福建省泉州市2015届高三3月教学质量检查数学(文)试题 Word版含答案
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准考证号 姓名（在此卷上答题无效）保密★启用前泉州市2015届普通中学高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：s =，其中x 为样本平均数； 柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列所给的函数中，定义域为),0[+∞的是A ．xy 1= B ．21x y = C ．xy -=3 D ．x y lg =2．下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是3．若集合}1{<=x x A ，}02{2<-=x x x B ，则=B AA ．)2,1(-B ．)1,0(C ． )2,0(D ．)2,1(4．若2tan =α，则ααααcos sin cos sin -+等于A ．3-B ．31-C ．31D ．35．若向量a ，b 不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是A ．2-a b 与2-+a bB ．35-a b 与610-a bC ．2-a b 与57+a bD ．23-a b 与1324-a b6．已知函数313,0,()log ,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 则方程()1f x =-解的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 7．“1a =”是“直线(2)30ax a y +-+=与20x ay --=垂直”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的结果为21，则判断框中应填入A ．3?n >B ．3?n <C ．4?n <D ．4?n >9．若双曲线122=-y x 与椭圆122=+y tx 有相同的焦点，则椭圆122=+y tx 的离心率为A ．23 B ．32 C ．36D ．33210．已知,a b 为两条互不垂直．．．．．．的异面直线，a α⊂，b β⊂. 下列四个结论中，不可能．．．成立的是A ．//b αB ．b α⊥C ．//βαD ．βα⊥11．函数()y f x =的图象如图所示，则函数()f x 有可能是A ．21sin x x ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．21cos x x ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．221sin x x ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．221cos x x ⎛⎫⎪⎝⎭12．直线()y k x m =-（,k m ∈R 且0k ≠）与圆221x y +=交于,A B 两点，记以Ox 为始边（O 为坐标原点），,OA OB 为终边的角分别为,αβ，则()sin αβ+的值 A ．只与m 有关 B ．只与k 有关， C ．与m ，k 都有关 D ．与m ，k 都无有关第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卷的相应位置． 13．复数ii-+11等于__________．（i 是虚数单位） 14．已知ABC ∆中，3=AB ，5=AC ，120=A ，则BC 等于__________．15．若实数y x ,满足约束条件4,1,360,x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪--≥⎩则x y 的取值范围是 ．16．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验．借鉴其原理，我们也可以采用计算机随机数模拟实验的方法来估计π的值：先由计算机产生1200对01之间的均匀随机数,x y ；再统计两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值. 假如统计结果是340=m ，那么可以估计π≈_____________．（精确到0.001）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知：等差数列{}n a 中，35a =，59a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2n an b =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，试求满足2015n S >的最小正整数n ．18.（本题满分12分）某校为了解高一年段学生的体重情况，先按性别分层抽样获取样本，再从样本中提取男、女生体重数据，最后绘制出如下图表. 已知男生体重在)62,50[的人数为45．（Ⅰ）根据以上图表，计算体重在[56,60)的女生人数x 的值；（Ⅱ）若从体重在[66,70)的男生和体重在[56,60)的女生中选取2人进行复查，求男、女生各有一人被选中的概率；（Ⅲ）若体重在[50,54)，[54,58)，[58,62)的男生人数比为7:5:3，试估算高一年段男生的平均体重．19．（本小题满分12分）已知函数()2cos 2sin 1222x x xf x =-+． （Ⅰ）若()65f α=，求cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）把函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移m ()0m >个单位，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，求m 的最小值．20．（本题满分12分）在如图1所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，ED ⊥平面ABCD ，//ED FC ，FC ED 21=，M 是AF 的中点． （Ⅰ）求证：//EM 平面ABCD ； （Ⅱ）求证：平面AEF ⊥平面FAC ；（Ⅲ）若图2是该多面体的侧视图，求四棱锥CDEF A -的体积．21．（本题满分12分）已知抛物线G ：()220y px p =>的焦点到准线的距离为2，过点()(),00Q a a >的直线l 交抛物线G 于,A B 两点（如图所示）．（Ⅰ）求抛物线G 的方程；（Ⅱ）有人发现，当点Q 为抛物线的焦点时，11QA QB+的值与直线l 的方向无关．受其启发，你能否找到一个点Q ，使得2211QAQB+的值也与直线l 的方向无关．22．（本小题满分14分）已知函数b ax x f -=)(，x x g e =)(（R ∈b a ,），)(x h 为)(x g 的反函数．（Ⅰ）若函数)()(x g x f y -=在1=x 处的切线方程为2)1(--=x y e ，求b a ,的值； （Ⅱ）当0b =时，若不等式()()f x h x >恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）当b a =时，若对任意]0,(0-∞∈x ，方程)()()(0x g x h x f =-在],0(e 上总有两个不等的实根，求a 的最小值．泉州市2015届普通中学高中毕业班质量检查文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，或受篇幅限制、或考虑问题还不够周全，遇多种解法时，一般提供最能体现试题考查意图的最常规和最典型的解法.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．B 2．D 3．B 4．D 5．C 6．C7．A 8．A 9．C 10．B 11．A 12．B 部分试题考查意图说明：第5题 考查基底概念——不共线，平面向量的运算. 第6题 考查分段函数、分类整合思想、对数运算.第7题 考查直线与直线位置关系和充要每件概念,考查运算求解能力. 第8题 考查程序框图、对数运算，考查运算求解能力与推理论证能力. 第9题 考查椭圆与双曲线的方程和性质，考查运算求解能力.第10题 考查空间线面位置关系及异面直线的概念，考查空间想象能力和推理论证能力. 第11题 考查三角函数和函数的奇偶性、单调性，考查推理论证和抽象概括能力，考查创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想等. 根据图象的对称性和函数的奇偶性先排除C ，D 选项；当→+∞x 时，210→x 且210>x，21cos1→x ，21cos ⎛⎫→→+∞ ⎪⎝⎭x x x ，排除B.也可根据单调性，确定A 或排除B. 第12题 显性考查直线与圆的位置关系，隐性考查三角函数的定义以及两角和的三角函数公式，考查推理论证和抽象概括能力以及创新意识，考查数形结合思想、特殊与一般思想、分类与整合思想等. 可考察直线1=-y x k 与圆的交点，得到sin 2+αβ与cos 2+αβ的表达式；可考虑按k 定m 变与k 变m 定分类，特殊化地考察()sin αβ+的值；也可通过作图，分析,αβ与倾斜角θ的关系判断答案.二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.13．i ； 14．7； 15．]23,41[； 16. 3.133. 部分试题考查意图说明：第16题 本题综合考查线性规划、随机模拟方法、几何概型等知识，体现对数据处理能力的考查，体现对以频率估计概率的统计思想的考查，体现对必然与或然思想的考查。
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力与推理论证能力，考查函数与方程思想等．满分12分． 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为35a =，59a =，所以53295a a d -==-，2d =， …………2分 又由3125a a d =+=，得11a =． …………4分 所以1(1)21n a a n d n =+-=-． …………6分 （Ⅱ）由=2n an b ，得212n n b -=，因为21121242n n n n b b ++-==，所以数列{}n b 是首项12b = ，公比4q =的等比数列．…8分故()()214241143n n nS ⨯-==⋅--． …………10分由()24120153n ⋅->，可得604743023.52n >=. 因为*56N ,41024,44096n ∈==， 所以5643023.54<<，即562015S S <<， 注意到()2413nn S =⋅-是单调递增函数， 所以满足2015n S >的最小正整数n 的值为6． …………12分18．本小题主要考查频率分布直方图、频率分布图表、古典概型、用频率估计概率的统计思想等统计与概率的基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想等.. 满分12分.解：（Ⅰ）由男生体重数据频率分布直方图可知，体重落在区间)62,50[的频率为1(0.0250.0250.0125)40.75-++⨯=． (1)分因为男生体重在)62,50[的人数为45，所以本次抽样中男生抽取的总人数为6075.045=÷. (2)分因为样本是按性别分层抽样获取的，所以根据饼图描述的男，女生人数比，可知女生抽取的总人数为40． (3)分所以体重落在区间]60,56[的女生人数为2)3510182(40=++++-=x ． (4)分（Ⅱ）体重落在区间]70,66[的男生人数为600.012543⨯⨯=. …………5分记体重落在]70,66[的3名男生为C B A ,,，体重落在]60,56[的2名女生为b a ,． 则事件“从体重在[66,70)的男生和体重在[56,60)的女生中选取2人进行复查”包含的基本事件有：),(B A ，),(C A ，),(C B ，),(a A ，),(b A ，),(a B ，),(b B ，),(a C ，),(b C ，),(b a ，总数为10. 记 “男、女生各有一人被选中” 的事件为R ，则事件R 包含的基本事件有：),(a A ，),(b A ， ),(a B ，),(b B ，),(a C ，),(b C ，共6个. …………6分因为事件空间中基本事件个数有限，且每个基本事件发生的可能性相同，所以该概率模型属于古典概率模型， ………7分 所以男、女生各有一人被选中的概率63()105P A ==． …………8分（Ⅲ）因为体重在[50,54)，[54,58)，[58,62)的男生人数比为7:5:3，又由（Ⅰ）可知体重落在区间)62,50[的频率为75.0，所以男生第2，3，4组体重数据的频率分别为15.0，25.0，35.0. (10)分因为由直方图可知，男生第1，5，6组体重数据的频率分别为1.0，1.0，05.0， 所以样本中60名男生的平均体重约为：4.5705.0681.06435.06025.05615.0521.048=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯.……11分以样本估计总体，可以估计高一年段男生平均体重为4.57公斤． (12)分19．本小题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象变换、函数的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等．. 满分12分. 解：（Ⅰ）方法一：因为()2cos 2sin 1cos 222x x x f x x x =-+=+=2sin 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π．…3分所以由()65f α=可得3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭． …………4分所以3cos sin =sin 32365ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． (6)分方法二：因为()2cos 2sin 1cos 222x x xf x x x =-+=+， …2分所以由()65f α=6cos 5+=αα． (3)分所以13cos sin 325⎛⎫-=+=⎪⎝⎭πααα．…………5分 （Ⅱ）()2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π （用方法一者此处补上化简的1分）依题意得()()112sin 2sin 26226m g x x m x ππ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭． …………8分 因为()g x 为偶函数，可得+262m k πππ+=，则223m k ππ=+，k Z ∈．……11分因为0m >，所以当0k =时，m 取得最小值23π． …………12分20．本小题主要考查空间中直线与平面的位置关系、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等. 满分12分.解：（Ⅰ）连接,AC BD ，设ACBD O =，则O 为BD 的中点.连接OM ,则1//,2MO FC MO FC =且. …………1`分又∵//ED FC ，且FC ED 21=，∴//,MO ED MO ED =且， ∴EDOM 是平行四边形，//EM DO . …………2分 ∵⊄EM 平面ABCD ,⊂DO 平面ABCD ，∴//EM 平面ABCD ． …………4分 （Ⅱ）∵//ED FC ，ED ⊥底面ABCD ，∴CF ⊥底面ABCD ， …………5分 又∵⊂DO 平面ABCD ,∴CF DO ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AC DO ⊥. ∵,CF AC ⊂平面FAC ,CF AC C =，∴DO ⊥平面FAC . …………7分 由（Ⅰ）知//,EM DO∴EM ⊥平面FAC ． …………8分 又∵EM ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面FAC ． …………9分（Ⅱ）由侧视图可知，4,2===CF DC ED . …………10分∵四边形ABCD 是正方形，∴4AD =．∵ED ⊥平面ABCD ，AD ABCD ⊂面，∴ED AD ⊥，又∵AD DC ⊥，EDDC D =，∴AD ⊥平面EDCF ． (11)分则()24411416332A EDCF EDCF V AD S -+⨯=⋅⋅=⨯⨯=． …………12分21．本小题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）因为抛物线G ：()220y px p =>中p 的几何意义就是焦点到准线的距离，所以抛物线G 的方程是24y x =． …………2分 （Ⅱ）解法一：因为直线l 交抛物线G 于,A B 两点，所以直线AB 的斜率必不为0.设直线:AB x my a =+． (3)分联立方程组2,4,x my a y x =+⎧⎨=⎩得2440y my a --=. …………4分当216160m a ∆=+>，即2a m >-时，直线l 与抛物线G 相交， (5)分设交点的坐标为()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4y y m y y a +==-． (6)分所以1QA ==，同理可得2QB y =，所以2222212111111m y y QAQB⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭()()()22212121222221212211=11y y y y y y m m y y y y +-+=⋅⋅++ 222222116812=1161am m a m a m a ++⋅=⋅++.（*） (10)分若2211QAQB+是定值，则式子（*）与m 的取值无关.因为当且仅当2a =时，式子（*）与m 的取值无关， 所以存在唯一的一个点()2,0Q ，使得2211QAQB+的值也与直线l 的方向无关（此时，2211QAQB+恒为定值14）． …………12分 解法二：由条件可知直线AB 的斜率不为0，若直线AB 的斜率k 存在，设直线:AB ()y k x a =-， …………3分联立方程组()2,4,y k x a y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得()22222240k x k a x k a -++=， …………4分当()2242224416160k a k a k a ∆=+-=+>时，直线l 与抛物线G 相交. ……5分设交点的坐标为()()1122,,,A x y B x y ，则221212224,k a x x x x a k++==． (6)所以1QA a ==-，同理可得2QB a =-，所以()()()()()()2212222222221212+11111111x a x a k k x a x a x a x a QA QB ⎛⎫--+=+=⋅ ⎪ ⎪++---⋅-⎝⎭2221816116k a k a+=⋅+（*） …………9分 若2211QAQB+是定值，则式子（*）的值与k 无关.因为当且仅当816a =，2a =时，式子（*）的值与k 无关， 所以存在点()2,0Q ，使得2211QAQB+恒为定值14． …………10分若直线AB 斜率不存在，即直线AB ：2x =， 此时22||||8QA QB ==，也满足2211QAQB +14=． …………11分 综上可知，能找到一个点Q ，使得2211QAQB+的值也与直线l 的方向无关（如取()2,0Q ，则2211QAQB+恒为定值14）． …………12分22．本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的的运算及导数的应用、全称量词与存在量词等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想等．满分14分.解：（Ⅰ）因为()()xy f x g x ax b e =-=--，所以xa x g x f y e -=-=)(')(''， 由e 1e -=-==a y x 1'，解得1=a . (2)分因为切点坐标为)1,1(e --，代入函数式()()xy f x g x x b =-=--e ，可得2=b ． (4)（Ⅱ）当0=b 时，()f x ax =．因为)(x h 为)(x g 的反函数，所以x x h ln )(=（0>x ）． (5)分所以()()f x h x >即ln ax x >. 方法一：又因为0>x ，所以ln ax x >等价于a xx<ln ． …………6分令ln ()x k x x =，则21ln '()xk x x -=. 解'()0k x =，得e =x ；解'()0k x >，得0x e <<；解'()0k x <，得e x >． 所以()k x 在),0(e 单调递增，在),(+∞e 单调递减，由上可知1()()e e k x k ≤=， ……8分 故实数a 的取值范围是1(,)e+∞. (9)分方法二：令()ln =-n x ax x ，当0≤a 时，因为存在1=x ，使得(1)0=≤n a ，所以()ln =-n x ax x 不恒为正数. …………6分当0>a 时，'1()()-=a x a n x x, 因为0>x ，所以解'()0=n x ，得1x a =；解'()0>n x ，得1>x a ；解'()0<n x ，得10<<x a ．故()ln =-n x ax x 在1(0,)a 递减，在1(,)+∞a递增，所以1()ln 1ln 1ln =-≥-=+n x ax x a a. …………8分令1ln 0+>a 得1>a e ，故实数a 的取值范围是1(,)e+∞. ……9分方法三：设直线y ax =与ln y x =的图象切于点00(,ln )P x x ， 则01a x =且00(,ln )P x x 在直线y ax =上， 所以00ln 1,x x e ==,即直线1y x e=与ln y x =的图象切于点(,1)P e . ……8分 通过考察函数y ax =与ln y x =的图象，可知不等式()()f x h x >恒成立时，a 的取值范围为1(,)e+∞. ……9分（Ⅲ）解法1：当b a =时，)()()(0x g x h x f =-即0ln xx a ax e =--，0ln 0=---x x a ax e ．令0()ln e xm x ax a x =---，则11'()ax m x a x x-=-=. 方程)()()(0x g x h x f =-在],0(e 上总有两个不等的实根等价于函数()y m x =的图象与x 轴在],0(e 上有两个不同的交点． ……10分 （ⅰ）当0≤a 时，因为(0,]e x ∈，所以1'()0m x a x=-<， 所以函数()y m x =在],0(e 单调递减，从而函数()y m x =在],0(e 内的零点最多一个，不符合题意. …11分 （ⅱ）当0>a 时，因为0x >，解11'()0ax m x a x x -=-==，得a x 1=；解'()0m x >，得1x a>；解'()0m x <，得10x a <<.所以函数()y m x =在)1,0(a 单调递减，在),1(+∞a单调递增.① 当e ≥a1时，因为()y m x =在],0(e 单调递减，所以函数()y m x =在区间],0(e 内的零点最多一个，不符合题意要求；……12分 ②当e <<a10时，因为当x 趋于0时，()y m x =的值趋于正无穷大，所以当且仅当1,1()0,()0a e m a m e ⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪≥⎪⎪⎩时函数()y m x =在],0(e 有两个零点．由1()0m a<得0ln 10<-+-x a a e，即0ln 1x a a e <+-对0(,0]x ∈-∞恒成立.因为对任意的]0,(0-∞∈x 时，010<ex ≤，所以，1()0m a<等价于1ln 0a a -+≤. 再令()1ln y n a a a ==-+，则'1'()1y n a a==-. 解1'()10n a a=-=得1=a ；解'()0n a >得01a <<；解'()0n a <得1a >. 所以函数()y n a =在)1,0(单调递增，在),1(+∞单调递减. 所以()1ln (1)0n a a a n =-+≤=，故1()0m a<的解为0a >． 由()0e m ≥得010≥---x e a ae 即01x e a ae ≥--对]0,(0-∞∈x 恒成立.因为]1,0(0∈x e，所以11≥--a ae ，所以()0e m ≥的解为12-≥e a ． 所以1,1()0,()0a e m a m e ⎧≥⎪⎪⎪<⎨⎪≥⎪⎪⎩的解为12-≥e a . (13)分综合①②得12-≥e a . 综合（ⅰ）（ⅱ）得满足题意要求的实数a 的最小值为12-e ． …………14分解法2：当ba =时，)()()(0x g x h x f =-即ln x x a ax e =--，得x x a x ln )1(0=--e ．方程)()()(0x g x h x f =-在],0(e 上总有两个不等的实根等价于函数0)1(x x a y e --=与x y ln =的图象在],0(e 上有两个不同的交点． (10)分因为直线0)1(xx a y e --=的斜率为a ，过定点P ),1(0xe -， 且由]0,(0-∞∈x 可得]1,0(0∈x e ，)0,1[-0-∈x e ． …………11分所以当且仅当⎩⎨⎧=≥-->1ln )1(00e e e x a a 时，0)1(x x a y e --=与x y ln =的图象在],0(e 上有两个不同的交点． …………12分又因为1)1(0≥--x a ee 对任意]0,(0-∞∈x 恒成立，所以12)11(max 0-=-+≥e e e x a ． …………13分综上所述，满足题意要求的实数a 的最小值为12-e ． …………14分。
