抛物线及其标准方程教案(理科)

教学过程一、课堂导入在初中，我们学习了二次函数2=++，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：（1）2y ax bx c4y x=-=，（2）24y x的图象（如下图）：那么，什么样的曲线是抛物线，它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容。

二、复习预习我们知道，与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线．那么，当e＝1时它是什么曲线呢？把一根直尺固定在图板上直线l的位置(如下图)．把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离)，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F．用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线．从图中可以看出，这条曲线上任意一点P到F的距离与它到直线l的距离相等．把图板绕点F旋转90°，曲线就是初中见过的抛物线．平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．三、知识讲解抛物线的标准方程及准线方程下面根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程．如下图，建立直角坐标系xOy ，使x 轴经过点F 且垂直于直线l ，垂足为K ，并使原点与线段KF 的中点重合．设||(0)KF p p =>，那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线方程是2px =-.设点M (x ，y )是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d ．由抛物线的定义，抛物线就是集合P ={ M ||MF |=d }．||,2pd x =+||2px =+.将上式两边平方并化简，得22(0)y px p => ①方程①叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p ，它的准线方程是2px =-.一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同．所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：22y px =-,，22x py =，22x py =-．这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程列表如下：对表格的说明：方便学生掌握（统观四种情况）（1）(0)p p 表示焦点F到准线l的距离；（2）抛物线标准方程，左边为二次，右边为一次。

若一次项是x，则对称轴为x轴，焦点在x轴上；若一次项是y，则对称轴为y轴，焦点在y轴上；（对称轴看一次项）（3）标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向坐标轴正方向；若一次项前面的系数为负数，则开口方向为坐标轴负方向；（符号决定开口方向）四、例题精析例1 （1）已知抛物线的标准方程是26y x =，求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点是()0,2F -，求它的标准方程.【规范解答】解：（1）因为3p =，所以抛物线的焦点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为32x =-（2）因为抛物线的焦点在y 轴上，所以抛物线方程为28x y =-． 【总结与反思】（1）先看清一次项，判定对称轴与焦点所在位置，画草图，再求出p 的值得到焦点坐标和准线方程。

（2）先判定出焦点在y 轴上，从而得到一次项为y ，再求出p 的值进而写出方程.例2 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．（1）yx42=（2）)0xay=a(2≠【规范解答】解:（1）2=p ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y（2）原抛物线方程为：x a y 12=，ap 12=∴ ①当0>a 时，a p 412=，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：a x 41-=．②当0<a 时，a p 412-=，抛物线开口向左，∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：ax 41-=．综合上述，当0≠a 时，抛物线2ay x =的焦点坐标为)0,41(a ，准线方程是：ax 41-=． 【总结与反思】（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．例3 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方程．【规范解答】解法一：设),(11y x A 、),(22y x B ，则由：⎩⎨⎧=-=xy kx y 822可得：04)84(22=++-x k x k ．∵直线与抛物线相交，0≠∴k 且0>∆，则1->k ． ∵AB 中点横坐标为：2842221=+=+∴kk x x ，解得：2=k 或1-=k （舍去）． 故所求直线方程为：22-=x y ．解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22212188x y x y ==．两式作差解：)(8))((212121x x y y y y -=+-，即2121218y y x x y y +=--． 421=+x x 444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ，448-=∴k k 故2=k 或1-=k （舍去）．则所求直线方程为：22-=x y ． 【总结与反思】由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k ．例4求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切．【规范解答】证明： （如下图） 作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B ．M 为AB 中点，作l MM ⊥1于1M ，则由抛物线的定义可知：BF BB AF AA ==11, 在直角梯形A A BB 11中：AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21111=+=+=AB MM 211=∴，故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切．【反思与总结】类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．可设抛物线方程为)0(22>=p px y ．只须证明12MM AB =，则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切．五、课堂运用【基础】 1、( 如图 )过抛物线px y 22=)0(>p 的焦点F 作弦AB ，l 为准线，过A 、B 作l 的垂线，垂足分别为'A 、'B ， 则①''FB A ∠为（ ），②B AF '∠为（ ）．A ．大于等于︒90B ．小于等于︒90C ．等于︒90D . 不确定【答案】C 、B【规范解答】解：①点A 在抛物线上，由抛物线定义，则21'∠=∠⇒=AF AA ，又x AA //'轴31∠=∠⇒． ∴32∠=∠，同理64∠=∠，而︒=∠+∠+∠+∠1804632，∴︒=∠+∠9063， ∴︒=∠90''FB A ．选C ．②过AB 中点M 作l MM ⊥'，垂中为'M ， 则AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21'''=+=+=． ∴以AB 为直径的圆与直线l 相切，切点为'M ． 又'F 在圆的外部，∴︒<∠90'B AF ．特别地，当x AB ⊥轴时，'M 与'F 重合，︒=∠90'B AF ．即︒≤∠90'B AF ，选B ．2、 已知点)2,3(M ，F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 在该抛物线上移动，当PF PM +取最小值时， 点P 的坐标为__________．【答案】)2,2(【规范解答】解：如图，由定义知PE PF =，故213=≥≥+=+MN ME PM PF PF PM ．取等号时，M 、P 、E 三点共线，∴P 点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2， 所以P 点坐标为)2,2(．3、已知定直线l及定点A（A不在l上），n为过A且垂直于l的直线，设N为l上任一点，AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证P的轨迹为抛物线．【规范解答】证明：如图所示，连结P A、PN、NB．由已知条件可知：PB垂直平分NA，且B关于AN的对称点为P．PA=．∴AN也垂直平分PB．则四边形P ABN为菱形．即有PN∴⊥AB⊥PNl..l则P点符合抛物线上点的条件：到定点A的距离与到定直线的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线．4、 若线段21P P 为抛物线)0(2:2>=p px y C 的一条焦点弦，F 为C 的焦点，求证：p F P FP 21121=+．【规范解答】证明一：)0,2(pF ，若过F 的直线即线段21P P 所在直线斜率不存在时，则有p F P F P ==21,p p p F P FP 2111121=+=+∴． 若线段21P P 所在直线斜率存在时，设为k ，则此直线为：)0)(2(≠-=k px k y ，且设),(),,(222111y x P y x P ．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)2()2(p x k y px k y 得：04)2(22222=++-p k x k p x k 2221)2(kk p x x +=+∴ ① 4221p x x =⋅ ②根据抛物线定义有：p x x P P px F P p x F P ++=∴+=+=21211211,2,2则F P F P F P F P F P F P 21212111⋅+=+4)(2)2)(2(22121212121p x x p x x p x x p x p x p x x +++++=++++= 请将①②代入并化简得：p F P FP 21121=+ 证明二：如图所示，设1P 、2P 、F 点在C 的准线l 上的射影分别是'1P 、'2P 、F '，且不妨设1122P P m n P P '=<='，又设2P 点在F F '、11P P '上的射影分别是A 、B 点，由抛物线定义知，p F F m F P n F P ='==,,12 又AF P 2∆∽12BP P ∆，1221P P F P BP AF =∴即nm nn m n p +=-- p n m m n n m p 2112)(=+∴=+∴ 故原命题成立．【巩固】1、设抛物线方程为)0(22>=p px y ，过焦点F 的弦AB 的倾斜角为α，求证：焦点弦长为α2sin 2pAB =．【规范解答】证明一：抛物线)0(22>=p px y 的焦点为)0,2(p ，过焦点的弦AB 所在的直线方程为：)2(tan px y -=α由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(tan 2α消去y 得：0tan )(tan 4tan 422222=+-αααp p x设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+=+=+4)cot 21(tan )2(tan 22122221p x x p p x x ααα又)(tan 2121x x y y -=α []ααααααααα242222222222122122212sin 2sin 14)cot 1(cot 4sec 44)cot 1()tan 1(4)()tan 1())(tan 1(p p p p p x x x x x x AB =⋅=+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-++=-++=-+=∴即α2sin 2pAB =证明二：如图所示，分别作1AA 、1BB 垂直于准线l ．由抛物线定义有：ααcos cos 11⋅-==+⋅==BF p BB BF p AF AA AF于是可得出：αcos 1-=p AF αcos 1+=pBFαααα22sin 2cos 12cos 1cos 1p pp p BFAF AB =-=++-=+=∴ 故原命题成立．2上移动，求AB的中点到y轴的距离的最小值，并求出此时AB中点2、定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线xy的坐标．【规范解答】解：如图，设F 是x y =2的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，又M 到准线的垂线为MN ，C 、D 和N 是垂足，则2321)(21)(21=≥+=+=AB BF AF BD AC MN ． 设M 点的横坐标为x ，纵坐标为y ，41+=x MN ，则454123=-≥x ．等式成立的条件是AB 过点F ． 当45=x 时，41221-=-=P y y ，故22122)(212221221=-=++=+x y y y y y y ， 221±=+y y ，22±=y ．所以)22,45(±M ，此时M 到y 轴的距离的最小值为45．【拔高】1、过抛物线px=的焦点F作倾斜角为θ的直线，交抛物线于A、B两点，求AB的最小值．y2【规范解答】解：( 1 )若2πθ=，此时p AB 2=．( 2 )若2πθ≠，因有两交点，所以0≠θ．)2(tan px y AB -=θ：，即2tan pyx +=θ． 代入抛物线方程，有0tan 222=--p y py θ． 故θθ22222212csc 44tan 4)(p p p y y =+=-，θθθ2222212212tan csc 4tan )()(p y y x x =-=-． 故θθθ422222csc 4)tan 11(csc 4p p AB =+=． 所以p pAB 2sin 22>=θ．因2πθ≠，所以这里不能取“=”．综合( 1 )( 2 )，当2πθ=时，p AB 2=最小值．2、已知圆锥曲线C 经过定点)32,3(P ，它的一个焦点为F （1，0），对应于该焦点的准线为1-=x ，过焦点F 任意作曲线C 的弦AB ，若弦AB 的长度不超过8，且直线AB 与椭圆22322=+y x 相交于不同的两点，求：（1）AB 的倾斜角θ的取值范围．（2）设直线AB 与椭圆相交于C 、D 两点，求CD 中点M 的轨迹方程．【规范解答】解：（1）由已知得4=PF ．故P 到1-=x 的距离4=d ，从而d PF =∴曲线C 是抛物线，其方程为x y 42=．设直线AB 的斜率为k ，若k 不存在，则直线AB 与22322=+y x 无交点．∴k 存在．设AB 的方程为)1(-=x k y ，由⎩⎨⎧-==)1(42x k y xy 可得：0442=--k y ky设A 、B 坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则：442121-=⋅=+y y k y y222122122212)1(44)(1))(11(k k y y y y k k y y k AB +=-++=-+=∴∵弦AB 的长度不超过8，8)1(422≤+∴k k 即12≥k由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k∵AB 与椭圆相交于不同的两点，32<∴k ，由12≥k 和32<k 可得：31<≤k 或13-≤<-k . 故3tan 1≤≤θ或1tan 3-<<-θ又πθ<≤0，∴所求θ的取值范围是：34πθπ<≤或4332πθπ≤<（2）设CD 中点),(y x M 、),(33y x C 、),(44y x D由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k9325313231322232)1(2,324222224322132243<+≤∴<≤+-=∴+=+=+-=⋅+=+∴k k k x k k x x x k k x x k k x x 则323211522<+-≤k 即3252<≤x ．3)1(2)1(23221222222+-⋅-⋅=+=∴-=x y x y k k x x yk化简得：032322=-+x y x ∴所求轨迹方程为：)3252(032322<≤=-+x x y x课程小结1、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点2、四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程列表如下：。