bx c a=++≠（）得，03,0934,300a ba bc=+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x=-+-．（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，则11:():():3:222ABD BCDS S AD h DC h AD DC∆∆=⋅⋅==，又∵DH//y轴，∴25CH DC DHOC AC OA===．∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，∴△CDH为等腰直角三角形，∴26355CH DH==⨯=．∴64255BH BC CH=-=-=．∴tan∠DBC=32DHBH=.（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC-∠BAC=45°-∠BAC，∠OFA=∠OCA-∠FAC=45°-∠FAC，∵∠BAC=∠FAC，∴∠OAB=∠OFA．∴△OAB∽△OFA，∴13 OB OAOA OF==．∴OF=9，即F（9，0）；设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），可得093k bb=+⎧⎨-=⎩，解得133kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AF的解析式为：133y x=-，将x=2代入直线AF的解析式得：73y=-，∴E（2，73 -）.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为．（2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ；（3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；（3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AD，∴AD＝2BC＝12，∴△ABD的面积＝12AD•BC＝1212×6＝36，故答案为：36；（2）如图，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，∴∠H＝∠C＝90°，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ＝PB，∠BPQ＝90°，∴∠HPQ+∠BPC＝∠QPH+∠PQH＝90°，∴∠PQH＝∠BPC，∴△PQH≌△BPC（AAS），∴PH＝BC，QH＝CP，∵AC＝BC，∴PH＝AC，∴CP＝AH，∴QH＝AH，∴∠HAQ＝45°，∵∠BAC＝45°，∴∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴AB⊥AQ；（3）如图，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，∵∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，∠BAC＝45°，∴∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，∴∠EAC＝30°，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，∵点C和点D关于AF对称，∴AD＝AC＝6，∵∠AND＝90°，∴DN＝12AD＝126＝3，∴CM+NM最小值为3．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出作辅助线构造全等三角形是解题的关键．12．我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=23，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．【答案】（1）①12；②4；（2）AD=12BC，证明见解析；（3）存在，证明见解析，39．【解析】【分析】（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=12AB′即可解决问题；②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；（2）结论：AD=12BC．如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M，首先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题；（3）存在．如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．想办法证明PA=PD，PB=PC，再证明∠APD+∠BPC=180°，即可；【详解】解：（1）①如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AB=AB′=AC′，∵DB′=DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=120°，∴∠B′=∠C′=30°，∴AD=12AB′=12BC，故答案为12．②如图3中，∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=∠BAC=90°，∵AB=AB′，AC=AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC=B′C′，∵B′D=DC′，∴AD=12B′C′=12BC=4，故答案为4．（2）结论：AD=12 BC．理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M∵B′D=DC′，AD=DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′=B′M=AC，∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°，∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC=AM，∴AD=1BC．2（3）存在．理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．∵∠ADC=150°，∴∠MDC=30°，在Rt△DCM中，∵3，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∴CM=2，DM=4，∠M=60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°，∴EM=1BM=7，2∴DE=EM﹣DM=3，∵AD=6，∴AE=DE，∵BE⊥AD，∴PA=PD，PB=PC，在Rt△CDF中，∵3CF=6，∴tan∠3∴∠CDF=60°=∠CPF，易证△FCP≌△CFD，∴CD=PF，∵CD∥PF，∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP=90°，∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠ADP=60°，∵∠BPF=∠CPF=60°，∴∠BPC=120°，∴∠APD+∠BPC=180°，∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，在Rt△PDN中，∵∠PDN=90°，PD=AD=6，DN=3，∴PN=2222++=39．DN PD=(3)6【点睛】本题考查四边形综合题．13．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，且BE=DF，点P是AF的中点，点Q是直线AC与EF的交点，连接PQ，PD．（1）求证：AC垂直平分EF；（2）试判断△PDQ的形状，并加以证明；（3）如图2，若将△CEF绕着点C旋转180°，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）△PDQ是等腰直角三角形；理由见解析（3）成立；理由见解析.【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，由BE=DF，得出CE=CF，△CEF是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明∠DPQ=90°，即可得出结论；（3）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明点A、F、Q、P四点共圆，由圆周角定理得出∠DPQ=2∠DAQ=90°，即可得出结论．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，∵BE=DF，∴CE=CF，∴AC垂直平分EF；（2）解：△PDQ是等腰直角三角形；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∴∠DAP=∠ADP，∵AC垂直平分EF，∴∠AQF=90°，∴PQ=AF=PA，∴∠PAQ=∠AQP，PD=PQ，∵∠DPF=∠PAD+∠ADP，∠QPF=∠PAQ+∠AQP，∴∠DPQ=2∠PAD+2∠PAQ=2（∠PAD+∠PAQ）=2×45°=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形；（3）成立；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∵BE=DF，BC=CD，∠FCQ=∠ACD=45°，∠ECQ=∠ACB=45°，∴CE=CF，∠FCQ=∠ECQ，∴CQ⊥EF，∠AQF=90°，∴PQ=AF=AP=PF，∴PD=PQ=AP=PF，∴点A、F、Q、P四点共圆，∴∠DPQ=2∠DAQ=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形．考点：四边形综合题．14．(1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为 .(2)拓展探究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.(3)解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.【答案】(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．22．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），得AD=BE ，∠EBC=∠CAD ，延长BE 交AD 于点F ，由垂直定义得AD ⊥BE ．（2）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，由垂直定义得∠OHB=90°，AD ⊥BE ；（3）作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，PC=BE ，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE ；当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE ，故5-32≤BE≤5+32.【详解】（1）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图1中，∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠EBC=∠CAD延长BE 交AD 于点F ，∵BC ⊥AD ，∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF ，∴∠EAD+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即AD ⊥BE ．∴AD=BE ，AD ⊥BE ．故答案为AD=BE ，AD ⊥BE ．（2）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图2中，设AD 交BE 于H ，AD 交BC 于O ．∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∴ACD=∠BCE ，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH ，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，∴AD ⊥BE ，∴AD=BE ，AD ⊥BE ．（3）如图3中，作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，∴PC=BE ，图3-1中，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值2，图3-2中，当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值2，∴22，即22【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．15．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点B（0，6），把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′B′O′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．（1）如图1，若α=90°，则AB= ，并求AA′的长；（2）如图2，若α=120°，求点O′的坐标；（3）在（2）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，直接写出点P′的坐标．【答案】（1）10，102；（2）（33，9）；（3）123545（，）【解析】试题分析：(1)、如图①，先利用勾股定理计算出AB=5，再根据旋转的性质得BA=BA′，∠ABA′=90°，则可判定△ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长；(2)、作O′H⊥y轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO=BO′=3，∠OBO′=120°，则∠HBO′=60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长，然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标；(3)、由旋转的性质得BP=BP′，则O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，易得O′P+BP=O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y=x﹣3，从而得到P（，0），则O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，然后确定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D 和DO′的长，从而可得到P′点的坐标．试题解析：(1)、如图①，∵点A（4，0），点B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′，∴BA=BA′，∠ABA′=90°，∴△ABA′为等腰直角三角形，∴AA′=BA=5；(2)、作O′H⊥y轴于H，如图②，∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，∴∠HBO′=60°，在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，∴BH=BO′=，O′H=BH=，∴OH=OB+BH=3+，∴O′点的坐标为（）；（3）∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′，∴BP=BP′，∴O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，。

上学期期末考试九 年 级 数 学 试 卷（本卷共五个大题，满分150分，考试时间 120分钟）案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后对应的表格中. 1.下列四个数中的无理数是( )A.3.14B.3-C.4-D.722 2.下列计算正确的是( ) A.4624=÷ B.623=⨯ C.4334=- D.532=+3.方程032=-x x 解是 ( )A. 0或3B. 3C.0D.0或3- 4. 抛物线22(3)4y x =-+-的顶点坐标是( )A.(-3, -4)B.(-3, 4)C.(3, -4)D.(-4, 3)5．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）6．如图，AB 是圆O 的直径，点D 在AB 的延长线上，射线DC 切圆O 于点C ，若25A =o∠．则D ∠等于 ( )A ．60°B ．50°C ．40°D ．45° 7.用配方法解方程01422=+-x x ，则方程可变为（ ） A.()2122=-x B.31)1(22=-x C.()1122=-x D.()2112=-x 8.已知两圆的半径1r ，2r 分别是方程01072=+-x x 的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）题号 一 二 三 四 五 总分 总分人 得分学校_________________ 班级_________________ 姓名________________ 考号____________________________ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．装．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．订．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．线．．．．．．．．．．．．．．．．．． ×××××××××××××××××××××××密封线内不能答题××××××××××××××××××××××××__________________________________________________________________________________________________________________A. 相交B.内切C.外切D.外离9.彩虹暖手器原价每个100元，随着天气变冷，买的人增多，商场经过连续两次加价a %后售价是每个121元，以下列方程正确的是 ( )A. ()121%11002=-a B. ()121%11002=+aC. ()121%211002=-a D.()121110022=-a10.为提倡低碳生活，小凯坚持骑车上学，有一天，小凯开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下列行驶路程s 关于时间t 的函数图象中，符合小凯行驶情况的大致图象是（ ）11．如图是由正三角形、正方形及正六边形组成的图案． 按此规律，第16个图案中，正三角形的个数为（ ）A ．82B ．72C ．83D ．7312. 已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，给出以下结论：①2b ＞ac 4；②abc ＞0；③02=-b a ；④3ca ->；⑤cb a ++39＜0，其中结论正确有( )A. 2个B. 3个C. 4个D.5个题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题（每小题4分，共24分）请将答案填在题后的横线上. 13.要使2x -在实数范围内有意义，x 应满足的条件是 . 14.已知圆锥的底面半径为3，母线长为5 ，则圆锥的高是 . 15.若1x =是方程220x ax ++=的一个根，则其另一个根为 .16.如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA=3，那么图中阴影部分的面积为 .（结果保留π）17．现有5张正面分别标有数字2-，1-，0，l ，2的同种卡片，将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于x 的方程22(1)(3)0x a x a a --+-=有实根，且以x 为自变量的函数a ax x y 422+-=的顶点落在第一象限的概率是________． 18.如图，矩形ABCO 的边OC OA ,分别落在x 、y 轴上，点B 的坐标为B （320，5），D 是BC 边上一点．将COD ∆沿直线OD 翻折，使C 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图象上，则该函数的解析式是 ． 19.计算：()().16323121020142⨯-+---+⎪⎭⎫ ⎝⎛--π20.如图，方格中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC ∆的顶点均在格点上，点C 的坐标为(41)-，．①把ABC ∆向左平移6个单位得到对应的111A B C ∆，画出111A B C ∆，并写出1C 的坐标；②将111C B A ∆绕点O 顺时针旋转90°得到对应的222C B A ∆.写出点2C 的坐标.四、解答题(每小题10分,共40分）每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．21．先化简，再求值：1211222+-+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+x x x x x x x x ，其中x 为方程0822=--x x 的根.22.某商场将进货价为150元的中学生冬季运动服以200元售出时，平均每周能售出80件，调查表明：这种中学生冬季运动服的售价每上涨1元，其销售量就减少1件.(1)为了使平均每周有4200元的销售利润，这种运动服的售价应定为多少元？(2)4200元是否为最大利润？若是，请说出理由；若不是,求出最大利润,并指出此时运动服的售价为多少元？23.有传言说“明年中考体育将增加男生1000米女生800米为考查选项”，但市教委明确说,明年我市暂不实行.某中学初三数学兴趣小组随机抽查了若干名学生对“中考体育增加男生1000米女生800米”的态度：A. 反对；B.基本赞成；C.赞成；D. 无所谓，并将调查结果绘制成频数折线统计图1和不完整的扇形统计图2．请根据图中信息，解答下列问题：(1) 此次抽样调查中，共调查了多少名学生；(2) 求出图2中扇形C所对的圆心角的度数，并将图1补充完整；(3) 根据抽样调查结果，请你估计该校3000名学生中有多少名学生持反对态度；(4) 此次调查活动中，初三（1）班和（2）班各有2名学生对“中考体育增加男生1000米女生800米”持赞成态度，现从中选2名学生参加区冬运会，试用列表法或画树状图法求所选出的2人来自不同班级的概率.图1 图2DC=，24．如图，H是边长为4的正方形ABCD边AB上一点，N在DH上，且DN DHAG=．MN⊥交BC于点M，G点在BA延长线上，CM（1）求证：CDH ADH HDG ∠+∠=∠21； （2）若2=MN ，求DH 的长．五、解答题(每小题12分,共24分）每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤. 25.如图，抛物线c bx x y ++-=22过A （2,0）、C （0，4）两点. （1）分别求该抛物线和直线AC 的解析式;（2）横坐标为m 的点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，△APC 的面积为S . ①求S 与m 的函数关系式;②S 是否有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.（3）点M 是直线AC 上一动点，ME 垂直x 轴于E ，在y 轴（原点除外）上是否存在点F ，使MEF ∆为等腰直角三角形? 若存在,求出对应的点M F ,的坐标；若不存在，说明理由.26.如图1，菱形OABC 的边OA 在x 轴正半轴上，已知10=OA ，点)8,6(C ，动点P 从O点出发，以1个单位/秒的速度沿线段OA 运动，OA PQ ⊥交折线段CB OC -于Q ，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，当P 到达A 点时，运动结束.设点P 的运动时间为t 秒（t >0）. (1)点B 的坐标为 ，t = 时，点N 与A 重合;（2）整个运动过程中，设正方形PQMN 与菱形OABC 重合部分面积为S ，试写出S 与t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围;（3）如图2,在运动过程中,直线OB 将PQMN 分成两部分，问：是否存在t ，使得被分成的两部分中有一部分的面积是菱形面积的51.若存在，求对应的t 值；若不存在，说明理由.九年级数学答案一．选择题：1-5BBAAB,6-10CDCBC11-12AB 二．填空题：13.x ≥2 14. 4 15.2 16.2949-π 17.5218.x y 12=三．解答题19.解：原式=4+1-（2-3）+1×4…………………5分 =7+3…………………7分 20.C 1（-2，-1）C 2（-1,2）……………………2分画对三角形111C B A ……………………2分 画对三角形222C B A ……………………3分21.解：原式=[]121)1)(1(1222+-+÷--+--+x x xx x x x x x x =121)1(2222+-+÷---+x x xx x x x x=()1)1(112+-⨯-+x x x x x ……………………5分 =xx 1-……………………6分 0822=--x x解得：x 1=-2, x 2=4……………………8分当x=-2时，原式=x x 1-=23212=--- 当x=4时，原式=x x 1-=43414=-所以原式的值是23或43……………………8分 22.解（1）设这种中学生运动服的售价定为x 元，根据题意得： （x-150）[])200(80--x =4200……………………5分 解得：x 1=220，x 2=210答：这种中学生冬季运动服的售价定为220元或210元，平均每周有4200元的销售利润。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在矩形ABCD 中，B 的角平分线BE 与AD 交于点E ，BED ∠的角平分线EF 与DC 交于点F ，若7AB =，34DF FC =，则BC 的长为（ ）A ．721-B ．432+C ．225+D ．423+【答案】D 【分析】先延长EF 和BC ，交于点G ，再根据条件可以判断三角形ABE 为等腰直角三角形，并求得其斜边BE 的长，然后根据条件判断三角形BEG 为等腰三角形，最后根据△EFD ∽△GFC 得出CG 与DE 的倍数关系，并根据BG ＝BC ＋CG 进行计算即可．【详解】延长EF 和BC ，交于点G ，∵3DF ＝4FC ，∴34CF DF =， ∵矩形ABCD 中，∠ABC 的角平分线BE 与AD 交于点E ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝45°，∴AB ＝AE ＝7，∴直角三角形ABE 中，BE 227772+=又∵∠BED 的角平分线EF 与DC 交于点F ，∴∠BEG ＝∠DEF ，∵AD ∥BC ，∴∠G ＝∠DEF ，∴∠BEG ＝∠G ，∴BG ＝BE ＝72∵∠G ＝∠DEF ，∠EFD ＝∠GFC ，∴△EFD ∽△GFC ，∴34 CG CFDE DF==，设CG＝3x，DE＝4x，则AD＝7＋4x＝BC，∵BG＝BC＋CG，∴7＋4x＋3x＝72，解得x＝2−1，∴BC＝7＋4x＝7＋42−4＝3＋42，故选：D．【点睛】本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．2．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm，那么底角的余弦等于（）．A．513B．1213C．1013D．512【答案】A【分析】过顶点A作底边BC的垂线AD，垂足是D点，构造直角三角形．根据等腰三角形的性质，运用三角函数的定义，则可以求得底角的余弦cosB的值．【详解】解：如图，作AD⊥BC于D点．则CD=5cm，AB=AC=13cm．∴底角的余弦=513．故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质：等腰三角形顶角平分线、底边上的高，底边上的中线重合．3．抛物线y=（x+2）2﹣2的顶点坐标是（）A．（2，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（﹣2，﹣2）【答案】D【分析】根据二次函数的顶点式方程可以直接写出其顶点坐标．【详解】∵抛物线为y=（x+2）2﹣2，∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．故选D．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标的求法，掌握二次函数的顶点式y=a（x﹣h）2+k是解题的关键．4．如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．BA＝BC B．AC、BD互相平分C．AC＝BD D．AB∥CD【答案】B【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形为菱形．已知对角线AC、BD互相垂直，则需添加条件：AC、BD互相平分故选：B5．如图，等边三角形ABC的边长为5，D、E分别是边AB、AC上的点，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点F处，若BF＝2，则BD的长是（）A．2 B．3 C．218D．247【答案】C【分析】根据折叠得出∠DFE＝∠A＝60°，AD＝DF，AE＝EF，设BD＝x，AD＝DF＝5﹣x，求出∠DFB＝∠FEC，证△DBF∽△FCE，进而利用相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝5，∵沿DE折叠A落在BC边上的点F上，∴△ADE≌△FDE，∴∠DFE＝∠A＝60°，AD＝DF，AE＝EF，设BD＝x，AD＝DF＝5﹣x，CE＝y，AE＝5﹣y，∵BF＝2，BC＝5，∴CF＝3，∵∠C＝60°，∠DFE＝60°，∴∠EFC+∠FEC＝120°，∠DFB+∠EFC＝120°，∴∠DFB＝∠FEC，∵∠C＝∠B，∴△DBF∽△FCE，∴BD BF DFFC CE EF==，即2535x xy y-==-，解得：x＝218，即BD＝218，故选：C．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知折叠的性质、相似三角形的判定定理.6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝25°，则∠BOD等于（）A．70°B．65°C．50°D．45°【答案】C【分析】先根据垂径定理可得BC BD=，然后根据圆周角定理计算∠BOD的度数．【详解】解：∵弦CD⊥AB，∴BC BD=，∴∠BOD＝2∠CAB＝2×25°＝50°．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角定理和圆周角定理，熟悉掌握定义，灵活应用是解本题的关键7．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的m个小球，其中8个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球实验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，记下其颜色，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：摸球试验次数100 1000 5000 10000 50000 100000根据列表，可以估计出m 的值是（ ）A ．8B ．16C ．24D ．32【答案】C【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可．【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定于3332911000003≈， 由题意得：813=m ， 解得：m=24，故选：C ．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．8．若关于x 的方程kx 2﹣2x ﹣1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k ＞﹣1B ．k ＜1且k≠0C ．k≥﹣1且k≠0D ．k≥﹣1【答案】C【分析】根据根的判别式（240b ac =-≥△ ）即可求出答案．【详解】由题意可知：440k +≥△＝∴1k ≥-∵0k ≠∴1k ≥- 且0k ≠ ，故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式的应用，因为存在实数根，所以根的判别式成立，以此求出实数k 的取值范围． 9．下列图形中，是相似形的是（ ）A ．所有平行四边形B ．所有矩形C ．所有菱形D ．所有正方形 【答案】D【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似，依次分析各项即可判断.【详解】所有的平行四边形、矩形、菱形均不一定是相似多边形，而所有的正方形都是相似多边形，故选D.【点睛】本题是判定多边形相似的基础应用题，难度一般，学生只需熟练掌握特殊四边形的性质即可轻松完成. 10．如图所示是滨河公园中的两个物体一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序排列正确的是（ ）A ．(3)(4)(1)(2)B ．(4)(3)(1)(2)C ．(4)(3)(2)(1)D ．(2)(4)(3)(1)【答案】C 【解析】试题分析：根据平行投影的特点和规律可知，（3），（4）是上午，（1），（2）是下午，根据影子的长度可知先后为（4）（3）（2）（1）．故选C ．考点：平行投影．11．下列各组图形中，两个图形不一定是相似形的是（ ）A ．两个等边三角形B ．有一个角是100︒的两个等腰三角形C ．两个矩形D ．两个正方形 【答案】C【分析】根据相似图形的定义，以及等边三角形，等腰三角形，矩形，正方形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是60°，相等，所以一定相似，故A 正确； B 、有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似，故B 正确；C 、两个矩形，四个角都是直角，但四条边不一定对应成比例，不一定相似，故C 错误；D 、两个正方形，对应边的比相等，角都是90°，相等，所以一定相似，故D 正确．故选：C ．【点睛】本题考查了相似图形的判断，严格按照定义，对应边成比例，对应角相等进行判断即可，另外，熟悉等腰三角形，等边三角形，正方形的性质对解题也很关键．12．已知一元二次方程的一般式为20(a 0)++=≠ax bx c ，则一元二次方程x 2－5＝0中b 的值为（ ） A ．1B ．0C ．－5D ．5【答案】B【分析】对照一元二次方程的一般形式，根据没有项的系数为0求解即可．【详解】∵一元二次方程的一般式为20(a 0)++=≠ax bx c ，对于一元二次方程x 2－5＝0中没有一次项，故b 的值为0，故选：B ．【点睛】此题主要考查对一元二次方程的一般形式的认识，掌握住各项系数是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为_____. 【答案】2π3 【解析】根据弧长公式可得：602180π⨯⨯=23π， 故答案为23π. 14．一元二次方程()()320x x --=的根是_____．【答案】123,2==x x【分析】利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可．【详解】解：30x -=或20x -=，所以123,2==x x ．故答案为123,2==x x ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．15．如图，在矩形ABCD 中对角线AC 与BD 相交于点O ，CE BD ⊥，垂足为点, 5E CE =，且2EO DE =，则AD 的长为___________.【答案】56【分析】由矩形的性质可得OC ＝OD ，于是设DE ＝x ，则OE ＝2x ，OD ＝OC ＝3x ，然后在Rt △OCE 中，根据勾股定理即可得到关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进而可得CD 的长，易证△ADC ∽△CED ，然后利用相似三角形的性质即可求出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝90°，BD ＝AC ，OD ＝12BD ，OC ＝12AC ，∴OC ＝OD ， ∵EO ＝2DE ，∴设DE ＝x ，则OE ＝2x ，∴OD ＝OC ＝3x ，∵CE ⊥BD ，∴∠DEC ＝∠OEC ＝90°，在Rt △OCE 中，∵OE 2+CE 2＝OC 2，∴（2x ）2+52＝（3x ）2，解得：x ＝5，即DE ＝5，∴()22225530CD CE DE =+=+=，∵∠ADE+∠CDE=90°，∠ECD+∠CDE=90°，∴∠ADE=∠ECD ，又∵∠ADC=∠CED=90°，∴△ADC ∽△CED ，∴AD CE CD DE=，即305=，解得：56AD =． 故答案为：56．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．16．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 绕顶点A 逆时针旋转80°后得到△AB′C′，则∠CAB′的度数为_____．【答案】125°【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB ＝45°，根据旋转的性质得到∠BAB′＝80°，结合图形计算即可．【详解】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，由旋转的性质可知，∠BAB′＝80°，∴∠CAB′＝∠CAB+∠BAB′＝125°，故答案为：125°．【点睛】本题考查旋转的性质,关键在于熟练掌握基础性质.17．如图，ABC 中，//DE BC ，且:2:5AD DB =，4DE =，则BC =___________【答案】1【分析】由//DE BC 及:2:5AD DB =，得27AD AB =，再证△ADE ∽△ABC ，推出DE AD BC AB =，代入值，即可求出BC ．【详解】解：∵//DE BC ,:2:5AD DB =，∴27AD AD AB AD BD ==+ ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴27DE AD BC AB ==， ∵4DE =， ∴427BC =，则BC=1， 故答案为：1．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的对应边的比相等．18．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，且∠DBA=∠C ，若AD=2cm ，AB=4cm ，那么CD 的长等于________cm ．【答案】1【解析】由条件可证得△ABC ∽△ADB ，可得到AD AB =AB AC，从而可求得AC 的长，最后计算CD 的长． 【详解】∵∠DBA =∠C ，∠A 是公共角，∴△ABC ∽△ADB ，∴AD AB =AB AC ，即24=4AC ，解得：AC =8，∴CD =8﹣2=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握利用两组角对应相等可判定两个三角形相似是解题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．（1）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请你写出y与x的之间的函数关系式，并注明x的取值范围；（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大；最大利润是多少．（注：销售利润=销售收入－购进成本）【答案】(1) y=-100x2+600x+5500（0≤x≤11）；(2)每件商品销售价是10.5元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是6400元．【分析】（1）根据等量关系“利润=（13.5-降价-进价）×（500+100×降价）”列出函数关系式；（2）根据（1）中的函数关系式求得利润最大值．【详解】解：（1）设降价x元时利润最大．依题意：y＝(13.5－x－2.5)(500＋100x) ＝100(－x2＋6x＋55) = -100x2+600x+5500整理得：y=-100（x-3）2+6400（0≤x≤11）；（2）由（1）可知，∵a=-100＜0，∴当x=3时y取最大值，最大值是6400，即降价3元时利润最大，∴销售单价为10.5元时，最大利润6400元．答：销售单价为10.5元时利润最大，最大利润为6400元．【点睛】本题考查的是函数关系式的求法以及最值的求法．20．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行60米到达C 处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AD的长度．（测角仪高度忽略不计）【答案】3031)米【解析】设AD＝xm，在Rt△ACD中，根据正切的概念用x表示出CD，在Rt△ABD中，根据正切的概念列出方程求出x的值即可．【详解】由题意得，∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，BC＝60m，设AD ＝xm ，在Rt △ACD 中，∵tan ∠ACD ＝AD CD， ∴CD ＝AD ＝x ，∴BD ＝BC+CD ＝x+60，在Rt △ABD 中，∵tan ∠ABD ＝AD BD，∴60)x x =+，∴1)x =米，答：山高AD 为301)米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21．某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件，如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫售价应定为多少元？（1）设提价了x 元，则这种衬衫的售价为___________元，销售量为____________件.（2）列方程完成本题的解答.【答案】（1）(60x)+，(80020)x -；（2）（60＋x−50）（800−1x ）＝1100，2，见解析【分析】（1）根据销售价等于原售价加上提价，销售量等于原销售量减去减少量即可；（2）根据销售利润等于单件的利润乘以销售量即可解答．【详解】（1）设这种衬衫应提价x 元，则这种衬衫的销售价为（60＋x ）元，销售量为（800−1005x ）＝（800−1x ）件． 故答案为（60＋x ）;（800−1x ）．（2）根据（1）得：（60＋x−50）（800−1x ）＝1100整理，得x 2−30x ＋10＝0解得：x 1＝10，x 2＝1．为使顾客获得更多的优惠，所以x ＝10，60＋x ＝2．答：这种衬衫应提价10元，则这种衬衫的销售价为2元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的关系式．22．已知，如图，△ABC 中，AD 是中线，且CD 2＝BE·BA．求证：ED·AB＝AD·BD．【答案】证明见解析【解析】试题分析：由AD 是中线以及CD 2＝BE·BA 可得BE BD BD AB =，从而可得△BED ∽△BDA ，根据相似三角形的性质问题得证.试题解析：∵AD 是中线，∴BD ＝CD ，又CD 2＝BE·BA ， ∴BD 2＝BE·BA ，即BE BD BD AB = ， 又∠B＝∠B，∴△BED ∽△BDA ，∴ED BD AD AB=， ∴ED·AB ＝AD·BD.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得到△BED ∽△BDA 是解决本题的关键. 23．如图，AB 是O 的直径，,C D 是圆上的两点，且20BAC =︒∠，AD CD =.（1）求ABC ∠的度数；（2）求ACD ∠的度数.【答案】（1）70︒；（2）35︒.【分析】（1）根据AB 是⊙O 直径，得出∠ACB=90°，进而得出∠B=70°；（2）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，得到圆心角∠AOC 的度数，根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，可求出∠ACD 的度数．【详解】（1）∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90︒，∵∠BAC=20︒，∴∠ABC=70︒，（2）连接OC，OD，如图所示：∴∠AOC =2∠ABC =140︒，∵AD CD=，∴∠COD=∠AOD=1AOC702∠=︒，∴∠ACD=1AOD352∠=︒．【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论与定理，以及弦，弧，圆心角三者的关系，要求学生根据题意，作出辅助线，建立未知角与已知角的联系，利用同弧（等弧）所对的圆心角等于所对圆周角的2倍来解决问题．24．已知抛物线y＝x2+（1﹣2a）x﹣2a（a是常数）．（1）证明：该抛物线与x轴总有交点；（2）设该抛物线与x轴的一个交点为A（m，0），若2＜m≤5，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若a为整数，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象G，请你结合新图象，探究直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点个数的情况．【答案】（1）见解析；（2）1＜a≤52；（3）新图象G公共点有2个．【分析】（1）令抛物线的y值等于0，证所得方程的△＞0即可；（2）将点A坐标代入可求m的值，即可求a的取值范围；（3）分k＞0和k＜0两种情况讨论，结合图象可求解．【详解】解：（1）设y＝0，则0＝x2+（1﹣2a）x﹣2a，∵△＝（1﹣2a）2﹣4×1×（﹣2a）＝（1+2a）2≥0，∴x2+（1﹣2a）x﹣2a＝0有实数根，∴该抛物线与x轴总有交点；（2）∵抛物线与x轴的一个交点为A（m，0），∴0＝m2+（1﹣2a）m﹣2a，∴m＝﹣1，m＝2a，∵2＜m≤5，∴2＜2a≤5，∴1＜a≤52；（3）∵1＜a≤52，且a为整数，∴a＝2，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣3x﹣4，如图，当k＞0时，若y＝kx+1过点（﹣1，0）时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有3个，即k＝1，当0＜k＜1时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有4个，当k＞1时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有2个，如图，当k＜0时，若y＝kx+1过点（4，0）时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有3个，即k＝﹣14，当﹣14＜k＜0时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有4个，当k＜﹣14时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有2个，【点睛】本题考查了二次函数与一次函数相结合的综合题：熟练掌握二次函数的性质；会利用根的判别式确定抛物线与x轴的交点个数；理解坐标与图形性质，会利用分类讨论的方法解题；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用数形结合的方法是解题的关键．25．倡导全民阅读，建设书香社会．（调查）目前，某地纸媒体阅读率为40%，电子媒体阅读率为80%，综合媒体阅读率为90%．（百度百科）某种媒体阅读率，指有某种媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；综合阅读率，在纸媒体和电子体中，至少有一种阅读行为的人数占人口总数的百分比，它反映了一个国家或地区的阅读水平．（问题解决）（1）求该地目前只有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；（2）国家倡导全民阅读，建设书香社会．预计未来两个五年中，若该地每五年纸媒体阅读人数按百分数x减少，综合阅读人数按百分数x增加，这样十年后，只读电子媒体的人数比目前增加53%，求百分数x．【答案】（1）该社区有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比为50%．（2）x为10%．【分析】（1）根据题意，利用某地传统媒体阅读率为80%，数字媒体阅读率为40%，而综合阅读率为90%，得出等式求出答案；（2）根据综合阅读人数﹣纸媒体阅读人数＝只读电子媒体的人数，结合该地每五年纸媒体阅读人数按百分数x减少，综合阅读人数按百分数x增加列出方程即可求出答案．【详解】解：（1）设某地人数为a，既有传统媒体阅读又有数字媒体阅读的人数为y，则传统媒体阅读人数为0.8a，数字媒体阅读人数为0.4a．依题意得：0.8a+0.4a﹣y＝0.9a，解得y＝0.3a，∴传统媒体阅读又有数字媒体阅读的人数占总人口总数的百分比为30%．则该社区有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比为＝80%﹣30%＝50%．（2）依题意得：0.9a（1+x）2+0.4a（1﹣x）2＝0.5a（1+0.53），整理得：5x2+26x﹣2.65＝0，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣5.3（舍去），答：x为10%．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．26．如图，是由6个棱长相同的小正方形组合成的几何体.（1）请在下面方格纸中分别画出它的主视图和俯视图；（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么请在下面方格纸中画出添加小正方体后所得几何体可能的左视图（画出一种即可）【答案】图形见详解.【解析】根据题目要求作出三视图即可.【详解】解：（1）主视图和俯视图如下图,（2）左视图如下图【点睛】本题考查了三视图的实际作图,属于简单题,熟悉三视图的作图方法是解题关键.27．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？【答案】（1）y=﹣20x+1600；（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；（3）超市每天至少销售粽子440盒．【解析】试题分析：（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；（3）先由（2）中所求得的P 与x 的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x 的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式即可求解．试题解析：（1）由题意得，y =70020(45)x --=201600x -+；（2）P=(40)(201600)x x --+=220240064000x x -+-=220(60)8000x --+，∵x≥45，a=﹣20＜0，∴当x=60时，P 最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元；（3）由题意，得220(60)8000x --+=6000，解得150x =，270x =，∵抛物线P=220(60)8000x --+的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润，又∵x≤58，∴50≤x≤58，∵在201600y x =-+中，20k =-＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x=58时，y 最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒．考点：二次函数的应用．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c ＝0；②b ＞2a ；③方程ax 2+bx+c ＝0的两根分别为－3和1；④a －2b+c≥0，其中正确的命题是（ ）A ．①②③B ．①④C ．①③D ．①③④【答案】C 【分析】根据二次函数的图象可知抛物线开口向上，对称轴为x=-1，且过点（1，0），根据对称轴可得抛物线与x 轴的另一个交点为（-3，0），把（1，0）代入可对①做出判断；由对称轴为x=-1，可对②做出判断；根据二次函数与一元二次方程的关系，可对③做出判断；根据a 、c 的符号，以及对称轴可对④做出判断；最后综合得出答案．【详解】解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1，过（1，0）点，把（1，0）代入y=ax 2+bx+c 得，a+b+c=0，因此①正确；对称轴为直线x=-1，即：12b a-=-整理得，b=2a ，因此②不正确； 由抛物线的对称性，可知抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）（-3，0），因此方程ax 2+bx+c=0的两根分别为-3和1；故③是正确的；由a ＞0，b ＞0，c ＜0，且b=2a ，则a-2b+c=a-4a+c=-3a+c ＜0，因此④不正确；故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数之间的关系，能够根据开口判断a 的符号，根据与x 轴，y 轴的交点判断c 的值以及b 用a 表示出的代数式是解题的关键．2．如图放置的几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表示．【详解】解：左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表示．故选C ．【点睛】本题考查简单组合体的三视图．3．在△ABC 中，若tanA ＝1，sinB ＝，你认为最确切的判断是( ) A ．△ABC 是等腰三角形B ．△ABC 是等腰直角三角形 C ．△ABC 是直角三角形D ．△ABC 是一般锐角三角形 【答案】B【分析】试题分析：由tanA=1，2结合特殊角的锐角三角函数值可得∠A 、∠B 的度数，即可判断△ABC 的形状.【详解】∵tanA=1，sinB=22 ∴∠A=45°，∠B=45°∴△ABC 是等腰直角三角形故选B.考点：特殊角的锐角三角函数值点评：本题是特殊角的锐角三角函数值的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.4．已知M(1，2)，则M 关于原点的对称点N 落在（ ）A ．2y x =的图象上B ．2y x 的图象上C ．22y x =的图象上D ．2y x =+的图象上 【答案】A【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数得出N 的坐标，再根据各函数关系式进行判断即可．【详解】点M （1，2）关于原点对称的点N 的坐标是（-1，-2），∴当x=-1时，对于选项A ，y=2×(-1)=-2，满足条件，故选项A 正确；对于选项B ，y=(-1)2=1≠-2故选项B 错误；对于选项C ，y=2×(-1)2=2≠-2故选项C 错误；对于选项 D ，y=-1+2=1≠-2故选项D 错误．故选A ．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，以及函数图象上点的坐标特征，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．5．为了解我市居民用水情况，在某小区随机抽查了20户家庭，并将这些家庭的月用水量进行统计，结果如下表：则关于这20户家庭的月用水量，下列说法正确的是（ ） A ．中位数是5 B ．平均数是5C ．众数是6D ．方差是6【答案】C【分析】根据中位数的定义、平均数的公式、众数的定义和方差公式计算即可.【详解】解：A 、按大小排列这组数据，第10，11个数据的平均数是中位数，（6+6）÷2＝6，故本选项错误；B 、平均数＝（4×4+5×5+6×7+8×3+13×1）÷20＝6，故本选项错误；C 、6出现了7次，出现的次数最多，则众数是6，故本选项正确；D 、方差是：S 2＝120[4×（4﹣6）2+5×（5﹣6）2+7×（6﹣6）2+3×（8﹣6）2+（13﹣6）2]＝4.1，故本选项错误； 故选C ． 【点睛】此题考查的是中位数、平均数、众数和方差的算法，掌握中位数的定义、平均数的公式、众数的定义和方差公式是解决此题的关键.6．点()34P -，到x 轴的距离是（ ） A ．3 B ．3-C ．4D ．4-【答案】C【分析】根据点的坐标的性质即可得.【详解】由点的坐标的性质得，点P 到x 轴的距离为点P 的纵坐标的绝对值则点()34P -，到x 轴的距离是44-= 故选：C. 【点睛】本题考查了点的坐标的性质，掌握理解点的坐标的性质是解题关键.7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-4x+4的图像与x 轴,y 轴分别交于A,B 两点，正方形ABCD 的顶点C,D 在第一象限，顶点D 在反比例函数()y 0kk x=≠ 的图像上，若正方形ABCD 向左平移n 个单位后，顶点C 恰好落在反比例函数的图像上，则n 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】由一次函数的关系式可以求出与x 轴和y 轴的交点坐标，即求出OA ，OB 的长，由正方形的性质，三角形全等可以求出DE 、AE 、CF 、BF 的长，进而求出G 点的坐标，最后求出CG 的长就是n 的值． 【详解】如图过点D 、C 分别做DE ⊥x 轴，CF ⊥y 轴，垂足分别为E,F ．CF 交反比例函数的图像于点G ． 把x=0和y=0分别代入y=-4x+4 得y=4和x=1 ∴A(1,0),B(0,4) ∴OA=1，OB=4由ABCD 是正方形，易证 △AOB ≌△DEA ≌△BCF （AAS ） ∴DE=BF=OA=1,AE=CF=OB=4 ∴D(5，1)，F(0,5)把D 点坐标代入反比例函数y=kx，得k=5 把y=5代入y=5x,得x=1,即FG=1 CG=CF-FG=4-1=3,即n=3 故答案为B ． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像上的坐标特征，正方形的性质，以及全等三角形判断和性质，根据坐标求出线段长是解决问题的关键． 8．若反比例函数()110a y a x x-=><，图象上有两个点()()1122,,x y x y ，，设()1212()m x x y y =--，则 y mx m =-不经过第( )象限．A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】C【分析】利用反比例函数的性质判断出m 的正负，再根据一次函数的性质即可判断． 【详解】解：∵()110a y a x x-=><，， ∴a-1＞0， ∴()110a y a x x-=><，图象在三象限，且y 随x 的增大而减小， ∵图象上有两个点（x 1，y 1），（x 2，y 2），x 1与y 1同负，x 2与y 2同负， ∴m=（x 1-x 2）（y 1-y 2）＜0，∴y=mx-m 的图象经过一，二、四象限，不经过三象限， 故选：C ． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图，A 为反比例函数y=kx的图象上一点，AB 垂直x 轴于B ，若S △AOB =2，则k 的值为（ ）A ．4B ．2C ．﹣2D ．1【答案】A【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即S=12|k|． 【详解】由于点A 是反比例函数图象上一点,则S △AOB =12|k|=2； 又由于函数图象位于一、三象限，则k=4. 故选A. 【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系数k 的几何意义．10．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠CDB ＝25°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 的度数为（ ）。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．一元二次方程25x x =的解是（ ）A ．5或0B ． 15或0C ．15D ．0 【答案】B【解析】根据因式分解法即可求出答案．【详解】∵5x 2=x ，∴x(5x ﹣1)=0，∴x=0或x 15=． 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程，解答本题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 2．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．80（1+x ）2=100B ．100（1﹣x ）2=80C ．80（1+2x ）=100D ．80（1+x 2）=100 【答案】A【解析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x ，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x ，根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x ）吨，2018年蔬菜产量为80（1+x ）（1+x ）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，即： 80（1+x ）2=100，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．3．掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）A ．每2次必有一次正面朝上B ．必有5次正面朝上C ．可能有7次正面朝上D ．不可能有10次正面朝上 【答案】C 【分析】利用不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是12，进而得出答案． 【详解】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是12， 所以掷一枚质地均匀的硬币10次， 可能有7次正面向上；故选：C ．【点睛】 本题考查了可能性的大小，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．当k>0时，下列图象中哪些可能是y=kx 与y=k x在同一坐标系中的图象（ ） A ． B ． C ．D ． 【答案】B【分析】由系数0k >即可确定y kx =与k y x =经过的象限. 【详解】解：0k >y kx ∴=经过第一、三象限，k y x=经过第一、三象限，B 选项符合. 故选：B【点睛】 本题考查了一次函数与反比例函数的图像，灵活根据k 的正负判断函数经过的象限是解题的关键. 5．如图，在△ABC 中，∠A=90°，sinB=35，点D 在边AB 上，若AD=AC ，则tan ∠BCD 的值为( )A ．15B ．16C ．17D ．18【答案】C【分析】作DE ⊥BC 于E ，在△CDE 中根据已知条件可求得DE,CE 的长，从而求得tan ∠BCD.【详解】解：作DE ⊥BC 于E.∵∠A=90°，sinB=35，设AC=3a=AD ， 则AB=4a,BC=5a,∴BD=AB-AD=a.∴DE= BD·sinB=35 a,∴根据勾股定理，得BE=45 a,∴CE=BC-BE=21 5a,∴tan∠BCD=1.7 DECE故选C.【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形中三角函数值的计算，本题中正确求三角函数值是解题的关键．6．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（）A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B．摸出的三个球中至少有一个球是白球C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D．摸出的三个球中至少有两个球是白球【答案】A【分析】根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可.【详解】A、是必然事件；B、是随机事件，选项错误；C、是随机事件，选项错误；D、是随机事件，选项错误．故选A．7．如图，四边形ABCD是矩形，BC＝4，AB＝2，点N在对角线BD上（不与点B，D重合），EF，GH过点N，GH∥BC交AB于点G，交DC于点H，EF∥AB交AD于点E，交BC于点F，AH交EF于点M．设BF＝x，MN＝y，则y关于x的函数图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】求出2142tan DBC∠=＝，12112428xDH CD CHxADADn DAta H--=∠==-＝，y＝EF−EM−NF ＝2−BFtan∠DBC−AEtan∠DAH，即可求解．【详解】解：2142tan DBC∠=＝，12112428xDH CD CHxADADn DAta H--=∠==-＝y＝EF﹣EM﹣NF＝2﹣BFtan∠DBC﹣AEtan∠DAH＝2﹣x×12﹣x（1128x-）＝18x2﹣x+2，故选：B．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数，此类问题关键是确定函数的表达式，进而求解．8．一元二次方程220x ax-+=的一根是1，则a的值是（）A．3B．-3C．2D．-2【答案】A【解析】将1x=代入方程，求出a的值．【详解】将1x=代入方程得120a-+=解得3a=故答案为：A．【点睛】本题考查了求一元二次方程系数的问题，掌握代入求值法求解a的值是解题的关键．9．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（）A．23B．16C．13D．12【答案】D【解析】分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．详解：∵共6个数，大于3的有3个，∴P（大于3）=31 62 .故选D．点睛：本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是A．25πB．65πC．90πD．130π【答案】B【解析】解：由已知得，母线长l=13，半径r为5，∴圆锥的侧面积是s=πlr=13×5×π=65π．故选B．11．硬币有数字的一面为正面，另一面为反面.投掷一枚均匀的硬币一次，硬币落地后，可能性最大的是（）A．正面向上B．正面不向上C．正面或反面向上D．正面和反面都不向上【答案】C【分析】根据概率公式分别求出各选项事件的概率, 即可判断．【详解】解: 若不考虑硬币竖起的情况,A．正面向上概率为1÷2=1 2 ;B．正面不向上的概率为1÷2=1 2 ;C．正面或反面向上的概率为2÷2=1; D．正面和反面都不向上的概率为0÷2=0∵1＞12＞0∴正面或反面向上的概率最大故选C．【点睛】此题考查的是比较几个事件发生的可能性的大小,掌握概率公式是解决此题的关键．12．有一副三角板，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，如图，将这副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，则AF 的长为（ ）A ．2B ．3﹣2C ．4﹣3D ．36【答案】D 【分析】根据正切的定义求出AC ，根据正弦的定义求出CF ，计算即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠A ＝30°，AC ＝tan BC A＝3 则EF ＝AC ＝3∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF •sinE 6，∴AF ＝AC ﹣FC ＝36，故选：D ．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，掌握锐角三角函数的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．小强同学从0，1，2，3这四个数中任选一个数，满足不等式12x +<的概率是__________． 【答案】14【分析】找到满足不等式x+1＜2的结果数，再根据概率公式计算可得．【详解】解：在0，1，2，3这四个数中，满足不等式x+1＜2的中只有0一个数，所以满足不等式x+1＜2的概率是14. 故答案是：14． 【点睛】本题主要考查概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．14．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝6，D 是BC 上一点，CD ＝2，过点D 的直线l 将△ABC 分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC 相似，若直线l 与△ABC 另一边的交点为点P ，则DP ＝________．【答案】1，83，32【分析】分别利用当DP∥AB时，当DP∥AC时，当∠CDP=∠A时，当∠BPD=∠BAC时求出相似三角形，进而得出结果．【详解】BC＝6,CD=2，∴BD=4,①如图，当DP∥AB时，△PDC∽△ABC，∴PD CDAB BC=,∴236DP=,∴DP=1;②如图，当DP∥AC时，△PBD∽△ABC．∴PD BDAC BC=,∴446DP=,∴DP=83;③如图，当∠CDP=∠A时，∠DPC∽△ABC，∴DP DCAB AC=,∴234DP=,∴DP=32;④如图，当∠BPD=∠BAC时，过点D的直线l与另一边的交点在其延长线上，，不合题意。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 交x 轴分别于点A （﹣3，0），B （1，0），交y 轴正半轴于点D ，抛物线顶点为C ．下列结论①2a ﹣b ＝0；②a+b+c ＝0；③当m≠﹣1时，a ﹣b ＞am 2+bm ；④当△ABC 是等腰直角三角形时，a ＝1-2；⑤若D （0，3），则抛物线的对称轴直线x ＝﹣1上的动点P 与B 、D 两点围成的△PBD 周长最小值为32+10，其中，正确的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】D 【分析】把A 、B 两点坐标代入抛物线的解析式并整理即可判断①②；根据抛物线的顶点和最值即可判断③；求出当△ABC 是等腰直角三角形时点C 的坐标，进而可求得此时a 的值，于是可判断④；根据利用对称性求线段和的最小值的方法（将军饮马问题）求解即可判断⑤.【详解】解：把A （﹣3，0），B （1，0）代入y ＝ax 2+bx+c 得到0930a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩，消去c 得到2a ﹣b ＝0，故①②正确；∵抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1，开口向下，∴x ＝﹣1时，y 有最大值，最大值＝a ﹣b+c ， ∵m≠﹣1，∴a ﹣b+c ＞am 2+bm+c ，∴a ﹣b ＞am 2+bm ，故③正确；当△ABC 是等腰直角三角形时，C （﹣1，2），可设抛物线的解析式为y ＝a （x+1）2+2，把（1，0）代入解得a ＝﹣12，故④正确， 如图，连接AD 交抛物线的对称轴于P ，连接PB ，则此时△BDP 的周长最小，最小值＝PD+PB+BD ＝PD+PA+BD ＝AD+BD ，∵AD 2233+＝2BD 2231+10，∴△PBD 周长最小值为2+10，故⑤正确．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的图象与其系数的关系、待定系数法求二次函数的解析式和求三角形周长最小值的问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.2．如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD的面积是（）A．23B．3C．33D．32【答案】D【分析】根据已知条件，先求Rt△AED的面积，再证明△ECD的面积与它相等．【详解】如图：过点C作CF⊥BD于F.∵矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，∠BAE=30°.∴∠ABE=∠CDF=60°,AB=CD,AD=BC=2,∠AEB=∠CFD=90°，∠AED=30°，∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF.∴S△AED=12ED⋅AE,S△ECD=12ED⋅CF.∴S△AED=S△CDE∵AE=12AD=1,DE=223AD AE=-=，∴△ECD的面积是32. 故答案选:D.本题考查了矩形的性质与含30度角的直角三角形相关知识，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与含30度角的直角三角形并能运用其知识解题.3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．－1＜x ＜2B ．x ＞2C ．x ＜－1D ．x ＜－1或x ＞2【答案】D 【分析】根据已知图象可以得到图象与x 轴的交点是（-1，0），（2，0），又y ＞0时，图象在x 轴的上方，由此可以求出x 的取值范围．【详解】依题意得图象与x 轴的交点是（-1，0），（2，0），当y ＞0时，图象在x 轴的上方，此时x ＜－1或x ＞2，∴x 的取值范围是x ＜－1或x ＞2，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x 轴的交点，然后由图象找出当y ＞0时，自变量x 的范围，注意数形结合思想的运用.4．一5的绝对值是（ ）A ．5B ．15C ．15-D ．－5 【答案】A【解析】试题分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣5到原点的距离是5，所以﹣5的绝对值是5，故选A ．5．若3a b +=2a b -=22a b -的值为（ ） A ．6B ．23C 5D 6 【答案】D【分析】先利用平方差公式得到22a b -=（a+b ）（a-b ），再把3a b +=2a b -=【详解】解：22a b -=（a+b ）（a-b ）326．故答案为D ．【点睛】本题考查了平方差公式，把a+b 和a-b 看成一个整体是解题的关键．6．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y ＝10x B ．y ＝5x C ．y ＝20x D ．y ＝20x 【答案】C【解析】试题解析：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ，1102xy ，∴= ∴y 与x 的函数关系式为：20y x =． 故选C ．点睛：根据三角形的面积公式列出1102xy =，即可求出答案. 7．图中的两个梯形成中心对称，点P 的对称点是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【答案】C 【分析】根据两个中心对称图形的性质即可解答．关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；关于中心对称的两个图形能够完全重合．【详解】解：根据中心对称的性质：图中的两个梯形成中心对称，点P 的对称点是点C.故选：C【点睛】本题考查中心对称的性质，属于基础题，掌握其基本的性质是解答此题的关键．8．如图，A ，B ，C ，D ，E 互相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的总面积是( )A ．1.5πB ．2.5πC ．3.5πD ．4.5π【答案】C【分析】根据圆心角之和等于五边形的内角和，由于半径相等，根据扇形的面积公式计算先算出五边形内部五个扇形的面积之和，再用五个圆的面积之和减去五边形内部五个扇形的面积之和即可求得结果．【详解】∵五边形的内角和是：(5−2)×180°=540°，∴阴影部分的面积之和是：2 25401 15 3.5360πππ⨯⨯⨯-=，故选C．【点睛】本题主要考查多边形的内角和以及扇形的面积公式，解决问题的关键是把阴影部分的面积当成一个扇形面积来求，将五边形的内角和理解成圆心角也很关键；这题是易错题，注意是求五边形外部的扇形面积之和．9．如图，在平面直角坐标系中，函数y kx=与3yx=-的图像相交于A，B两点，过点A作x轴的平行线，交函数4yx=的图像于点C，连接BC，交x轴于点E，则OBE△的面积为（）A．72B．74C．2 D．32【答案】B【分析】先确定A、B两点坐标，然后再确定点C坐标，从而可求△ABC的面积，再根据三角形中位线的性质可知答案.【详解】∵函数y kx=与3yx=-的图像相交于A，B两点∴联立3y kxyx=⎧⎪⎨=-⎪⎩解得12123333k kx xy k y k⎧⎧--==⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩∴点A、B坐标分别是333,3k kA kB k⎛----⎝⎝∵过点A作x轴的平行线，交函数4yx=的图像于点C∴把3y k=-代入到4yx=中得，43kx=-解得433kxk-=-∴点C 的坐标为43,3k k ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝ ∴1433=2372ABC k k S k ⎛⎫--⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭∵OA=OB，OE∥AC∴OE 是△ABC 的中位线∴17==44OBE ABC S S 故答案选B.【点睛】本题是一道综合题，考查了一次函数与反比例函数和三角形中位线性质，能够充分调动所学知识是解题的关键.10．如图，直线y mx =与双曲线k y x=交于A 、B 两点，过点A 作AM x ⊥轴，垂足为M ，连接BM ，若2ABM S ∆=，则k 的值是（ ）A ．2B ．4C ．-2D ．-4 【答案】A【解析】由题意得:2ABM AOM SS =，又1||2AOM S k =,则k 的值即可求出. 【详解】设(,)A x y , ∴直线y mx =与双曲线k y x=交于A 、B 两点, (,)B x y ∴--,1||2BOM Sxy ∴=，1||2AOM S xy = , BOM AOM S S ∴=,122||12ABM AOM BOM AOM AOM S S S S S k ∴=+====,则2k =±. 又由于反比例函数位于一三象限,0k >,故2k =.【点睛】 本题主要考查了反比例函数k y x=中k 的几何意义,即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为||k ,是经常考查的一个知识点.11．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0-，对称轴为1x =，则下列结论中正确的是（ ）A ．0a >B ．当1x >时，y 随x 的增大而增大C ．0c <D ．3x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根【答案】D【解析】根据二次函数图象的开口方向向下可得a 是负数，与y 轴的交点在正半轴可得c 是正数，根据二次函数的增减性可得B 选项错误，根据抛物线的对称轴结合与x 轴的一个交点的坐标可以求出与x 轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，从而得解．【详解】A 、根据图象，二次函数开口方向向下，∴a ＜0，故本选项错误；B 、当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，故本选项错误；C 、根据图象，抛物线与y 轴的交点在正半轴，∴c ＞0，故本选项错误；D 、∵抛物线与x 轴的一个交点坐标是（−1，0），对称轴是x ＝1，设另一交点为（x ，0），−1＋x ＝2×1，x ＝3，∴另一交点坐标是（3，0），∴x ＝3是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与x 轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键．12．将抛物线265y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析是A ．()246y x =+-B ．()242y x =--C ．()242y x =-+D ．()213y x =--【答案】B【分析】把265y x x =-+配成顶点式，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线()2265=34y x x x =-+--向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式为：()()22-3-1-4+2=-4-2y x x =故选：B【点睛】考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．二、填空题（本题包括8个小题）13．若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是_____．【答案】m ＞4【分析】根据根的判别式即可求出答案．【详解】解：由题意可知：△＜0，∴()2=441640m m ∆--=<﹣， ∴m ＞4故答案为：m ＞4【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．14．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是__________【答案】【分析】根据正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，再根据等边三角形的边长，求出等边三角形的高，再根据面积公式即可得出答案．【详解】解：连接OA 、OB ，作OG AB ⊥于G ，等边三角形的边长是2，OG ∴，∴等边三角形的面积是122⨯= ∴正六边形的面积是：6故答案为：【点睛】本题考查的是正多边形和圆的知识，解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．15．如图，△ABC 中，AB ＝6，BC ＝1．如果动点D 以每秒2个单位长度的速度，从点B 出发沿边BA 向点A 运动，此时直线DE ∥BC ，交AC 于点E ．记x 秒时DE 的长度为y ，写出y 关于x 的函数解析式_____（不用写自变量取值范围）．【答案】y ＝﹣3x+1【分析】由DE ∥BC 可得出△ADE ∽△ABC ，再利用相似三角形的性质，可得出y 关于x 的函数解析式．【详解】∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE AD BC AB=，即6296y x -=，∴y ＝﹣3x+1． 故答案为：y ＝﹣3x+1．【点睛】 本题考查根据实际问题列函数关系式，利用相似三角形的性质得出DE AD BC AB=是关键. 16．抛物线y=x 2+2x+3的顶点坐标是_____________．【答案】（﹣1，2）【详解】解：将二次函数转化成顶点式可得：y=2(1)2x ++，则函数的顶点坐标为(－1，2)故答案为：（-1，2）【点睛】本题考查二次函数的顶点坐标．17．如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别在AB 、AC 、BC 上，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ：BD ＝5：3，CF ＝6，则DE 的长为_____．【答案】1【分析】根据平行线分线段成比例定理得到53AE ADEC DB==，证明△AED∽△ECF，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．【详解】解：∵DE∥BC，∴53AE ADEC DB==，∠AED＝∠C，∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠A，又∠AED＝∠C，∴△AED∽△ECF，∴5=3DE AEFC EC=，即563DE=，解得，DE＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.18．如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为5，则AEBE（AE BE<）的值为_____.【答案】1 2【分析】根据题意，由AAS证明△AEH≌△BFE，则BE=AH，根据相似比为53EHAB=，令5k，AB=3k，设AE=a，AH=3k a-，在直角三角形AEH中，利用勾股定理，即可求出a的值，即可得到答案.【详解】解：在正方形EFGH与正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，EF=EH ，∠FEH=90°，∴∠AEH+∠AHE=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠AHE=∠BEF ，∴△AEH ≌△BFE （AAS ），∴BE=AH ，∵EH AB =令，AB=3k ，在直角三角形AEH 中，设AE=a ，AH=AB-AE=3k a -，由勾股定理，得222AE AH EH +=，即222(3))a k a +-=，解得：a k =或2a k =，∵AE BE <，∴AE k =，∴2BE k =， ∴122AE k BE k ==； 故答案为：12. 【点睛】 本题考查了相似四边形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出AE 和BE 的长度.三、解答题（本题包括8个小题）19．已知二次函数的图象顶点是(12)-，， 且经过()1, 3-，求这个二次函数的表达式． 【答案】()25124y x =-++ 【分析】根据二次函数解析式的顶点式以及待定系数法，即可得到答案．【详解】把顶点()12-，代入()2y a x h k =-+得：()212y a x =++， 把()1,3-代入()212y a x =++得：54a =-， ∴二次函数的表达式为：()25124y x =-++． 【点睛】 本题主要考查二次函数的待定系数法，掌握二次函数解析式的顶点式是解题的关键．20．若关于x 的方程()2260x b x b +++-=有两个相等的实数根（1）求b 的值；（2）当b 取正数时，求此时方程的根，【答案】（1）b=2或b=10-；（2）x 1=x 2=2；【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）由（1）可知b=2，根据一元二次方程的解法即可求出答案．【详解】解：（1）由题意可知：△=（b+2）2-4（6-b ）=0，∴28200b b +-=解得：b=2或b=10-．（2）当b=2时，此时x 2-4x+4=0，∴2(2)0x -=，∴x 1=x 2=2；【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．21．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：(1)把表格填写完整；(2)根据上表填空：①抛物线与x 轴的交点坐标是________和__________；②在对称轴右侧，y 随x 增大而_______________；③当22x -<<时，则y 的取值范围是_________________；(3)请直接写出抛物线2y ax bx c =++的解析式．【答案】（1）2；（2）①抛物线与x 轴的交点坐标是()30-，和()10，；②y 随x 增大而减小；③y 的取值范围是54y -<≤；（2）223y x x =--+．【分析】（1）利用表中对应值的特征和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则x=0和x=-2时，y 的值相等，都为2；（2）①利用表中y=0时x 的值可得到抛物线与x 轴的交点坐标；②设交点式y=a （x+2）（x-1），再把（0，2）代入求出a 得到抛物线解析式为y=-x 2-2x+2，则可判断抛物线的顶点坐标为（-1，1），抛物线开口向下，然后根据二次函数的性质解决问题；③由于x=-2时，y=2；当x=2时，y=-5，结合二次函数的性质可确定y 的取值范围；（2）由（2）得抛物线解析式．【详解】解：（1）∵x=-2，y=0；x=1，y=0，∴抛物线的对称轴为直线x=-1，∴x=0和x=-2时，y=2；故答案是：2；（2）①∵x=-2，y=0；x=1，y=0，∴抛物线与x轴的交点坐标是（-2，0）和（1，0）；故答案是：（-2，0）和（1，0）；②设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-1），把（0，2）代入得2=-2a，解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-（x+2）（x-1），即y=-x2-2x+2，抛物线的顶点坐标为（-1，1），抛物线开口向下，∴在对称轴右侧，y随x增大而减小；故答案是：减小；③当x=-2时，y=2；当x=2时，y=-1-1+2=-5，当x=-1，y有最大值为1，∴当-2＜x＜2时，则y的取值范围是-5＜y≤1．故答案是：-5＜y≤1；（2）由（2）得抛物线解析式为y=-x2-2x+2，故答案是：y=-x2-2x+2．【点睛】本题考查了抛物线解析式的求法及与x轴的交点问题：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点问题转化为关于x的一元二次方程的问题．也考查了二次函数的性质．22．（2011四川泸州，23，6分）甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3，8，1．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．（1）求取出的3个小球的标号全是奇数的概率是多少？（2）以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度，求这些线段能构成三角形的概率．【答案】解：（1）16；（2）12．【分析】（1）根据题意画出树状图，根据树状图进行解答概率；（2）用列举法求概率．【详解】解：（1）画树状图得∴一共有12种等可能的结果，取出的3个小球的标号全是奇数的有2种情况，∴取出的3个小球的标号全是奇数的概率是：P(全是奇数)=21126=（2）∵这些线段能构成三角形的有2、4、3，7、4、8，7、4、1，7、5、3，7、5、8，7、5、1共6种情况，∴这些线段能构成三角形的概率为P(能构成三角形)= 61122=【点睛】本题考查概率的计算，难度不大．23．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若BF＝2，BD＝25，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析；（2）52.【分析】（1）证明△DAF≌△DCE，可得∠DFA=∠DEC，证出∠ADE=∠DEC=90°，即OD⊥DE，DE是⊙O的切线．（2）在Rt△ADF和Rt△BDF中，可得AD2-（AD-BF）2=DB2-BF2，解方程可求出AD的长即可．【详解】（1）证明：如图1，连接DF，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AD ∥BC ，∠DAB ＝∠C ， ∵BF ＝BE ，∴AB ﹣BF ＝BC ﹣BE ，即AF ＝CE ，∴△DAF ≌△DCE （SAS ），∴∠DFA ＝∠DEC ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠DFA ＝90°，∴∠DEC ＝90°∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠DEC ＝90°，∴OD ⊥DE ，∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：如图2，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠DFA ＝90°，∴∠DFB ＝90°，在Rt △ADF 和Rt △BDF 中，∵DF 2＝AD 2﹣AF 2，DF 2＝BD 2﹣BF 2， ∴AD 2﹣AF 2＝DB 2﹣BF 2，∴AD 2﹣（AD ﹣BF ）2＝DB 2﹣BF 2，∴()2222()2252AD AD ---＝，∴AD ＝1．∴⊙O 的半径为52． 【点睛】。