分支限界法 ppt

得到的解 继续搜索
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单源最短路径问题
1. 问题描述
下面以一个例子来说明单源最短路径问题：在下 图所给的有向图G中，每一边都有一个非负边权。要 求图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路径。
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单源最短路径问题
1. 问题描述
下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的 单源最短路径问题产生的解空间树。其中，每一个结 点旁边的数字表示该结点所对应的当前路长。
// 取下一扩展结点
i++;}
// 进入下一层
}
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装载问题
3. 算法的改进
结点的左子树表示将此集装箱装上船，右子树 表示不将此集装箱装上船。设bestw是当前最优解； ew是当前扩展结点所相应的重量；r是剩余集装箱 的重量。则当ew+rbestw时，可将其右子树剪去， 因为此时若要船装最多集装箱，就应该把此箱装 上船。
（2）回溯求解TSP也是盲目的（虽有目标函数，也 只有找到一个可行解后才有意义）
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解空间树的动态搜索
分支限界法首先确定一个合理的限界函数，并根据限 界函数确定目标函数的界[down, up]； 然后按照广度优先策略遍历问题的解空间树，在某一 分支上，依次搜索该结点的所有孩子结点，分别估算 这些孩子结点的目标函数的可能取值（对最小化问题， 估算结点的down，对最大化问题，估算结点的up）。 如果某孩子结点的目标函数值超出目标函数的界，则 将其丢弃（从此结点生成的解不会比目前已得的更 好），否则入待处理表。
A->E->Q->M
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单源最短路径问题
Dijakstra算法和分支限法在解决该问题的异同：
优先队列式分支限界法的搜索方式是根据活结点的优先级确 定下一个扩展结点。结点的优先级常用一个与该结点有关的 数值p来表示。最大优先队列规定p值较大的结点点的优先级 较高。在算法实现时通常用一个最大堆来实现最大优先队列， 体现最大效益优先的原则。类似地，最小优先队列规定p值 较小的结点的优先级较高。在算法实现时，常用一个最小堆 来实现，体现最小优先的原则。采用优先队列式分支定界算 法解决具体问题时，应根据问题的特点选用最大优先或最小 优先队列，确定各个结点点的p值。

与回溯法不同的是，分支限界法首先扩展解空间树 中的上层结点，并采用限界函数，有利于实行大范围 剪枝，同时，根据限界函数不断调整搜索方向，选择 最有可能取得最优解的子树优先进行搜索。所以，如 果选择了结点的合理扩展顺序以及设计了一个好的限 界函数，分支界限法可以快速得到问题的解。
分支限界法的较高效率是以付出一定代价为基础的，其 工作方式也造成了算法设计的复杂性。首先，一个更好的限 界函数通常需要花费更多的时间计算相应的目标函数值，而 且对于具体的问题实例，通常需要进行大量实验，才能确定 一个好的限界函数；其次，由于分支限界法对解空间树中结 点的处理是跳跃式的，因此，在搜索到某个叶子结点得到最 优值时，为了从该叶子结点求出对应的最优解中的各个分量， 需要对每个扩展结点保存该结点到根结点的路径，或者在搜 索过程中构建搜索经过的树结构，这使得算法的设计较为复 杂；再次，算法要维护一个待处理结点表PT，并且需要在表 PT中快速查找取得极值的结点，等等。这都需要较大的存储 空间，在最坏情况下，分支限界法需要的空间复杂性是指数 阶。
➢ 依次从表PT中选取使目标函数取得极值的结点成为 当前扩展结点，重复上述过程，直至找到最优解。
分支限界法需要解决的关键问题
➢ 如何确定合适的限界函数。（提示：计算简单，减 少搜索空间，不丢解）
➢ 如何组织待处理结点表。（提示：表PT可以采用 堆的形式，也可以采用优先队列的形式存储。各有什 么特点？）
例如：对于n=3的0/1背包问题解空间树
1 1
2
1
0
0
9
1
0
3
1
0
4
5
6
1
0
7
8
Hale Waihona Puke 101011 12

7.2 求最优解的分枝限界法
分枝限界法的三种形式：FIFO分枝限界法、LIFO分枝限 界法和LC分枝限界法都可用于求解最优化问题。当分枝限界法 用于求最优解时，需要使用上下界函数作为限界函数。
定义7-1 状态空间树上一个结点X的代价函数c(·)定义为： 若X是答案结点，则c(X)为X所代表的可行解的目标函数值；若 X为非可行解结点，则c(X)=；若X代表部分向量，则c(X)是以 X为根的子树上具有最小代价的结点代价。
本章要点
• 队列式分枝限界法 • 优先队列式分枝限界法 • 0/1背包问题 • 带限期作业排序 • TSP问题 • 单源点最短路径问题
章节内容
7.1 算法思想 7.2 求最优解的分枝限界法 7.3 组合问题中的分枝限界算法 7.4 图问题中的分枝限界算法 7.5 典型的c++程序 7.6 小结
7.1 算法思想
➢相对代价函数g(.)
衡量一个结点X的相对代价一般有两种标准：①在生成一个答案结点之前，子 树X上需要生成的结点数目；②在子树X上，离X最近的答案结点到X的路径长度。 容易看出，如果采用标准①总是生成最小数目的结点；如果采用标准②,则要成为 E-结点的结点只是由根到最近的那个答案结点路径上的那些结点。
do{ for(对结点E的每个孩子){ x=new Node;x->parent=E;//构造E的孩子结点x if(ĉ(X)<U){ //x子树未被限界函数剪枝 lst.Append(x); if(x是一个答案结点&&cost(x)<U) //x为答案结点时修正U if(u(x)+ < cost(x))U=u(x)+ ; else{U=cost(x);ans=x;} else if(u(x)+ < U) U=u(x)+ ;//x为非答案结点时修正U } } if(!lst.isempty()){ lst.serve(E);//从队列中取出活结点E if(ĉ(E)≥U) return ans; //若ĉ(E)≥U，则算法结束 } else return ans; //若队列为空，则算法结束

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当前研究
目前，分支限界法已成为解决优化问题的主流算法之一，在各个领域都
有广泛的应用和研究。同时，随着人工智能和机器学习的快速发展，分
支限界法在这些问题中的应用也日益增多。
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分支限界法的基本原理
搜索策略
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深度优先搜索
按照深度优先的顺序搜索 分支，尽可能深地搜索分 支，直到达到目标状态或 无法再深入。
结合人工智能技术，分支限界法可以 处理更复杂的问题，例如组合优化问 题、约束满足问题等，提高求解效率 和精度。
分支限界法在机器学习中的应用
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分支限界法可以应用于机器学习 中的分类、回归和聚类等问题， 通过优化搜索过程，提高模型的 精度和泛化能力。
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分支限界法可以结合深度学习技 术，例如神经网络和强化学习等 ，为机器学习提供更高效、可靠 的求解策略。
详细描述
生产调度问题是工业生产中常见的问题，旨在合理安 排生产计划和资源分配，以提高生产效率和降低成本 。分支限界法通过将问题分解为一系列子问题，并逐 个求解子问题的候选解，能够处理大规模、高维度的 生产调度问题，并给出近似最优解。
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分支限界法的未来展望
人工智能与分支限界法的结合
人工智能技术为分支限界法提供了更 高效、智能的求解策略，例如使用遗 传算法、模拟退火算法等启发式搜索 方法优化分支限界法的搜索过程。
组合优化
在组合优化问题中，如旅行商问题、 背包问题、图着色问题等，分支限界 法能够找到最优解或近似最优解。
分支限界法的历史与发展
01起源Biblioteka 分支限界法的思想起源于20世纪50年代，最早由贝尔实验室的科学家
提出。
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