《3.3指数函数2》教学案
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《3.3指数函数2》教学案
教学目标：
1、知识与技能
(1)进行学习指数函数的图像和性质，并用来解答．
(2)能够画出指数函数的图像，总结出指数函数的性质，并通过图像和性质比较指数的大小和解简单的指数不等式．
2、过程与方法
(1)让学生掌握指数函数的图像和性质，进一步体会指数函数的性质与底数的关系． (2)通过特殊到一般的研究方法研究一个陌生问题是一种常规的思维方式，是由表及里的上升循环过程，学习指数函数的性质是为了更好的研究具体函数．
3、情感．态度与价值观
使学生通过学习指数函数的图像，了解到指数函数具有的性质．在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等，增强学习指数函数的积极性和自信心．
教学重点:
指数函数的图像和性质．
教学难点：
指数函数的图像和性质与底数的关系
讲授过程:
【新课导入】 [互动过程1]
复习：指数函数x y a =在底数1a >及01a <<这两种情况下的图像和性质：
练习:比较下列数的大小关系:(
)9与9；()0.7与0.7 [互动过程2]
根据指数函数的性质，我们就可以解方程x 264=．你能解指数不等式吗？怎样解？ 例2(1)求不等式x 432>成立的x 的集合；(2)
已知4
5a >a 的取值范围．
分析：对于指数不等式，即比较不等式左右两边数的大小，可以把两边的数化为同底数，根据指数函数的单调性比较出来，也可以直接利用计算器算出数值进行比较．
解:(1)x 432>即为2x 522>，因为x y 2=在R 上是增函数，所以2x 5>，5
x 2
>．所以满足x 432>的x 的集合为5{x |x }2
>．
(2)
由于
4
5
<
45a >x y a =为减函数，所以0a 1<<．
练习2：(1)求不等式x
1
273
>成立的x 的集合；(2)已知5
a >a 的取值范围．
解:(1)x
1273>即为3x 133->，因为x y 3=在R 上是增函数，所以3x 1>-，1
x 3
>-．所
以满足x
1273>
的x 的集合为1{x |x }3
>-． (2)由于52
>
且5
a >x y a =为增函数，所以a 1>．
[互动过程3]
例3．请你在同一坐标系中画出函数x y 2=和x
1y ()2
=的图像，说出其 自变量，函数值及其图象间的关系．
解：在同一坐标系中画出函数x y 2=和x
1y ()2=的图像如图所示， 从图中可以看出，当函数x y 2=和函数x
1y ()2
=的自变量的取值 互为相反时，其函数值是相等的，因而两个函数的图像关于y 轴对称．
猜想：函数x a y =与x
a
y )1(=的图像之间有什么关系？能说明吗？
分析：函数x a y =图像上的点(,)x x a 关于y 轴对称的点(,)x x a --，该点坐标还可可表示为1(,())x
x a
--在x
a
y )1(=的图像上；x
a
y )1(=图像上的点1(,())x
x a
关于Y 轴对称的点
1
(,())x x a -，该点坐标还可可表示为(,)x x a --在x a y =图像上.因此，猜想函数x a y =与
x a
y )1
(=关于y 轴对称是正确的.
结论1：
一般地，当函数x y a =和函数x
1
y ()a
=，即函数x y a -=的自变量的取值互为相反数时，其函数值是相等的，这两个函数的图像是关于y 轴对称的．
练习3：请你在同一坐标系中画出函数x y 3=和x
1y ()3
=的图像． [互动过程4]
指数函数x y a (a 0=>且a 1)≠中，底数a 对函数图像有什么影响？请同学们在同一指教坐标系中画出函数x y 2=和函数x y 3=的图象，比较两个函数增长的快慢．
从表或图象可以看出
(1)当x 0<时，总有x x 23>； (2)当x 0>时，总有x x 23<；
(3)当从0增加到10，函数x y 2=的函数值从1增加到1024，函数x y 3= 的函数值从1增加到59049．这说明，当x 0>时，函数x y 3=的函数值比函数
x y 2=的函数值增长得快．
结论2：一般地，当a b 1>>时， (1)当x 0<时，总有x x a b 1<<；
(2)当x 0=时，总有x x a b 1==； (3)当x 0>时，总有x x a b 1>>；
(4)指数函数的底数越大，当x 0>时，其函数值增长得就越快． [互动过程5]
请同学们分别画出底数为0．2，0．3，0．5的指数函数的图象， 想像底数为2，3，5时指数函数的图象，研究指数函数x y a (0a 1)=<< 中，a 对函数图象变化的影响．
观察图形，请你总结出函数图象随着a 变化的规律是什么？
当字变量取同一数值时，比较对应函数值的大小，你能发现什么规律？ 结论3：一般地，当0a b 1<<<时， (1)当x 0<时，总有x x a b 1>>； (2)当x 0=时，总有x x a b 1==； (3)当x 0>时，总有x x 0a b 1<<<；
(4)指数函数的底数越大，当x 0<时，其函数值减少得就越缓慢． 例4．比较下列各题中的两个数的大小：
(1)0.6 1.6
1.8,0.8；(2)23351(),23
--． 解：方法一：直接用科学计算器计算各数的值，再对两个数进行比较大小． (1)因为0.6 1.61.8 1.422864,0.80.699752==，所以0.6 1.61.80.8>；
(2)因为23351() 2.08084,20.6597543--==，所以2
3351()23
--> 方法二：利用指数函数的性质对两个数值进行比较大小．
(1)．由指数函数的性质知0.60 1.601.8 1.81,0.80.81>=<=，所以0.6 1.61.80.8>
(2)．由指数函数的性质知23351()1,0213--><<，所以23
351
()23
-->．
练习4．比较下列各题中的两个数的大小：
(1) 3.50.6
1.8,0.8；(2)5
2
631(),23
．
例5．已知1x 0-<<，比较x 3-，x 0.5-的大小，并说明理由．
解：因为1x 0-<<，所以0x 1<-<．而31>，因此有x 31->，又00.51<<，所以有x 00.51-<<，所以x x 30.5-->．
练习5：已知
1
x 32
<<，比较x 3-，x 0.5-的大小，并说明理由．
[互动过程6]
我们已经把整数指数幂扩充到有理指数幂，前面学习过的幂函数n y x =中的指数n 也可以扩充到有理数．下面讨论有理数指数幂12
y x =的性质．
列出x,y 的对应值；用描点的方法，画出函数1
2y x =的图像
它的性质：(1)函数定义在区间[0,)+∞上，值域是[0,)+∞； (2)图像过点(0，0)，(1，1)； (3)函数是增函数．
练习6．若a 0>，比较a 1+与1
22(a 1)+的大小关系． 【课堂小结】：
1．利用指数函数的单调性比较两个数的大小关系． 2．掌握不同底的指数函数的大小比较关系． 3．幂函数1
2y x =的性质．
【作业布置】:课本习题:3-3 A 组1-7。
