四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数学(理)试题(解析版)

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四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数学（理）试题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设 ，则z的虚部为

A. 1 B. i C. D.

【答案】C

【解析】解： ，

的虚部为 ．

故选：C．

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

2. 已知集合 ， ，则

A. B. C. 1， D. 0，1，

【答案】D

【解析】解： 集合 ，

，

0，1， ．

故选：D．

利用交集定义直接求解．

本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3. 一个袋子中有4个红球，2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中有白球的概率是

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】解：一个袋子中有4个红球，2个白球，

从中任取2个球，基本事件总数 ，

这2个球中有白球包含的基本事件个数 ，

这2个球中有白球的概率是

．

故选：B．

从中任取2个球，基本事件总数 ，这2个球中有白球包含的基本事件个数 ，由此能求出这2个球中有白球的概率．

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4. 已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是 ，则该双曲线的离心率是

A. B. C. 2 D.

【答案】B 第2页，共14页 【解析】解： 双曲线的焦点在x轴上，

设双曲线的方程为

可得双曲线的渐近线方程是

结合题意双曲线的渐近线方程是 ，得

，可得

因此，此双曲线的离心率

．

故选：B．

设双曲线的方程为设双曲线的方程为

，可得它的渐近线方程是

，结合题意解出 ，再利用平方关系算出 ，根据离心率公式即可得出此双曲线的离心率．

本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．

5. 若函数 ，且 的图象恒过点 ，则

A. 3 B. 1 C. D.

【答案】C

【解析】解： 函数 ，且 的图象恒过点 ， ，且 ，

解得 ， ， ，

故选：C．

根据题意利用指数函数的单调性和特殊点可得 ，且 ，求得m和n的值，可得 的值．

本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．

6. 已知棱长都为2的正三棱柱 的直观图如图，若正三棱柱 绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为

A.

B. 第3页，共14页 C.

D.

【答案】B

【解析】解：四个选项高都是2，

若侧视图为A，中间应该有一条竖直的实线或虚线．

若为C，则其中有两条侧棱重合，不应有中间竖线．

若为D，则长应为 ，而不是1．

故选：B．

根据所给视图，用排除法可得

本题考查三视图，主要是考查空间想象能力，为基础题．

7. 在平行四边形ABCD中，M是DC的中点，向量 ，设 ， ，则

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】解：根据题意画图如下：

则

，

，

，

故选：A．

本题主要是根据图形来找出所求向量与基底向量的关系，采用数形结合法能很快找到具体思路．

本题主要考查向量的减法和数乘运用，本题要画图更易于理解，属基础题．

8. 设 为等比数列 的前n项和，若

， ，则 的公比的取值范围是 第4页，共14页 A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】解：设等比数列 的公比为q，则 ．

， ，

，

，

．

，解得

．

综上可得： 的公比的取值范围是：

．

故选：A．

设等比数列 的公比为q，则 ．

， ，可得

，

， ，解得q范围．

本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9. 已知三棱锥 的四个顶点都在半径为2的球面上， ，

平面ABC，则三棱锥 的体积为

A. B. C.

D.

【答案】D

【解析】解：如图，

取BC中点D，连接AD，则 ，

设三角形ABC的中心为G，则

，

又球O得半径为2，则

，

则

．

三棱锥 的体积为

．

故选：D．

由题意画出图形，求出三棱锥的高，则体积可求．

本题考查球的内接多面体与球的关系，考查空间想象能力和计算能力，是中档题．

10. 要得到函数

的图象，可以将函数

的图象 第5页，共14页 A. 向右平移

个单位 B. 向左平移

个单位

C. 向右平移

个单位 D. 向左平移

个单位

【答案】A

【解析】解：函数

的图象，

转换为：

，

将函数的图象向右平移

个单位，

得到

的图象．

故选：A．

直接利用三角函数关系式的恒等变变换和图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

11. 过直线 上一点P，作圆C： 的切线，切点分别为A、B，则当四边形PACB面积最小时直线AB的方程是

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】解：根据题意，圆C：

的圆心C为 ，半径 ；

P为直线 上一点，PA、PB为圆C的切线，则 ， ，

则有 ，

则 四边形

，

则当 取得最小值时，四边形PACB面积最小，此时CP与直线 垂直，

且

，

则C到AB的距离

，

又由 ，则直线AB与直线 平行，且设AB的直线方程为 ，

则有

，

解可得： 或 舍 ，

则直线AB的方程为 ；

故选：B．

根据题意，分析圆C的圆心与半径，由切线长公式可得

，进而可得 四边形

，分析可得当 取得最小值时，四边形PACB面积最小，此时CP与直线 垂直，则有直线AB与直线 平行，设AB的直线方程为 ，第6页，共14页 由相似三角形的性质求出C到AB的距离d，由点到直线的距离公式可得

，解可得m的值，即可得答案．

本题考查直线与圆方程的应用，关键是分析“四边形PACB面积最小”的条件．

12. 若关于x的不等式

成立，则

的最小值是

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】解：令

，

，函数单调递增，

，函数单调递减，且 时，

，

绘制函数 的图象如图所示，

满足题意时，直线 恒不在函数 图象的下方，

很明显 时不合题意，当 时，令 可得：

，

故

取到最小值时，直线在x轴的截距最大，

令 可得：

，

据此可得：

的最小值是

．

故选：A．

构造函数

，利用函数图象的性质数形结合确定

最小值即可．

本题主要考查导函数研究函数图象的性质，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．

第7页，共14页 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 数列 中，若 ， ，则 ______．

【答案】34

【解析】解： ，

数列 为等差数列，其公差 ，

，

，

，

，

故答案为：34

先判断数列的等差数列，再求出首项，即可求出答案．

本题考查饿了等差数列的定义和通项公式，属于基础题．

14. 二项式

的展开式中常数项是______．

【答案】

【解析】解：二项式

的展开式的通项公式为

，令

，求得 ，

可得展开式中常数项是

，

故答案为：

．

在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

15. 已知奇函数 是定义在R上的单调函数，若函数 恰有4个零点，则a的取值范围是______．

【答案】

【解析】解： ，

是偶函数，

若 恰有4个零点，

等价为当 时， 有两个不同的零点，

是奇函数，

由 ，

得 ，

是单调函数，

，

即 ，