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三阶幻方

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简单的三阶幻方
1、什么是幻方？
幻方起源于中国. 传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如右图. 人们称之为洛书.
如果将龟背上的数字翻译出来，如下图.
观察，你发现了什么？
观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15. 像这样，将九个不同的自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方. 三阶幻方是一种特殊的数阵图.
上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字，简称中心数. 罗伯法构造三阶幻方
游戏：把1~9这9个数字按照要求填入下面的九宫格中？
（1）把1~9依次按照从右上到左下的斜行顺序填入9个空白格中；
（2）把最上面的“1”调到粗线框中第三行中间，最小面的“9”调到粗线框中第一行的中间。

最左边的“3”调到粗线框中第列的中间，最右边的“7”调到粗线框中第一列的中间。

（3）把粗线框中最后的结果填入右边的九宫格中
算一算，九宫格中各行、各列及斜行的数字和，
你有什么发现？
三阶幻方的规律：
1、幻和：各行、各列及斜行的和都是15，我们称它为幻和；幻和= 九个数之和 ÷3；
2、中心数：幻和是中心数字的3倍；中间数=幻和÷3=(3+7)÷2=(1+9)÷2=(2+8)÷2=(6+4)÷2
3、左上角、右上角、左下角、右下角的四个数字依次是第2、第
4、第6、第8个数字
6
721
598
34
四个角上的数字2=(3＋1)÷2，8=(9＋7)÷2；6=(3＋9)÷2；4=(1＋7)÷2
2、小试牛刀
你能用上面的方法把2、4、6、8、10、12、、14、16、18这九个数字填入右面的九宫格中，使它构成三阶幻方吗？
例1在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。

（1（2
巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21。

例2在下图中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。

巩固练习：根据三阶幻方的特点，完成下列幻方。

二、应用提高
例3在下图的每个空格中填入小于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于21。

巩固练习：在下列右图空着的方格内填上合适的数，使得每一横行、每一竖列和对角线上的三个数之和都等于
27。

课后练习
1、一个三阶幻方的幻和是30，这个幻方的中心数是（ ）
2、一个三阶幻方的中心数是30，这个幻方的幻和是（）
3、一个幻方的中心数是8，组成这个幻方的9个数的和是（）
4、请编写下列三阶幻方。

①用6，8，10，12，14，16，18，20，22这九个数构成一个三阶幻方。

②把2，6，10，14，18，22，26，30，34这九个数构成一个三阶幻方。

③把3，5，7，9，11，13，15，17，19这九个数构成一个三阶幻方。

5、把4
～12九个数填入方格中，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。

使每一行、每一列和每一条对角线上的三个数的和都等于30。

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有趣的数学游戏-三阶幻方

有趣的数学游戏-三阶幻方


?
19 13
2倍角格=不相邻的两个边格之和 ？=（13+19）÷2=16
三条直线上的数字的和=幻方所有数字之和+2个？-（19+13） 幻和=一条直线上的三个数字之和 所有数字之和=3×幻和 所以：三条直线上的数字的和=幻方所有数字之和 则：？=（13+19）÷2
10
30
10
30
30
10
30
10
三阶幻方
风
子
编
辑
第一课 基础部分
幻方起源：大约两千多年前西汉时代，流传夏禹治水时，黄河中跃出一匹神马，马背上 驮着一幅图，人称「河图」；又洛水河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案 称为「洛书」.他们发现，这个图案每一列，每一行及对角线，加起来的数字和都是一样 的。
中国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的 数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方。
30
5
30
5
5
30
5
30
原先每条边的和为：30+10+10=50 新的填法每条边的和为：50+15=65 总和减少，每边和增加，则应该把大数移到公共角的位置 则有：30+10+30=70 70-65=5 所以，四个10各减5，合计正好减了20.
22
30
26
22
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22
30
26
22
30
26
30
26
2 9 31 20 27 22
7 32 3 25 23 21 6 1 35 24 19 26 29 36 4 11 18 13 34 5 30 16 14 12 33 28 8 15 10 17
三阶幻方

三阶幻方


17
4
12
6 11 16 10 18 5
三阶幻方的构造法
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了 系统的研究阶幻方的秘诀： [九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出]
杨辉法
4 3
8
9 5
1
2 7
6
规律1： 幻和=中间数×3
三 阶 幻 方
4
3 8
9
2
7 6
5
1
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三 阶 幻 方
4 3 8
9
2 7 6
5
1
规律3：角上的数字=对角相邻 的两数字和的一半
三 阶 幻 方
4
3
9
5
2
7
8
1
6
练习1：
补 全 这 个 幻 方
知识背景
引入： 相传，大禹治水时，洛阳西洛 宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书 ”，献给大禹。大禹依此治水成功 ，遂划天下为九州。洛水中出现的 “神龟”背上的美妙的图案，史称 “洛书”即现在的三阶幻方.
洛书
神奇的幻方
三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质：每一 横行、每一竖列和对角线上的三个数的和都相等 ，这 个和叫做“幻和”
3阶幻方规律

3阶幻方规律

3阶幻方规律
三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，把1-9这九个数字填入九宫格，使每行、每列、对角线的和都相等，和称为幻和。

规律1 幻和=中间数⨯3
每行、每列、2条对角线的和加起来，其中中间数多计算了3次，得到 幻和⨯4=九数之和+中间数⨯3
九数之和=幻和⨯3
∴幻和⨯4=幻和⨯3+中间数⨯3
∴幻和=中间数⨯3
规律2 关于中心位置对称的两数，两数和是中心数的2倍。

即c a b +=2
幻和=中间数⨯3
∴b c b a 3=++
∴c a b +=2
规律3 2倍角格的数=不相邻的2个边格数之和。

即c b a +=2
过a 有3条线，计算它们的和，得到
幻和⨯3=九数之和c b a --+2
九数之和=幻和⨯3
∴02=--c b a
因此c b a +=2
优秀小达人
1、在下面方格里填入适当的数，使它成为一个三阶幻方。

2、在下面方格里填入适当的数，使它成为一个三阶幻方。

三阶幻方

三阶幻方

相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。

九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。

(九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足)
【三阶幻方的规律】
规律一：幻和值=3*5（3*中心格数）；
规律二：2*8=9+7，2*4=1+7，2*6=3+9，2*2=1+3；即：2倍角格的数=非相邻的2个边格数之和。

规律三：幻方的每个数乘以X，再加Y，幻方亦成立。

规律四：3个一组的数，组与组等差，每组数与数等差，这样的数能构成3阶幻方。

奇阶幻方的口诀是：
1 居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写，右出框时左边放，重复便在下格填，出角重复一个样。

2在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4…；
3如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
4如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
5如果右上方已有数字和出了对角线，则向下移一格继续填写。

3阶幻方不止这一种填法，只要间1放于四个变格的正中，向幻方外侧依次斜填其余数字；若出边，将数字另一侧；若目标格已有数字或出角，回一步填写数字，再继续按一开始的相同方向依次斜填其余数字。