2020届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学(文)试题(解析版)
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第 1 页 共 20 页 2020届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合0,1A，0,1,2B，则AB的子集个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】先由题意求出AB,然后再求子集个数.
【详解】
由题意可得:0,1AB,有两个元素,则其子集个数有224个.
故选:A.
【点睛】
本题考查了集合的运算以及集合子集个数的求解,考查运算求解能力,属于基础题.
2．已知i为虚数单位，复数7iz1i，则|z|＝（ ）
A．72 B．4 C．5 D．25
【答案】C
【解析】先化简复数为abi的形式，再求复数的模.
【详解】
依题意7i1i86i43i1i1i2z，故22345z.故选C.
【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即abi的形式，再根据题意求解.
3．已知平面向量ab，的夹角为π3，且a1b2，，则2abb（ ）
A．64 B．36 C．8 D．6
【答案】D
【解析】根据向量运算的公式，直接计算出2?abb的值.
【详解】
依题意222abbabb2π212cos263，故选D. 第 2 页 共 20 页 【点睛】
本小题主要考查平面向量的运算，属于基础题.
4．△ABC中，（a﹣b）（sinA+sinB）＝（c﹣b）sinC．其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则A＝（ ）
A．π6 B．π3 C．2π3 D．5π6
【答案】B
【解析】根据正弦定理化简已知条件，求得cosA的值，进而求得A的大小.
【详解】
由正弦定理得ababcbc，即222cbabc，即2221cos22cbaAbc，由于A为三角形内角，故π3A.所以选B.
【点睛】
本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值.
5．空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对应如下表所示：
AQI 0～50 51～100
101～150 151～200 201～300 300以上
空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
如图是某城市2018年12月全月的指AQI数变化统计图．
根据统计图判断，下列结论正确的是（ ）
A．整体上看，这个月的空气质量越来越差
B．整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量
C．从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差 第 3 页 共 20 页 D．从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值
【答案】C
【解析】根据题意可得，AQI指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.
【详解】
从整体上看，这个月AQI数据越来越低，故空气质量越来越好；故A，B不正确；
从AQI数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C正确；
从AQI数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D不正确．
故选C．
【点睛】
本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型.
6．设函数22x1g1020loxxfxx，＜，，则233fflog＝（ ）
A．112 B．132 C．152 D．10
【答案】B
【解析】根据分段函数的解析式，分别求出233fflog、，即可得出结果.
【详解】
根据题意，函数22x1g1020loxxfxx，＜，，
2342flog，22log3129322flog，则291333222fflog；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查分段函数的求值问题，分别代入求值即可，属于基础题型.
7．已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x1，x2∈R，则“x1+x2＝0”是“f（x1）+f（x2）＝0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断. 第 4 页 共 20 页 【详解】
函数是奇函数,
若，则，
则，
即成立,即充分性成立，
若，满足是奇函数，当时
满足，此时满足，
但，即必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，
所以A选项正确.
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.
8．已知函数的部分图象如图所示，点在图象上，若，，且，则( )
A．3 B． C．0 D．
【答案】D
【解析】根据条件求出A，ω和φ的值，求出函数的解析式，利用三角函数的对称性进行求解即可．
【详解】
由条件知函数的周期满足T＝2×（）＝2×2π＝4π，即4π，
则ω，
由五点对应法得ω+φ＝0，即φ＝0，得φ， 第 5 页 共 20 页 则f（x）＝Asin（x），
则f（0）═Asin（）A，得A＝3，
即f（x）＝3sin（x），
在（）内的对称轴为x，
若∈（），，且，
则关于x对称，
则＝2，
则f（）＝3sin（）＝3sin3sin，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件先求出函数的解析式，以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键．
9．若直线x﹣my+m＝0与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（﹣1，0） D．（﹣2，0）
【答案】D
【解析】圆2211xy都在x轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到12yy，令其小于0，可得答案.
【详解】
圆与直线联立22110xyxmym，
整理得22212120mymmymm
图像有两个交点
方程有两个不同的实数根，即
22224142180mmmmmm
得0m. 第 6 页 共 20 页 圆2211xy都在x轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限.
2122201mmyym，解得20m，
故选D项.
【点睛】
本题考查直线与圆的交点，数形结合的数学思想来解决问题，属于中档题.
10．在四面体ABCD中，已知2ABACCD，22BC，且CD平面ABC，则该四面体外接球的表面积是（ ）
A．16 B．12 C．43 D．6
【答案】B
【解析】由题意还原四面体ABCD所在的正方体,则体对角线BD即为四面体ABCD外接球的直径,由题中等量关系求半径,进而求出外接球的表面积.
【详解】
如图所示:
由四面体ABCD是面ABC(A为直角)为等腰直角三角形，侧棱CD垂直于面ABC的几何体，即四面体的外接球就是棱长为AB=2的正方体(如图所示)的外接球，其半径为R=BD2=3.所以该四面体外接球的表面积是24312.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识,考查空间想象、运算求解及推理论证能力,考查化归与转化思想,属于中档题.
11．设P是抛物线2:4Cyx上的动点，Q是C的准线上的动点，直线l过Q且与OQ（O为坐标原点）垂直，则P到l的距离的最小值的取值范围是（ ） 第 7 页 共 20 页 A．01（，） B．01]（， C．01， D．02]（，
【答案】A
【解析】先由抛物线的方程得到准线方程，设点Q的坐标为10tt，，，得到直线l的方程，再设与直线l平行的直线方程为0xtym＝，与抛物线方程联立，由判别式为0，得到2mt，最后由点到直线的距离，即可得出结果.
【详解】
抛物线24yx上的准线方程是1x设点Q的坐标为10tt，，．
则直线l的方程为210xtyt．
设与直线l平行的直线方程为0xtym＝．代入抛物线方程可得2440ytym，
由216160tm＝，可得2mt．
故与直线l平行且与抛物线相切的直线方程为20xtyt﹣．．
则P到l的距离的最小值21011dt，．
故选A．
【点睛】
本题主要考查直线的方程、抛物线的方程及其几何性质，熟记抛物线的简单性质，结合直判别式、点到直线距离公式等求解，属于常考题型.
12．若函数y＝ex﹣e﹣x（x＞0）的图象始终在射线y＝ax（x＞0）的上方，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，e] B．（﹣∞，2] C．（0，2] D．（0，e]
【答案】B
【解析】求得函数的导函数，由此判断出函数在0x时为递增函数，利用切线的斜率求得a的取值范围.
【详解】
依题意设xxfxee，这'0xxfxee，故函数在0x时为递增函数，且''xxfxee在0x时为正数，故'xxfxee单调递增，故'02fxf，而a是直线0yaxx的斜率，直线过原点，要使函数0xxyeex的图象始终在射线0yaxx的上方则需2a.故选B.
