任意角、弧度制及任意角的三角函数(含解析)新人教A版

三角函数、解三角形
第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数
一、选择题
1．sin 2cos 3tan 4的值( )．
A ．小于0
B ．大于0
C ．等于0
D ．不存在
解析 ∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，
∴sin 2cos 3tan 4＜0.
答案 A
2．已知点P (sin 5π4，cos 3π4
)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ是第________象限角．( )
A ．一
B ．二
C ．三
D ．四
解析 因P 点坐标为(－
22，－22)，∴P 在第三象限． 答案 C
3．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为
( )． A ．40π cm 2
B ．80π cm 2
C ．40cm 2
D ．80cm 2 解析 72°＝
2π5，∴S 扇形＝12αR 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)． 答案 B
4．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；
⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的个数是
( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，
其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6
与
5π6
的终边不相同，故④错；当θ＝π，cos θ＝－1<0时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．
答案 A
5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin
θ＝－255
，则y ＝ ( )． A ．－8 B ．8 C ．－4
D ．4 解析 根据题意sin θ＝－255
<0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得，
y 42＋y 2＝－255，又∵y <0，∴y ＝－8(合题意)，y ＝8(舍去)．综上知y ＝－8.
答案 A
6．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3
弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )．
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32
，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，12 解析 设α＝∠POQ ，由三角函数定义可知，Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos α， y ＝sin α，∴x ＝－12，y ＝
32，∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32. 答案 A
二、填空题 7．若β的终边所在直线经过点P ⎝
⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________， tan β＝________.
解析 因为β的终边所在直线经过点P ⎝
⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限．
所以sin β＝22或－22
，tan β＝－1.
答案 22或－22
－1 8．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第______象限．
解析 ∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0.
∴角α在第二象限．
答案 二
9．设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．
解析 由题意得S ＝12(8－2r )r ＝4，整理得r 2－4r ＋4＝0，解得r ＝2.又l ＝4，故|α|＝l r
＝2(rad)．
答案 2
10．函数y ＝2cos x －1的定义域为________．
解析
∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12
. 由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．
∴x ∈⎣
⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )． 答案 ⎣
⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 三、解答题
11． (1)写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤α<720°的元素α写出来：
①60°；②－21°.
(2)试写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．
解 (1)①S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－300°，60°，420°；
②S ＝{α|α＝－21°＋k ·360°，k ∈Z }，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－21°，339°，699°.
(2)终边在y ＝－3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝k ·360°＋120°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋300°，k ∈Z }＝{α|α＝k ·180°＋120°，k ∈Z }，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.
12．(1)确定tan －3 cos8·tan5
的符号；
(2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号．
解析 (1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角，
∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0，
∴原式大于0.
(2)若0<α<π2
，则如图所示，在单位圆中，OM ＝cos α，MP ＝sin α， ∴sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1.
若α＝π2
，则sin α＋cos α＝1. 由已知0<m <1，故α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π. 于是有sin α－cos α>0.
13．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解 设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，
则⎩⎪⎨⎪⎧ 12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧
r ＝1，l ＝2. ∴圆心角α＝l r
＝2. 如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad.
∴AH ＝1·sin 1＝sin 1 (cm)，∴AB ＝2sin 1 (cm)．
14． 如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C
是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45，△AOB 为
正三角形．
(1)求sin ∠COA ；(2)求cos ∠COB .
解 (1)根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45
. (2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°，
又sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35
， ∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°)
＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60° ＝35·12－45·32＝3－4310
.。