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空间解析几何知识点在数学中，解析几何是研究几何图形与代数表达式之间关系的分支学科。
解析几何广泛应用于物理、工程学和计算机图形学等领域。
而在解析几何中，空间解析几何是其中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何形状和位置关系。
本文将就空间解析几何的一些重要知识点进行探讨。
一、平面与直线的表示在空间解析几何中，平面和直线是两个基本的几何概念。
我们可以通过向量和点坐标来表示平面和直线。
对于平面来说，如果已知平面上的一个点A和两个不共线的向量AB和AC，那么平面上的任意一点P都可以表示成向量AP的线性组合，即P=A+x(AB)+y(AC)，其中x、y为实数。
而对于直线来说，如果已知直线上的一个点A和一个不为零的向量u，那么直线上的任意一点P都可以表示成P=A+tu，其中t 为实数。
二、平面与平面的位置关系在空间解析几何中，平面与平面的位置关系有三种情况：相交、平行和重合。
我们可以通过向量来判断平面与平面的位置关系。
如果两个平面的法向量不平行，那么它们一定相交于一条直线；如果两个平面的法向量平行但不重合，那么它们一定平行；如果两个平面的法向量相等，那么它们重合。
三、直线与直线的位置关系在空间解析几何中，直线与直线的位置关系也有三种情况：相交、平行和重合。
我们同样可以通过向量来判断直线与直线的位置关系。
如果两条直线的方向向量不平行，那么它们一定相交于一个点；如果两条直线的方向向量平行但不重合，那么它们一定平行；如果两条直线的方向向量相等，并且经过它们的一点也相等，那么它们重合。
四、平面与直线的位置关系在空间解析几何中，平面与直线的位置关系也有三种情况：相交、平行和包含。
对于平面与直线的相交关系，我们可以通过求解平面与直线的交点来判断。
如果平面与直线有且只有一个交点，那么它们相交；如果平面与直线没有交点，那么它们平行；如果平面包含直线，那么它们重合。
五、球面与直线的位置关系在空间解析几何中，球面与直线的位置关系也有三种情况：相交、不相交和切线。
空间解析几何空间解析几何是解析几何的一个重要分支，它通过坐标系和向量的概念来研究空间中的几何关系和性质。
本文将会介绍空间解析几何的基本概念、特点以及应用，以便读者对此有更深入的了解。
一、坐标系的建立在研究空间解析几何之前，我们首先需要建立合适的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
直角坐标系是最常见的坐标系，可以通过三个相互垂直的坐标轴来描述空间中的点。
柱坐标系和球坐标系较为常用于对称性较强的问题。
通过建立坐标系，我们可以将空间中的点与数值进行对应，进而进行进一步的分析与计算。
二、向量的表示和运算向量是空间解析几何中非常重要的一个概念，它可以表示空间中的位移、速度、加速度等物理量。
向量具有长度和方向两个特点，可以用有向线段或坐标表示。
在解析几何中，我们常常使用坐标表示向量。
例如，在直角坐标系中，向量a可以表示为(a₁, a₂, a₃)，其中a₁、a₂、a₃分别表示在x、y、z轴上的分量。
在解析几何中，向量的运算有加法、减法、数量乘法和点乘法等。
向量的加法与减法可以通过对应分量相加或相减来进行，数量乘法可以将向量的每个分量与一个实数相乘，而点乘法可以通过两个向量的对应分量相乘再相加得到。
三、直线和平面的方程在空间解析几何中，直线和平面是重要的几何基本要素。
直线可以通过一点和一个方向向量来表示，方程通常为(x, y, z) = (x₁, y₁, z₁) +t(a, b, c)，其中(x₁, y₁, z₁)为直线上的一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。
平面可以通过一个点和两个不共线的向量来表示，方程通常为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面法向量的分量，D为常数项。
四、空间曲线和曲面除了直线和平面，空间解析几何还研究了各种曲线和曲面的性质。
空间曲线可以通过参数方程、一般方程或者向量函数来表示，例如，圆柱面的参数方程可以表示为x = a cosθ，y = a sinθ，z = hθ，其中a为圆柱的半径，h为圆柱的高度，θ为参数。
大一空间解析几何知识点总结大一空间解析几何是大一数学课程中的一部分，涵盖了三维空间中的点、直线和平面的相关知识。
以下是一些大一空间解析几何的知识点总结。
1. 空间直角坐标系：空间直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴组成，通常用x、y和z表示。
在该坐标系中，每个点都可以表示为一个有序三元组(x, y, z)，称为点的坐标。
2. 点和向量：点表示空间中的位置，而向量表示从一个点到另一个点的方向和长度。
向量可以表示为两点之间的位移。
3. 向量的加法和减法：向量的加法是将两个向量的对应分量相加，而向量的减法是将两个向量的对应分量相减。
4. 向量的数量积和向量积：向量的数量积（点积）是两个向量的对应分量相乘再求和，而向量的向量积（叉积）是两个向量的乘积向量的模长等于原来两个向量的模长乘积与这两个向量夹角的正弦积。
5. 直线的方程：直线可以由点和方向向量来表示。
给定一点P和平行于向量v 的直线L，直线L可以表示为L：r = P + tv，其中r是直线上的任意一点，t 是实数。
6. 平面的方程：平面可以由一个点和一个法向量来表示。
给定一点P和法向量n，平面可以表示为n·(r - P) = 0，其中r是平面上的任意一点。
7. 平面与直线的位置关系：平面和直线有三种可能的位置关系：平行、相交和重合。
平面和直线平行意味着它们没有公共点；平面和直线相交意味着它们有一个公共点；平面和直线重合意味着它们有无数个公共点。
8. 平面与平面的位置关系：平面和平面也有三种可能的位置关系：平行、相交和重合。
平面和平面平行意味着它们没有公共点；平面和平面相交意味着它们有一条公共直线；平面和平面重合意味着它们完全重合。
这些知识点是大一空间解析几何的基础，掌握了这些知识点可以帮助理解和解决三维空间中的几何问题。
在学习过程中，还可以进一步学习曲面、二次曲线、空间几何体等更高级的知识。
空间解析几何基本原理空间解析几何是研究空间中点、直线、面等几何概念之间的关系和性质的一门学科。
在数学中，空间解析几何基于坐标系的方法，通过将几何问题转化为代数问题，利用代数方法进行求解。
本文将介绍空间解析几何的基本原理，包括直线的方程、平面的方程和空间中点、直线、面之间的距离和夹角计算方法。
一、空间中的点和坐标在空间解析几何中，我们通常使用三维笛卡尔坐标系来描述空间中的点。
坐标系由原点和三个坐标轴（x、y、z）组成，分别表示水平方向、垂直方向和纵深方向。
空间中的点可以使用有序三元组(x, y, z)来表示，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标，z表示点在z轴上的坐标。
二、直线的方程在空间解析几何中，直线可以使用向量形式方程、参数形式方程和对称式方程来表示。
1. 向量形式方程向量形式方程表示直线上的任意一点P可以由向量a和过点P的某一向量b来表示：r = a + tb，其中t为参数。
2. 参数形式方程参数形式方程表示直线上的点可以由某一点P0和方向向量v以及参数t来表示：x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct。
3. 对称式方程对称式方程表示直线上的点满足两个平面的交线，可以用平面的方程来表示。
三、平面的方程在空间解析几何中，平面可以使用法向量和过该平面上一点的坐标来表示。
平面的方程有点法式方程、一般式方程和三点式方程等形式。
1. 点法式方程点法式方程表示平面的法向量为n，平面上一点为P0，则平面上的点P满足向量P0P与法向量n垂直：n · (P - P0) = 0。
2. 一般式方程一般式方程表示平面的法向量为(A, B, C)，平面上一点为P(x, y, z)，则平面的方程可以表示为Ax + By + Cz + D = 0。
3. 三点式方程三点式方程表示平面通过三个非共线点P1(x1, y1, z1)、P2(x2, y2, z2)和P3(x3, y3, z3)：| x-x1 y-y1 z-z1 || x2-x1 y2-y1 z2-z1 | = 0| x3-x1 y3-y1 z3-z1 |四、距离和夹角的计算方法在空间解析几何中，我们经常需要计算点与点之间的距离、点与直线之间的距离、直线与直线之间的距离和夹角。
空间解析几何知识点1. 空间直角坐标系- 定义：由三条互相垂直的直线（x轴、y轴、z轴）确定的坐标系。
- 坐标表示：任意一点P的坐标表示为(x, y, z)。
- 距离公式：两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)之间的距离为√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)。
2. 向量及其运算- 向量定义：具有大小和方向的量。
- 向量表示：向量a表示为a = (a1, a2, a3)。
- 向量加法：a + b = (a1+b1, a2+b2, a3+b3)。
- 向量数乘：k * a = (ka1, ka2, ka3)。
- 向量点积：a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
- 向量叉积：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 -a2b1)。
- 向量模：|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
- 向量方向余弦：向量a的方向余弦为(a1/|a|, a2/|a|, a3/|a|)。
3. 平面方程- 点法式：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0，其中A、B、C为平面的法向量，(x0, y0, z0)为平面上一点。
- 两点式：(y-y1)/(x-x1) = (y2-y1)/(x2-x1)，表示过两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)的平面。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
4. 直线方程- 参数式：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct，其中(x0,y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
- 点向式：(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c，其中(x0, y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量。
空间解析几何空间解析几何是三维空间中研究点、线、面等几何对象的数学分支。
通过坐标系和向量等数学工具，可以描述和分析三维空间中的几何形状、位置关系和运动方式。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、坐标系、向量运算和几何性质，并应用于实际问题。
一、空间解析几何的基本概念在空间解析几何中，我们首先需要了解点、直线、平面和空间的基本概念。
1. 点：点是空间中最基本的几何对象，用坐标表示。
在三维空间中，一个点可以由三个坐标确定，分别表示其在x轴、y轴和z轴上的位置。
2. 直线：直线是由无数个点组成的，在空间中没有宽度和厚度。
直线可以由一个点和一个方向向量确定，或者由两个不重合的点确定。
3. 平面：平面是由无数个点组成的，在空间中有宽度但没有厚度。
平面可以由一个点和两个不共线的方向向量确定，或者由三个不共线的点确定。
4. 空间：空间是由所有的点组成的，是点的集合。
在空间中，我们可以研究点、直线、平面和它们之间的相互关系。
二、空间解析几何的坐标系为了方便描述和计算，在空间解析几何中常常使用坐标系来表示点、向量和几何对象。
常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴、y轴和z轴。
在直角坐标系中，点的坐标表示为(x, y, z)，它们分别表示点在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
2. 柱面坐标系：柱面坐标系由极径、极角和高度构成。
极径表示点到z轴的距离，极角表示点在xy平面上的投影与x轴正半轴之间的夹角，高度表示点在z轴上的投影长度。
三、空间解析几何的向量运算在空间解析几何中，向量是一个有大小和方向的量。
向量可以表示位移、速度、力等物理量，也可以用来表示线段、直线、平面等几何对象。
1. 向量的表示：在空间解析几何中，向量通常用有序数组表示，如a = (a₁, a₂, a₃)。
其中，a₁、a₂和a₃分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
2. 向量的运算：空间解析几何中的向量运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何图形和其性质。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、常见图形以及解析方法，帮助读者更好地理解和应用空间解析几何。
一、基本概念在空间解析几何中，我们使用坐标系来描述点、直线、平面等几何对象。
一般常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
直角坐标系中，我们使用三个坐标轴x、y、z来确定一个点的位置。
柱面坐标系中，我们使用极坐标和一个垂直轴来确定一个点的位置。
通过坐标系，我们可以得到点的坐标、距离和角度等信息。
二、常见图形1. 点：空间中的一个点可以通过其坐标表示。
例如，点A(2,3,4)表示空间中的一个点，它的x坐标为2，y坐标为3，z坐标为4。
2. 直线：空间中两个不重合的点可以确定一条直线。
直线可以用参数方程、对称式、一般式等形式表示。
3. 平面：平面是由三个不共线的点所确定的。
平面可以用一般式、点法式等形式表示。
4. 球：由空间中的一个固定点和到该点距离等于定值的所有点构成的集合称为球。
5. 圆柱体：由一个闭合的曲线和平行于该曲线的直线段所围成的曲面称为圆柱体。
圆柱体可以通过其底面半径、高和母线方程等参数表示。
三、解析方法在空间解析几何中，我们可以使用向量、点法式、平面截距式等方法来求解各种几何问题。
1. 向量：向量是空间解析几何中一个重要的工具。
它可以用来表示线段、直线的方向和长度等信息。
通过向量，我们可以进行向量加法、减法、内积、外积等运算，用来求解直线的夹角、垂直平分线等问题。
2. 点法式：点法式是求解平面方程的一种方法。
它通过平面上的一点和法向量来表示平面的方程。
利用点法式，我们可以求解平面的交点、两平面的夹角等问题。
3. 平面截距式：平面截距式可以用来表示平面上与坐标轴相交的三个截距，通过截距可以确定平面的位置和方程。
我们可以利用平面截距式来求解平面的方程、直线与平面的交点等问题。
通过以上的解析方法，我们可以将空间解析几何中的各种问题转化为代数方程或方程组求解，从而得到几何图形的性质和关系。
空间解析几何的基本概念空间解析几何作为数学中的一个重要分支，是研究空间内点、直线、平面和其他几何体之间的关系和性质的学科。
它在解决实际问题中起着重要的作用。
本文将介绍空间解析几何的基本概念，包括点、直线、平面、坐标、距离和角度等内容，以帮助读者更好地理解和应用空间解析几何。
一、点的表示与性质在空间解析几何中，点是空间中最基本的概念之一。
点可以用坐标来表示，常用的表示方法是笛卡尔坐标系。
在三维笛卡尔坐标系中，点的坐标可以用三个实数x、y、z来表示，分别代表点在x轴、y轴、z轴上的投影值。
点在空间中没有大小，只有位置，所以点之间的距离为0。
二、直线的表示与性质直线是由无数个点组成的集合，它是空间中最基本的几何对象之一。
直线可以用向量、参数方程和一般方程等形式来表示。
其中，向量表示方法常用于表示直线的方向，参数方程则可以表示直线上的任意一点。
直线还有许多性质，如直线的斜率、倾斜角和与坐标轴的交点等，这些性质在解决问题中有重要应用。
三、平面的表示与性质平面是由无数个点组成的集合，它比直线更复杂一些。
平面可以用点法式方程、一般方程和参数方程等形式来表示。
在点法式方程中，平面可以由一个点和一个法向量确定。
而在一般方程和参数方程中，平面可以分别用一般式和参数式表示。
平面与直线相交、平行或重合等情况，也是空间解析几何中需要掌握的内容。
四、坐标与距离在空间解析几何中，坐标是表示点在空间中位置的一种方法。
常用的坐标系有笛卡尔坐标系和极坐标系。
在笛卡尔坐标系中，点的位置可以用三个坐标值来表示。
而在极坐标系中，点的位置可以用径向距离和极角来表示。
距离是两个点之间的直线距离，可以通过两点坐标的差值和勾股定理来计算。
五、角度与方向角度是空间解析几何中非常重要的概念之一，它涉及到直线、平面和曲线等几何对象之间的夹角关系。
角度可以用弧度制表示，也可以用度数制表示。
在求解夹角时，常用的方法有向量夹角公式和点之间的夹角公式。
方向则是指直线或矢量的朝向，可以用方向角来表示。
空间解析几何的基本概念和性质空间解析几何是研究空间中点、直线、平面等的位置关系、性质和运算的数学分支。
它是解析几何的一种拓展，通过使用点的坐标和向量的方法来描述和研究空间中的几何问题。
在空间解析几何中，点在坐标空间中由坐标值表示，而直线则可用两点确定，平面则可用三点或法向量确定。
本文将介绍空间解析几何的基本概念和性质，让我们一起来深入了解。
1. 空间中点的坐标表示在三维空间中，点的坐标表示为(x, y, z)，其中x、y和z分别表示该点在x轴、y轴和z轴上的坐标值。
对于任意一个点P(x1, y1, z1)，我们可以通过坐标值来确定它在空间中的位置。
2. 空间中直线的表示与性质直线是空间解析几何中常见的基本图形之一。
在空间中，直线可以通过两点确定，假设我们有两个不同的点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，那么点A和B之间的直线可以表示为AB。
性质：直线的长度可以通过两点间的距离公式计算得出，即√((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)。
此外，两条直线的相交关系可以通过它们的方程进行判断，若方程组有解，则两直线相交；若无解且方程组不平行，则两直线为异面直线；若无解且方程组平行，则两直线平行。
3. 空间中平面的表示与性质平面是由三个不共线点或由一个法向量和过该点的平面确定的。
通过三点A(x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2)和C(x3, y3, z3)可以确定一个平面，记作△ABC。
另外，平面还可以通过一个法向量n(xn, yn, zn)和一个过该点的向量表示。
平面方程的一般形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D分别为平面的参数，可以通过已知的点或法向量来求得。
性质：两个平面的关系主要包括平行、相交和重合。
两个平行的平面具有相同的法向量；两个相交的平面可以通过求解平面方程组来求得交线；两个重合的平面方程完全相同。
空间解析几何1. 引言空间解析几何是解析几何学中的一个分支，主要研究空间中的点、直线、平面之间的关系和性质。
它通过使用代数方法来解决几何问题，是几何和代数相结合的重要工具。
本文将介绍空间解析几何的相关概念和基本原理，并提供一些例题来帮助读者更好地理解和应用这些知识。
2. 空间直角坐标系空间解析几何的基础是空间直角坐标系。
一个空间直角坐标系可以由三条两两相交且相互垂直的坐标轴来确定，通常分别称为x轴、y轴和z轴。
在这个坐标系中，空间中的任意一点P可以通过三个有序实数(x, y, z)来表示，其中x、y和z分别表示P在x轴、y轴和z轴上的坐标。
3. 点、直线和平面在空间解析几何中，点、直线和平面是最基本的几何元素。
3.1 点点是空间中的一个位置，用有序实数(x, y, z)表示。
例如，点P(1, 2, 3)表示坐标为(1, 2, 3)的点P。
3.2 直线直线是由无数个点组成的，其中任意两点可以确定一条直线。
在空间解析几何中，一条直线可以用参数方程或者一般方程来表示。
例如，参数方程为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中(a, b, c)是一条方向向量，表示直线的方向，(x0, y0, z0)是直线上的一个点，t为参数。
3.3 平面平面是由无限多个点组成的一个二维空间，其中任意三点不共线可以确定一个平面。
在空间解析几何中，一个平面可以用一般方程来表示。
例如，一般方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C和D是实数且不同时为零，(x, y, z)是平面上的一个点。
4. 空间解析几何的基本原理在空间解析几何中，有一些基本原理可以帮助我们求解空间几何问题。
4.1 距离公式空间中两点之间的距离可以通过距离公式来计算。
设A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)是空间中两点，其距离为：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)4.2 点到直线的距离设点P(x0, y0, z0)和直线L的参数方程为：x = x1 + aty = y1 + btz = z1 + ct点P到直线L的距离为：d = |(x0-x1)a + (y0-y1)b + (z0-z1)c| / √(a² + b² + c²)其中(a, b, c)是直线L的方向向量。
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个分支，主要研究点、线、面在三维空间中的位置关系和运动规律。
通过坐标系和向量的表示方法，可以对三维空间中的几何问题进行分析和解决。
本文将从坐标系的建立、向量和点的运算以及空间图形的性质等几个方面介绍空间解析几何的基本概念和方法。
一、坐标系的建立在空间解析几何中，我们常常使用三维直角坐标系来描述点的位置。
三维直角坐标系由三个互相垂直的坐标轴x、y和z组成，它们的交点O称为坐标原点。
我们可以通过确定原点O和三个坐标轴的方向来确定一个三维坐标系。
在三维直角坐标系中，每个点的位置都可以通过它到三个坐标轴的垂直距离来表示。
二、向量的表示与运算向量是空间解析几何中的重要概念，它不仅可以表示空间中的位移和运动方向，还可以表示线段和有向线段。
在三维空间中，向量可以用一组有序的实数表示。
常用的向量表示方法有点表示法、坐标表示法和分量表示法。
1. 点表示法：在空间中，一个点可以用大写字母表示，如A、B、C 等。
2. 坐标表示法：对于给定的三维直角坐标系，我们可以通过一个有序的三元组(x, y, z)来表示一个点P的坐标。
3. 分量表示法：给定一组基向量i、j和k。
对于向量a，我们可以将其表示为各个分量与基向量之积的和，即a = xi + yj + zk，其中x、y和z分别为向量a在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
在空间解析几何中，向量之间可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
这些运算遵循一定的规律，使得向量能够描述和计算空间中的相对位置和方向。
三、点和直线的运算在空间解析几何中，点和直线是两个基本的几何要素。
点是空间中的一个位置，用坐标表示；直线是由无数个点连成的轨迹，可以用不同的参数方程、对称方程或一般方程来表示。
1. 点的运算：两个点之间可以计算距离和中点。
- 距离公式：设点A(x₁, y₁, z₁)和点B(x₂, y₂, z₂)，则AB的距离为√((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)。
第一章 高等数学 第一节 空间解析几何一、向量代数（一）向量及其线性运算既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等这类量，称为向量，向量 a 的大小称为向量 a 的模，记作| a |。
模等于1的向量叫做单位向量，向量的加减法、向量与数的乘法统称为向量的线性运算。
向量a 与向量 b 的和 a + b 是一个向量 c ，利用平行四边形法则或三角形法则可得向量c ，如图 1-1-1 ，图 1-1-2 所示。
向量的加法符合下列运算规律： ① 交换律 a + b = b + a② 结合律(a + b)+c＝ a +(b+c）向量 b 与向量 a 的差 b - a 定义为向量 b 与 a 的负向量-a 的和，即b - a = b + (-a)由向量加法的三角形法则可知：() |a| = |-a|向量 a 与实数λ的积记作λa ，它是一个向量，它的模它的方向当λ＞ 0 时，与向量 a 相同；当λ＜ 0 时，与向量 a 相反。
向量与数的乘积符合下列运算规律：由向量与数的乘积的定义，可得以下定理：定理 设向量 a≠0 ，那么，向量 b 与向量 a 平行的充分必要条件是：存在惟一的实数λ，使 b =λa 。
（二）向量的坐标设有空间直角坐标系 O - xyz ， i、 j、 k 分别表示沿 x 、 y 、 z 轴正向的单位向量， 12a M M是以1111(,,)M x y z 为起点，2222(,,)M x y z 为终点的向量，则向量a 可表示为其中212121x x y y z z ---、、称为向量 a 的坐标。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法运算如下：非零向量 a 与三条坐标轴正向的夹角αβγ、、称为它的方向角。
向量的模、方向角与坐标之间关系：其中cos cos cos αβγ、、称为向量 a 的方向余弦。
利用向量的坐标可得向量的模与方向余弦如下：（三）数量积 向量积设向量a 和向量 b 的夹角为θθπ≤≤（0）,向量 a 和向量 b 的数量积为一个数量，记作a b ⋅ ，其大小为||||cos a b θ，即a ⊥b 的充分必要条件是 a .b =0向量 a 在轴u 上的投影（记作 Prj u a ）等于向量 a 的模乘以轴与向量a 的夹角φ的余弦，即利用向量在轴上的投影，可将数量积表为向量 a 和向量 b 的向量积为一个向量 c ，记作 a × b ，即c ＝ a × b ，c 的模c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面， c 的指向按右手法则确定。
大一空间解析几何知识点总结大一空间解析几何是大学数学的一门基础课程，主要研究几何对象在空间中的性质和相互关系。
以下是大一空间解析几何的一些主要知识点总结，供参考学习：1. 空间直角坐标系：空间直角坐标系是三维空间中最常用的坐标系，它由三条相互垂直的坐标轴构成，通常用x、y、z表示。
空间中的点可以由它们在三个坐标轴上的坐标表示。
2. 点的坐标计算：在空间直角坐标系中，给定一个点P，可以通过测量与三个坐标轴的距离，计算出点P的坐标。
例如，点P在x轴上的坐标为x，点P在y轴上的坐标为y，点P在z轴上的坐标为z。
3. 点、线、面的方程：通过坐标计算，可以得到点、线、面的方程。
例如，对于点P(x, y, z)，点P的坐标就可以通过方程x = x，y = y，z = z来表示。
对于直线l，可以通过两点的坐标计算直线的方程。
对于平面，可以通过三点的坐标计算平面的方程。
4. 空间中的距离：空间中两点之间的距离可以通过勾股定理计算。
设点P(x1, y1, z1)和点Q(x2, y2, z2)为两点，它们之间的距离为d，表示为d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]。
5. 点、线的位置关系：在空间解析几何中，点和线的位置关系有几种情况：点在直线上、点在直线外、点在直线的延长线上等。
可以通过点和线的坐标来判断它们的位置关系。
6. 直线的方向向量和参数方程：在空间直角坐标系中，直线可以用方程式表示，其中的参数t表示直线上的任意一点P的位置。
直线的方向向量可以用一个行向量表示，例如，直线l可以表示为l：(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c)，其中，(x0, y0, z0)表示直线上一点，(a, b, c)表示直线的方向向量。
7. 平面的法向量和一般方程：在空间直角坐标系中，平面可以用方程式表示。
平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中(A, B, C)为平面的法向量，D为常数。
第一节 空间解析几何与向量代数一、空间直角坐标 （一）空间直角坐标系在空间取定一点O ，和以O 为原点的两辆垂直的三个数轴，依次记作x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），构成一个空间直角坐标系（图1-1-1）。
通常符合右手规则，即右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2π角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
并设i、j 、k 为x轴、y 轴、z 轴上的单位向量，又称为O xyz 坐标系，或[i,j,k]坐标系。
（二）两点间的距离在空间直角坐标系中，M 1(x 1,y 1,z 1)与M 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为()()()221221221z z y y x x d -+-+-=（1-1-1）（三）空间有向直线方向的确定设有一条有向直线L ，它在三个坐标系正向的夹角分别为α、β、γ（πγβα≤≤,,0），称为直线L 的方向角；{γβαcos ,cos ,cos }称为直线L 的方向余弦，三个方向余弦有以下关系1cos cos cos 222=++γβα （1-1-2）二、向量代数 （一）向量的概念空间具有一定长度和方向的线段称为向量。
以A 为起点，B 为终点的向量，记作AB ,或简记作a 。
向量a 的长记作a ，又称为向量a 的模,两向量a和b 若满足：①b a =，②b a //，③b a ,指向同一侧，则称b a=。
与a方向一致的=单位向量记作0a ，则0a =aa。
若0a={γβαcos ,cos ,cos }，也即为a的方向余弦。
（二）向量的运算 1.两向量的和以b a,为边的平行四边形的对角线（图1-1-2）所表示的向量c ，称为向量a和b 的和，记作b a c+= （1-1-3）一般说，n 个向量1a ，2a，…，n a 的和可定义如下：先作向量1a ，再以1a 的终点为起点作向量2a，…，最后以向量1-n a 的终点为起点作向量n a，则以向量1a的起点为起点、以向量n a 的终点为终点的向量b 称为1a ，2a，…，n a 的和，即 n a a a b+++=21（1-1-4） 2.两向量的差设a 为一向量，与a 的模相同，而方向相反的向量叫做a 的负向量，记作a -，规定两个向量a和b 的差为()ba b a-+=- （1-1-5）3.向量与数的乘法设λ是一个数，向量a 和λ的乘积a λ规定为：当λ>0时，a λ表示一个向量，它的方向与a 的方向相同，它的模等于a 的λ倍，即a a λλ=；当λ=0时，aλ是零向量，即0=aλ； 当λ<0时，a λ表示一个向量，它的方向与a的方向相反，它的模等于a 的λ倍，即a a λλ=。
多元函数微分学§1空间解析几何简介【目的要求】1、会建立曲面和旋转曲面的方程；2、会求空间曲线在坐标面上投影方程；3、熟练识别空间柱面方程；了解常见二次曲面方程．【重点难点】旋转曲面的方程的建立；空间柱面概念的理解．【教学内容】在平面解析几何中, 通过坐标法把平面上的点与一对有次序的数对应起来, 把平面上的图形和方程对应起来, 从而可以用代数方法来研究几何问题. 空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的.正像平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样, 空间解析几何的知识对学习多元函数也是必要的.本章先简要介绍空间解析几何的有关内容.一、空间直角坐标系在空间任意选取一定点O点, 过定点O作三条互相垂直的以O为原点的数轴：Ox轴（横轴）、Oy轴(纵轴), Oz轴(竖轴)，统称为坐标轴．它们的顺序按下角度转述右手规则确定：以右手握住z轴，让右手的四个手指从x轴正向以/2向y轴正向时，大姆指的指向就是z轴的正向(如图4-1)．这样就构成了一个空间直角坐标系，如图4-2所示．点O称为坐标原点(或原点)，每两条坐标轴确定一个平面，称为坐标平面．由x轴与y轴确定的平面称为xOy平面，类似地有yOzx横轴y纵轴z竖轴∙定点o图 4-2平面和zOx 平面．显然, 三个坐标平面把空间分为八个部分, 称为八个卦限(图6-3). 含有三个坐标轴正半轴的那个卦限叫做第Ⅰ卦限，其它第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限，在xOy 平面的上方，按逆时针方向确定．第Ⅰ、Ⅱx 、Ⅲ、Ⅳ卦限下面的空间部分分别称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限(图4-3)．设M 为空间任意一点, 过点分别作垂直于三坐标轴的平面，与坐标轴分别交于P 、Q 、R 三点(图4-4)．设这三点在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别为、y 和z ．则点M 唯一确定了一个三元有序数组(,,)x y z ；反之，设给定一组三元有序数组(,,)x y z ，在x 轴、y 轴和z 轴上分别取点P 、Q 、R ，使得OP x =, OQ y =,OR z =, 然后过P 、Q 、R 三点分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，这三个平面相交于点M ，即由一个三元有序数组(,,)x y z 唯一地确定了空间的一个点M ．于是，空间的点M 和三元有序数组(,,)x y z 之间建立了一一对应的关系，我们称这个三元有序数组为点M 的坐标，记为(,,)M x y z ，并依次称x 、y 和z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．显然，原点O 的坐标为(0,0,0)；x 轴、y 轴和z 轴上点的坐标分别为(,0,0)x 、(0,,0)y 、(0,0,)z ；xOy 平面、yOz 平面和zOx 平面上点的坐标分别为(,,0)x y 、(0,,)y z 和(,0,)x z ．x Oyz图 4-1二、空间两点间的距离设1111(,,)M x y z 、2222(,,)M x y z 为空间任意两点，过这两点可作一条空间直线, 称空间直线段12M M 的长度为空间两点12,M M 之间的距离, 由此得空间任意两点间的距离公式：12d M M ==特别地, 点(,,)M x y z 与坐标原点(0,0,0)O 的距离为d OM ==xy)例1 求点(2,1,1)M -到y 轴的距离．解 过点M 作y 轴的垂线，其垂足点P 的坐标为(0,1,0)，所以MP ==．例2 设动点M 与两定点1(1,2,1)P -, 2(2,1,2)P-等距离,求此动点M 的轨迹． 解 设动点(,,)M x y z ,因为12||||PM P M =，所以=由此得点M 的轨迹为26630x y z +--=.以后我们会知道, 这是一个空间平面方程.三、空间曲面及其方程与在平面解析几何中建立平面曲线与二元方程(,)0F x y =的对应关系一样，在空间直角坐标系中可以建立空间曲面与三元方程(,,)0F x y z =之间的对应关系．在空间解析几何中，任何曲面都可看作是空间点的几何轨迹．因此，曲面上的所有点都具有共同的性质，这些点的坐标必须满足一定的条件．在这样的意义下，先建立空间曲面S 与三元方程(,,)F x y z = (1)之间的对应关系：定义 1.1 如果三元方程(,,)0F x y z =与空间曲面S 有下列关系: (1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程(1)； (2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程(1),那么，方程(1)就称为曲面S 的方程，而曲面S 就称为方程(1)的图形(见图4-5)． 这样, 可利用方程来研究曲面. 关于曲面的讨论, 有下列两个基本问题: (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 如何建立该曲面的方程；(2) 已知方程(,,)0F x y z =, 研究此方程所表示的曲面形状.例3 求球心在点0000(,,)M x y z ，半径为R 的球面方程．解 设(,,)M x y z 是球面上任一点(见图4-6)，则有0M M R =，由两点间距离公式得R =．两边平方，得222000()()()x x y y z z R -+-+-=．(2) 这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程．所以，方程(2)就是以点0000(,,)M x y z 为球心、R 为半径的球面方程． 特别地，以原点(0,0,0)O 为球心, R 为半径的球面方程为2222x y z R ++=． 一般的, 设有三元二次方程2220Ax Ay Az Dx Ey Fz G ++++++=,这个方程的特点是缺xy , yz , zx 各项, 而且平方项系数相同, 只要将方程经过配方就可以化为方程(2)的形式, 那么它的图形就是一个球面. 例4 考察方程222x y R +=表示怎样的曲面．解 方程222x y R +=在xOy 面上表示圆心在原点O 、半径为R 的圆. 在空间直角坐标系中, 此方程不含竖坐标z , 即不论空间点的竖坐标z 怎样, 只要它的横坐标x 和纵坐标y 能满足方程, 那么这些点就在该曲面上. 这就是说, 凡是通过xOy 面内圆222x y R +=上一点(,,0)M x y , 且平行于z 轴的直线l 都在此曲面图4-5图4-6上, 因此, 该曲面可以看做是由平行于z 轴的直线l 沿xOy 面上的圆222x y R +=移动而形成的. 这种曲面叫做圆柱面(见图4-7), xOy 面上的圆222x y R +=叫做它的准线, 平行于z 轴的直线l叫做它的母线.一般的, 直线L 沿定曲线C 平行移动形成的轨迹叫做柱面, 定曲线C 叫做柱面的准线, 动直线L 叫做柱面的母线.上面我们看到, 不含z 的方程222x y R +=在空间直角坐标系中表示圆柱面, 它的母线平行于z 轴, 它的准线是xOy 面上的圆222x y R +=.类似地, 方程23y x =表示母线平行于z 轴的柱面,它的准线是xOy 面上的抛物线23y x =,该柱面叫做抛物柱面(见图 4-8).一般的, 只含x 、y 而缺z 的方程(,)0F x y =在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面, 其准线是x Oy 面上的曲线:(,)0C F x y =. 类似可知, 只含x 、z 而缺y 的方程(,)0G x z =和只含y 、z 而缺y的方程(,)0H y z =在空间直角坐标系中表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面.接下来, 我们讨论空间平面方程. 平面是曲面的一种特殊形式, 将方程(1)化为三元一次方程0Ax By Cz D +++=, (,,A B C 不全为零) (3)所对应的图形就是一个平面; 反之, 任何一个平面都可以用一个三元一次方程表示. 我们称方程(3)为平面的一般方程.例5 设一平面与,,x y z 轴的交点依次为(,0,0)P a 、(0,,0)Q b 、(0,0,)R c , 见图4-9, 求这平面的方程(其中0,b 0,c 0a ≠≠≠).图4-7222x y R +=L M∙3x图4-8解 设所求的平面的方程为0Ax By Cz D +++=.因(,0,0)P a 、(0,,0)Q b 、(0,0,)R c 三点都在该平面上，所以点P 、Q 、R 的坐标都满足平面方程；即有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,0,0,0D cC D bB D aA 得,,D D D A B C a b c=-=-=-. 得所求的平面方程为1=++czb y a x (4) 方程(4)叫做平面的截距式方程，而a 、b 、c 依次叫做平面在x 、y 、z 轴上的截距.四、二次曲面简介对于一般的曲面方程(,,)0F x y z =所确定的曲面, 常用平行于坐标面的平面相截, 考察其交线的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面的全貌. 这种方法叫做截痕法.下面我们研究三元二次方程(,,)0F x y z =所表示的曲面, 即：二次曲面. 本小节将简介几种常见的二次曲面. 1. 椭球面 方程2222221,(0,0,0)x y z a b c a b c++=>>> 所表示的曲面叫做椭球面(见图4-10).椭球面与三个坐标面的交线：222210x y a b z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩, 222210x z a c y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩, 222210y z b cx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩均为图4-9平面上的椭圆.椭球面与平行于xoy 的平面1z z =的交线也为椭圆⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(z z z c c b y z c c a x 同理, 与平面 1x x = 和 1y y =的交线也是椭圆.椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 椭球面的几种特殊情况：(1) 当a b =时, 1222222=++cz a y a x 叫做旋转椭球面, 由椭圆12222=+cz a x 绕z 轴旋转而成． 旋转椭球面与椭球面的区别：与平面 1z z =)||(1c z <的交线为圆. 截面上的圆方程为: .)(12122222⎪⎩⎪⎨⎧=-=+zz z c ca y x (2) 当abc ==时, 1222222=++az a y a x 为球面.2．双曲面 由方程1222222=-+cz b y a x (0, 0, 0a b c >>>) 所确定的曲面称为单叶双曲面．由方程1222222-=-+cz b y a x (0, 0, 0a b c >>>) 所确定的曲面称为双叶双曲面．下面讨论单叶双曲面的图形．图 4-10显然，单叶双曲面关于各坐标轴、坐标平面及原点对称．用一组平行于xOy 平面的平面h z =去截它，截痕为椭圆，其方程为2222221,. x y h ab c z h ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩并且h 越大，椭圆越大．用yOz 平面截曲面，得到一条实轴为y 轴的双曲线． 用zOx 平面截曲面，得到一条实轴为x 轴的双曲线． 因此，单叶双曲面的图形如图4-11所示． 注 方程1222222=+-cz b y a x 和1222222=++-c z b y a x 也都是单叶双曲面．用同样的方法也可以得到双叶双曲面的图形． 用h z =去截双叶双曲面，截痕方程为2222221,. x y h ab c z h ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩当h c <时，无截痕；h c =时，截痕为两点(0, 0, )c ±；当h c >时，截痕为椭圆，且h 越大，椭圆越大．用yOz 平面去截它，截痕是一条实轴为z 轴的双曲线． 用zOx 平面去截它，截痕是一条实轴为z 轴的双曲线． 因此，双叶双曲面的图形如图4-12所示． 注 方程1222222-=+-c z b y a x 和1222222-=++-cz b y a x 也是双叶双曲面．3．抛物面常见的抛物面有椭圆抛物面和双曲抛物面． 由方程2222by a x z += (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为椭圆抛物面．由方程2222by a x z -= (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为双曲抛物面．用截痕法可得到它们的图形分别如图4-13与图4-14所示． 注 双曲抛物面的图形形状很象马鞍，因此也称马鞍面．4．柱面例4中定义的柱面也是一种特殊的二次曲面. 常见的柱面还有:图 4-13图 4-14椭圆柱面：12222=+b y a x (图4-15)．双曲柱面：12222=-ax b y (图4-16)．抛物面：py x 22= (图4-17)．5．旋转曲面一条平面曲线C 绕同一平面内的一条定直线L 旋转所形成的曲面称为旋转曲面．曲线C 称为旋转曲面的母线，定直线L 称为旋转曲面的旋转轴，简称轴．前面讲过的球面，圆柱面等都是旋转曲面．例6 设母线C 在yOz 平面上，它的平面直角坐标方程为(, )0F y z =试证: 曲线C 绕z 轴旋转所成的旋转曲面∑的方程为( )0F z =．证 设(, , )M x y z 为旋转曲面上的任一点，并假定M 点是由曲线C 上的点000(0, , )M y z 绕z 轴旋转到一定角度而得到的(图4-18)．因而0z z =，且点M 到z图 4-16轴的距离与0M 到z 轴的距离相等．而M 到z 轴的距离为22y x +，0M 到z 轴的距离为020y y =，即0y =又因为0M 在C 上，因而00(, )0F y z =，将上式代入得( )0F z =，即旋转曲面上任一点(, , )M x y z 的坐标满足方程( )0F z =．其次，若点(, , )M x y z的坐标满足方程( )0F z =，则不难证明M ∈∑．于是，该旋转曲面的方程为( )0F z =．注 此例说明，若旋转曲面的母线C 在yOz 平面上，它在平面直角坐标系中的方程为(, )0F y z =，则要写出曲线C 绕z 轴旋转的旋转曲面的方程，只需将方程(, )0F y z =中的y 换成±22y x +即可．同理，曲线C 绕y 轴旋转的旋转曲面的方程为(, 0F y =，即将(, )0F y z =中的z 换成±22z x +．反之，一个方程是否表示旋转曲面，只需看方程中是否含有两个变量的平方和M 图 4-18如在yOz 平面内的椭圆12222=+cz b y 绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程为122222=++cz b y x ． 该曲面称为旋转椭球面．例7 求xOy 平面上的双曲线14922=-y x 绕x 轴旋转形成的旋转曲面的方程．解 由于绕x 轴旋转，只需将方程14922=-y x 中的y 换成±22z y +即可，所以，所求的旋转曲面的方程为149222=+-z y x ． 该曲面为旋转双叶双曲面．五、空间曲线及其方程一般地, 空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设(,,)0F x y z =和(,,)0G x y z =是两个曲面方程, 它们的交线为C , 如图4-19. 因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程, 所以应满足方程组(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩. 反过来, 如果点M 不在曲线C 上, 那么它不可能同时在两个曲面上, 所以它的坐标不满足方程组.因此, 曲线C 可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间曲线C 的一般方程.(,,)0F x y z =例8 方程组221236x y x z ⎧+=⎨+=⎩表示怎样的曲线解方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 其准线是xOy 面上的圆, 圆心在原点O , 半径为1. 方程组中第二个方程表示平行于y 轴的空间平面, 该平面在坐标平面zOx 面的截痕为2360x z y +=⎧⎨=⎩. 方程组就表示上述平面与圆柱面的交线, 大致图像见图4-20.以曲线C 为准线、母线平行于z 轴的柱面叫做曲线C 关于xOy 面的投影柱面, 投影柱面与xOy 面的交线叫做空间曲线C 在xOy 面上的投影曲线, 或简称投影(类似地可以定义曲线C 在其它坐标面上的投影).设空间曲线C 的一般方程为(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩.设方程组消去变量z 后所得的方程(x,y)0H =这就是曲线C 关于xOy 面的投影柱面. 曲线C 在xOy面上的投影曲线的方程为(,)00H x y z =⎧⎨=⎩. 请自行讨论: 曲线C 关于yOz 面和zOx 面的投影柱面的方程是什么? 曲线C 在yOz 面和zOx 面上的投影曲线的方程是什么？例9 已知两球面的方程为2221x y z ++=和222(1)(1)1x y z +-+-=, 求它们的交线C 在xOy 面上的投影方程. 解两球面的交线C 的方程:图4-202222221(1)(1)1x y z x y z ⎧++=⎨+-+-=⎩求解, 得1y z +=.上式代入2221x y z ++=得22220x y y +-=.这就是交线C 关于xOy 面的投影柱面方程. 两球面的交线C 在xOy 面上的投影方程为222200x y y z ⎧+-=⎨=⎩.例10 求由上半球面z z xOy 面上的投影.解由方程z 和z 消去z 得到221x y +=. 这是一个母线平行于z 轴的圆柱面, 容易看出, 这恰好是半球面与锥面的交线C 关于xOy 面的投影柱面, 因此交线C 在xOy 面上的投影曲线为2210x y z ⎧+=⎨=⎩. 这是xOy 面上的一个圆, 于是所求立体在xOy 面上的投影, 就是该圆在xOy 面上所围的部分:221x y +≤.。
