四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数学(文)试题(解析版)
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四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数学（文）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知 ， ，则
A. B. 3， C. D.
【答案】C
【解析】解： ，
1，2，3， ，
．
故选：C．
先分别求出集合A和B，由此能求出 ．
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2. 已知i是虚数单位，复数 ，则z的虚部为
A. 2 B. C. 2i D.
【答案】D
【解析】解： ，
的虚部为 ．
故选：D．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3. 一个袋子中有4个红球，2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中有白球的概率是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：一个袋子中有4个红球，2个白球，
从中任取2个球，基本事件总数 ，
这2个球中有白球包含的基本事件个数 ，
这2个球中有白球的概率是
．
故选：B．
从中任取2个球，基本事件总数 ，这2个球中有白球包含的基本事件个数 ，由此能求出这2个球中有白球的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4. 已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是 ，则该双曲线的离心率是 2 A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】解： 双曲线的焦点在x轴上，
设双曲线的方程为
可得双曲线的渐近线方程是
结合题意双曲线的渐近线方程是 ，得
，可得
因此，此双曲线的离心率
．
故选：B．
设双曲线的方程为设双曲线的方程为
，可得它的渐近线方程是
，结合题意解出 ，再利用平方关系算出 ，根据离心率公式即可得出此双曲线的离心率．
本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
5. 一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为
A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：6
【答案】A
【解析】解：由题意可知：几何体被平面ABCD平面分为上下两部分，
设：正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：
；
下部为： ．
3 截去部分与剩余部分体积的比为：
．
故选：A．
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．
本题考查三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考查计算能力．
6. 已知 ， ， ，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：
，且 ；
．
故选：A．
容易看出 ，从而得出a，b，c的大小关系．
考查指数函数和幂函数的单调性，增函数的定义．
7. 等比数列 的各项均为正数，已知向量 ， ，且 ，则
A. 12 B. 10 C. 5 D.
【答案】C
【解析】解：向量 ， ，且 ，
，
由等比数列的性质可得： ，
则 ．
故选：C．
利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出．
本题考查了数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8. 已知 中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ，则AB边上的中线的长为
A.
B.
C.
或
D.
或
【答案】C
【解析】解： ，
由余弦定理 ，可得：
，整理可得： ，
解得： ，或3．
如图，CD为AB边上的中线，则
， 4 在 中，由余弦定理 ，可得：
，或
，
解得AB边上的中线
或
．
故选：C．
由已知利用余弦定理可得： ，解得a的值，由已知可求中线
，在 中，由余弦定理即可计算得解AB边上的中线的值．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．
9. 函数
的大致图象为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：
，则函数 是偶函数，图象关于y轴对称，
排除A，C，
，排除B，
故选：D．
判断函数的奇偶性和图象的对称关系，结合 的符号是否对应，进行排除即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及函数值的符号是否对应，结合排除法是解决本题的关键．
10. 在三棱锥 中， 平面ABC， ，且三棱锥 的体积为
，若三棱锥 的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A. B.
C. D.
【答案】D
5 【解析】解： 三棱锥 的体积为
，
，
，
将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，
球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，
是边长为 的正三角形，
外接圆的半径
，
球的半径为
，
球O的表面积为 ．
故选：D．
由三棱锥 的体积为
，求出PA，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，求出球的半径，然后求出球的表面积．
本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键，是中档题．
11. 已知直线 ： 与圆心为 ，半径为 的圆相交于A，B两点，另一直线 ： 与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最大值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：以 为圆心，半径为 的圆的方程为
，
联立 ，解得 ， ，
中点为
而直线 ： 恒过定点
，
．
四边形ACBD的面积最大值为：
．
故选：A．
由已知写出圆的方程，联立直线方程与圆方程，求出A，B的坐标，可知动直线过AB的中点，则当CD为圆的直径时四边形ACBD面积最大，代入四边形ACBD面积公式求解即可．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
12. 已知奇函数 是定义在R上的单调函数，若函数 恰有4个零点，则a的取值范围是 6 A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由奇函数 是定义在R上的单调函数，
令 ，
由函数 恰有4个零点，
则 有4个根，
则 有2个不等正根，
即 ，
解得： ，
即a的取值范围是 ，
故选：D．
由函数的奇偶性、单调性得： 有4个根，
由二次方程的区间根问题得： 有2个不等正根，即 ，解得： ，得解．
本题考查了函数的奇偶性、单调性及二次方程的区间根问题，属中档题
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知x，y满足
，则 的最大值为______．
【答案】3
【解析】解：
，在坐标系中画出图象，
三条线的交点分别是 ，
，
，
在 中满足 的最大值是点C，代入得最大值等于3．
故答案为：3．
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， 表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的试题 近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，体现了数形结合思想的应用．
14. 数列 中，若 ， ，则 ______．
【答案】34
【解析】解： ，
数列 为等差数列，其公差 ，
，
7 ，
，
，
故答案为：34
先判断数列的等差数列，再求出首项，即可求出答案．
本题考查饿了等差数列的定义和通项公式，属于基础题．
15. 函数
的单调减区间为______．
【答案】
【解析】解：
，
．
令：
，
整理得：
，
所以函数的单调递减区间为：
．
故答案为：
．
直接利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
16. 已知直线l过点 ，l与抛物线 交于E、F两点，当l不与y轴垂直时，在y轴上存在一点 ，使得 的内心在y轴上，则实数 ______．
