空间解析几何基础知识共82页

C 观察柱面的形 成过程:
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三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫 柱面的准线，动
直线L 叫柱面的
母线.
观察柱面的形
C
成过程:
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三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫 柱面的准线，动 直线L 叫柱面的 母线.
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例1 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几 何中分别表示什么图形？
(1)x2; (2) x2y24; (3) yx1.
解 方程 平面解析几何中 空间解析几何中
x2 平行于y轴的直线平 行 于yo面 z的 平 面
圆心在(0,0)，
x2y2 4
半径为2的圆
以z 轴为中心轴的圆
柱面
yx1 斜率为1的直线
C 观察柱面的形 成过程:
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三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫 柱面的准线，动 直线L 叫柱面的 母线.
C 观察柱面的形 成过程:
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三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫 柱面的准线，动 直线L 叫柱面的 母线.
C 观察柱面的形 成过程:
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三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫 柱面的准线，动 直线L 叫柱面的 母线.
C 观察柱面的形 成过程:
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三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.

2
M 3 M1
2
(4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
原结论成立.
M 2 M 3 M 3 M1 ,
例2
设 P 在 x 轴上，它到 P1 (0, 2,3) 的距离为
到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为 P 在x 轴上， 设P点坐标为 ( x ,0,0),
2 2
x
d M1 P PN NM 2 ,
2
2
这六个平面围成一个以 M1M 2 为对角线的长方体; (如图) 向 xy面投影,并设点 M1, M 2 在xy面的垂足各为 m1 , m3 .
M1
z
M2
d
M3
y1
y2
m3
y
x2
O
x1
x
2 2 2
m1
2 2
则 M 1M 2 M 1M 3 M 2 M 3 m1m3 M 2 M 3
o
(1) z z1
（2） M 到 z 轴的距离 点
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
y
d
x y | y1 |
2 2 2
x
2
将 z z1 , y1 x y 代入
f ( y1 , z1 ) 0
z z1 , y1 x 2 y 2 代入 f ( y1 , z1 ) 0 将
而 m1m3 x2 x1 y2 y1
2 2
2
且 M 2 M 3 z2 z1 ；
2 2
z
M2
d M 1M 2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2

(2) p 0, q 0 时, z 0
曲面在 xOy 平面上方
z y
x
当 x 0, y 0 时, z 0
曲面通过坐标原点，我们把坐标原点叫 做椭圆抛物线的顶点
• M2
Q Ny
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
例 1 求证以M1(4,3,1)、M 2 (7,1,2)、M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
2、球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R的球面
方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有
| MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点Ｍ 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
• x y 0 表示母线平行于
z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
z
o y
x
z
o y
x
一般地,在三维空间

∫
b
a
f ( x )dx = [ F ( x )]b a.
牛顿—莱布尼茨公式
表明 : 一个连续函数在区间 [a , b] 上的定积分等于 它的任一原函数在区间 [a , b] 上的增量 .
定积分的计算法
（1）换元法
∫a f ( x )dx = ∫α
（2）分部积分法
b
β
f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt
y
f ( x)
(9) 引力
Fy = ∫ dFy = ∫
−l l l
y
Gaρdx (a + x )
2 3 2 2
A
θ
−l
−l
l
o x x + dx
Fx = 0. ( G 为引力系数 )
x
1 b f ( x )dx (10) 函数的平均值 y = ∫ b−a a
(11) 均方根
1 b 2 y= f ( x )dx ∫ b−a a
其中 m 、 n 都是非负整数； a 0 , a1 , , a n 及
b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a0 ≠ 0，b0 ≠ 0 .
真分式化为部分分式之和的待定系数法
四种类型分式的不定积分
Adx A Adx = + C; = A ln x − a + C ; 2.∫ 1. ∫ n n −1 ( x − a) (1 − n)( x − a ) x−a Mx + N M dx = 3.∫ 2 ln x 2 + px + q x + px + q 2
c −ε
f ( x )dx
b
f ( x )dx + lim