2004年普通高等学校春季招生考试数学（理工）（北京卷）2004年1月4日15：00—17：00一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在函数y x y x y x y tgx====sin sin cos 22，，，中，最小正周期为π的函数是（ ） A. y x =sin2 B. y x =sin C. y x =cos D. y tg x=22. 当231<<m 时，复数z m m i =-+-()()321在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 双曲线x y 22491-=的渐近线方程是（ ） A. y x =±32B. y x =±23 C. y x =±94D. y x =±494. 一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ） A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 75︒5. 在极坐标系中，圆心在()2，π且过极点的圆的方程为（ ） A. ρθ=22cos B. ρθ=-22cosC.ρθ=22sinD.ρθ=-22sin6. 已知sin()cos()θπθπ+<->00，，则下列不等关系中必定成立的是（ ） A. tgctgθθ22<B. tgctgθθ22> C. sincosθθ22< D.sincos θθ22> 7. 已知三个不等式：ab bc ad c a db>->->000，，（其中a ，b ，c ，d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 38. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm ，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（ ） A.77cmB. 72cmC. 55cmD. 102cm9. 在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（ ）A. C C 61942B. C C 61992C. C C 1003943-D. P P 1003943-10. 期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M:N 为（ ） A.4041B. 1C.4140D. 2二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
2004年普通高等学校招生全国统一考试数 学（浙江卷）(理工类)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则 =⋃)(N M （ ）(A) {1,2,3}(B) {2}(C) {1,3,4}(D) {4}(2) 点P 从(1,0)出发,沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为（ ）(A) )23,21(-(B) ()21,23--(C) ()23,21--(D) ()21,23-(3) 已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = （ ）(A) –4(B) –6 (C) –8 (D) –10 (4)曲线x y 42=关于直线x=2对称的曲线方程是（ ）(A) x y 482-= (B) 842-=x y (C) x y 4162-=(D) 1642-=x y(5) 设z=x —y ,式中变量x 和y 满足条件⎩⎨⎧≥-+≥-03,02y x y x 则z 的最小值为（ ）(A) 1(B) –1(C) 3(D) –3(6) 已知复数i t z i z +=+=21,43,且21z z ⋅是实数,则实数t= （ ）(A)43(B)34(C) --34(D) --43(7) 若n xx )2(3+展开式中存在常数项,则n 的值可以是（）(A) 8(B) 9(C) 10 (D) 12 (8)在ΔABC 中,“A>30º”是“sinA >21”的（ ）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件(9)若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 （ ）(A)1716（B ）17174 （C ）54（D ）552 （10）如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中已知AB=1，D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α= （ ）(A)3π(B)4π(C)410arcsin(D)46arcsin（11）设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '= 的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能 的是（ ）（12）若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．是 （A ）512-+x x （B ）512++x x（C ）512-x（D ）512+x 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.把答案填在题中横线上. （13）已知⎩⎨⎧≥〈-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是 .（14）已知平面上三点A 、B 、C 满足,5,4,3CA 则AB· BC+BC ·CA+CA·AB 的值等于 .（15）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答）. （16）已知平面α和平面β交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β，垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合，则点P 到l 的距离为 .三、 解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本题满分12分） 在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A . （Ⅰ）求A CB 2cos 2sin2++的值； （Ⅱ）若3=a ，求bc 的最大值.（18）（本题满分12分）盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后．．．第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）.记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ.（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列；（Ⅱ）求随机变量ξ的期望ξE.（19）（本题满分12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M 是线段EF的中点.（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；（Ⅲ）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60o．（20）（本题满分12分）设曲线x e y x(-=≥0）在点M （t,e --t ）处的切线l 与x 轴y 轴所围成的三角形面积为S （t ）. （Ⅰ）求切线l 的方程；（Ⅱ）求S （t ）的最大值.（21）（本题满分12分）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A （1，0）点P 、Q 在双曲线的右支上，点M （m,0）到直线AP 的距离为1.（Ⅰ）若直线AP 的斜率为k ，且]3,33[∈k ，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当12+=m 时，ΔAPQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程.（22）（本题满分14分）如图，ΔOBC 的三个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P 1为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的坐标为(x n,y n ), .2121++++=n n n n y y y a （Ⅰ）求321,,a a a 及n a ; （Ⅱ）证明;,414*+∈-=N n y y nn (Ⅲ)若记,,444*+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列.2004年普通高等学校招生全国统一考试数 学（浙江卷）参考答案一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.1. D2.A3.B4.C5.A6.A7.C8.B9.D 10.D 11.Ｃ 12.Ｂ 二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分.13. ]23,(-∞ 14. --25 15. 5 16. 5三.解答题:本大题共6小题,满分74分. 17. (本题满分12分)解: (Ⅰ)A CB 2cos 2sin2++ =)1cos 2()]cos(1[212-++-A C B=)1cos 2()cos 1(212-++A A=)192()311(21-++= 91-(Ⅱ) ∵31cos 2222==-+A bc a c b ∴2222232a bc a cb bc -≥-+=, 又∵3=a∴.49≤bc 当且仅当 b=c=23时,bc=49,故bc 的最大值是49. (18) (满分12分)解: (Ⅰ)由题意可得,随机变量ξ的取值是2、3、4、6、7、10. 随机变量ξ的概率分布列如下ξ2 3 4 6 7 10 P0.090.240.160.180.240.09随机变量ξ的数学期望ξE =2×0.09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.(19) (满分12分)方法一解: (Ⅰ)记AC 与BD 的交点为O,连接OE,∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形， ∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴AM ∥OE.∵⊂OE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE.(Ⅱ)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连结BS ， ∵AB ⊥AF ， AB ⊥AD ， ,A AF AD =I ∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影， 由三垂线定理得BS ⊥DF.∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角. 在RtΔASB 中，,2,36==AB AS ∴,60,3tan ︒=∠=∠ASB ASB∴二面角A —DF —B 的大小为60º.（Ⅲ）设CP=t （0≤t≤2）,作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ ∥AD ， ∵PQ ⊥AB ，PQ ⊥AF ，A AF AB =I ， ∴PQ ⊥平面ABF ，⊂QF 平面ABF ， ∴PQ ⊥QF.在RtΔPQF 中，∠FPQ=60º， PF=2PQ.∵ΔPAQ 为等腰直角三角形， ∴).2(22t PQ -=又∵ΔPAF 为直角三角形，∴1)2(2+-=t PF ， ∴).2(2221)2(2t t -⋅=+- 所以t=1或t=3(舍去)即点P 是AC 的中点.方法二（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系.设N BD AC =I ，连接NE ，则点N 、E 的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）, ∴NE=()1,22,22--, 又点A 、M 的坐标分别是（0,2,2）、（)1,22,22 ∴ AM=（)1,22,22--∴且NE 与AM 不共线，∴NE ∥AM.又∵⊂NE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDF.（Ⅱ）∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ,A AD =I∴AB ⊥平面ADF .∴)0,0,2(-=AB 为平面DAF 的法向量.∵NE·DB=（)1,22,22--·)0,2,2(-=0， ∴NE·DF=（)1,22,22--·)0,2,2(=0得 NE ⊥，⊥，∴为平面BDF 的法向量.∴cos<AB,NE>=21 ∴AB 与NE 的夹角是60º.即所求二面角A —DF —B 的大小是60º.（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤2)得),1,2,2(t t PF --=∴CD=（2，0，0）又∵PF 和CD 所成的角是60º.∴21)2()2(2)2(60cos 22⋅+-+-⋅-=︒t t t解得22=t 或223=t （舍去）， 即点P 是AC 的中点.（20）（满分12分）解：（Ⅰ）因为,)()(x x e ex f ---='=' 所以切线l 的斜率为,t e --故切线l 的方程为).(t x e ey t t --=---即0)1(=+-+--t e y x e t t .（Ⅱ）令y=0得x=t+1,又令x=0得)1(+=-t e y t 所以S （t ）=)1()1(21+⋅+-t e t t =t e t -+2)1(21 从而).1)(1(21)(t t e t S t +-='- ∵当∈t （0，1）时，)(t S '>0,当∈t （1,+∞）时,)(t S '<0,所以S(t)的最大值为S(1)=e 2(21) (满分12分)解: (Ⅰ)由条件得直线AP 的方程),1(-=x k y即.0=--k y kx因为点M 到直线AP 的距离为1, ∵,112=+-k k mk 即221111k k k m +=+=-. ∵],3,33[∈k ∴,21332≤-≤m 解得332+1≤m ≤3或--1≤m ≤1--332. ∴m 的取值范围是].3,3321[]3321,1[+--Y (Ⅱ)可设双曲线方程为),0(1222≠=-b by x 由),0,1(),0,12(A M + 得2=AM .又因为M 是ΔAPQ 的内心,M 到AP 的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM 是∠PAQ的角平分线,且M 到AQ 、PQ 的距离均为1.因此，1,1-==AQ AP k k （不妨设P 在第一象限）直线PQ 方程为22+=x .直线AP 的方程y=x-1, ∴解得P 的坐标是（2+2，1+2），将P 点坐标代入1222=-b y x 得，32122++=b 所以所求双曲线方程为,112)32(22=++-y x即.1)122(22=--y x （22）（满分14分）解：(Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ， 所以2321===a a a ，又由题意可知213+++=n n n y y y ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++ ∴{}n a 为常数列. ∴.,21*∈==N n a a n (Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得 ,124121=++++n n n y y y 又∵2214++++=n n n y y y ∴.414n n y y -=+ （Ⅲ）∵)41()41(44444841n n n n n y y y y b ---=-=+++-)(41444n n y y --=+ ,41n b -= 又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是首项和公比都为41-的等比数列.。
2004年高考试题全国卷Ⅳ理科数学（必修+选修Ⅱ）第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合},2|{},2,1,0{M a a x x N M ∈===，则集合N M ⋂= （ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，2} 2．函数)(2R x e y x∈=的反函数为（ ）A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．)1)31(2ii +-=（ ）A ．i +3B ．i --3C ．i -3D ．i +-3 5．不等式03)2(<-+x x x 的解集为（ ）A ．}30,2|{<<-<x x x 或B ．}3,22|{><<-x x x 或C ．}0,2|{>-<x x x 或D ．}3,0|{<<x x x 或6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 （ ）A ．160B ．180C ．200D ．220 7．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（ ）A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//n ；B ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //；D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //8．已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π 其中R 表示球的半径A ．13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x 9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种10．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=2，BC=32，则球心 到平面ABC 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．211．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b = （ ）A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+12．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 .14．向量a 、b 满足（a －b ）·（2a +b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b夹角的余弦值等于 .15．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 . 16．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x 则y x z +=2的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 18．（本小题满分12分）求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值.C19．（本小题满分12分） 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望； （Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率. 20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD. 21．（本小题满分12分）双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦点距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和.54c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围. 22．（本小题满分14分）已知函数0)(),sin (cos )(='+=-x f x x ex f x将满足的所有正数x 从小到大排成数列}.{n x（Ⅰ）证明数列{}{n x f }为等比数列；（Ⅱ）记n S 是数列{}{n n x f x }的前n 项和，求.lim 21nS S S nn +++∞→2004年高考试题全国卷4理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题1—12 D C A D A B C A B A B C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．28 14．21-15．43 16．2三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分12分.解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++= 当α为第二象限角，且415sin =α时41cos ,0cos sin -=≠+ααα， 所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α 18．本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力.满分12分. 解：,2111)(x x x f -+=' 令 ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加； 当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少. 所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值. 又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-==所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值.19．本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解 决实际问题的能力.满分12分. 解：（Ⅰ）ξ的可能值为－300，－100，100，300.P （ξ=－300）=0.23=0.008, P （ξ=－100）=3×0.22×0.8=0.096, P （ξ=100）=3×0.2×0.82=0.384, P （ξ=300）=0.83=0.512,图2Cy所以ξ的概率分布为根据ξ的概率分布，可得ξ的期望E ξ=（－300）×0.08+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P （ξ≥0）=0.384+0.512=0.896.20．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）如图1，取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD.作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ， 所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6， 所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积 V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯ （Ⅱ）解法一：如图1，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P （0，0，33），A （23，－3，0），B （23，5，0），D （－23，－3，0） 所以).0,8,34(),33,3,32(--=--=BD PA 因为,002424=++-=⋅BD PA 所以PA ⊥BD.解法二：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F.通过计算可得EO=3，AE=23知AD=43，AB=8，得.ABADAE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD. 得∠EAO=∠ABD.所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影，所以PA ⊥BD.21．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分. 解：直线l 的方程为1=+bya x ，即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离221)1(ba ab d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(ba ab d ++=.222221cabb a ab d d s =+=+= 由,542,54c c ab c s ≥≥得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即解不等式，得.5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是.525≤≤e 22．本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以及综合运用的能力.满分14分. （Ⅰ）证明：.sin 2)cos sin ()sin (cos )(x e x x e x x ex f x x x----=+-++-='由,0)(='x f 得.0sin 2=--x e x解出n n x ,π=为整数，从而,3,2,1,==n n x n π .)1()(πn n n e x f --=.)()(1π-+-=e x f x f n n所以数列)}({n x f 是公比π--=eq 的等比数列，且首项.)(1q x f =（Ⅱ）解：)()()(2211n n n x f x x f x x f x S +++= ),21(1-+++=n nq q q π),11()21(),2(122n nnn n n n n nq qq q nq qq q qS S nq q q q qS ---=-+++=-+++=-πππ 而).11(1n nn nq qq q q S ----=πnS S S n+++ 21.)1()1()1(2)1()11()1(11)1()1()21()1()1()1()1(2232222222121222q q q q n q q qnq qq q n q q q q n q q q nq q q n q qq q n q q qn n n nn n n -+----=----------=+++--+++---=+--πππππππππ因为0lim .1||=<=∞→-n n q eq π，所以.)1()1(lim 2221+-=-=+++∞→ππππe e q q n S S S n n。
2004年普通高等学校招生全国统一考试数 学（浙江卷）(理工类)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则 =⋃)(N M （ ）(A) {1,2,3}(B) {2}(C) {1,3,4}(D) {4}(2) 点P 从(1,0)出发,沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为（ ）(A) )23,21(-(B) ()21,23--(C) ()23,21--(D) ()21,23-(3) 已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = （ ）(A) –4(B) –6 (C) –8 (D) –10 (4)曲线x y 42=关于直线x=2对称的曲线方程是（ ）(A) x y 482-= (B) 842-=x y (C) x y 4162-=(D) 1642-=x y(5) 设z=x —y ,式中变量x 和y 满足条件⎩⎨⎧≥-+≥-03,02y x y x 则z 的最小值为（ ）(A) 1(B) –1(C) 3(D) –3(6) 已知复数i t z i z +=+=21,43,且21z z ⋅是实数,则实数t= （ ）(A)43(B)34(C) --34(D) --43 (7) 若n xx )2(3+展开式中存在常数项,则n 的值可以是（ ）(A) 8(B) 9(C) 10 (D) 12 (8)在ΔABC 中,“A>30º”是“sinA >21”的（ ）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(9)若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（ ）(A)1716（B ）17174 （C ）54（D ）552 （10）如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中已知AB=1，D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α= （ ）(A)3π(B)4π(C)410arcsin(D)46arcsin（11）设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '= 的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能 的是（ ）（12）若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可．．能．是 （A ）512-+x x （B ）512++x x（C ）512-x（D ）512+x 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.把答案填在题中横线上. （13）已知⎨⎧≥=,0,1)(x x f 则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是 .（14）已知平面上三点A 、B 、C ,5=CA BC AB 则AB· BC+BC ·CA+CA·AB 的值等于 .（15）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答）. （16）已知平面α和平面β交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β，垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合，则点P 到l 的距离为 . 三、 解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本题满分12分） 在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A . （Ⅰ）求A CB 2cos 2sin2++的值； （Ⅱ）若3=a ，求bc 的最大值.（18）（本题满分12分）盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）.记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ. （Ⅰ）求随机变量ξ的分布列； （Ⅱ）求随机变量ξ的期望ξE .（19）（本题满分12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点.（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.（20）（本题满分12分）设曲线x e y x(-=≥0）在点M （t,e --t ）处的切线l 与x 轴y 轴所围成的三角形面积为S （t ）. （Ⅰ）求切线l 的方程；（Ⅱ）求S （t ）的最大值.（21）（本题满分12分）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A （1，0）点P 、Q 在双曲线的右支上，支M （m,0）到直线AP 的距离为1.（Ⅰ）若直线AP 的斜率为k ，且]3,33[∈k ，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当12+=m 时，ΔAPQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程.（22）（本题满分14分）如图，ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P 为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的坐标为(x n,y n ),.2121++++=n n n n y y y a （Ⅰ）求321,,a a a 及n a ; （Ⅱ）证明;,414*+∈-=N n y y nn (Ⅲ)若记,,444*+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列.2004年普通高等学校招生全国统一考试数 学（浙江卷）参考答案一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.1. D2.A3.B4.C5.A6.A7.C8.B9.D 10.D 11.B 12.D 二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分.13. ]23,(-∞ 14. 14 --25 15. 5 16. 5三.解答题:本大题共6小题,满分74分. 17. (本题满分12分)解: (Ⅰ)A CB 2cos 2sin2++ =)1cos 2()]cos(1[212-++-A C B=)1cos 2()cos 1(212-++A A=)192()311(21-++= 91-(Ⅱ) ∵31cos 2222==-+A bc a c b ∴2222232a bc a cb bc -≥-+=, 又∵3=a∴.49≤bc 当且仅当 b=c=23时,bc=49,故bc 的最大值是49. (18) (满分12分)解: (Ⅰ)由题意可得,随机变量ξ的取值是2、3、4、6、7、10. 随机变量ξ的概率分布列如下ξ2 3 4 6 7 10 P0.090.240.160.180.240.09随机变量ξ的数学期望ξE =2×0.09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.(19) (满分12分)方法一解: (Ⅰ)记AC 与BD 的交点为O,连接OE,∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形， ∴四边形AOEM 是平行四边形，∵⊂OE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE.(Ⅱ)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连结BS ， ∵AB ⊥AF ， AB ⊥AD ， ,A AF AD =I ∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影， 由三垂线定理得BS ⊥DF.∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角. 在RtΔASB 中，,2,36==AB AS ∴,60,3tan ︒=∠=∠ASB ASB∴二面角A —DF —B 的大小为60º.（Ⅲ）设CP=t （0≤t≤2）,作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ ∥AD ， ∵PQ ⊥AB ，PQ ⊥AF ，A AF AB =I ， ∴PQ ⊥平面ABF ，⊂QF 平面ABF ， ∴PQ ⊥QF.在RtΔPQF 中，∠FPQ=60º， PF=2PQ.∵ΔPAQ 为等腰直角三角形， ∴).2(22t PQ -=又∵ΔPAF 为直角三角形， ∴1)2(2+-=t PF ，∴).2(2221)2(2t t -⋅=+- 所以t=1或t=3(舍去) 即点P 是AC 的中点.方法二（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系. 设N BD AC =I ，连接NE ， 则点N 、E 的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）, ∴NE=()1,22,22--, 又点A 、M 的坐标分别是（0,2,2）、（)1,22,22 ∴ AM=（)1,22,22--∴NE=AM 且NE 与AM 不共线，∴NE ∥AM.又∵⊂NE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ， ∴AM ∥平面BDF.（Ⅱ）∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ,A AD =I ∴AB ⊥平面ADF .∴)0,0,2(-=AB 为平面DAF 的法向量.∵NE·DB=（)1,22,22--·)0,2,2(-=0， ∴NE·NF=（)1,22,22--·)0,2,2(=0得 NE ⊥DB ，NE ⊥NF ，∴为平面BDF 的法向量. ∴cos<AB,NE>=21 ∴与的夹角是60º.即所求二面角A —DF —B 的大小是60º.（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤2)得),1,2,2(t t PF --=∴CD=（2，0，0） 又∵PF 和CD 所成的角是60º. ∴21)2()2(2)2(60cos 22⋅+-+-⋅-=︒t t t解得22=t 或223=t （舍去）， 即点P 是AC 的中点.（20）（满分12分）解：（Ⅰ）因为,)()(x xe e xf ---='='x-故切线l 的方程为).(t x e e y t t --=---即0)1(=+-+--t e y x e t t .（Ⅱ）令y=0得x=t+1,又令x=0得)1(+=-t e y t 所以S （t ）=)1()1(21+⋅+-t e t t =t e t -+2)1(21 从而).1)(1(21)(t t e t S t +-='- ∵当∈t （0，1）时，)(t S '>0,当∈t （1,+∞）时,)(t S '<0,所以S(t)的最大值为S(1)=e 2 (21) (满分12分)解: (Ⅰ)由条件得直线AP 的方程),1(-=x k y即.0=--k y kx因为点M 到直线AP 的距离为1,∵,112=+-k kmk即221111k k k m +=+=-. ∵],3,33[∈k ∴,21332≤-≤m 解得332+1≤m ≤3或--1≤m ≤1--332. ∴m 的取值范围是].3,3321[]3321,1[+--Y (Ⅱ)可设双曲线方程为),0(1222≠=-b by x 由),0,1(),0,12(A M + 得2=AM .又因为M 是ΔAPQ 的内心,M 到AP 的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM 是∠PAQ 的角平分线,且M 到AQ 、PQ 的距离均为1.因此，1,1-==AQ AP k k （不妨设P 在第一象限）直线PQ 方程为22+=x .直线AP 的方程y=x-1, ∴解得P 的坐标是（2+2，1+2），将P 点坐标代入1222=-b y x 得， 32122++=b所以所求双曲线方程为,112)32(22=++-y x即.1)122(22=--y x （22）（满分14分）解：(Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ， 所以2321===a a a ，又由题意可知213+++=n n n y y y ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++ ∴{}n a 为常数列.∴.,21*∈==N n a a n (Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得 ,124121=++++n n n y y y 又∵2214++++=n n n y y y ∴.414n n y y -=+（Ⅲ）∵)41()41(44444841n n n n n y y y y b ---=-=+++- )(41444n n y y --=+ ,41n b -= 又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是公比为41-的等比数列.。
