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单元最短路径问题分支限界法【序】单元最短路径问题：分支限界法解析【引】在计算机科学中，图论问题一直是研究的热点之一。
而图的最短路径问题更是其中一个经典的困难问题。
在图中，单元最短路径问题就是要找到两个顶点之间的最短路径。
而在解决这个问题的过程中，我们可以借助分支限界法，来帮助我们找到最优的解。
本文将深度分析单元最短路径问题及分支限界法，以帮助读者全面理解并掌握这一问题解决方法。
【1】什么是单元最短路径问题？单元最短路径问题是图论中常见的一个问题，它要求在一个加权有向图或无向图中，找到两个给定顶点之间的最短路径。
该问题的解决方法包括了广度优先搜索、迪杰斯特拉算法等多种方法，其中分支限界法是一种常用的解决方法之一。
【2】分支限界法的基本思想分支限界法是一种通过搜索解空间来找到最优解的方法。
它通过将问题空间划分为一系列子问题，并不断搜索当前最优解的子空间，从而逐渐缩小问题空间，最终找到最优解。
【3】分支限界法在单元最短路径问题中的应用在解决单元最短路径问题时，分支限界法可以通过以下步骤来实施：1. 确定初始解和问题空间：选择一个顶点作为起始点，并设置一个初始解，例如将起始点的路径长度设置为0，其他顶点的路径长度设置为无穷大。
2. 扩展节点：从初始解开始，按照一定的扩展策略选择下一个节点进行扩展。
在单元最短路径问题中，我们可以选择将当前节点的邻接节点添加到解空间中。
3. 更新当前解：根据当前解空间中的节点，更新各节点的路径长度。
4. 剪枝：根据一定的条件，判断是否要剪去一些节点，从而缩小问题空间。
5. 重复上述步骤：不断迭代地重复上述步骤，直到找到最优解或者问题空间为空。
【4】为什么分支限界法适用于单元最短路径问题？分支限界法适用于单元最短路径问题的原因有以下几点：1. 分支限界法能够保证找到最优解。
通过不断地缩小问题空间，分支限界法能够找到最小的路径长度。
2. 分支限界法具有较高的搜索效率。
在每一步中，分支限界法都能够通过剪枝操作，排除一部分不可能达到最优解的节点，从而减少了搜索空间。
算法——分⽀限界法（装载问题）对⽐回溯法回溯法的求解⽬标是找出解空间中满⾜约束条件的所有解，想必之下，分⽀限界法的求解⽬标则是找出满⾜约束条件的⼀个解，或是满⾜约束条件的解中找出使某⼀⽬标函数值达到极⼤或极⼩的解，即在某种意义下的最优解。
另外还有⼀个⾮常⼤的不同点就是，回溯法以深度优先的⽅式搜索解空间，⽽分⽀界限法则以⼴度优先的⽅式或以最⼩耗费优先的⽅式搜索解空间。
分⽀限界法的搜索策略在当前节点（扩展节点）处，先⽣成其所有的⼉⼦节点（分⽀），然后再从当前的活节点（当前节点的⼦节点）表中选择下⼀个扩展节点。
为了有效地选择下⼀个扩展节点，加速搜索的进程，在每⼀个活节点处，计算⼀个函数值（限界），并根据函数值，从当前活节点表中选择⼀个最有利的节点作为扩展节点，使搜索朝着解空间上有最优解的分⽀推进，以便尽快地找出⼀个最优解。
分⽀限界法解决了⼤量离散最优化的问题。
选择⽅法1.队列式（FIFO）分⽀限界法队列式分⽀限界法将活节点表组织成⼀个队列，并将队列的先进先出原则选取下⼀个节点为当前扩展节点。
2.优先队列式分⽀限界法优先队列式分⽀限界法将活节点表组织成⼀个优先队列，并将优先队列中规定的节点优先级选取优先级最⾼的下⼀个节点成为当前扩展节点。
如果选择这种选择⽅式，往往将数据排成最⼤堆或者最⼩堆来实现。
例⼦：装载问题有⼀批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1，c2的轮船，其中集装箱i的重量为wi，且要求确定是否有⼀个合理的装载⽅案可将这n个集装箱装上这2艘轮船。
可证明，采⽤如下策略可以得到⼀个最优装载⽅案：先尽可能的将第⼀艘船装满，其次将剩余的集装箱装到第⼆艘船上。
代码如下：//分⽀限界法解装载问题//⼦函数，将当前活节点加⼊队列template<class Type>void EnQueue(Queue<Type> &Q, Type wt, Type &bestw, int i, int n){if(i == n) //可⾏叶结点{if(wt>bestw) bestw = wt ;}else Q.Add(wt) ; //⾮叶结点}//装载问题先尽量将第⼀艘船装满//队列式分⽀限界法，返回最优载重量template<class Type>Type MaxLoading(Type w[],Type c,int n){//初始化数据Queue<Type> Q; //保存活节点的队列Q.Add(-1); //-1的标志是标识分层int i=1; //i表⽰当前扩展节点所在的层数Type Ew=0; //Ew表⽰当前扩展节点的重量Type bestw=0; //bestw表⽰当前最优载重量//搜索⼦集空间树while(true){if(Ew+w[i]<=c) //检查左⼉⼦EnQueue(Q,Ew+w[i],bestw,i,n); //将左⼉⼦添加到队列//将右⼉⼦添加到队列即表⽰不将当前货物装载在第⼀艘船EnQueue(Q,Ew,bestw,i,n);Q.Delete(Ew); //取下⼀个节点为扩展节点并将重量保存在Ewif(Ew==-1) //检查是否到了同层结束{if(Q.IsEmpty()) return bestw; //遍历完毕，返回最优值Q.Add(-1); //添加分层标志Q.Delete(Ew); //删除分层标志，进⼊下⼀层i++;}}}算法MaxLoading的计算时间和空间复杂度为O(2^n).上述算法可以改进，设r为剩余集装箱的重量，当Ew+r<=bestw的时候，可以将右⼦树剪去。
