高中数学沪教版选修二

上海高中数学书教材选修数学是一门重要而又广泛应用的学科，对于每一个高中生来说，掌握好数学知识是十分重要的。

在上海高中数学教材中，除了必修部分外，还有选修部分，为学生提供了更丰富的数学学习内容。

选修部分主要包括高一、高二、高三三个阶段。

每个阶段都有两个选修册，为学生在学完必修内容后提供了进一步提高的机会。

下面我将从内容和教学方法两个角度进行介绍。

首先，选修部分的内容更加深入和广泛。

高一选修内容主要包括数列、三角函数和解析几何等知识，高二选修部分则涉及了概率与数理统计、数学建模、函数与导数等内容，高三选修部分则进一步拓展了微积分、运筹学与线性代数等领域。

通过这些选修内容，学生能够更加深入理解数学的本质和应用。

而且，选修课本内容都比较新颖和有趣，引导学生自主思考和探索。

其次，选修部分的教学方法也更加多样化和灵活。

在传统的数学教学中，很多学生觉得数学难以理解和枯燥无味。

但是，在选修部分中，教学方法更加注重启发学生思考和培养问题解决能力。

例如，在解析几何的学习中，老师会通过几何图形的实际问题设计和探索，引导学生自主思考和发现规律。

而在数学建模的学习中，学生需要运用数学知识解决现实问题，通过实践来理解和掌握数学的应用。

这些不仅增加了学生的学习兴趣，也培养了学生的创新思维和问题解决能力。

值得一提的是，上海高中数学教材选修部分还加入了大量的练习题和实践活动。

练习题不仅涵盖了各个知识点，还有不同难度的题目可供学生选择，满足了学生不同层次的要求。

而实践活动则可以让学生将数学知识运用到实际问题中，提高学生的动手能力和实践能力。

总的来说，上海高中数学教材选修部分丰富了学生的数学学习内容，深化了数学知识的掌握，培养了学生的问题解决能力和创新思维。

在教学方法上，注重启发学生思考，增加了学生的学习兴趣，并通过练习题和实践活动提高了学生的应用能力。

让学生能够在学习中全面发展，更好地适应未来社会的需求。

高二数学选修二知识点梳理高二数学选修二是高中数学课程中的一门重要课程，主要涵盖了数列与数学归纳法、排列与组合、概率与统计、三角函数等知识点。

本文将对这些知识点进行详细梳理，帮助同学们系统地理解和掌握这些概念和方法。

一、数列与数学归纳法1. 数列的定义与常见类型数列是按照一定规律排列的一组数，其中常见的数列类型包括等差数列、等比数列、等差数列的前n项和、等比数列的前n项和等。

2. 数列的通项公式与递推公式数列的通项公式是指能够用一个式子表示出数列的第n项，而递推公式是指用数列的前一项或前几项来表示数列的后一项的公式。

3. 数学归纳法的原理与应用数学归纳法是一种用来证明一个命题对于无穷多个对象成立的方法，主要包括基本步骤、归纳假设和归纳结论等。

在证明数列性质、等式或不等式时常常会用到数学归纳法。

二、排列与组合1. 排列与组合的概念与计算方法排列是指从n个不同的对象中取出m个进行有序排列，组合是指从n个不同的对象中取出m个进行无序排列。

常用的计算方法包括基本计数原理、阶乘等。

2. 排列与组合的性质与应用排列与组合在实际问题中经常被用来求解不同的情况数，如从一组人中选取干部、从一组球队中选择参赛等。

三、概率与统计1. 随机事件及其概率的基本概念随机事件是指不确定结果的事件，概率是指随机事件发生的可能性大小。

其中常用的计算方法包括频率概率、几何概率、条件概率等。

2. 概率的运算规则与应用概率的运算规则包括加法原理、乘法原理、全概率公式、贝叶斯公式等，它们可以用来计算复杂事件的概率。

3. 统计的基本概念与常见统计量统计是研究和运用概率论的基本思想和方法对一定数量的随机事件进行规律性的总结和分析，常见统计量包括平均数、中位数、众数、方差等。

四、三角函数1. 三角函数的概念与关系三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们是角度的函数关系，其中正弦函数与余弦函数是互余关系。

2. 三角函数的性质与图像三角函数具有周期性、奇偶性等特点，并且在坐标平面上有着特殊的图像。

新2023人教A版高中数学选修二课本答案第一章空间解析几何1.1 点、向量和坐标1.1.1 点、向量及其坐标的概念•点是空间中最基本的概念，表示为大写字母，如A、B、C。

•向量是由两个点确定的有向线段，表示为小写字母加箭头，如$\\vec{AB}$、$\\vec{BC}$。

•坐标是用有序数对表示的点的位置，一般用小写字母表示，如A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)。

1.1.2 向量的线性运算•向量的加法：$\\vec{AB} + \\vec{BC} = \\vec{AC}$•向量的减法：$\\vec{AB} - \\vec{AC} = \\vec{CB}$•向量的数乘：$k\\vec{AB} = \\vec{BA}$1.1.3 向量的数量积和向量积•向量的数量积：$\\vec{AB} \\cdot \\vec{AC} = AB \\cdot AC \\cdot \\cos{\\theta}$•向量的向量积：$\\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{vmatrix} \\vec{i} & \\vec{j} & \\vec{k} \\\\a_1 & a_2 & a_3 \\\\ b_1 & b_2 & b_3\\end{vmatrix}$1.2 空间中的位置关系和距离1.2.1 点到平面的距离•点A到平面 $\\pi$ 的距离d的公式为：$d = \\frac{{\\left| Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D \\right|}}{{\\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}$1.2.2 直线与平面的位置关系•直线与平面相交：直线与平面有一个交点。

•直线与平面平行：直线的方向向量与平面的法向量垂直。

•直线在平面内：直线上的任意一点均在平面内。

•直线垂直于平面：直线的方向向量与平面的法向量平行。

选修二数学高中教案人教版
课题：选修二数学
教材名称：人教版高中数学选修二
适用年级：高二
教学目标：
1. 熟练掌握选修二数学的相关知识和技能；
2. 培养学生分析和解决问题的能力；
3. 提高学生的数学思维能力。

教学重点与难点：
重点：课程中重点内容的讲解和练习；
难点：问题分析与解决能力的培养。

教学内容：
1. 二次函数及其图像
2. 三角函数及其应用
3. 概率与数理统计
教学过程：
一、导入：
教师通过引入实际生活中的问题或简单的例题，让学生对本节课要学习的内容产生兴趣。

二、讲解：
1. 二次函数及其图像的相关知识点讲解，并通过实例进行解析。

2. 三角函数及其应用的相关概念说明，包括正弦、余弦、正切等函数的特点和图像。

3. 概率与数理统计的基本概念及计算方法介绍。

三、练习：
教师布置相关的练习题，让学生进行练习，巩固所学知识。

四、讨论：
学生进行小组讨论或展示，交流解题思路和方法。

五、总结：
教师进行课程内容的回顾和总结，强调重点和难点部分。

六、作业：
布置相关的作业，让学生进行巩固练习。

教学反思：
通过本节课的教学，学生是否能掌握相关知识和技能，是否能解决问题，需要进一步观察和引导。

同时，教师也应该不断反思自身的教学方式和方法，提高教学效果。

【教案完】。

高中数学教材选修二电子版一、前言高中数学是学生在数理基础方面的重要学科之一，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力有着重要作用。

而高中数学教材的选择对于学生的学习效果和兴趣培养具有至关重要的影响。

本文档介绍了高中数学教材选修二的电子版，并对其内容特点进行了详细描述，以供教师和学生们进行选择和使用。

二、教材概述1. 内容范围高中数学选修二教材的内容包括数列与数学归纳法、概率与统计、解题方法与技巧、向量与空间几何四个单元。

其中，数列与数学归纳法单元主要介绍了数列的概念、性质及其应用，以及数学归纳法的基本原理和应用方法。

概率与统计单元主要涉及了事件的概念、概率的计算方法，以及统计分析的基本原理与应用。

解题方法与技巧单元主要通过解题过程中的方法论和应用技巧帮助学生提高解题能力。

向量与空间几何单元主要介绍了向量的基本概念、性质及其运算法则，以及空间几何中直线、平面方程的求解方法等。

2. 教材特点高中数学选修二教材具有以下几个特点：（1）知识结构严谨教材内容按照学科的逻辑顺序编排，每个单元的内容合理有序，前后内容有机衔接。

教材的知识结构设计合理，能够使学生逐步掌握并深刻理解高中数学的基本概念、定理和方法。

（2）理论与实践结合教材不仅注重理论知识的传授，还充分强调数学知识在实际问题中的应用。

通过一定的实例分析和解答问题的方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

（3）思想方法灵活多样教材中提供了多种思维方法和解题技巧，鼓励学生从不同的角度思考和解决问题。

通过启发性的问题与思考，培养学生独立思考和创新思维的能力。

（4）注重实际教学情境教材内容与学生生活、社会现象相结合，增强教学的实用性。

教材通过丰富的例题、练习题和挑战性问题，让学生在实际教学情境中感受到数学的魅力。

3. 使用建议高中数学选修二教材的内容相对较难，需要学生具备一定的数学基础。

因此，在教学过程中，教师应根据学生的实际情况，灵活运用教材内的教学资源，合理安排学习步骤和时间，激发学生的学习兴趣和求知欲。

高中数学人教A版选修二新旧教材对比一、教材版本简介1. 旧教材：人教A版选修二《数学》旧教材是高中数学的经典教材，自1980年代起便开始使用，经过多年的教学实践和改进，得到了广大师生和家长的认可和好评。

2. 新教材：人教A版选修二《数学》新教材是在旧教材的基础上，根据新的教学大纲和课程标准进行了全面的修订和更新，以适应当今高中数学教育的需要。

二、教材内容对比1. 组织结构旧教材：以基础知识和题型训练为主，重点讲述高中数学的基本概念和定理，以及相关的例题和练习。

新教材：在保留旧教材的基础上，增加了更多的实际应用题和拓展内容，更加贴合社会需求和教学大纲要求。

2. 重点难点旧教材：注重基础知识和经典题型的训练，对于重点和难点知识点的讲解深入透彻，但缺乏与实际生活和应用的结合。

新教材：在传承旧教材的基础上，增加了更多的案例分析和实际应用题，突出了数学在现实生活中的应用和重要性。

3. 教学方法旧教材：呈现方式主要以文字和公式为主，注重数学思维和逻辑的训练，缺乏多媒体和实物示例的运用。

新教材：增加了更多的图片、图表和实物示例，引导学生通过多种方式来理解和掌握数学知识，提高了教学的趣味性和生动性。

4. 知识点覆盖旧教材：内容覆盖范围较为全面，但对于一些新的学科前沿和应用领域的知识点介绍较少。

新教材：在保留旧教材的基础上，增加了更多的新知识点和拓展内容，涵盖了更多的学科前沿和应用领域的知识，使教材更加丰富和全面。

三、教学效果对比1. 学习兴趣旧教材：内容传统，缺乏新颖和实用的知识点和例题，容易引起学生学习兴趣的下降。

新教材：内容更新，注重与实际生活和应用的结合，能够激发学生学习兴趣，提高学习动力。

2. 学习效果旧教材：以基础知识和题型训练为主，对学生数学思维和逻辑能力的培养具有一定的效果。

新教材：在保留旧教材的基础上，增加了更多的实际应用题和拓展内容，能够更好地促使学生灵活运用数学知识解决实际问题，提高学习效果。

沪教版高中数学选修教材教材概述沪教版高中数学选修教材是为高中学生设计的一套数学教材。

该教材以培养学生的数学思维能力、解决实际问题的能力和创新意识为目标，内容涵盖了数学的各个领域和知识点。

教材内容丰富、系统完整，注重理论与实践的结合，同时关注学生的数学素养和学习兴趣的培养。

教材特点1.知识体系全面教材内容涵盖了高中数学的各个领域，包括代数、几何、函数、数列等。

每个领域都有详细而系统的知识讲解，帮助学生建立起扎实的数学基础。

2.理论与实践结合教材注重将数学理论与实际问题相结合，通过大量的例题和应用题，引导学生运用所学的知识解决实际问题，培养学生的应用能力和创新思维。

3.突出数学思想和方法教材强调培养学生的数学思维能力，注重引导学生进行数学思考和证明，通过数学问题的解决过程，培养学生的逻辑思维和推理能力。

4.强调数学与现实生活的联系教材注重将数学与现实生活相结合，通过实际问题的引入，让学生体会到数学在日常生活中的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。

5.注重学生的自主学习教材设计了丰富的学习资源和练习题，旨在培养学生的自主学习能力。

教材中还提供了一些探究性的问题和拓展性的内容，鼓励学生深入思考和独立探索，培养学生的创新意识和问题解决能力。

教学建议1.合理规划学习进度由于该教材内容较为丰富，建议教师在教学过程中合理规划学习进度，确保每个知识点都有足够的时间进行讲解和学习。

同时，要根据学生的实际情况和学习能力，灵活调整教学节奏。

2.注重理论与实践结合在教学过程中，要注重将数学理论与实际问题相结合，引导学生运用所学的知识解决实际问题。

可以通过实例分析、案例讨论等方式，让学生体会到数学的应用价值和意义。

3.强化数学思维培养在教学中，要注重培养学生的数学思维能力。

可以通过提出探究性问题、组织数学竞赛或小组讨论等方式，引导学生进行数学思考和证明，培养学生的逻辑思维和推理能力。

4.多样化的教学方法教师可以灵活运用多种教学方法，如讲授、讨论、实验、演示等，使教学内容更加生动有趣，激发学生的学习兴趣和积极性。

4. 待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0•••抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b 2x+a2b2=0 应有等根.•••△ =1664-4Q4b2=0,即卩a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a 2.(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果•练习题用一小黑板给出.1 .△ ABC-边的两个端点是B(0 , 6)和C(0 , -6)，另两边斜率的2. 点P与一定点F(2 , 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1 : 2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3. 求抛物线y2=2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案：义法)由中点坐标公式得:(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1. 两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2. 动点P到点F1(1 , 0)的距离比它到F2(3 , 0)的距离少2,求P点的轨迹.3. 已知圆x2+y2=4上有定点A(2 , 0)，过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2. v |PF2|-|PF|=2 ，且|F1F2| • P点只能在x轴上且x V 1，轨迹是一条射线六、板书设计教学反思：4斜率之积为4,9程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c .引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为2 25 31 a b 0，因点一，一在椭圆上,a b2 225 9 则 4a 2 4b 22 2a b 4；10<6例2如图，在圆x 24上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段 PD , D 为垂足•当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?分析： 点P 在圆x 2 y 2 4上运动，由点 P 移动引起点 M 的运动，则称点 M 是点P 的伴随点，因点M 为线段 PD 的中点，则点 M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点 M 的轨迹方程.引申： 设定点2xA 6,2 , P 是椭圆x252y1上动点，求线段 AP 中点M 的轨迹方程.9解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M x, y , P x 1,y 1 :②（点与伴随点的关系）： M为线段AP 的中点,X i y i2x 6;③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）2y 22..X 1 '252y11 , •••点M9x的轨迹方程为一25④伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A , B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 .直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的分析：若设点x, y ,则直线AM,BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示，由于直线AM ,BM 的斜率之积是4 ，因此，可以求出9x, y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程.解法剖析：设点M x, y ,则 k AM-^― x 5 , k BMx 5 ；x 5x 5代入点M 的集合有4-，化简即可得点 M 的轨迹方程. 9引申：如图，设△ ABC 的两个顶点 A a,0 , B a,0，顶点C 在移动，且k AC k BC k , 且k 0,试求动点C 的轨迹方程.引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 色也是从椭圆的长轴T 圆的直径T 椭圆的短轴.练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、k 值在变化时，线段 AB 的角求点M 的轨迹方程.分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能 力.实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对 椭圆的标准方程的讨论， 研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先 定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过 题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 1. 2椭圆的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、 从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质2x一2 0，进一步得：a xax 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准 y 轴为对称轴，原点为对称中心；即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较 短的叫做短轴；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率(0 e 1 ),a当 e1 时，c a ,,b0.； 椭圆图形越扁(iii )例题讲解与引申、扩展400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c •弓I 导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、 焦点和顶点的定义即可求相关量.确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1)(3) (4)大小和位置.要巳8的思考冋①范围：由椭圆的标准方程可得,y 2 b 2b y b ，即椭圆位于直线x② 对称性：由以 x 代x ，以 方程发生变化没有，从而得到椭圆是以③ 顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，y 代y 和 x 轴和 a ，同理可得:b 所围成的矩当 e 0 时，c 0,b a 椭圆越接近于圆例4求椭圆I6x 225y 2/Tn扩展：已知椭圆血5y2 5m m 0的离心率为e—，求m的值.解法剖析：依题意，m0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定, 应分类讨论: ①当焦点在x轴上，即0 m 5时，有a品 b 丽,c 75 ~m，二_—:得m 3；②当焦点在y轴上，即m例5如图,応b 岳c J m 5 , ••• J：5V m一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口5时，有a105253BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC F1F2，RB 2.8cm，F1F24.5cm .建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km •建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例6如图，设M x, y与定点F 4,0的距离和它到直线I : 兰的距离的比是常数4点M的轨迹方程./ 2 2 「亠「■25匚亠2MF(x 4 y ,到直线I:x 的距离d x44分析：若设点M x, y，则则容易得点M的轨迹方程.引申：（用《几何画板》探究）若点M x, y与定点F c,0的距离和它到定直线l :c距离比是常数e aac 0 ,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点F c,0是焦点,2x —相应于F的准线;c由椭圆的对称性, 另一焦点F c,0 ,相应于F的准线l :练习：第52页1、作业：第53页4、教学反思：2、3、4、5、6、75ac4，求52a的c定直线l :类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的几何意义.2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程召b (iii )例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F15,0 , F25,0，双曲线上一点绝对值等于6，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c的关系有明显P到R , F2距离差的2x2a1 a 0,b 0 . a,b, c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与O C :2 22 y 2内切，且过点 A 2,0 :②与O C 1 : x 2 y 12 21 和O C2 : x y 4都外切；③与O C i :2 y 9外切，且与O C 2: x 223 y 1内切.解题剖析 半径为r :这表面上看是圆与圆相切的问题， 实际上是双曲线的定义问题•具体解: 设动圆•/ O C 与O M 内切，点A 在O C 外,• MC| r /2 MA,因此有MA 2x 2 •••点 MC 2，•点M 的轨迹是以C 、 A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是MC i •••O M 与O c 1、O C 2 均外切，•••|MC 1| r 1, MC 2 r 2,因此有的轨迹是以C 2、C i 为焦点的双曲线的上支，• M 的轨迹方程是4y••• e M MC 2MC 24x 2 3MC i 1 ,与eG 外切，且e M 与e C 2内切，•- MC j4，•点M 的轨迹是以C i 、C 2为焦点的双曲线的右支，• MC 2r 1，因此M 的轨迹方程是例2已知A , B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A , B 两地与爆炸点的距离差为定值•由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听 到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察点到该中心的 距离都是1020m •试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 340m/s ;相关点均在 同一平面内）• 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图，以接报中心为原点 0，正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 , B 1020,0 , C 0,1020 • 设P x,y 为巨响发生点，•/ A 、C 同时听到巨响，•OP 所在直线为y x ……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，• PB PA 4 340 1360 m •由双曲线定义知，a 680 ,2 2c 1020 ,••• b 340^5 ,••• P点在双曲线方程为X 2y2 1 x 680……②.联立680 5 340①、②求出P点坐标为P 680 ;5,680 ,'5 •即巨响在正西北方向680、、10m处.探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0 •直线AM，BM相交于点M，且它们4的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并与§ 2. 1.例3比较，有什么发现？9探究方法：若设点M x,y，则直线AM , BM的斜率就可以用含x, y的式子表示，由于直线AM , BM的斜率之积是4，因此，可以求出x, y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程.9练习：第60页1、2、3、作业：第66页1、2、2 . 3. 2双曲线的简单几何性质♦知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2 )通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过F56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 2. 2双曲线的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )双曲线的简单几何性质2 2①范围：由双曲线的标准方程得， 1 0，进一步得：x a ，或xa .这说b a明双曲线在不等式 x a ，或x a 所表示的区域；② 对称性：由以 x 代x ，以y 代y 和 x 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③ 顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴， 焦点不在的对称轴叫做虚轴；c⑤ 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e —叫做双曲线的离心率(e 1).a④渐近线：直线ybx 2x 叫做双曲线一 aa 2yb 2 1的渐近线;y 轴上的渐近线是扩展：求与双曲线x 2 162y —1共渐近线，2. 3, 3点的双曲线的标准方及离心率.解法剖析 :双曲线2x16291的渐近4x .①焦点在x 轴上时，设所求的双曲2线为X 216k 2 2 y 9k 2A 2；3, 3点在双曲线上，••• k 21，无解;4②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线2x 16k 229：2 1，―A2 3, 3点在双曲线上，• k21，因此，所求双曲线42的标准方程为y9 41，离心率e5.这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上, 3可直接设所求的双曲线的方程为2x162y一 mm R,m 0 .9(iii )例题讲解与引申、扩展例3求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c.引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在例4双曲线型冷却塔的外形，半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m .试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程(各长度量精确到1m).是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1),它的最小解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为2 2七七 1，算出a,b,c的值;a b此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，在 P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 PA 或PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫，已知|Ap 150m ，|Bp 100m，| BC| 60m ， APB 60o •能否在足球场上画一条 “等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由.解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则|PA |AM点M 的轨迹方程.♦情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教 学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新.必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系 的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取 近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要 求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题， 培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1) 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究 ，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.(2)思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能MF I 1 ^2 2 .16 ,16 J X 5y ,到直线l:x 一的距离dx — 15 5分析：若设点M x, y ，则a,b,c 的近似值，原则上在没有注意PB BM ,即BM | |AM | |Ap |Bp 50 （定值），“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的2部分，容易“等距离”线方程为x y1 35 x 625 375025,0 y 60 .理由略.例5如图，设M x, y 与定点F 5,0的距离和它到直线 15的距离的比是常数5，求4则容易得点M 的轨迹方程. 引申：《几何画板》探究点的轨迹：双曲线x, y 与定点 F c,0 的距离和它到定直线2a——的距离 c比是常数0，则点M 的轨迹方程是双曲线. 其中定点F c,02是焦点，定直线l : x —相c应于F 的准线; 另一焦点 F c,0，相应于F 的准线I : xx2力.(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6补充：3.课题:双曲线第二定义教学目标：1•知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。

第1讲 乘法原理和加法原理考点定位精讲讲练一、乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有nm 种不同的方法．那末完成这件事共有12nN m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．二、加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有nm 种不同的方法．那末完成这件事共有12nN m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．三、加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那末计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那末计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．考点一：乘法原理例1．（2022·上海·高三专题练习）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出遨游，约定每【注意】 应用两个计数原理的关键是分清“步”与“类”.完成一件事需要若干步，而每一步缺一不可，则符合乘法原理，需要注意“步”与“步”之间的连续性；完成一件事有若干类方法，每类方法能独立完成这件事，则符合加法原理，需要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性.人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那末甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ）A．29B．23C．14D．12例2．（2022·上海·高三专题练习）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ）A．14条 B．12条 C．9条 D．7条例3．（2022·上海·高二专题练习）现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ） A．1024种 B．1023种 C．1535种 D．767种例4.．（2022·上海市七宝中学高二期中）在狂欢节上，有六名同学想报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，每一个项目都有人报名，则共有__________种不同的报名方法．例5．（2022·上海市建平中学高二期中）用1、2、3三个数字能组成不同三位数的个数是________（结果用数字作答）例6．（2022·上海·复旦附中高二期中）甲､乙､丙三个人玩“剪刀､石头､布”游戏一次游戏中可以浮现的不同结果数为___________种.例7．（2022·上海·复旦附中高二期中）360的正约数共有___________个.例8．（2022·上海师范大学第二附属中学高二阶段练习）270的不同正约数共有___________个.例9．（2022·上海·复旦附中高二期中）2n个人排成一个n行，n列的方阵，现要从中选出n个代表，要使得每一行，每一列都有代表，则有___________种不同的选法.例10.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．例11.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那末函数解析式为2y x=-，值域为{19}--，的“同族函数”共有（ ）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个例12.关于正整数2160，求：（1）它有多少个不同的正因数？（2）它的所有正因数的和是多少？【巩固训练】1．如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那末不同的安排方法共有种．2．高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一位男生和一位女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．3．4名男生和3名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法：（1）男生必须排在一起 ； （2）女生互不相邻 ； （3）男女生相间 ； （4）女生按指定顺序罗列 ． 4．7人站一排，甲不站排头，也不站排尾，不同的站法种数有 种；甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有 种．5．远洋轮一根旗杆上用红、蓝、白三面旗帜中，一面，二面或者三面表示信号，则最多可组成不同信号有___________种．6．六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？7．三名男歌手和两名女歌手联合举行一场演唱会,演出时要求两名女歌手之间恰有一位男歌手,则共有出场方案 种．8．从集合{12311}，，，，中任选两个元素作为椭圆方程22221x ym n+=中的m和n，则能组成落在矩形区域{()|||11B x y x=<，，且||9}y<内的椭圆个数为（ ）A．43B．72C．86D．909．从集合{4321012345}----，，，，，，，，，中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的个数为（ ）A．10B．32C．110D．22010．某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0．这样设计出来的密码共有（ ）A．90个 B．99个 C．100个 D．112个考点二：加法原理例1．（2022·上海·高三专题练习）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图；如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那末可以表示的三位数的个数为（ ）A．46B．44C．42D．40例2．（2022·上海·高二专题练习）如图，在某海岸P 的附近有三个岛屿Q ，R ，S ，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不浮现立体交叉形式，则不同的连接方式有（ ）.A．24种 B．20种 C．16种 D．12种例3.（2022·上海·复旦附中高二期中）学校组织春游活动，每一个学生可以选择去四个地方：崇明､朱家角､南汇和嘉定，有四位同学恰好分别来自这四个地方，若他们不去家乡，且分别去了不同地方，则四位同学去向的所有可能结果数为___________.例4．（2022·上海交大附中高二期中）已知在矩形ABCD 中，72AB =，56AD =，若将AB 边72等分，过每一个等分点分别作AD 的平行线，若将AD 边56等分，过每一个等分点分别作AB 的平行线，则这些平行线把整个矩形分成为了边长为1的7256⨯个小正方形，于是，被对角线AC 从内部穿过的小正方形（小正方形内部至少有AC 上的点）共有______个．例5．（2022·上海徐汇·高二期末）若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是____________例6.从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则nm等于（ ）A.0B.41C.21D.43例7.用100元钱购买2元、4元或者8元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法?例8.袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有____种可能．【巩固训练】1．从1～10中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？2．高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一位学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．3．一次，齐王与大将田忌赛马．每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序挨次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着挨次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等．田忌有________种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛．4．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A．324B．328C．360D．6485．用012345，，，，，这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．6．圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是 ．7．1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于26的数共有多少个?8．2022的数字和是2+0+0+7=9，问：大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个?考点三：综合应用例1.用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答）例2.若自然数n使得作竖式加法(1)(2)++++均不产生进位现象．则称n为“可连n n n数”．例如：32是“可连数”，因323334++不产生进位现象；23不是“可连数”，因++产生进位现象．那末，小于1000的“可连数”的个数为（ ）232425A．27B．36C．39D．48例3.由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？例4.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或者“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）A．2000B．4096C．5904D．8320例5.如图，一环形花坛分成A B C D，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A．96 B．84 C．60 D．48例6.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以数字作答）例7.分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和．例8.某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A 1、B 1、C 1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）例9.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为129，，， 的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种．A．72B．108C．144D．192【巩固训练】1．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有 种不同的送书方法．2．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）A.12种B. 24种C. 36种D. 48种3．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那末不同的插法种数为（ ） A．504 B．210 C．336 D．1204．足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那末一个队打14场共得19分的情况有（ ）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种5．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市遨游，要求每一个城市有一人遨游，每人只遨游一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎遨游，则不同的选择方案共有（ ）A．300种 B．240种 C．144种 D．96种9876543216．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部份（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部份栽种一种且相邻部份不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种．（以数字作答）7．如图所示,问从A到D每次不许走重复的路,共有多少种走法?(注:每次的路线一个地方只能经过一次)8．球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，击球方法有几种？一、单选题1．（2022·上海·高二专题练习）从集合{}1,2,3,4,,15中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）个A．98 B．56 C．84 D．492．（2022·上海·高三专题练习）现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ） A．1024种 B．1023种 C．1536种 D．1535种3．从图中的12个点中任取3个点作为一组，其中可构成三角形的组数是（ ）A .208B .204 C.200D.196二、填空题4．（2022·上海·高二专题练习）一个三位数，其十位上的数字小于百位上的数字，也小于个位上的数字，如523，769等，这样的三位数共有________个．5．（2022·上海·高二专题练习）请列举出用0，1，2，3，4这5个数字所组成的无重复数字且比3000大的，且相邻的数字的奇偶性不同的所有四位数奇数，它们分别是______. 6．（2022·上海市复兴高级中学高三期中）有4位教师在同一年级的4个班级各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位教师都不能在本班监考，则监考的方法数有_______种. 7．（2022·上海·高二专题练习）在所有的两位数中，个位上的数字小于十位上的数字的两位数有________个.8．（2022·上海交大附中高三开学考试）如图，将网格中的三条线段沿网格线上、下或者左、右平移，组成一个首尾相连的三角形，若最小的正方形边长为1格，则三条线段一共至少需要挪移__________格.9．（2022·上海·高二专题练习）乘积（a 1+a 2+a 3）（b 1+b 2+b 3+b 4）（c 1+c 2+c 3+c 4+c 5）展开后共有_____项．10．（2022·上海中学高二阶段练习）将1，2，3填入33 的方格中，要求每行､每列都没有重复数字，如图是其中一种填法，则不同的填写方法共有___________种.11．（2022·上海宝山·高二期末）640的不同正约数共有______个12．（2022·上海·高三专题练习）一个三位数，个位､十位､百位上的数字挨次为x y z ､､，当且仅当y x >且y z >时，称这样的数为“凸数”(如341)，则从集合{}1,2,3,4,5中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数为___________.13．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____________种．（以数字作答）14．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种_____________种． 三、解答题15．（2022·上海市奉贤中学高二期中）现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人. (1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？ (2)每一个年级选一位组长，有多少种不同的选法？(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？16．在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？17．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？⑤④③②①。

第2课时 直线与椭圆的位置关系(一)一、选择题1．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为() A.⎝⎛⎭⎫－233，233B.⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫233，＋∞C.⎝⎛⎭⎫43，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－∞，－43考点题点 [答案] B [解析] 因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123>1，解得a >233或a <－233，故选B.2．直线y ＝x ＋1与椭圆x 25＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断考点题点[答案] A[解析] 方法一 直线过点(0,1)，而0＋14<1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．方法二 联立直线与椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 25＋y 24＝1，消去y 得9x 2＋10x －15＝0， Δ＝100－4×9×(－15)＝640>0，所以直线与椭圆相交．3．直线y ＝k (x －2)＋1与椭圆x 216＋y 29＝1的位置关系是( ) A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法判断 考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题[答案] B[解析] 直线y ＝k (x －2)＋1过定点P (2,1)，将P (2,1)代入椭圆方程，得416＋19<1， 所以P (2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．4．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|为( ) A.32B.3C.72D ．4 [答案] C[解析] ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|＝b 2a ＝12， ∴|PF 2|＝4－12＝72. 5．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m >1B ．m ≥1C ．m >3D ．m >1且m ≠3[答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0， ∴Δ>0，即16m 2－4m (3＋m )>0，∴m >1且m <0，又∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3.6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为( ) A.22B ．±22C.12D ．±12考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交的其他问题[答案] B[解析] 根据椭圆的离心率为22，得ca ＝22.由x 0＝b ，得y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2＝b2c 2a 2，所以y 0＝±bca ，∴k ＝y 0x 0＝±c a ＝±22.7．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是() A ．m >1 B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5[答案] D[解析] 方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<1m ≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立，即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立，由于m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.8．以F 1(－1,0)，F 2(1,0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.x 220＋y 219＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 25＋y 24＝1 D.x 23＋y 22＝1 考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题[答案] C[解析] 由题意设椭圆方程为x 2b 2＋1＋y 2b 2＝1， ⎩⎨⎧ x 2b 2＋1＋y 2b 2＝1，x －y ＋3＝0，得(2b 2＋1)x 2＋6(b 2＋1)x ＋8b 2＋9－b 4＝0，由Δ≥0得b 2≥4，所以b 2的最小值为4，由e ＝1－b 2b 2＋1＝1b 2＋1， 则b 2＝4时，e 取最大值，故选C.二、填空题9．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为____________________________．考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题[答案] 27 [解析] 由题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a >2)， 与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，得4(a 2－3)y 2＋83(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0，由Δ＝0，得a ＝7，所以椭圆的长轴长为27.10．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________．考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题[答案] 2[解析] 因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点， 所以|－4|m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2<4， 即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包含边界)，故过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点． 11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________. [答案] 57[解析] 设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得|BF |＝8，所以△ABF 为直角三角形，且∠AFB ＝90°，又因为斜边AB 的中点为O ，所以|OF |＝c ＝5，连接AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以|BF |＝|AF 1|＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57. 三、解答题12.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为A ，B ，且|AB |＝52|BF |.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．解 (1)由已知|AB |＝52|BF |， 即a 2＋b 2＝52a ， 4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，∴e ＝c a ＝32. (2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b2＝1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y ， 得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0，即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >21717. x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217.∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0，5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0.从而5(16－4b 2)17－12817＋4＝0， 解得b ＝1，满足b >21717. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 13．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率． 考点题点解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，故|AF 2|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )． 化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.14．已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→<0，则x 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－263，263 B.⎝⎛⎭⎫－233，233 C.⎝⎛⎭⎫－33，33 D.⎝⎛⎭⎫－63，63 考点题点 [答案] A[解析] 由F 1(－3，0)，F 2(3，0)，PF 1→·PF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＝x 20＋y 20－3<0，① 由x 204＋y 20＝1，即y 20＝1－x 204，② ②代入①可得，34x 20－2<0， 即－263<x 0<263. 15．已知椭圆x 2＋y 24＝1，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，点P 是椭圆上一点，则使得点P 到直线l 的距离为55的点P 的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 设直线l ′：2x ＋y ＋n ＝0与椭圆相切，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋n ＝0，x 2＋y 24＝1，整理得8x 2＋4nx ＋n 2－4＝0， 则该方程有且只有一个解，由Δ＝16n 2－4×8(n 2－4)＝0，得n ＝22或n ＝－22，∴l ′的方程为2x ＋y ＋22＝0或2x ＋y －22＝0，易知直线2x ＋y ＋22＝0与直线l 的距离为22－25<55， 直线2x ＋y －22＝0与直线l 的距离为2＋225>55， ∴在直线l 的右侧有两个符合条件的P 点，在直线l 的左侧不存在符合条件的P 点， ∴符合条件的点P 有2个．故选C.。

上海高考数学书本选修2《上海高考数学书本选修2》是上海高中数学教材中的一本选修教材，适用于高中二年级学生。

本书主要内容包括解析几何、排列组合与二项式定理、概率与统计、数学演绎等内容，下面我将分别对每个章节进行详细介绍。

第一章是解析几何，该章内容涉及到直线、圆的性质、曲线的性质、向量的运算、平面向量的应用等。

通过学习解析几何，学生可以掌握直线、圆和曲线的基本性质，并且能够运用向量的运算和平面向量的应用解决一些实际问题。

这对于培养学生的几何直观和创造力具有重要意义。

第二章是排列组合与二项式定理，该章内容涉及到排列、组合和二项式定理等。

通过学习排列组合与二项式定理，学生可以掌握排列、组合的概念和计算方法，并且能够理解和运用二项式定理解决一些实际问题。

这对于培养学生的逻辑思维和问题解决能力具有重要意义。

第三章是概率与统计，该章内容涉及到概率、统计和抽样调查等。

通过学习概率与统计，学生可以掌握概率的基本概念和计算方法，并且能够运用统计的方法进行数据的整理和分析。

这对于培养学生的数理思维和数据分析能力具有重要意义。

第四章是数学演绎，该章内容涉及到数学演绎、数学归纳法和函数极限等。

通过学习数学演绎，学生可以掌握数学演绎的基本过程和方法，并且能够运用数学归纳法证明一些数学命题。

同时，学生还可以理解和运用函数极限的概念和计算方法。

这对于培养学生的抽象思维和严谨逻辑具有重要意义。

总之，《上海高考数学书本选修2》是一本很好的高中数学教材，内容涵盖了解析几何、排列组合与二项式定理、概率与统计、数学演绎等多个知识领域。

通过学习本书，学生可以提高数学思维能力和问题解决能力，为高考数学打下坚实的基础。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年上海市徐汇区高中数学人教A 版选修二第四章 数列章节测试(19)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）a n ＝3n －1a n ＝4n －3a n＝n 2a n＝3n －11. 已知数列{a n }中，a 1＝1，n≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2 ， a 3 ， a 4后，猜想a n 的表达式是（ ）A. B. C.D. 2. 数列的一个通项公式是( )A. B. C. D.404342453. 在等差数列 中，已知，则（ ）A. B. C. D. 4. 等比数列中，已知， 则此数列前17项之积为（ ）A. B. C. D.555045405. 数列{a n }满足a 1=2,a n =2a n-1 ， 则数列{log 2a n }的前10项和S 10=（ ）A. B. C. D. 6. 由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅磗，因而广受喜爱.某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤，“龙身”共有180节“鱗片”的巨龙风筝.制作过程中，风箏骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定骨架材质按图中规律排列（即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列），则该“龙身”中竹质骨架个数为（ ）161162163164A. B. C. D. ②④③④①③①④7. 已知表示大于x 的最小整数，例如[3)=4,[-1,2)=-1．下列命题①函数f(x)=[x)-x 的值域是(0,1]；②若是等差数列，则也是等差数列；③若是等比数列，则也是等比数列；④若， 则方程有3个根．正确的是（ ）A. B. C. D. 515754728. 已知等差数列 的前 项和为，且，则 （ ）A. B. C. D. 三角形圆形三角形可能性大圆形可能性大9. 电脑上显示 ， 按这种规律往下排，那么第个图形应该是（ ）A. B. C. D. 2810. 设正项等比数列 的前n 项和为 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D.643216411. 已知各项为正数的等比数列 满足 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 18925232440512. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 ， 设数列为等差数列，它的前项和为 ， 且 ， ， 则（ ）A. B. C. D. 阅卷人得分二、填空13. 用数学归纳法证明：1+ + +…+ = 时，由n=k 到n=k+1左边需要添加的项是 ．14. 用数学归纳法证明“ ”，在验证成立时，等号左边的式子是 .15. 已知为等差数列的前n项和，且，，则 .16. 已知等比数列的公比为，若，，则 = ； = ．17. 设数列的各项均为正数，前n项和为，满足（，，，，，， c为常数）.(1) 若，，求的通项公式；(2) 若，证明为等差数列.18. 在数列中，已知(1) 求，并由此猜想数列的通项公式的表达式。

普通高中教科书数学选修二a版电子课本
1. 函数的定义：函数是一种特殊的数学关系，它把一个或多个自变量的值映射到一个唯一的因变量值。

2. 函数的类型：函数可以分为一元函数、二元函数、多元函数等。

3. 函数的表示：函数可以用函数表、函数图像、函数方程等方式表示。

4. 函数的性质：函数的性质包括单调性、奇偶性、有界性、连续性等。

5. 函数的应用：函数在科学、工程、经济等领域有着广泛的应用。

6. 函数的求解：函数的求解可以通过图像法、曲线积分法、拉格朗日法等方法来实现。

7. 函数的变换：函数可以通过平移、缩放、旋转等变换来改变其形状。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年上海市浦东新区高中数学人教A 版选修二一元函数导数及应用专项提升(15)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）﹣1﹣2121. 设f （x ）存在导函数且满足=﹣1，则曲线y=f （x ）上的点（1，f （1））处的切线的斜率为（ ）A. B. C.D. 12x-y-2=02x-y+8=02x+y-12=0x-2y+19=02. 曲线y=10+2lnx 在点(1，10)处的切线方程是（ ）A.B. C. D. 3. 已知函数 的极大值为4，若函数 在上的极小值不大于 ，则实数的取值范围是（ ）A.B. C. D. 4. 已知函数 在 处取得极值，且， ，若 的单调递减区间为 ；则 的取值范围为（ ）A. B. C. D.5. 已知定义在 上的函数 的导函数为 且满足 ，若 ，则（ ）A. B. C. D.6. 已知是函数 的极大值点，则a 的取值范围是（ ）A. B. C. D.7. 已知函数，则其导数 （ ）A. B. C. D.在（﹣3，1）内f （x ）是增函数在x ＝1时，f （x ）取得极大值在（4，5）内f （x ）是增函数在x ＝2时，f （x ）取得极小值8. 如图是函数y ＝f （x ）的导数y ＝f'（x ）的图象，则下面判断正确的是（ ）A. B. C. D. 单调递增单调递减在 上递增，在 上递减在 上递减，在 上递增9. 指数函数 （ ，且 ）在 上是减函数，则函数 在其定义域上的单调性为（ ）A. B. C. D. 12310. 已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）A. B. C. D. 11. 已知函数 ， 则的图象大致为（ ）A. B. C. D.12. 已知 是函数 的极大值点，则a 的取值范围是（ ）A. B. C. D.13. 已知函数在区间上存在单调增区间，则m 的取值范围为 ．14. 设定义域为（0，+∞）的单调函数f （x ），对任意的x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）﹣log 2x]=6，若x 0是方程f （x ）﹣f′（x ）=4的一个解，且x 0∈（a ，a+1）（a ∈N *），则实数a= ．15. 曲线在点处的切线在轴上的截距是 .16. 函数的图象与函数的图象的公切线的方程为 .17. 已知函数 .(1) 求在点处的切线；(2) 求在区间上的最大值和最小值.18. 函数 .(1) 若函数在上为增函数，求实数的取值范围；(2) 求证：，时， .19. 已知函数有两个零点、，且．(1) 求的取值范围；(2) 设函数的极值点为，证明：．20. 已知函数.(1) 求在点处的切线方程；(2) 求在区间上的单调区间.21. 已知函数 .(1) 若，求函数的单调区间；(2) 若函数在区间内有两个极值点、，求实数的取值范围；(3) 在（1）的基础上，求证： .答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)(1)(2)(1)(2)21.(1)(2)(3)。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年上海市浦东新区高中数学人教A 版选修二第四章 数列强化训练(19)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）241. 已知a>0，b>0，且2是2a 与b 的等差中项，则 的最大值为 （ ）A. B. C. D. 2. 数列1， ， ， ，的一个通项公式a n 是（）A. B. C.D.a 1， a 50a 1， a 8a 8 ， a 9a 9 ， a 503. 已知数列{an }中，a n ＝(n∈N *)，则在数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别是( )A. B. C. D.4. 设等差数列的前n 项和为，且满足，，则 中最大项为（ ） A. B. C.D.3060901205. 已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 的所有项之和是（）A. B. C. D. 2019-20192020-20206. 设数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 7. 设等差数列 的前n 项和为 ，若 ， ，则 （ ）63453927A. B. C. D. 444546508. 已知数列为等比数列，函数 过定点 ， ，数列 的前 项和为 ，则 （ ）A. B. C. D. 6 斤9 斤9.5斤12 斤9. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（ ）A. B. C. D. 10. 已知等差数列 的公差为2，若 ， ， 成等比数列，则 等于（ ）A. B. C. D.5891011. 已知等差数列满足 ， 是数列 的前n 项和，则使 >0时，自然数n 的最大值为（ ）A. B. C. D. 不能确定12. 若 ，则a n 与a n+1的大小关系是（ ）A. B. C. D. 13. 数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n =2 014，则序号n= ．14. 设等比数列 的第四项是 的展开式中的常数项，且首项 ，则 通项公式为 .15. 设等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则 ．16. 在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数． 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数 （注：对于 的传染病，要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径），那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染（不含初始感染者）的总人数为 （注：初始感染者传染个人为第一轮传染，这 个人每人再传染 个人为第二轮传染……）17. 若数列满足 ， ， m 为常数.(1) 求证：是等差数列；(2) 若对任意，都有，求实数m的取值范围.18. 已知正项数列的前n项和为，且，数列满足．(1) 求数列的前n项和，并证明，，是等差数列；(2) 设，求数列的前n项和．19. 已知等差数列和等比数列满足：(I)求数列和的通项公式；(II)求数列的前项和 .20. 已知数列满足 .(1) 求证:数列是等差数列，并求其通项公式；(2) 设，求数列的前项和 .21. 若数列满足：，点在函数的图象上，其中为常数，且.(1) 若成等比数列，求的值；(2) 当时，求数列的前21项和.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.20.(1)(2)21.(1)(2)第 11 页 共 11 页。