2017-2018学年高中数学人教B版 选修2-2学业分层测评

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步验证( )

A．n＝1 B．n＝2

C．n＝3 D．n＝4

【解析】 由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．

【答案】 C

2．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则( )

A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13

B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14

C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13

D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14

【解析】 结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝12＋13＋14.

【答案】 D

3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1(n∈N＋)时，等式左边应在n＝k的基础上加上( )

A．k2＋1

B．(k＋1)2

C.k＋14＋k＋122

D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2

【解析】 当n＝k时，等式左边＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，故选D.

【答案】 D

4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )

A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立

B．若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立

C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)

D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均为f(k)≥k2成立

【解析】 对于A，若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错；对于B，若f(5)≥25成立，则当k≥5时均有f(k)≥k2成立，故B错；对于C，应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥k2成立．”

【答案】 D

5．已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其证明：

(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．

(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝1－2k＋11－2＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立．

由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立．判断以上评述( )

A．命题、推理都正确

B．命题正确、推理不正确

C．命题不正确、推理正确

D．命题、推理都不正确

【解析】 推理不正确，错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.

【答案】 B

二、填空题

6．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________.

【导学号：05410053】

【解析】 ∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2， f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，

∴f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2，

即f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.

【答案】 f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2

7．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1n＋12>12－1n＋2.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是___________________________．

【解析】 当n＝k＋1时，目标不等式为：122＋132＋…＋1k＋12＋1k＋22>12－1k＋3.

【答案】 122＋132＋…＋1k＋12＋1k＋22>12－1k＋3

8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝n2n2＋13时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是__________．

【解析】 当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12.

当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，

所以左边添加的式子为(k＋1)2＋k2.

【答案】 (k＋1)2＋k2

三、解答题

9．用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋)．

【证明】 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，

那么，当n＝k＋1时，1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.

这就是说，当n＝k＋1时等式成立．

根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立．

10．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n－11)． 【证明】 (1)当n＝2时，左边＝1＋12＋13，右边＝2，左边<右边，不等式成立．

(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k－1

由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立．

[能力提升]

1．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成( )

A．假设n＝2k＋1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋3时正确

B．假设n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋1时正确

C．假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋1时正确

D．假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋2时正确

【解析】 ∵n为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成：

假设n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推出n＝2k＋1时正确．故选B.

【答案】 B

2．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：

(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立；

(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则当n＝k＋1时，k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2<

k2＋3k＋2＋k＋2＝k＋22

＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立．

上述证法( )

A．过程全都正确

B．n＝1验证不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 【解析】 n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证题要求．故选D.

【答案】 D

3．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为__________. 【导学号：05410054】

【解析】 当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.

【答案】 25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2

4．设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.

(1)求f(0)的值；

(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；

(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式，并用数学归纳法加以证明．

【解】 (1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0⇒f(0)＝0.

(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，

f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，

f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.

(3)猜想f(n)＝n2，

下面用数学归纳法证明．

当n＝1时，f(1)＝1满足条件．

假设当n＝k(k∈N＋)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.