高二数学直线与圆知识点归纳

直线系与圆系方程1 直线系方程(1)过点(x0 ,y0)的直线系方程为A(x−x0)+B(y−y0)=0(其中A ,B不全为零)(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程Ax+By+C0=0(C≠C0)；(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程Bx−Ay+C0=0；(4)过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R , 这个直线系下不包括直线l2:A2x+B2y+C2=0，解题时注意检验l2是否满足题意)【例】写出与直线x−2y+1=0平行、垂直的直线系方程.解与直线x−2y+1=0平行的直线系方程分别为x−2y+m=0，与直线x−2y+1=0垂直的直线系方程分别为2x+y+m=0.2 圆系方程(1)以(a ,b)为圆心的同心圆圆系方程：(x−a)2+(y−b)2=λ(λ>0)；(2)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心圆的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+λ=0；(3)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R)；(4)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠−1 , 此圆系不含C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0)特别地，当λ=−1时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.【例】直线l:x−2y+1=0，圆C1:x2+y2+2x−2y+1=0，圆C2:x2+y2+x+y= 0，写出过直线l与圆C1交点的圆系方程，过圆C1与圆C2交点的曲线方程，过圆C1与圆C2交点的公共弦方程.解过直线l与圆C1交点的圆系方程为x2+y2+2x−2y+1+λ(x−2y+1)=0，化简为x2+y2+(2+λ)x−(2+2λ)y+1+λ=0；过圆C1与圆C2交点的曲线方程x2+y2+2x−2y+1+λ(x2+y2+x+y)=0，化简为(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2+λ)x+(λ−2)y+1=0，令λ=−1，得过圆C1与圆C2交点的公共弦方程x−3y+1=0.3 过圆上一点的切线方程过圆上一点P(x0 ,y0)作圆⨀M:(x−a)2+(y−b)2=r2的切线l方程为(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2证明 向量法 向量PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −x 0 ,b −y 0)，设切线上任意一点B(x ,y)，∵l ⊥PM ，∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴(a −x 0 ,b −y 0)(x −x 0 ,y −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0即切线l 方程为(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0.∵(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −a +a −x 0)+(b −y 0)(y −b +b −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −a )+(a −x 0)2+(b −y 0)(y −y 0)+(b −y 0)2=0⇒(a −x 0)(x −a )+(b −y 0)(y −y 0)+r 2=0⇒(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2∴切线l 方程也可以写成(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2.【例】 求过点(1,−2)作圆(x +2)2+(y +1)2=1的切线方程.解 切线方程为(1+2)(x +2)+(−2+1)(y +1)=1，化简为3x −y +4=0.【题型一】直线系方程【典题1】求过两条直线y =2x +3与3x −y +2=0的交点，且分别满足下列条件的直线方程：(1)斜率为−12； (2)过点P(2,3)； (3)平行于直线3x +y =1．解析 直线y =2x +3与3x −y +2=0的交点为(1,5)，方法一(1)当斜率为−12时，由直线的点斜式方程得：直线方程为y −5=−12(x −1)．直线方程为x +2y －11=0．(2)过点P(2,3)时，由两点式得：y －5=3−52−1(x －1)即为y =−2x +7．直线方程为2x +y −7=0．(3)平行于直线3x +y =1时，得直线斜率为k =－3，直线方程为y −5=−3(x －1)， 即直线方程为3x +y −8=0．方法二 由直线系方程可设所求直线为2x +3−y +λ(3x −y +2)=0(1) 2x +3−y +λ(3x −y +2)=0⇒(2+3λ)x −(λ+1)y +2λ+3=0直线的斜率为−12时，2+3λλ+1=−12，解得λ=−57， 故所求直线方程为x +2y －11=0．(2) 过点P(2,3)时，代入方程得4+5λ=0⇒ λ=−45，故所求直线方程为2x +y －7=0．(3) 平行于直线3x +y =1时，2+3λλ+1=−3，解得λ=−56,故所求直线方程为3x +y －8=0．点拨 此题是直线系问题.从本题来看，用直线系方程的方法求解对于一般的解法也没有优势，这里只是拓展大家的思路.【巩固练习】1.求过两直线x −2y +4=0和x +y −2=0的交点P ，且分别满足下列条件的直线l 的方程．(1)过点(2 ,1)； (2)和直线3x −4y +5=0垂直．答案 (1) x +2y −4=0 (2) 4x +3y −6=0解析 由{x −2y +4=0x +y −2=0 解得{x =0y =2，∴P(0 ,2)．(1)设过点P 的直线方程为x −2y +4+λ(x +y −2)=0，∵过点(2 ,1)，∴2−2+4+λ=0⇒λ=−4，故所求直线方程为x −2y +4−4(x +y −2)=0⇒x +2y −4=0.(2) 设所求直线为4x +3y +λ=0,∵过点P(0 ,2)，∴0+6+λ=0⇒λ=−6，故所求直线方程为4x +3y −6=0.【题型2】过圆上一点的切线方程【典题1】求过点P(−1 ,4)，圆(x −2)2+(y −3)2=1的切线l 的方程．解析 方法一 当直线l 斜率不存在时，方程为x =−1，显然不是切线，故可设切线方程为y =k (x +1)+4，∵直线l 与圆相切，∴圆心(2 ,3)到直线l 的距离等于半径1，故√1+k 2=1，解得k =0或−34，故所求直线l 的方程为y =4或3x +4y −13=0．方法二 如方法一，设切线方程为y =k (x +1)+4，由{y =k (x +1)+4(x −2)2+(y −3)2=1得(1+k 2)x 2+(2k 2+2k −4)x +k 2+2k −4=0其判别式∆=(2k 2+2k −4)2−4(1+k 2)(k 2+2k −4)=0 , 解得k =0或−34 ,故所求直线l的方程为y=4或3x+4y−13=0．方法三因为切线过点P(−1 ,4)，故可设所求直线的方程为A(x+1)+B(y−4)=0(其中A ,B不全为零)，∵直线l与圆相切，=1∴圆心(2 ,3)到直线l的距离等于半径1，故√A2+B2,B≠0．整理，得A(4A−3B)=0，即A=0(这时B≠0)或A=34故所求直线l的方程为y=4或3x+4y−13=0．点拨本题的方法很多，这里利用了直线系方程，过点(x0 ,y0)的直线系方程为A(x−x0)+ B(y−y0)=0(其中A ,B不全为零) , 它比起斜截式y=kx+b的设法好在不用对k的存在进行讨论.【巩固练习】1.求过点P(1 ,3)且与圆(x+1)2+y2=4的相切的直线l的方程．答案x=1或5x+12y+31=0解析因为切线过点P(1 ,3)，故设所求直线的方程为A(x−1)+B(y−3)=0(其中A ,B不全为零)，=2，∵直线l与圆相切，∴圆心(−1 ,0)到直线l的距离等于半径2，故√A2+B2,≠0，整理得B(5B+12A)=0，即B=0(这时A≠0)或A=−512故所求直线l的方程为x=1或5x+12y+31=0．2. 求过点P(0,√3)且与圆(x+1)2+y2=4的相切的直线l的方程．答案x+√3y−3=0.解析易发现点P(0,√3)在圆(x+1)2+y2=4上，故直线l的方程为(0+1)(x+1)+√3y=4，化简得x+√3y−3=0，即所求直线l的方程为x+√3y−3=0.【题型3】圆系方程【典题1】经过直线2x−y+3=0与圆x2+y2+2x−4y+1=0的两个交点，且面积最小的圆的方程是．解析方法一(面积最小的圆是以两个交点为直径的圆)∵圆x2+y2+2x−4y+1=0的方程可化为(x+1)2+(y−2)2=4．∴圆心坐标为(−1 ,2)，半径为r=2；∴圆心到直线2x−y+3=0的距离为d=，√5设直线2x−y+3=0和圆x2+y2+2x−4y+1=0的交点为A ,B，则|AB|=2√r 2−d 2=2√4−15=√19√5，∴过点A ,B 的最小圆半径为√19√5，联立{2x −y +3=0x 2+y 2+2x −4y +1=0得5x 2+6x −2=0，故x 1+x 2=−65，则圆心的横坐标为：12(x 1+x 2)=−35，纵坐标为2×(−35)+3=95，∴最小圆的圆心为(−35 ,95)，∴最小圆的方程为(x +35)2+(y −95)2=195．方法二 依题意，可设过点A 、B 两点圆的方程为x 2+y 2+2x －4y +1+λ(2x −y +3)=0，(利用圆系方程把满足题意的所有圆表示出来，再用代数的方法求面积最小的圆) 整理得(x +λ+1)2+(y −4+λ2)2=54λ2+λ+4 若要使得圆的面积最小，则只需半径最小，即54λ2+λ+4取到最小值，而54λ2+λ+4=54(λ+25)2+195≥195，当λ=−25时取到最小值，此时圆的方程为(x +35)2+(y −95)2=195.点拨 本题是过直线与圆交点的圆系问题.方法一可以说是从几何的角度得出思路求解，而方法二算是“代数法”，略显简洁些.【典题2】 已知圆C 1：x 2+y 2=10与圆C 2：x 2+y 2+2x +2y −14=0．(1)求证：圆C 1与圆C 2相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线x +y −6=0上的圆的方程．解析 (1)证明：(圆心距C 1C 2∈(R −r ,R +r)⇔两圆相交)圆C 2：x 2+y 2+2x +2y −14=0化为标准方程为(x +1)2+(y +1)2=16∴C 2(−1 ,−1)，r =4∵圆C 1：x 2+y 2=10的圆心坐标为(0 ,0)，半径为R =√10∴|C 1C 2|=√2 ,∵4−√10<√2<4+√10，∴两圆相交；(2)(两圆方程相减所得方程即是公共弦所在直线方程)将两圆方程相减，可得2x +2y −4=0，即两圆公共弦所在直线的方程为x +y −2=0；(3)方法一 (先求出两个交点，再求圆心与半径得圆的方程，思路很直接)由{x 2+y 2+2x +2y −14=0x 2+y 2=10解得{x =3y =−1或{x =−1y =3，(这里还是有些计算量的)则交点为A (3 ,−1) ,B(−1 ,3)，∵圆心在直线x +y −6=0上，设圆心为P(6−n ,n)，则AP =BP ，解得n =3，故圆心P(3 ,3)，半径r =AP =4，∴所求圆的方程为(x −3)2+(y −3)2=16．方法二 设所求圆的方程为x 2+y 2+2x +2y −14+λ(x 2+y 2−10)=0(λ≠−1) 即(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+2x +2y −14−10λ=0 ∴圆心坐标为(−11+λ ,−11+λ)代入直线x +y −6=0可得：−11+λ−11+λ−6=0，∴λ=−43∴所求圆的方程为x 2+y 2−6x −6y +2=0．点拨 此题是过圆与圆交点的圆系问题.① 两圆之间的位置关系看圆心距O 1O 2与两圆半径R 与r 之间的关系；② 过两圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0，C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0(λ≠−1 , 此圆系不含C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0)特别地，当λ=−1(即两圆方程相减)时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.③ 方法的选取在于思考难度、计算量、严谨性性等.【巩固练习】1.求经过原点，且过圆x 2+y 2+8x －6y +21=0和直线x －y +7=0的两个交点的圆的方程．答案 x 2+y 2+5x －3y =0解析 (1)设圆的方程为x 2+y 2+8x －6y +21+λ(x －y +7)=0，代入(0,0)，可得21+7λ=0，∴λ=－3，∴圆的方程为x 2+y 2+8x －6y +21－3(x －y +5)=0，即x 2+y 2+5x －3y =0.2.求经过圆x 2+y 2+8x －6y +21=0与直线x －y +5=0的交点且在y 轴上的弦长为2√33的圆的方程．答案 x 2+y 2−2x +4y −29=0或x 2+y 2+26x −24y +111=0解析 设所求的圆的方程为(x 2+y 2+8x −6y +21)+k(x −y +5)=0，且与y 轴的交点坐标为y 1、y 2，令x =0得(y 2−6y +21)+k(−y +5)=0，化简得y 2−(k +6)y +21+5k =0， ∴y 1+y 2=k +6，y 1⋅y 2=5k +21，由|y 1−y 2|=2√33两边平方得(y 1+y 2)2－4y 1⋅y 2=132，∴(k +6)2－4(5k +21)=132，化简得k 2－8k －180=0，解得k =－10或k =18，∴所求圆的方程为(x 2+y 2+8x −6y +21)－10(x −y +5)=0，或(x 2+y 2+8x −6y +21)+18(x −y +5)=0，∴所求圆的方程为x 2+y 2−2x +4y −29=0或x 2+y 2+26x −24y +111=0.3.求经过两圆x 2+y 2+6x −4=0和x 2+y 2+6y −28=0的交点，并且圆心在直线x −y −4=0上的圆的方程．答案 x 2+y 2−x +7y －32=0解析 设经过两圆x 2+y 2+6x −4=0和x 2+y 2+6y −28=0的交点的圆的方程，为(x 2+y 2+6x －4)+λ(x 2+y 2+6y －28)=0，即x 2+y 2+61+λx +6λ1+λy −4+28λ1+λ=0， 则它的圆心坐标为(−31+λ,−3λ1+λ)．再根据圆心在直线x −y −4=0上，可得−31+λ+3λ1+λ−4=0，解得λ=−7，故所求的圆的方程为x 2+y 2−x +7y －32=0．4.已知圆C 1：x 2+y 2−3x −3y +3=0，圆C 2：x 2+y 2−2x −2y =0．(1)求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．(2)求过两圆交点且面积最小的圆的方程． 答案 (1) x +y −3=0,√6 (2) (x −32)2+(y −32)2=32解析 (1)设两圆的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则A 、B 两点的坐标是圆C 1：x 2+y 2−3x −3y +3=0，圆C 2：x 2+y 2−2x −2y =0，联立方程组的解，两方程相减得：x +y −3=0，∵A 、B 两点的坐标都满足该方程，∴x +y −3=0为所求．将圆C 2的方程化为标准形式，(x −1)2+(y −1)2=2，∴圆心C 2(1,1)，半径r =√2． 圆心C 2到直线AB 的距离d =√2=√2，|AB|=√6．即两圆的公共弦长为√6．(2)C 1(32,32),C 2(1,1)，直线C 1C 2方程：x −y =0．{x −y =0x +y −3=0，交点为(32,32)， 即为圆的圆心，半径r =√32， 所以圆的方程是：(x −32)2+(y −32)2=32．【A 组---基础题】1.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程：l 1：x −2y +2=0，l 2：2x −y −2=0；答案 y =x解析 方法一 方程组{x −2y +2=02x −y −2=0得{x =2y =2所以，l 1与l 2的交点是(2,2)．设经过原点的直线方程为y =kx ，把点(2,2)的坐标代入以上方程，得k =1，所以所求直线方程为y =x ．方法二 过直线l 1与l 2的交点的直线可设为x −2y +2+λ(2x −y −2)=0因为过原点，故2−2λ=0⇒λ=1，则所求直线方程为y =x .2.已知直线x +2y =0与圆x 2+y 2−2x =0的交点为A 、B ，(1)求弦长AB ；(2)求过A 、B 两点且面积最小的圆的方程．答案 (1) 45√5 (2) (x −45)2+(y +25)2=45解析 (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则直线x +2y =0与圆x 2+y 2−2x =0联立，消去x ，可得5y 2+4y =0，∴y 1=0,y 2=−45,∴{x1=0y 1=0,{x 2=85y 2=−45，∴|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=45√5.(2)所求圆的圆心为AB 中点C(45,−25)，所求面积最小的圆的方程是(x −45)2+(y +25)2=45.3.求圆心在直线3x +4y −1=0上，且过两圆x 2+y 2−x +y －2=0与x 2+y 2=5交点的圆的方程．答案 x 2+y 2+2x −2y −11=0解析设所求圆的方程为(x2+y2−x+y−2)+m(x2+y2−5)=0．整理得(1+m)x2+(1+m)y2−x+y−2−5m=0．圆心坐标为(12(1+m),−12(1+m))代入3x+4y−1=0得m=−32，∴所求圆的方程为x2+y2+2x−2y−11=0．4.过圆x2+y2=4内一点A(1 ,1)作一弦交圆于B、C两点，过点B、C作圆的切线PB、PC，求点P的轨迹方程.答案x+y=4解析设B(x1,y1),C(x2,y2)，P(x0,y0)，则过圆x2+y2=4上的B,C点的切线方程分别为：xx1+yy1=4,xx2+yy2=4，P点在切线上；∴x0x1+y0y1=4，x0x2+y0y2=4；∴直线BC的方程为：xx0+yy0=4；直线BC过点A(1,1)；∴x0+y0=4；∴点P的轨迹方程为x+y=4．故答案为：x+y=4．5.已知点M(2,－2)，圆O：x2+y2=3(O为坐标原点)．(1)求经过M，以及圆O与圆x2+y2+3x=0交点的圆的方程；(2)过点M向圆O引两条切线，切点分别为A,B，求直线AB的方程．答案(1)3x2+3y2−5x−14=0(2) 2x−2y=3.解析(1)设圆的方程为x2+y2+3x+λ(x2+y2−3)=0，因为点M(2,－2)在圆上，所以λ=−145，所求圆的方程是3x2+3y2−5x−14=0；(2)以MO为直径的圆C的方程为x2+y2−2x+2y=0，则由圆系方程可知圆C与圆O方程相减即得直线AB方程为是2x−2y=3．若切点弦的公式可直接得到2x−2y=3.6.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x−3y−3=0截得的弦长为2√3．(1)圆C的方程；(2)设P是直线x+y+4=0上动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P ,C 三点的圆必过定点，并求所有定点坐标．答案(1)(x−2)2+y2=4 (2)(−1 ,−3)和(2 ,0)解析(1)设圆C的圆心为(a,0)，则圆心到直线l的距离d=|4a−3|5．由题意可得，d2+(√3)2=r2，即(4a−3)225+3=4，解得a =2或a =−12(舍)．∴圆C 的方程为(x −2)2+y 2=4；(2)证明：∵P 是直线x +y +4=0上的点，∴P(m,−m −4)．∵PA 为圆的切线，∴PA ⊥AC,即过A,B,C 三点的圆是以PC 为直径的圆．设圆上任意一点Q(x,y)，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．∵PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −m,y +m +4)，CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y)，∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −m)(x −2)+y(y +m +4)=0，即x 2+y 2－2x +4y +m(－x +y +2)=0．故{x 2+y 2−2x +4y =0−x +y +2=0，解得{x =−1y =−3或{x =2y =0．因此经过A,P,C 三点的圆必过定点(－1,－3)和(2,0)．【B 组---提高题】1.已知圆C ：x 2+y 2=1，直线l ：x +y +2=0，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A,B ，则直线AB 过定点( )A ．(−12,−12)B ．(−1,−1)C ．(−12,12)D ．(12,−12)答案 A解析 根据题意，P 为直线l ：x +y +2=0上的动点，设P 的坐标为(t,−2−t)，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A,B ，则PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，则点A 、B 在以PC 为直径的圆上，又由C(0,0),P(t,−2−t)，则以PC 为直径的圆的方程为x(x −t)+y(y +2+t)=0， 变形可得：x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，则有{x 2+y 2=1x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，联立可得：1−tx +(t +2)y =0，变形可得：1+2y −t(x −y)=0，即直线AB 的方程为1+2y −t(x −y)=0，变形可得：1+2y −t(x −y)=0，则有{1+2y =0x −y =0，解可得{x =−12y =−12，故直线AB 过定点(−12,−12)，故选：A ．2.已知圆C 的方程为(x +2)2+y 2=4，点M 在圆C 上运动，点N 的坐标是(2,0)．(1)若线段MN 的中点形成的轨迹为G ，求轨迹G 的方程；(2)点P在直线x=8上，过P点引轨迹G的两条切线PA、PB，切点为A、B，求证：直线AB恒过定点．答案(1)x2+y2=1(2) (18,0)解析(1)设线段MN的中点(x,y)，则M(2x−2,2y)∵NM在圆(x+2)2+y2=4上运动∴(2x−2+2)2+(2y)2=4,即x2+y2=1①；(2)连接OA,OB，∵PA,PB是圆C的两条切线，∴OA⊥AP,OB⊥BP，∴A,B在以OP为直径的圆上，设点P的坐标为(8,b),b∈R，则线段OP的中点坐标为(4,b2)∴以OP为直径的圆方程化简得：x2+y2－8x－by=0,b∈R，②∵AB为两圆的公共弦，∴①－②得：直线AB的方程为8x+by=1,b∈R，即8(x−18)+by=0，则直线AB恒过定点(18,0)．【C组---拓展题】1.已知直线l：y=kx−2，M(−2 ,0) ,N(−1 ,0)，O为坐标原点，动点Q满足|QM||QN|=√2，动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与圆O：x2+y2=2交于不同的两点A ,B，当∠AOB=π2时，求k的值；(3)若k=12，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点．答案(1)x2+y2=2(2) ±√3(3)(12,−1)解析(1)设点Q(x ,y)，依题意知|QM||QN|=√(x+2)2+y2√(x+1)2+y2=√2 ，整理得x 2+y 2=2，∴曲线C 的方程为x 2+y 2=2；(2)∵点O 为圆心，∠AOB =π2，∴点O 到l 的距离d =√22r ，∴√k 2+1=√22⋅√2⇒k =±√3 ；(3)由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， (对角互补的四边形的四顶点共圆)设P(t ,12t −2)，则圆心(t 2 ,t 4−1)，半径√t 24+(t4−1)2得(x −t 2)2+(y −t 4+1)2=t 24+(t 4−1)2即x 2−tx +y 2−(12t −2)y =0 又C 、D 在圆O ：x 2+y 2=2上∴l CD ：tx +(12t −2)y −2=0即 (x +y2)t −2y −2=0(直线CD 是两圆的公共弦所在直线，故两圆方程相减便得其方程) 由{x +y 2=02y +2=0得 {x =12y =−1，∴直线CD 过定点(12 ,−1).。

高二数学直线圆椭圆知识点直线的基本性质：1. 直线的定义：直线是由无数个点组成，且沿着同一方向延伸。

2. 直线的方程：直线可以用一般式方程、点斜式方程或两点式方程表示。

其中，一般式方程为Ax + By + C = 0，点斜式方程为y - y₁ = k(x - x₁)，两点式方程为(x - x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ -y₁)。

3. 直线的斜率：直线的斜率表示直线的倾斜程度，可以通过斜率公式求得。

斜率公式为k = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)。

4. 直线的截距：直线与坐标轴的相交点称为直线的截距。

直线与x轴相交时的截距为x轴截距，直线与y轴相交时的截距为y轴截距。

圆的基本性质：1. 圆的定义：圆是由到一个固定点距离相等的所有点组成的集合，固定点称为圆心，距离称为半径。

2. 圆的方程：圆的标准方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。

3. 圆的弧长：圆弧的长度称为圆的弧长。

圆的弧长可以通过弧度制或度数制来计算。

4. 圆的面积：圆的面积可以通过公式πr²来计算，其中π取近似值3.14。

椭圆的基本性质：1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。

2. 椭圆的焦点：椭圆的定点称为焦点，焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数。

3. 椭圆的长轴与短轴：椭圆的长轴是通过两个焦点并且垂直于焦点连线的线段，短轴是通过椭圆的圆心且垂直于长轴的线段。

4. 椭圆的离心率：离心率是椭圆焦点与长轴的距离之比，每个椭圆都有一个离心率，离心率大于1时，椭圆变成双曲线，离心率等于1时，椭圆变成抛物线。

总结：数学中直线、圆和椭圆是常见的几何图形，它们有着各自的定义和基本性质。

直线的方程可以用一般式方程、点斜式方程或两点式方程表示，而圆的方程为标准方程。

椭圆的定义是任意一点到两个定点的距离之和等于常数。

高二数学复习典型题型与知识点专题讲解04 圆的方程+直线与圆、圆与圆的位置关系一、典例精析拓思维（名师点拨） 知识点1 圆与方程知识点2 直线与圆的位置关系 知识点3 圆的切线知识点4 圆与圆的位置关系 二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 圆与方程例1．（2021·江苏·高二专题练习）已知圆C 经过点()20M -，，()02N ，两点，且圆心在直线0x y -=上．求圆C 的方程； 【答案】224x y +=根据题意，点()20M -，，()02N ，，则线段MN 的中垂线方程为0x y +=， 圆心为直线0x y -=和0x y +=的交点，则有00x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得0x y ==，所以圆C 的圆心坐标为()00，；半径2r ==， 所以圆C 的方程为224x y +=.练习1-1．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）已知圆D 经过点()1,0A -，()3,0B ，()1,2C ．求圆D 的标准方程； 【答案】()2214x y -+=设圆D 的标准方程()()222x a y b r -+-=， 由题意可得()()()()()()222222222103012a b r a b r a b r ⎧--+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得102a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆D 的标准方程为()2214x y -+=. 名师点评：圆的方程两种形式：(1)标准式：222()()(0)x a y b r r -+-=>，圆心为(,)a b ，半径为r .(2)一般式：220x y Dx Ey F ++++=（其中2240D E F +->）,圆心为(,)22D E--,半径r =.本例中采用两种方法即几何法和代数法.(1)代数法是利用圆的一般方程,根据条件列出关于D ,E ,F 的方程组,然后解出D ,E ,F .所以设圆的方程为一般式,代入坐标即可求解,如本例练习1-1.(2)几何法是利用圆的标准方程,结合圆的性质,找出圆心和半径,然后得到圆的标准方程.常用的性质是圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，如本例1.例2．（2021·江苏·高二专题练习）已知两个定点()()0401A B ，，，，动点P 满足2.PA PB =设动点P 的轨迹为曲线E ，直线:4l y kx =-．求曲线E 的轨迹方程；【答案】224x y += 设点P 的坐标为()x y ，，由2PA PB =整理可得224x y +=，所以曲线E 的轨迹方程为224x y +=；练习2-1．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（文））已知圆O ：224x y +=，点A 是圆上一动点，点(4,0)B ，点C 是线段AB 的中点. （1）求点C 的轨迹方程；（2）求点C 到直线290x y --=的距离的最小值. 【答案】()2221x y -+=设点()00,A x y ，∵点C （x ，y ）是AB 的中点， 00422x x y y +⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，即00242x x y y =-⎧⎨=⎩，又2222004,(24)(2)4x y x y +=∴-+=，即()2221x y -+=，∴点C 的轨迹方程为()2221x y -+=练习2-2．（2021·四川·成都市温江区第二中学校高二期末（理））已知动点P 到定点()2,0A -的距离与它到定点()2,0BP 的轨迹E 的方程； 【答案】()22412x y -+=设(),P x y ，由题意得=化简得：()22412x y -+=.名师点评：轨迹方程常用求解方法： （1）定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系【考点梳理】考点一：直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2d <r d ＝r d >r代数法：由Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0考点二：直线与圆的方程解决实际问题审题→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．【题型归纳】题型一：判断直线与圆的位置关系1．（2021·全国高二单元测试）直线10mx y -+=与圆22(2)(1)5x y -+-=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与m 的值有关2．（2021·浙江高二期末）直线:1l y ax a =-+与圆224x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与a 的大小有关3．（2021·北京房山·高二期末）已知直线10l kx y k -+-=：和圆C ：2240x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定题型二：由直线与圆的位置关系求参数4．（2021·云南省云天化中学高二期末（文））直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，则a =（）A ．1-B ．1C ．3-D ．35．（2021·内蒙古赤峰市·）若直线()200,0ax by a b --=>>被圆22 2210x y x y +-++=截得的弦长为2，则11a b+的最小值为（）A ．14B ．4C ．12D ．26．（2020·大连市红旗高级中学）若直线:1l y kx =-与圆()()22:212C x y -+-=相切，则直线l 与圆()22:23D x y -+=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定题型三：圆的弦长问题7．（2021·汕头市澄海中学高二月考）若圆22:160C x x y m +++=被直线3440x y ++=截得的弦长为6，则m =（）A ．26B ．31C ．39D ．438．（2021·湖南长沙市·长郡中学高二期中）圆22:(2)4C x y -+=与直线40x y --=相交所得弦长为（）A ．1B ．2C ．2D ．229．（2021·湖北十堰市·高二期末）直线3410x y ++=被圆220x y x y +-+=所截得的弦长为（）A ．710B ．57C ．75D ．145题型四：圆的弦长求参数或者切线方程10．（2021·上海闵行中学高二期末）圆()()22134x y -+-=截直线10ax y +-=所得的弦长为23，则a =（）A ．43-B ．34-C ．3D ．211．（2021·广西河池市·高二期末（文））已知斜率为1-的直线l 被圆C ：222430x y x y ++-+=截得的弦长为6，则直线l 的方程为（）A ．2210x y ++=或2230x y +-=B ．0x y +=或20x y +-=C ．2220x y +-=或22320x y ++=D ．20x y +-=或220x y ++=12．（2021·长春市第二十九中学高二期末（理））直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（）A ．9B ．4C ．12D ．14题型五：直线与圆的应用13．（2021·广东深圳市·高三月考）一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度最接近（）A ．13.1米B ．13.7米C ．13.2米D ．13.6米14．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期中）如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（）A ．230米B ．202米C ．430米D ．125米15．（2020·重庆市万州沙河中学高二月考）一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km 的A 处出发径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，船速为10km/h 这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（）小时A ．1B ．2C ．3D ．4题型六：直线与圆的位置关系的综合应用16．（2021·贵州遵义市·高二期末（理））已知O 圆心在直线2y x =+上，且过点()1,0A 、()2,1B ．（1）求O 的标准方程；（2）已知过点()3,1的直线l 被所截得的弦长为4，求直线l 的方程．17．（2020·永丰县永丰中学高二期中（文））已知圆C 经过点()()1,0,2,1A B ，且圆心在直线:l y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若(,)P x y 为圆C 上的动点，求22y x +-的取值范围．18．（2020·黑龙江哈尔滨·哈九中高二期中（文））已知线段AB 的端点B 的坐标是()6,8，端点A 在圆2216x y +=上运动，M 是线段AB 的中点，且直线l 过定点()1,0.（1）求点M 的轨迹方程；（2）记（1）中求得的图形的圆心为C ，（i ）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（ii ）若直线l 与圆C 交于,P Q 两点，求CPQ 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【双基达标】一、单选题19．（2021·嘉兴市第五高级中学高二期中）直线:1l y x =-截圆22:1O x y +=所得的弦长是（）A ．2B ．3C ．2D ．120．（2021·陆良县中枢镇第二中学高二月考）经过点()2,3P -作圆22:224C x y x ++=的弦AB ，使得点P 平分弦AB ，则弦AB 所在直线的方程为（）A ．50x y --=B ．50x y +-=C ．50x y -+=D ．50x y ++=21．（2021·云南保山市·高二期末（文））若直线m ：0kx y +=被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则点()0,23A 与直线m 上任意一点P 的距离的最小值为（）A ．1B ．3C ．2D ．2322．（2021·四川省乐至中学高二期末）圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=(),a b R ∈对称，则ab 的取值范围是（）A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭23．（2021·全国高二专题练习）直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M ，N 两点，若23MN =，则k 的值是（）A ．34-B ．0C ．0或34-D ．3424．（2021·广西桂林市·（理））圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个25．（2021·全国）已知圆C 的方程为22(3)(4)1x y -+-=，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线．若切线长的最小值为15，则直线l 的斜率为（）A ．4B ．-4C ．34-D ．43-26．（2021·全国高二期中）在平面直角坐标系中，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=与直线1(2)()y m x m R +=-∈相切，则面积最大的圆的标准方程为（）A ．22(1)(1)4x y -+-=B ．22(1)(1)5x y -+-=C ．22(1)(1)6x y -+-=D ．22(1)(1)8x y -+-=27．（2021·山西晋中·高二期末（理））已知圆22:20C x y x +-=，直线:10l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别A 、B ，当·PC AB 最小时，直线AB 的方程为（）A ．0x y +=B ．0x y -=C ．2210x y -+=D ．2210x y ++=28．（2021·克拉玛依市第一中学高二月考）已知圆22:4210C x y x y +--+=及直线():2l y kx k k R =-+∈，设直线l 与圆C 相交所得的最长弦长为MN ，最短弦为PQ ，则四边形PMQN 的面积为（）A ．42B ．22C ．8D ．82【高分突破】一：单选题29．（2021·全国高二专题练习）已知圆()()22224244100x y mx m y m m m +--++++=≠的圆心在直线70x y +-=上，则该圆的面积为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π30．（2021·南昌市豫章中学（文））若圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，则实数a 的取值范围是（）A ．2921,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．91,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．2921,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭31．（2021·浙江丽水·高二期中）已知圆22:1O x y +=，直线:20l x y ++=，点P 为l 上一动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB （切点为A ，B ），当四边形PAOB 的面积最小时，直线AB的方程为（）A ．10x y -+=B ．20x y -+=C ．10x y ++=D ．20x y +-=32．（2021·云南师大附中（理））已知在圆()2222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，则r =（）A ．23B ．26C ．42D ．833．（2021·四川（理））已知圆221x y +=与直线310ax by ++=（a ，b 为非零实数）相切，则2213a b+的最小值为（）A ．10B ．12C ．13D ．1634．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二其他模拟（理））若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．()3,3-C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭35．（2021·全国高二专题练习）已知三条直线1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，3:0l ax by c ++=，其中m ，n ，a ，b ，c 为实数，m ，n 不同时为零，a ，b ，c 不同时为零，且2a c b +=．设直线1l ，2l 交于点P ，则点P 到直线3l 的距离的最大值是（）A ．52102+B ．105822+C ．58102+D ．105222+二、多选题36．（2021·全国高二专题练习）已知直线:20l kx y k -+=和圆22:16O x y +=，则（）A ．直线l 恒过定点()2,0B ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若1k =-，直线l 被圆O 截得的弦长为437．（2020·河北武强中学高二月考）直线l 经过点()5,5P ，且与圆22:25C x y +=相交，截得弦长为45，则直线l 的方程为（）A ．250x y --=B ．250x y -+=C ．250x y -+=D ．250x y --=38．（2021·全国高二专题练习）设直线():1l y kx k =+∈R 与圆22:5C x y +=，则下列结论正确的为（）A ．l 与C 可能相离B ．l 不可能将C 的周长平分C ．当1k =时，l 被C 截得的弦长为322D ．l 被C 截得的最短弦长为439．（2021·山东菏泽·高二期末）已知直线:(2)10l mx m y m --+-=，圆22:20C x y x +-=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 恒有两个公共点B ．圆心C 到直线l 的最大距离是2C ．存在一个m 值，使直线l 经过圆心CD ．当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称三、填空题40．（2021·合肥百花中学高二期末（理））设直线1y x =+与圆22(1)4x y ++=交于,A B 两点，则AB =__________．41．（2021·绵阳市·四川省绵阳江油中学（文））已知点(),x y 在圆22(2)(3)1x y -++=上，则x y +的最大值是________．42．（2021·上海高二期中）在平面直角坐标系中，过点()2,2M 且与圆2220x y x +-=相切的直线方程为__________．43．（2021·江苏南京市·南京一中高二期末）已知直线1l ：()0kx y k R +=∈与直线2l ：220x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆()()22232x y +++=上的动点，则AB 的最大值为___________.四、解答题44．（2021·合肥百花中学高二期末（理））已知圆22:20C x y x my +-+=，其圆心C 在直线y x =上．（1）求m 的值；（2）若过点(1,1)-的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．45．（2021·荆州市沙市第五中学高二期中）已知圆C 经过()2,4，()1,3两点，圆心C 在直线10x y -+=上，过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.（1）求圆C 的方程；（2）若12OM ON ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程.46．（2021·台州市书生中学高二期中）已知圆()22:15C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=．（1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）设l 与圆C 交与不同两点,A B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程；（3）若直线过点()1,1P ，且P 点分弦AB 为12AP PB =，求此时直线l 的方程．47．（2020·安徽六安市·立人中学高二期中（理））已知圆C 经过两点(1,3),(3,1)P Q ---，且圆心C 在直线240x y +-=上，直线l 的方程为(1)2530k x y k -++-=．（1）求圆C 的方程；（2）证明：直线l 与圆C 一定相交；（3）求直线l 被圆C 截得的弦长的取值范围．48．（2020·吉安县立中学（文））已知两个定点(0,4)A ，(0,1)B ，动点P 满足||2||PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒(O 为坐标原点)，求直线l 的斜率；（3）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系【答案详解】1．A 【详解】10mx y -+=过定点()0,1，且()22(214501)+-=<-，故()0,1在圆内，故直线和圆相交.故选：A 2．A 【详解】直线l ：1=-+y ax a ，即()11y a x =-+恒过()1,1，而221124+=<，故()1,1点在圆内，故直线与圆必然相交．故选：A ．3．A 【详解】直线方程整理为(1)10k x y --+=，即直线过定点(1,1)P ，而22114120+-⨯=-<，P 在圆C 内，∴直线l 与圆C 相交．故选：A ．4．B 【详解】由22240x y x y ++-=，得22(1)(2)5x y ++-=，则圆心坐标为(12)-，，又直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，由圆的对称性可知，该圆的圆心(12)-，在直线30x y a ++=上，则3(1)121a =-⨯--⨯=，故选：B ．5．D 【详解】由圆的方程22 2210x y x y +-++=，可得圆心坐标为(1,1)-，半径为1r =，因为直线20ax by --=被圆截得的弦长为2，可直线20ax by --=必过圆心(1,1)-，代入可得2a b +=，又因为0,0a b >>，则1111111()()(2)(22)2222b a b aa b a b a b a b a b+=⋅++=⋅++≥⋅+⋅=，当且仅当b aab=时，即1a b ==时，等号成立，所以11a b+的最小值为2.故选：D.6．A 【详解】由圆C 方程知其圆心()2,1C ，半径为2，直线l 与圆C 相切，221121k k --∴=+，解得：23k =±，由圆D 方程知其圆心()2,0D ，半径3r =，∴圆心D 到直线l 距离2211k d k -=+；当23k =+时，()()2222323330843231d r +-=-=-<+++，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；当23k =-时，()()2222323330843231d r --=-=-<--+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；综上所述：圆D 与直线l 相交.故选：A.7．C 【详解】将圆化为22(8)64(64)x y m m ++=-<，所以圆心到直线3440x y ++=的距离d =24445-+=，该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形，所以224364m +=-，解得39.m =8．D 【详解】圆22:(2)4C x y -+=的圆心坐标为()20，，半径为2，圆心到直线40x y --=的距离为204211d --==+，故弦长为：24222-=，故选：D.9．C 【详解】由220x y x y +-+=可得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则圆心坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径22r =，所以圆心到直线3410x y ++=的距离为22113412211034d ⎛⎫⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭==+，所以所求弦长为22725r d -=.故选：C.10．B 【详解】由题意圆心到直线的距离为()()2222222222232241111a a a d r d a a a a +++=∴=-=-∴=∴=+++34-故选：B 11．B 【详解】圆C 的标准方程为22(1)(2)2x y ++-=，设直线l 的方程为0x y m ++=，可知圆心到直线l 的距离为2262(2)22⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，有|1|222m +=，有0m =或2-，直线l 的方程为0x y +=或20x y +-=．故选：B【详解】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=，故该圆圆心为(1,2)-，半径为3.因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D.13．C 【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y 轴上，设圆的半径为r ，则圆的方程为222(+)x y r r +=，∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点(6,3)-,∴2236(3+)r r +-=，∴152r =∴圆的方程为2215225(+)24x y +=，当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为(,4)t -，则244t =，∴211t =±，∴当水面下降1米后，水面宽度为411，约为13.2，故选：C.14．C 【详解】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的圆心位于y 轴负半轴上，设该圆的圆心为()0,a -，0a >，则该圆的方程为()222x y a a ++=，记水面下降前与圆的两交点为A ，B ；记水面下降1米后与圆的两交点为C ，D ；由题意可得，()10,4A --，则()()222104a a -+-+=，解得292a =，所以圆的方程为222292922x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，水面位下降1米后，可知C 点纵坐标为5y =-，所以2222929522x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2120x =，则此时的桥在水面的跨度为22120430CD x ===米.故选：C.15．B根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，所以()()40,0,0,30A B ，圆22:676O x y +=，记从N 处开始被监测，到M 处监测结束，所以:14030AB x y l +=，即:341200AB l x y +-=，因为O 到:341200AB l x y +-=的距离为221202434OO -'==+，所以22220MN MO OO '=-=，所以监测时间持续2010=2小时，故选：B.16．（1）()2225x y +-=；（2）1y =或34130x y +-=.由点()1,0A 、()2,1B 可得AB 中点坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭，10121AB k -==-，所以直线AB 的垂直平分线的斜率为1-，可得直线AB 的垂直平分线的方程为：1322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭即20x y +-=，由202x y y x +-=⎧⎨=+⎩可得：02x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()0,2O ，()()2210025r OA ==-+-=，所以O 的标准方程为()2225x y +-=，（2）设直线的方程为()13y k x -=-即310kx y k --+=，圆心()0,2O 到直线的距离2131k d k --=+，则()2222134521k k ⎛⎫--⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭可得()222135211k k +=-=+，即2430k k +=，解得：0k =或34k =-，所以直线l 的方程为10y -=或()3134y x -=--，即1y =或34130x y +-=17．（1）22(1)(1)1x y -+-=；（2）4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【详解】（1）设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=由题意得222222(1)(0)(2)(1)a b r a b r b a ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪=⎩，解得1a b r ===所以，圆的方程为22(1)(1)1x y -+-=（2）由（1）得()()22111x y -+-=，则圆心为()1,1，半径为1；而22y x +-表示圆上的点(,)P x y 与定点()2,2M -连线的斜率，当过点()2,2M -的直线与圆相切时，不妨设直线方程为：()22y k x +=-，即220kx y k ---=，则圆心()1,1到直线220kx y k ---=的距离为212211k k k ---=+，解得43k =-，因此22y x +-的取值范围是4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；18．【详解】（1）设(),M x y ，()00,A x y ，M 是线段AB 中点，006282x x y y+⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩，整理可得：002628x x y y =-⎧⎨=-⎩，A 在圆2216x y +=上，()()22262816x y ∴-+-=，整理可得M 点轨迹方程为：()()22344x y -+-=.（2）（i ）由（1）知：圆心()3,4C ，半径2r =，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，是圆的切线，满足题意；当直线l 斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离23421k k d k --==+，解得：34k =，:3430l x y ∴--=；综上所述：直线l 的方程为1x =或3430x y --=；（ii ）由直线l 与圆C 交于,P Q 两点知：直线l 斜率存在且不为0，设其方程为：()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离22342411k k k d k k ---==++，()2222222144222CPQd d S PQ d d r d d d⎡⎤-+=⋅=-=-≤=⎢⎥⎣⎦（当且仅当224d d -=，即22d =时取等号），由22d=得：()222421k k -=+，解得：1k =或7k =，∴CPQ 面积的最大值为2，此时l 方程为：10x y --=或770x y --=.19．C圆心（0,0）到直线10x y --=的距离|1|122d -==，因为圆的半径为1，则弦长为2212122⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：C.20．A 【详解】由题意，圆22:224C x y x ++=，可得圆心坐标为(1,0)C -，点()2,3P -在圆C 内，则过点P 且被点P 平分的弦所在的直线和圆心与P 的连线垂直，又由3012(1)CP k --==---，所以所求直线的斜率为1，且过点()2,3P -，可得所求直线方程为(3)1(2)y x --=-⨯-，即50x y --=．故选：A 21．B 【详解】根据题意，圆()2224x y -+=的圆心为()2,0，半径为2，设圆心到直线0kx y +=的距离为d ，则221k d k =+，若直线0kx y +=被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则2222r d =-，所以214d +=，又0d >，解得3d =，所以2321k d k==+，解得3k =±，点()0,23A 与直线m 上任意一点P 的最小值为点到直线的距离122331d k ==+，故选:B ．22．A 【详解】解：把圆的方程化为标准方程得：22(1)(2)4x y ++-=，∴圆心坐标为(1,2)-，半径2r =，根据题意可知：圆心在已知直线220ax by -+=上，把圆心坐标代入直线方程得：2220a b --+=，即1b a =-，则设2211(1)24m ab a a a a a ⎛⎫==-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当12a =时，m 有最大值，最大值为14，即ab 的最大值为14，则ab 的取值范围是(-∞，1]4．故选：A ．23．C由题意，知23MN =，圆心为(3，2).设圆的半径为r ，则2r =，所以圆心到直线的距离224312MN d r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.由点到直线的距高公式，得232311k k -+=+，解得0k =或34k =-.故选：C.24．B 【详解】由222420x x y y -+++=，得22(1)(2)3x y -++=，则圆心为(1,2)-，半径3r =，因为圆心(1,2)-到直线2220x y -+=的距离为22222243381d +++==>+，且2242243333133d ++--=-=<，所以圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有2个，故选：B25．C 【详解】解：由22(3)(4)1x y -+-=，得圆心(3,4)C ，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线，要使切线长最小，即要使圆心到直线l 的距离最小，根据题意作图，如图所示：圆的半径为1，切线长为15，∴圆心到直线l 的距离等于221(15)4+=，∴由点到直线的距离公式得2|3345|49a a ⨯+-=+，解得4a =，此时直线l 的斜率为34-．故选：C ．26．B 【详解】解：根据题意，直线1(2)y m x +=-，恒过定点(2,1)-，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=，其圆心为(1,1)，半径为r ，若圆的面积最大，即圆心到直线l 的距离最大，且其最大值22(12)(11)5CP =-++=，即圆的面积最大时，圆的半径5r =，此时圆的方程为：22(1)(1)5x y -+-=，故选：B ．27．A 【详解】圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0，半径为1r =.依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ，所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⋅=△，而21PA PC =-，当直线PC ⊥l 时，PA 最小，此时PC AB ⋅最小.结合图象可知，此时切点为()()0,0,1,1-，所以直线AB 的方程为y x =-，即0x y +=.故选：A28．A 【详解】将圆C 方程整理为：()()22214x y -+-=，则圆心()2,1C ，半径2r =；将直线l 方程整理为：()12y k x =-+，则直线l 恒过定点()1,2，且()1,2在圆C 内；最长弦MN 为过()1,2的圆的直径，则4MN =；最短弦PQ 为过()1,2，且与最长弦MN 垂直的弦，21112MN k -==-- ，1PQ k ∴=，∴直线PQ 方程为21y x -=-，即10x y -+=，∴圆心C 到直线PQ 的距离为21122-+==d ，22224222PQ r d ∴=-=-=；∴四边形PMQN 的面积114224222S MN PQ =⋅=⨯⨯=.故选：A.29．A 【详解】圆的方程可化为()()()222210x m y m m m -+--=≠，其圆心为(),21m m +.依题意得，2170m m ++-=，解得2m =，∴圆的半径为2，面积为4π，故选：A 30．A 【详解】解:将圆的方程化为标准形式得圆()()22216x a y -++=,所以圆心坐标为(),2a -,半径为4r =因为圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，所以圆心到直线的距离d 满足15d r ≤+=,即4455a d +=≤,解得:2921,44a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选:A31．C 【详解】设四边形PAOB 的面积为S ，2||||||PAO S S AO AP AP === ，222||||||||1AP OP OA OP =-=-，所以，当||OP 最小时，||AP 就最小，|002|||22min o l OP d -++===，所以||211min min S AP ==-=．此时OP l ⊥.所以||||||||1OA AP PB OB ====，四边形PAOB 是正方形，由题得直线OP 的方程为y x =，联立20y x x y =⎧⎨++=⎩得(1,1)--P ，所以线段OP 的中点坐标为11(,)22--，由题得直线AB 的斜率为1,-所以直线AB 的方程为11()[()]22y x --=---，化简得直线AB 的方程为10x y ++=.故选：C 32．C 【详解】解：因为圆()2222x y r ++=的圆心为()2,0-，半径为r ，圆心()2,0-到直线40x y +-=的距离22432d --==，因为在圆()2222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，所以32242r =+=．故选：C ．33．D 【详解】因为圆221x y +=与直线310ax by ++=相切，所以2200113a b++=+，所以2231a b +=，所以()2222222222222213133310616310a b a b a b ab b a b b a a ⎛⎫+=+=++≥+⋅= ⎪⎭+⎝，取等号时2214a b ==，所以2213a b +的最小值为16.故选：D.34．C 【详解】由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-=曲线()()22231x y -+-=表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，2233411k kk-+-∴≤+，即221k k -≤+，解得3333k -≤≤.故选：C.35．D 【详解】由于1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，且()0mn n m +⋅-=，12l l ∴⊥，易知直线1l 过原点，将直线2l 的方程化为()()130n x m y ---=，由1030x y -=⎧⎨-=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以，直线2l 过定点()1,3M ，所以10OM =，因为2a c b +=，则2a cb +=，直线3l 的方程为02a c ax y c +++=，直线3l 的方程可化为1022y y a x c ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由02102y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以，直线3l 过定点()1,2N -，如下图所示：设线段OM 的中点为点E ，则13,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，若点P 不与O 或M 重合，由于OP PM ⊥，由直角三角形的性质可得EP EO EM ==；若点P 与O 或M 重合，满足12l l ⊥.由上可知，点P 的轨迹是以OM 为直径的圆E ，该圆圆心为13,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为102.设点E 到直线3l 的距离为d ，当3EN l ⊥时，d EN =；当EN 不与3l 垂直时，d EN <.综上，22135212222d EN ⎛⎫⎛⎫≤=-+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，点P 到直线3l 的距离的最大值为521022OM EN ++=.故选：D.36．BC 【详解】解：对于A 、C ，由:20l kx y k -+=，得(2)0k x y +-=，令200x y +=⎧⎨-=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点(2,0)-，故A 错误；因为直线l 恒过定点(2,0)-，而()2220416-+=<，即(2,0)-在圆22:16O x y +=内，所以直线l 与圆O 相交，故C 正确；对于B ，直线0:220l x y -+=的斜率为12，则当2k =-时，满足直线l 与直线0:220l x y -+=垂直，故B 正确；对于D ，1k =-时，直线:20l x y ++=，圆心到直线的距离为22002211d ++==+，所以直线l 被圆O 截得的弦长为()22222242214r d -=-=，故D 错误.故选：BC.37．BD 【详解】圆心为原点，半径为5，依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()55y k x -=-，即550kx y k -+-=，所以()2225552521k k k -=-⇒=+或12k =.所以直线l 的方程为25520x y -+-⨯=或1155022x y -+-⨯=，即250x y --=或250x y -+=.故选：BD38．BD 【详解】对于A 选项，直线l 过定点()0,1，且点()0,1在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交，A 选项错误；对于B 选项，若直线l 将圆C 平分，则直线l 过原点，此时直线l 的斜率不存在，B 选项正确；对于C 选项，当1k =时，直线l 的方程为10x y -+=，圆心C 到直线l 的距离为22d =，所以，直线l 被C 截得的弦长为2225322⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，C 选项错误；对于D 选项，圆心C 到直线l 的距离为2111d k =≤+，所以，直线l 被C 截得的弦长为2254d -≥，D 选项正确.故选：BD.39．AD 【详解】解：由直线:(2)10l mx m y m --+-=，即(1)210m x y y +--+=，得10210x y y +-=⎧⎨-+=⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线l 过定点1(2P ，1)2，圆22:20C x y x +-=化为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)C ，22112||(1)(0)1222PC =-+-=< ，点P 在圆C 内部，∴直线l 与圆C 恒有两个公共点，故A正确；圆心C 到直线l 的最大距离为2||2PC =，故B 错误； 直线系方程(2)10mx m y m --+-=不包含直线10x y +-=（无论m 取何值），而经过1(2P ，1)2的直线只有10x y +-=过(1,0)C ，故C 错误；当1m =时，直线l 为0x y -=，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径为1，圆22(1)1y x +-=的圆心坐标为(0,1)，半径为1，两圆的圆心关于直线0x y -=对称，半径相等，则当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称，故D 正确．故选：AD ．40．22【详解】圆22(1)4x y ++=的圆心为()0,1-，半径为2，则圆心()0,1-到直线的距离为()22011211++=+-，所以()2222222AB =-=，故答案为：2241．21-【详解】令t x y =+，则y x t =-+，t 表示直线在y 轴上的截距，所以x y +的最大值是直线在y 轴上截距的最大值，此时直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即2312td --==，解得21t =-.故答案为：21-42．x =2或3420x y +=-.【详解】圆2220x y x +-=的标准式为：()2211x y -+=，容易验证x =2与圆相切，若切线的斜率存在，则设其方程为：()22220y k x kx y k -=-⇒-+-=，于是圆心到直线的距离2|2|3141k d k k -+==⇒=+，则切线：310342042x y x y -+=⇒-+=.故答案为：x =2或3420x y +=-.43．522+解：因为直线1l ：()0kx y k R +=∈恒过定点(0,0)O ，直线2l ：220x ky k -+-=恒过定点(2,2)C ，且12l l ⊥，所以两直线的交点A 在以OC 为直径的圆D 上，且圆的方程为22:(1)(1)2D x y -+-=，要求AB 的最大值，转化为在22:(1)(1)2D x y -+-=上找上一点A ，在()()22232x y +++=上找一点B ，使AB 最大，根据题意可知两圆的圆心距为22(12)(13)5+++=，所以AB 的最大值为522+，故答案为：522+44．（1）2m =-；（2）20x y -+=或0x y +=．【详解】解：（1）圆C 的标准方程为：222(1)()124m m x y -++=+，所以，圆心为(1,)2m -由圆心C 在直线y x =上，得2m =-．所以，圆C 的方程为：22(1)(1)2x y -+-=．（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1(1)y k x -=+，即10kx y k -++=，由于直线l 和圆C 相切，得2|2|21k k =+解得：1k =±所以，直线方程为：20x y -+=或0x y +=．45．（1）()()22231x y -+-=；（2）1y x =+.【详解】解：（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则依题意，得()()()()22222224,13,10,a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+=⎪⎩解得2,3,1,a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴圆C 的方程为()()22231x y -+-=（2）设直线l 的方程为1y kx =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1y kx =+，代入22(2)(3)1x y -+-=并整理，得22(1)4(1)70k x k x +-++=，∴1224(1)1k x x k++=+，12271x x k =+∴()()()212121212241118121k k OM ON x x y y k x x k x x k +⋅=+=++++=+=+ ，即()24141k k k +=+，解得1k =，又当1k =时0∆>，∴1k =，∴直线l 的方程为1y x =+46．（1）圆()22:15C x y +-=的圆心()0,1C ，半径为5，所以圆心()0,1C 到直线l 的距离为22151m m d m m --=<=<+，所以直线l 与圆C 相交，故对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）当M 与P 不重合时，连接,CM CP ，则CM MP ⊥，所以222CM MP CP +=，设()(),1M x y x ≠，则()()()22221111x y x y +-+-+-=，整理得()222101x y x y x +--+=≠，当M 与P 重合时，1x y ==也满足22210x y x y +--+=，故弦AB 的中点M 的轨迹方程为22210x y x y +--+=;（3）设()()1122,,,A x y B x y ，由12AP PB =，得12AP PB = ，所以()121112x x -=-，即2132x x =-，又()221015mx y m x y -+-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，消去y 得()22221250m x m x m +-+-=，所以212221m x x m +=+，()()4222441516200m m m m ∆=-+-=+>，由2121223221x x m x x m =-⎧⎪⎨+=⎪+⎩得21231m x m +=+，将21231m x m+=+带入()22221250m x m x m +-+-=得1m =±，所以此时直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=.47．（1）因为(1,3),(3,1)P Q ---，所以PQ 的中垂线为11(2)2y x +=+上，由24011(2)2x y y x +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()2,1C ，又半径||5r PC ==，∴圆C 的方程为22(2)(1)25x y -+-=．（2）直线l 的方程可化为(3)(25)0k x x y ----=，令30250x x y -=⎧⎨--=⎩可得3x =，1y =-，∴直线l 过定点(3,1)M -，由22(32)(11)25-+--<可知M 在圆内，∴直线l 与圆C 一定相交．（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，弦长为L ，则2222225L r d d =-=-，∵0||d CM ≤≤，即05d ≤≤，∴4510L ≤≤，即弦长的取值范围是[45,10]．48．（1）224x y +=；（2）15±；（3）存在，(1,1)-.（1）由题，设点P 的坐标为(,)x y ，因为||2||PA PB =，即2222(4)2(1)x y x y +-=+-，整理得224x y +=，所以所求曲线E 的轨迹方程为224x y +=．（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ∠= ，由圆的性质，可得点O 到边CD 的距离为1，即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=的距离为2411k =+，解得15k =±，所以所求直线l 的斜率为15±．（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则,M N 都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心为4(,)22t t -，且经过坐标原点，即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---=，又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上，由22224(4)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩，可得(4)40tx t y +--=，即直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=，由t R ∈且()440t x y y +--=，可得0440x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，所以直线MN 过定点(1,1)-．。

2.2 直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系1、几何法判断直线与圆的位置关系： 直线0++=Ax By C 与圆()()222-+-=x a y b r ，圆心到直线的距离22BA C Bb Aa d +++=（1）>⇔d r 直线与圆相离⇔无交点； （2）=⇔d r 直线与圆相切⇔只有一个交点； （3）<⇔d r 直线与圆相交⇔有两个交点.2、代数法判断直线与圆的位置关系：联立直线方程与圆的方程，得到⎩⎨⎧=++++=++022F Ey Dx y x C By Ax ，通过解的个数来判断：（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 二、直线与圆相交时的弦长求法：1、几何法：利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系2222⎛⎫=+ ⎪⎝⎭l r d ，整理出弦长公式为：222=-l r d 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；3、弦长公式法：设直线:=+l y kx b 与圆的交点为()11,x y ，()22,x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长()()222121212114⎡⎤=+-=++-⎣⎦l k x k x x x x 三、直线与圆相切时的切线问题1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。

（1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；（2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。

2、求过圆上一点()00,x y 的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率k ，若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程0=y y ； 若0=k ，则结课图形可直接写出切线方程0=x x ；若k 存在且0≠k ，则由垂直关系知切线的斜率为1-k，由点斜式写出切线方程。

高二《直线与圆》知识点总结直线与圆是高中数学中的重要内容，它们在几何学和代数学中具有广泛的应用。

掌握了直线与圆的相关知识，对于理解和解决几何和代数问题都有很大的帮助。

本文将对高二学生需要掌握的直线与圆的知识点进行总结。

一、直线与圆的基本概念和性质：1. 直线的定义和性质：直线是一条无限延伸的连续直线，具有无宽度和无端点的特点。

直线的特征是经过其中任意两点的直线上的所有点。

2. 圆的定义和性质：圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的集合。

圆由圆心和半径唯一确定，其中半径是圆心到圆上任意一点的距离。

3. 直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。

相离表示直线与圆没有任何交点；相切表示直线与圆有且仅有一个交点；相交表示直线与圆有两个交点。

4. 切线的定义和性质：切线是与圆相切且与圆的切点相同的直线，切线与半径垂直。

二、直线与圆的方程和解析几何：1. 直线的一般方程：直线的一般方程可以写为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。

2. 直线的斜截式方程：直线的斜截式方程可以写为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。

3. 圆的方程：圆的方程可以写为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。

4. 直线与圆的位置关系的方程：要判断直线和圆的位置关系，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到判别式。

判别式小于0时，直线和圆相离；判别式等于0时，直线和圆相切；判别式大于0时，直线和圆相交。

三、直线与圆的交点和切线：1. 直线与圆的交点：若要求直线与圆的交点，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到交点的坐标。

2. 切线的判定和方程：若要确定直线是否为圆的切线，可以计算直线的斜率，然后计算圆心到直线的距离。

若斜率与圆心到直线的距离相等，则直线为圆的切线。

切线方程可以使用直线方程得出。

2024年新高二数学提升精品讲义直线与圆的位置关系（解析版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解直线与圆的三种基本位置关系：相离、相切、相交，并能准确描述每种关系的特征；2．掌握判断直线与圆位置关系的方法，包括利用圆心到直线的距离与半径的关系进行判断；3．能够运用所学知识解决实际问题，如计算切点坐标、交点坐标等.知识点1直线与圆的位置关系1、直线与圆的三种位置关系（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有共同点．2、判断直线与圆位置关系的方法（1）几何法判断直线与圆的位置关系：直线0++=Ax By C 与圆()()222-+-=x a y b r ，圆心到直线的距离22BA C Bb Aa d +++=．>⇔d r 直线与圆相离⇔无交点；=⇔d r 直线与圆相切⇔只有一个交点；<⇔d r 直线与圆相交⇔有两个交点．（2）代数法判断直线与圆的位置关系：联立直线方程与圆的方程，得到⎩⎨⎧=++++=++022F Ey Dx y x C By Ax ，通过解的个数来判断：当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离．知识点2直线与圆相交弦长1、几何法：利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系2222⎛⎫=+ ⎪⎝⎭l r d ，整理出弦长公式为：22=-l r d 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．3、弦长公式法：设直线:=+l y kx b 与圆的交点为()11,x y ，()22,x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长()()222121212114⎡⎤=+-=++-⎣⎦l kx k x x x x 知识点3直线与圆相切1、圆的切线的条数（1）过圆外一点，可以作圆的两条切线；（2）过圆上一点，可以作圆的一条切线；（3）过圆内一点，不能作圆的切线．2、过圆上一点()00,x y 的切线方程法一：先求出切点与圆心的连线斜率k ，若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程0=y y ；若0=k，则结课图形可直接写出切线方程0=x x ；若k 存在且0≠k，则由垂直关系知切线的斜率为1-k，由点斜式写出切线方程．法二：若k 不存在，验证是否成立；若k 存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可．3、过圆外一点()00,x y 的圆的切线方程法一：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为()00-=-y y k x x ，即000-+-=kx y y kx 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程．法二：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为()00-=-y y k x x ，即000-+-=kx y y kx 代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0=∆，求得k ，切线方程即可求出．4、与圆的切线相关的结论（1）过圆222+=x y r 上一点()00,P x y 的圆的切线方程为200+=xx yy r ．（2）过()()222-+-=x a y b r 上一点()00,P x y 的圆的切线方程为()()()()200--+--=x a x a y b y b r（3）过()()222-+-=x a y b r 外一点()00,P x y 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在直线方程为：()()()()200--+--=x a x a y b y b r ．（4）过圆外一点()00,P x y 引圆()()222-+-=x a y b r 的两条切线，则过圆外一点()00,P x y 的切线长为=d考点一：直线与圆的位置关系判断例1．（23-24高二上·广西南宁·月考）直线240x y ++=与圆22240x y y +--=的位置关系为（）A ．相交且过圆心B ．相交且不过圆心C ．相切D ．相离【答案】C【解析】圆22240x y y +--=，即()2215x y +-=，其圆心坐标为()0,1，半径为r =，圆心到直线240x y ++=的距离d r ===，直线与圆的位置关系为相切.故选：C【变式1-1】（23-24高二下·安徽芜湖·月考）直线l ：20ax y +-=与圆C ：()()22121x y -+-=的公共点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．1或2【答案】C【解析】由直线:20l ax y +-=，可得直线l 过定点()0,2，又由圆C ：()()22121x y -+-=，可得点()0,2在圆C 上，因为直线l 的斜率显然存在，所以公共点的个数为2.故选：C.【变式1-2】（23-24高二上·福建福州·期中）设R m ∈，则直线l ：210mx y m +--=与圆225x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．相切C ．相交或相切D ．相交【答案】C【解析】直线l 可化为()210m x y -+-=，由2010x y -=⎧⎨-=⎩可得，21x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过点()2,1A .又22215+=，即点A 在圆225x y +=上，所以，过点A 的直线l 与圆相交或相切.故选：C.【变式1-3】（22-23高二上·上海宝山·期中）已知点()00,x y 在圆C ：224x y ＋＝外，则直线004x x y y ＋＝与圆C 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】由点00P x y （,）在圆22:4C x y +=外，可得22004x y +>，求得圆心00C （，）到直线00:4l x x y y +=的距离422d <=，故直线和圆C 相交，故选:A.考点二：根据直线与圆的位置关系求参数例2.（23-24高二下·河南·月考）若直线20x y ++=与圆()()()222:80M x a y a a a -+-=>相切，则圆M 的半径为（）A ．2B ．4C ．D ．8【答案】C=，解得1a =（负值舍），所以圆M 的半径为故选:C.【变式2-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知直线3y kx =-与圆()2224x y -+=相交，则实数k 的取值范围是（）A ．5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．5,12∞⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．5,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】圆()2224x y -+=的圆心为()2,0，半径2r =，因为直线3y kx =-与圆()2224x y -+=相交，所以圆心()2,0到直线3y kx =-的距离d r <，2<，解得512k >，所以实数k 的取值范围是5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：B.【变式2-2】（23-24高二下·河北衡水·月考）已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤【答案】A【解析】由题意可知圆C 的圆心坐标为()0,m ，半径为1.因为直线l 与圆C 有公共点，所以直线l 与圆C 相切或相交，所以圆心()0,C m 到直线l 的距离1d =≤，解得112m -≤≤.其必要不充分条件是把m 的取值范围扩大，所以选项中只有11m -≤≤是112m -≤≤的必要不充分条件.故选：A 【变式2-3】（23-24高二上·河北石家庄·期中）若直线l 过点()0,A a ，斜率为1，圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为（）A ．B ．±C ．2±D ．【答案】D【解析】由题意知，:0l x y a -+=，又圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以圆心到直线的距离等于半径减去1，则圆心(0,0)到直线l 21=-，解得a =故选：D.考点三：求圆的切线方程例3.（23-24高二上·河北承德·月考）过点()2,3P 引圆222440x y x y +--+=的切线，其方程是（）A ．2x =B ．12590x y -+=C ．2x =或3y =D ．3x =或2y =【答案】C【解析】根据题意，圆222440x y x y +--+=，即()()22121x y -+-=，其圆心为()1,2，半径1r =；过点()2,3P 引圆222440x y x y +--+=的切线，若切线的斜率不存在，切线的方程为2x =，符合题意；若切线的斜率存在，设其斜率为k ，则有()32y k x -=-，即320kx y k -+-=，1=，解得0k =，此时切线的方程为()302y x -=-，即3y =．综上：切线的方程为2x =和3y =．故选：C ．【变式3-1】（22-23高二下·河南安阳·开学考试）已知圆22:42110C x y x y +++-=，过点()2,1作圆C 的切线m ，则m 的方程为（）A ．2x =B ．34100x y +-=C ．34100x y +-=或2x =D ．34100x y +-=或3420x y --=【答案】C【解析】将圆22:42110C x y x y +++-=化为标准方程()()222116x y +++=，则圆心()2,1C --，4r =，当切线l 的斜率不存在时，切线l 的方程为2x =，当切线l 的斜率存在时，设切线l 的方程为()12y k x -=-，即120kx y k -+-=，由题意知，4=.解得34k =-.此时切线l 的方程为34100x y +-=.综上，切线l 的方程为2x =或34100x y +-=.故选：C.【变式3-2】（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点()40，的直线l 与圆2248160x y x y +--+=相切，则直线l 的方程为（）A ．34120x y +-=或0y =B ．34120x y +-=或4x =C ．43120x y +-=或0y =D ．43120x y +-=或4x =【答案】B【解析】圆2248160x y x y +--+=化为标准方程为22(2)(4)4x y -+-=，得圆心()2,4，半径为2，当直线l 的斜率不存在时，直线4l x =：，此时直线l 与圆2248160x y x y +--+=相切，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()4y k x =-，即40kx y k --=，圆心()2,4到直线l 的距离为d =由相切得2d r ==，2=，平方化简得34k =-，求得直线方程为34120x y +-=，综上，直线l 的方程为34120x y +-=或4x =．故选：B【变式3-3】（23-24高二上·天津武清·月考）已知过点()2,3P 的直线与圆()22110x y -+=相切，且与直线10x ay -+=平行，则=a （）A ．2B ．3-C ．12-D ．12【答案】B【解析】已知过点()2,3P 的直线与圆()22110x y -+=相切，将点()2,3P 代入圆()22110x y -+=恒成立，则点P 在圆上．即过点()2,3P 的直线与圆()22110x y -+=相切的切线只有一条，令过点()2,3P 的切线的方程为3(2)y k x -=-，即230kx y k --+=，由此切线与10x ay -+=平行，两直线的斜率相等且y 轴截距不等，可得1k a=且123k a -+≠；由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径22023101k k r k --+==+，13k =-，即3a =-.故选：B ．考点四：与切线长有关的问题例4.（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）由点(1,4)P -向圆2246120x y x y +--+=引的切线长是（）A ．3B 5C 10D ．5【答案】A【解析】圆2246120x y x y +--+=即圆()()22231x y -+-=的圆心半径分别为()2,3,1r =，点(1,4)P -到圆心()2,3的距离为()()22124310d =--+-所以点(1,4)P -向圆2246120x y x y +--+=1013-=.故选：A.【变式4-1】（23-24高二上·浙江宁波·期末）过点()0,2与圆22410x y x ++-=相切的两条直线的夹角为α，则cos α=（）A ．14B ．154C ．154-D ．14-【答案】A【解析】因为2202421110++⨯-=>，所以点()0,2在圆外，设圆心为C ，点()0,2为点D ，切点为,A B ，圆22410x y x ++-=化为标准方程得()2225x y ++=，则圆心()2,0C -，半径5r =，在Rt ACD △中，22,5CD AC ==853AD =-=故35cos 2222ADC ADC ∠=∠由圆的切线的性质可得ADC BDC ∠=∠，所以351cos cos cos 2884ADB ADC α=∠=∠=-=.故选：A.【变式4-2】（23-24高二上·四川乐山·期末）已知点(),P x y 是直线23y x =+上一动点，PM 与PN 是圆C ：()2211x y -+=的两条切线，M 、N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为（）A ．4B ．25C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意知，圆C ：()2211x y -+=的圆心()1,0C ,半径1r =，因为PM 与PN 是圆C ：()2211x y -+=的两条切线，所以PM PN =，22221PMPC MC PC =-=-,则21PM PC =-当PC 最小时，PM 也最小,又点(),P x y 是直线23y x =+上一动点，故圆心()1,0C 到直线23y x =+的距离2355d +=PC 的最小值，此时min2PM=，则此时四边形PMCN 的面积S PM MC PM ==也最小，最小值为2S =.故选：C.【变式4-3】（23-24高二上·陕西西安·期中）已知圆O 的半径为2，过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，那么PA PB的最小值为（）A ．1642-+B ．1242-+C ．1282-+D ．1682-+【答案】C 【解析】如图，设PO d =，则24PA PB d ==-，因为2sin APO d ∠=，所以2228cos 121APB d d ⎛⎫∠=-=- ⎪⎝⎭，所以()2222832411223212212PA PB d d dd ⎛⎫⋅=--=+-≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2232d d=，即2424d =>时，等号成立，故PA PB ⋅的最小值为8212，故选：C.考点五：切点弦及其方程应用例5.（23-24高三上·云南曲靖·月考）过点()0,2P 作圆22:430C x x y -++=的两条切线，设切点为A ，B ，则切点弦AB 的长度为（）A 14B ．142C ．144D ．147【答案】B【解析】圆22:430C x x y -++=，即()2221x y -+=，易知22PC =C 的半径1r =，所以切线长7PA PB ==．所以四边形PACB 的面积为127172PACB S =⨯=．所以根据等面积法知：172PACB S PC AB ==⨯⨯，所以142AB =．故选：B ．【变式5-1】（23-24高二上·河北·期中）过点)3,0M作圆C ：()2211x y +-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为．30x y -=【解析】由图可知，其中一条切线为x 轴，切点为坐标原点．因为AB CM ⊥,303CM k ==-，则3AB k =所以直线AB 30x y -=．30x y -=.【变式5-2】（22-23高三上·广东·开学考试）过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为．【答案】2+-x y 0=【解析】方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =，所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ，所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即20x y +-=；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=.故答案为：20x y +-=【变式5-3】（23-24高二上·江西上饶·期末）P 是直线4x y +=上的一个动点，,A B 是圆224x y +=上的两点，若,PA PB 均与圆O 相切，则弦长AB 的最小值为．【答案】【解析】因为12AB PO OA PA ⋅=⋅，所以AB ==当PO 的长最小时，弦长AB 最小，而PO 的最小值为圆心（即原点）到直线4x y +=的距离，所以min PO =min AB ==故答案为：考点六：直线与圆相交弦问题例6.（23-24高二上·江西上饶·期末）直线30x y -+=被圆22240x y x y ++-=所截得的弦长为（）A ．2BC．D ．10【答案】C【解析】圆22240x y x y ++-=即()()22125x y ++-=，故圆心为()1,2-，显然圆心在直线30x y -+=上，故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为故选：C ．【变式6-1】（23-24高二下·山西运城·开学考试）直线10x y --=将圆()()22238x y -+-=分成两段，这两段圆弧的弧长之比为（）A ．1：2B ．1：3C ．1：5D ．3：5【答案】A【解析】设直线与圆的两个交点为,A B ，圆心为C ，过点C 作CD AB ⊥交于D ,如图所示设()0πACD αα∠=<<，所以圆心到直线的距离为d CD ===在Rt ACD △中，1cos 2CD AC α===因为0πα<<，所以π3α=，由圆的性质知，2π23ACB α∠==，所以两段圆弧的弧长之比等于两段弧所对圆心角的弧度数之比，等于2π2π:2π1:233⎛⎫-= ⎪⎝⎭．故选：A.【变式6-2】（23-24高二上·山东聊城·期末）写出经过坐标原点，且被圆()()22:124C x y -+-=截得的弦长为l 的一个方程．【答案】0x =或340x y -=（写出一个即可）【解析】由题意，圆心()1,2到直线l 的距离1d ==，当直线l 的斜率不存在时，方程为0x =满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，即0kx y -=1=，即()2221k k -=+，解得34k =，此时直线l 的方程为340x y -=.故答案为：0x =或340x y -=（写出一个即可）【变式6-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）设圆222210x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若AB =，则l 直线方程为．【答案】0x =或34120x y +-=【解析】圆22(1)(1)3x y -+-=的圆心(1,1)C ，半径r =，圆心(1,1)C 到直线0x =的距离为1，满足||AB ==，直线0x =符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+，即30kx y -+=，圆心(1,1)C 到直线l=34k =-，此时直线l ：34120x y +-=，所以直线l 的方程为0x =或34120x y +-=.故答案为：0x =或34120x y +-=考点七：过定点直线的最短弦长例7.（23-24高二下·四川成都·月考）直线()():211850l m x m y m +++--=，被圆22:(2)(1)25C x y -+-=截得最短弦的长为（）A ．B ．C ．D 【答案】C【解析】直线()():211850l m x m y m +++--=，即()2850x y m x y +-++-=，由28050x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得3,2x y ==，设()3,2D ，由于()()223221225-+-=<，所以D 在圆C 内，圆22:(2)(1)25C x y -+-=的圆心为()2,1C ，半径=5r ，如图：当CD AB ⊥时，AB 最短，22112CD +=所以弦长AB 的最小值为()22252223-=故选：C【变式7-1】（22-23高二上·云南临沧·月考）当圆22:450C x x y -+-=截直线:30l x my m -+-=所得的弦长最短时，实数m =（）A 2B ．1-C ．2-D ．1【答案】B【解析】由22:450C x y x +--=得22(2)9x y -+=，圆心坐标是()2,0C ，半径是3,直线l ：30x my m -+-=过定点()3,1P ，且在圆内，∴当l PC ⊥时，直线l 被圆22450x y x +--=截得的弦长最短，由110132m -⋅=--解得1m =-.故选:B.【变式7-2】（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知过点()1,1P a b ++的直线l 与圆22:()()4M x a y b -+-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．23B 3C 2D ．22【答案】D【解析】因为22(1)(1)4a a b b +-++-<，所以点P 在圆M 内．且圆22:()()4M x a y b -+-=的圆心为(),M a b ，半径为2，则2MP =，当MP l ⊥时，AB 取得最小值，且最小值为24||22MP -=D【变式7-3】（23-24高二上·四川凉山·期末）过点(3,1)的直线与圆22:410C x y x +--=交于A ，B 两点，则当AB 弦长最短时ABC 的面积为（）A 6B ．22C ．23D ．26【答案】A【解析】圆22:(2)5C x y -+=的圆心(2,0)C ，半径r =，记(3,1)为点P ，||PC 即点(3,1)P 在圆C 内，则当AB CP ⊥时，弦AB 长最短，此时||AB ===所以ABC 的面积11||||22ABC S AB PC =⋅=⨯= 故选：A 考点八：直线与半圆的相交问题例8.（23-24高二下·上海·月考）已如直线y x m =+和曲线1y =只有一个公共点，则实数m的取值范围.【答案】{|02x m <≤或1m =【解析】因为曲线1y =，所以21,011y x ≤≤-≤，解得01,11y x ≤≤-≤≤，曲线可化为1y -=两边同时平方有，()2211y x -=-，即()2211x y +-=，所以曲线是以()0,1为圆心，1为半径的圆的一部分，而直线y x m =+，所以直线的斜率为1，画图象如下：由于直线与曲线只有一个公共点，当直线过()1,1-时，即11m =-+，解得2m =，当直线过()1,1时，即11m =+，解得0m =，由图象可知02m <≤，1=，解得1m =1m =而m 即为y x m =+在y 轴上的截距，由图象可知1m =，综上：02m <≤或1m =故答案为：{|02x m <≤或1m =.【变式8-1】（23-24高二下·重庆·月考）直线:130l x my m ---=与曲线:2C x =+m 的取值范围是（）A ．3,44⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,24⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意得，直线:130l x my m ---=过定点(1,3)P -，曲线:2C x =+(2,0)M 为圆心，半径为1的半圆（如图所示），曲线C 的下端点为(2,1)N -.要使直线l 与曲线C 有两个交点，则直线l 应位于直线PN 和切线PQ 之间（可以与PN 重合），此时直线l 的斜率存在，且PQ l PN k k k <≤，即0PN l k k ≥>且圆心(2,0)M 到直线l 的距离小于半径.由1(3)12021PN k m ---==≥>-得12m ≥1<得304m <<，所以1324m ≤<.故选：B.【变式8-2】（23-24高二上·河南许昌·月考）直线y x b =+与曲线y =b 取值范围为（）A ．(B ．(C ．⎡⎣D ．(【答案】C【解析】由曲线y =()2210x y y +=≥，表示以原点为圆心，半径为1的半圆，当直线y x b =+与半圆y =1=，则b =，此时直线为y x =+；当直线y x b =+过点()0,1时，1b =，此时直线为1y x =+，要使直线y x b =+与曲线21y x =-有两个交点，则b 取值范围为)1,2⎡⎣.故选：C.【变式8-3】（23-24高二上·四川南充·月考）若直线:(1)4l y k x =+-与曲线214x y =--有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A ．3(,)4+∞B ．3[,1]4C ．[3,)+∞D ．(0,3]【答案】C【解析】由已知直线:(1)4l y k x =+-过定点(1,4)P --，曲线214x y =--是以(1,0)M 为圆心，2为半径的圆的左半部分弧 ACB，(1,2)B ，作出它们的图形，如图，直线PB 的斜率为2(4)31(1)PB k --==--，当直线l 斜率不存在时，它与该半圆相切，由图可知，它们有两个交点时，3k ≥，故选：C ．一、单选题1．（23-24高二上·天津滨海新·月考）直线l ：2y x =+与圆C ：()2215x y +-=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】圆C ：()2215x y +-=的圆心(0,1)C ，半径5r =，故圆心到直线的距离220122521(1)d -+==<+-所以直线与圆相交，故选：A2．（23-24高二上·河南焦作·月考）直线10x ky -+=与圆222x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切【答案】A【解析】方法一：直线10x ky -+=恒过定点(1,0)-，而()212-<，所以点(1,0)-在圆222x y +=内，故直线与圆相交.选A.方法二：因为圆心到直线的距离221d r k=<=+，所以直线与圆相交.故选A.方法三：联立直线方程与圆的方程，消去x 并整理，得2210(2)1k y ky +--=，则()222441840k k k ∆=++=+>，所以直线与圆相交.故选A.故选：A.3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线:2l x y +=，圆22:2220C x y x y +---=．则直线l 被圆C 所截得的弦长为（）A ．2B ．4C ．D【答案】B【解析】圆C 的标准方程为()()22114x y -+-=,直线l 过圆心()1,1C ,所以直线l 被圆C 所截得的弦长等于直径长度4.故选:B ．4．（23-24高二下·广东茂名·月考）已知圆22:(3)(4)9C x y -+-=，直线()():320l m x m y m +-++=.则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（）A B ．C D ．【答案】D【解析】直线()()():321320l m x m y m m x y x y +-++=-++-=.恒过定点()2,3P ，圆C 的圆心为()3,4C ，半径为3r =，且()()22233429-+-=<，即P 在圆内，当CP l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离最大为d CP ==此时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，最小值为=故选：D.5．（22-23高二上·重庆北碚·月考）过点()2,3A 作圆22:1M x y +=的一条切线，切点为B ，则AB =（）A ．3B ．C D【答案】B【解析】因为圆22:1M x y +=，所以圆M 的圆心为(0,0)M ，半径为1r =，因为AB 与圆M 相切，切点为B ，所以AB BM ⊥，则222AB r AM +=，因为AM =，所以AB ==故选：B.6．（23-34高二上·广东珠海·期末）曲线y =与直线()24y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A ．5,112⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据题意画出图形，如图所示:由题意可得，曲线y =的图象为以()0,0为圆心，2为半径的半圆，直线l 恒过()2,4A ，由图当直线l 与半圆相切时，圆心到直线l 的距离d r =2=，解得34k =；当直线l 过()2,0B -点时，直线l 的斜率()40122k -==--，则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的取值范围为3,14⎛⎤⎥⎝⎦.故选:C.二、多选题7．（23-24高二上·安徽滁州·期末）若直线20kx y k -+=与圆()()22124x y -+-=有公共点，则实数k 的取值可能是（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】AB【解析】直线20kx y k -+=恒过定点()2,0-，圆()()22124x y -+-=的圆心为()1,2，半径为2，显然点()2,0-在圆外，直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离2d =≤，解得1205k ≤≤.故选：AB 8．（23-24高二上·福建福州·期末）已知过点(32),的直线l 和圆C ：2242110x y x y +---=，则（）A ．直线l 与圆C 相交B ．直线l 被圆C 截得最短弦长为C ．直线l 与被圆C 截得的弦长为l 的方程为2y =D ．不存在这样的直线l ，使得圆C 上有3个点到直线l 的距离为2【答案】ABD【解析】因为圆C ：2242110x y x y +---=，所以圆C 的圆心为()2,1，半径为4.选项A ：因为2232432211140+-⨯-⨯-=-<，所以点(32),在圆内，故直线与圆相交，选项A 正确；选项B ：设圆心到直线的距离为d ，弦长为m ，则22162m d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为圆心到直线的最长距离()()2232212d =-+-=所以2min max 216214m d =-=B 正确；选项C ：直线l 与被圆C 截得的弦长为21516151-=，当直线l 的斜率不存在时，直线方程为3x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()23y k x -=-，即320kx y k --+=，2213211k k k --+=+，解得0k =，故直线方程为2y =，综上满足题意的直线方程为3x =或2y =，故选项C 不正确；选项D ：当直线经过圆心时，圆上到直线的距离为2的点有4个；当直线不经过圆心时，直线将圆分成优弧与劣弧两个部分，由于半径为4，在优弧上一定存在两个点到直线l 的距离为2，那么此时，在劣弧上有且只有一个点到直线的距离为2.2时，此时圆心到直线的距离最大，又因为半径为4，且422->，所以此时劣弧上有两个点到直线的距离为2，所以不存在，所以选项D 正确.故选：ABD.三、填空题9．（23-24高二下·上海静安·期末）圆2225x y +=在点()3,4M -处的切线方程为．【答案】34250x y -+=【解析】由题意可知：圆2225x y +=的圆心为()0,0O ，半径=5r ，因为()223425-+=，可知点()3,4M -在圆上，又因为404303OM k -==---，可知切线方程的斜率34k =，所以切线方程为()3434y x -=+，即34250x y -+=.故答案为：34250x y -+=.10．（21-22高二上·福建宁德·期中）过圆221x y +=外一点(2,1)P -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是．【答案】210x y --=【解析】设切点分别为()()1122,,,A x y B x y ，因为点,A B 在圆221x y +=上，所以以,A B 为切点的切线方程分别为：11221,1x x y y x x y y +=+=，而点()2,1P -在两条切线上，所以112221,21x y x y -=-=，即点P 满足直线21210x y x y -=⇒--=.故答案为：210x y --=.11．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线10x my -+=与22:(1)4C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 的m 的一个值.,33-中任意一个皆可以，答案不唯一）【解析】22:(1)4C x y -+= 的圆心为()1,0C ，半径2r =，设点C 到直线AB 的距离为d ，由弦长公式得AB =所以12ABC S d =⨯⨯=△，解得1d =或d =由d =1=m =3m =±．四、解答题12．（23-24高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程：(1)求过点()A 3,5且与圆22:2410O x y x y +--+=相切的直线方程；(2)求圆心在直线30x y -=上，与x 轴相切，且被直线0x y -=截得的弦长为.【答案】(1)3x =或512450x y -+=；(2)222610x x y y ++++=或222610x x y y -+-+=【解析】（1）据点()A 3,5可设直线方程为()()()()sin 3cos 50t x t y ---=.圆O 的方程可化为()()22124x y -+-=，故点()1,2到所求直线的距离为22=.所以222242sin 3cos 9cos 4sin 12sin cos 45cos 12sin cos t t t t t t t t t =-+=+-=+-，得()cos 5cos 12sin 0t t t -=.这就说明cos 0t =或5tan 12t =，所以所求直线的方程为3x =或512450x y -+=.（2）设所求圆的圆心坐标为(),3P t t ，由于该圆与x 轴相切，故该圆的半径为3t ，所以该圆的方程是()()22239x t y t t -+-=，即222260x tx y ty t -+-+=.而该圆被直线0x y -=截得的弦长为故该圆圆心到直线0x y -=的距离为d ==1t =±.故所求的圆的方程为222610x x y y ++++=或222610x x y y -+-+=.13．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知圆22:270C x y y +--=及内部一点0(1,3)P -，过点0P 作倾斜角为α的直线，与圆C 交于A B ，两点.(1)当135α= 时，求弦AB 长；(2)当弦AB 的长度最小时，求直线AB 的方程.【答案】(2)270x y -+=【解析】（1）因为135α= ，则tan1351AB k ==- ，所以直线AB 的方程为3(1)y x -=-+，即20x y +-=，圆C 的标准方程为22270x y y +--=，即22(1)8x y +-=，可得圆C 的圆心(0,1)C ，半径为r =所以圆心(0,1)C 到直线20x y +-=的距离为2d =，可得弦长为AB ===（2）由圆的弦长公式，可得AB =当圆心(0,1)C 到直线AB 的距离d 最大时，此时弦AB 的长度最小，即0CP AB ⊥时，弦AB 的长度最小，因为031210CP k -==---，所以12AB k =，所以AB 的方程为13(1)2y x -=+，即270x y -+=.。

高二数学直线与圆的知识点及公式直线和圆是高二数学中的重要内容，它们在几何学和代数学中都有广泛的应用。

本文将介绍直线和圆的基本概念、性质以及相关的公式。

一、直线的知识点直线是由无数个点连成的轨迹，没有起点和终点。

在直线上可以确定无数个点，其中有一些特殊的点和直线的性质需要我们了解。

1. 直线的斜率直线的斜率是直线的重要性质之一，它表示了直线上各个点的变化率。

直线的斜率可以用以下公式表示：斜率k = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上两个不同的点的坐标。

2. 直线的截距直线的截距也是直线的一个重要性质，它表示了直线与坐标轴的交点位置。

设直线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，直线的截距可以用以下公式表示：x轴截距a = -y轴截距b = -c / b其中，c是直线的常数项。

3. 直线的方程直线可以由点斜式、一般式和截距式等不同的方程表示。

根据直线上已知的条件，我们可以选择适当的方程形式来表示直线。

下面是直线方程的一般形式：Ax + By + C = 0其中，A、B和C是常数，代表直线的斜率和截距。

二、圆的知识点圆是由平面内到一个固定点距离相等的所有点的轨迹，其中固定点称为圆心，距离称为半径。

圆的性质和相关公式如下：1. 圆的方程圆的方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中，(h, k)是圆心的坐标，r是半径的长度。

2. 圆的直径圆的直径是通过圆心并且两端点处于圆上的一条线段。

圆的直径长度等于半径的2倍。

3. 圆的弦圆上任意两点之间所形成的线段称为圆的弦。

圆的直径是圆的一个特殊的弦，它同时也是最长的弦。

4. 圆的切线圆上的切线是与圆只有一个交点的直线。

切线和圆的半径垂直。

5. 圆的弧长和扇形面积圆的弧长可以用下面的公式计算：弧长 = 弧度 ×半径而圆的扇形面积则可以用以下公式计算：扇形面积 = 弧度 ×半径² / 2三、综合运用直线和圆在几何学和代数学中的运用非常广泛。

高二上数学知识点总结圆圆是平面上的一个重要几何图形，它的性质和应用非常广泛。

在高二上学期的数学学习中，我们学习了许多与圆相关的知识点，包括圆的定义、性质、圆的方程以及与圆有关的几何推理等。

接下来，我将对这些知识点进行总结和归纳。

一、圆的定义与性质1. 圆的定义：圆是由平面上离定点距离相等的所有点组成的图形。

2. 圆的要素：圆心、半径、圆周。

3. 圆的性质：（1）圆的半径相等；（2）圆上任意两点与圆心的距离相等；（3）圆的对称性。

二、圆的方程1. 一般式方程：对于平面上的一个点P(x, y)，若它到圆心O(a,b)的距离等于半径r，则有公式：(x - a)² + (y - b)² = r²2. 标准式方程：当圆心位于坐标原点时，圆的方程为：x² + y² = r²3. 齐次方程：用齐次坐标表示圆的方程，形式为：X² + Y² - kZ² = 0三、圆与直线的位置关系1. 判定定点和半径给定的圆与直线的位置关系：（1）若直线不经过圆心，且与圆有两个交点，则称为相交；（2）若直线与圆相切，有且仅有一个交点；（3）若直线与圆不相交也不相切，则称为相离。

2. 圆的切线：过圆外一点的直线与圆相交于圆上两点时，这条直线称为圆的切线。

四、相交圆与相切圆1. 相交圆：两个圆在平面上有交点时，称为相交圆。

2. 相切圆：两个圆在平面上只有一个交点时，称为相切圆。

五、圆与三角形的位置关系1. 内接圆：能够与三角形的三条边相切的圆称为内接圆。

2. 外接圆：三角形的三个顶点在圆上时，称为外接圆。

六、圆的几何推理1. 线段圆弧定理：两个相交的圆弧所对应的弦长之和相等。

2. 弧上弦定理：一个圆弧上的两条相等的弦所对应的圆心角相等。

3. 弦切角定理：两弦分别切同一圆，切点与圆心的连线所夹的角相等。

以上是高二上学期数学中关于圆的知识点总结。

掌握了这些基本知识，我们可以更好地理解和应用圆的性质，解决相关的几何问题。

高二数学重要知识点归纳高二数学重要知识点归纳一、直线与圆:1、直线的倾斜角的范围是在平面直角坐标系中,对于一条与轴相交的.直线,如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为,就叫做直线的倾斜角。

当直线与轴重合或平行时,规定倾斜角为0;2、斜率:已知直线的倾斜角为α,且α≠90°,则斜率k=tanα.过两点(_1,y1),(_2,y2)的直线的斜率k=(y2-y1)/(_2-_1),另外切线的斜率用求导的方法。

3、直线方程:⑴点斜式:直线过点斜率为,则直线方程为,⑵斜截式:直线在轴上的截距为和斜率,则直线方程为4、直线与直线的位置关系:(1)平行A1/A2=B1/B2注意检验(2)垂直A1A2+B1B2=05、点到直线的距离公式;两条平行线与的距离是6、圆的标准方程:.⑵圆的一般方程:注意能将标准方程化为一般方程7、过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与轴垂直的直线.8、直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.①相离②相切③相交9、解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形)直线与圆相交所得弦长二、圆锥曲线方程:1、椭圆:①方程(a>b>0)注意还有一个;②定义:|PF1|+|PF2|=2a>2c;③e=④长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c;a2=b2+c2;2、双曲线:①方程(a,b>0)注意还有一个;②定义:||PF1|-|PF2||=2a<2c;③e=;④实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c;渐进线或c2=a2+b23、抛物线:①方程y2=2p_注意还有三个,能区别开口方向;②定义:|PF|=d焦点F(,0),准线_=-;③焦半径;焦点弦=_1+_2+p;4、直线被圆锥曲线截得的弦长公式:三、直线、平面、简单几何体:1、学会三视图的分析:2、斜二测画法应注意的地方:(1)在已知图形中取互相垂直的轴O_、Oy。

高二数学圆的相关知识点圆是数学中一个重要的几何图形，其中包含着各种有趣的性质和定理。

在高二数学学习中，了解和掌握圆的相关知识点是非常重要的。

本文将介绍高二数学中与圆相关的几个重要知识点，包括圆的定义、圆的性质、圆的方程和圆与直线的位置关系等。

一、圆的定义圆是平面上一组到一个固定点的距离都相等的点构成的图形。

在平面几何中，我们常用一个固定的点称为圆心，并用字母O表示；用一个固定的长度称为半径，并用字母r表示。

用圆心O和半径r可以确定一个圆。

二、圆的性质1. 圆上任意两点到圆心的距离相等。

这是圆的定义的一个直接推论，也是圆的最基本性质之一。

无论在圆上取任意两点，它们到圆心的距离都相等。

2. 圆的直径是最长的。

圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段，它是圆中最长的线段。

3. 圆的弦与半径的关系。

对于一个圆，如果一条线段的两个端点都在圆上，那么这条线段被称为圆的弦。

我们可以发现，在圆上任意取一弦，它与圆心的连线垂直且平分这条弦。

4. 圆的切线与半径的关系。

沿着圆上一点的切线与过该点的半径垂直。

5. 圆上的两个任意相交弦的乘积等于这两个弦的交点到圆心的距离的平方减去到圆心的距离的平方。

设在圆上任意取两个相交弦AB和CD，交于点E，并设OE的长度为d，则有AB·CD = d^2 - OE^2。

三、圆的方程在平面直角坐标系中，圆的方程有三种常用的表示方法：标准方程、一般方程和参数方程。

1. 标准方程标准方程是最常用的表示圆的方程。

设圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，则圆的标准方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2。

2. 一般方程一般方程是圆的另一种表达方式。

设圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，则圆的一般方程为x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0。

其中，D = -2h，E = -2k，F = h^2 + k^2 - r^2。

3. 参数方程参数方程是通过参数化的方式表示圆的方程。

直线与圆的位置关系（一）一. 教学内容：直线与圆的位置关系（一）二. 重点、难点：1. 圆周角定理2. 圆心角定理3. 圆的内接四边形的对角互补4. 圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角5. 圆内接四边形判定定理6. 切线的判定定理7. 切线的性质定理8. 弦切角定理【典型例题】如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC。

证明：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∠=∠∠=∠∠=∠BOCAOBBOCBACAOBACB22121BACACB∠=∠⇒2如图，已知：AB是⊙O的直径，CD是弦，AF⊥CD于F，BE⊥CD于E，连结OE、OF。

求证：OE=OF及CE=DF。

证明：延长EO交AF于N点∵BE⊥CD，AF⊥CD ∴EB//AF ∴∠B=∠A 在△BEO与△ANO中，BO=AO ∠B=∠A，∠BOE=∠AON∴ EO=NO ∴ OF=EO=NO过O 作OM ⊥CD 于M ∴ CM=DM EM=MF ∴CE=DF已知：如图所示，AB 是⊙O 的直径，M 是AB 上一点，过M 作弦CD 且MC=MO ，求证：⋂⋂=AC DB 3。

证明：连结CO 且延长交⊙O 于E 点 ∵ MC=MO ∴ ∠MCO=∠MOC ∵ ∠EOB=∠MOC ∴ ∠MCO =∠EOB ∴ ⋂⋂=BE AC ∵∠MCO 是圆周角 ∴ ⋂⋂=BE DE 2 ∴ ⋂⋂=AC DB 3已知：如图AB 是直径，C 是⋂AE 的中点，CD ⊥AB 于D 交AE 于F ，求证：CF=AF 。

证明：连结AC ，CB ∵ C 是AE 的中点 ∴ ∠B=∠CAE ∵ AB 是直径 ∴ ∠ACB=90° ∵ CD ⊥AB∴ ∠ACD=∠B ∴ ∠ACD=∠CAF ∴ CF=AF已知：△ABC 内接于⊙O ，弦AB 的垂直平分线和CA 及BC 的延长线分别交于点D 及E ，交⊙O 于F 两点，求证：ED ·DO=AD ·DC 。

直线与圆知识点1直线的方程1、直线的倾斜角（1）定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.（2）范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)．2、直线的斜率（1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是π2的直线没有斜率．（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3、直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围点斜式过一点(x 0，y 0)，斜率k y －y 0＝k (x －x 0)与x 轴不垂直的直线斜截式纵截距b ，斜率k y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与x 轴、y 轴均不垂直的直线截距式横截距a ，纵截距bx a ＋y b＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0（A 2＋B 2≠0）平面直角坐标系内所有直线【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．知识点2两条直线的位置关系1、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.（2）两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2.2、两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，则l 1与l 21x ＋B 1y ＋C 1＝0，2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3、三种距离公式（1）平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.（2）点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.（3）两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.4、直线系方程的常见类型（1）过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；（2）平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )；（3）垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；（4）过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R ，但不包括l 2)．知识点3圆的方程1、圆的定义及方程2点M (x 0，y 0)，圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点在圆外(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点在圆内3、二元二次方程与圆的关系不要把形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D 2＋E 2－4F 的符号，只有大于0时才表示圆．若x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，则有：（1）当F ＝0时，圆过原点．（2）当D ＝0，E ≠0时，圆心在y 轴上；当D ≠0，E ＝0时，圆心在x 轴上．（3）当D ＝F ＝0，E ≠0时，圆与x 轴相切于原点；E ＝F ＝0，D ≠0时，圆与y 轴相切于原点．（4）当D 2＝E 2＝4F 时，圆与两坐标轴相切．知识点4直线与圆、圆与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系及判断（1）三种位置关系：相交、相切、相离．（2）两种判断方法：①代数法――――――――――――――――联立方程得方程组消去x 或y得一元二次方程，Δ＝b 2－4ac ＞0⇔相交＝0⇔相切＜0⇔相离②几何法――――――――――――圆心到直线的距离为d半径为r＜r ⇔相交＝r ⇔相切＞r ⇔相离2、圆的切线与切线长（1）过圆上一点的圆的切线①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.（2）过圆外一点的圆的切线过圆外一点M (x 0，y 0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x ＝x 0.（3）切线长①从圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)外一点M (x 0，y 0)引圆的两条切线，切线长为x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .②两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，即b ＝2ar d.【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．3、圆的弦长直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：（1）几何法：因为半弦长L2、弦心距d 、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2r 2－d 2.（2）代数法：若直线y ＝kx ＋b 与圆有两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|.4、圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d ＞r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d ＜|r 1－r 2|【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．一、直线的倾斜角与斜率范围的求法1、求倾斜角的取值范围的一般步骤（1）求出斜率k ＝tan α的取值范围．（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．2、斜率取值范围的2种求法（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可三、由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0l 1与l 2平行的充分条件A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)l 1与l 2相交的充分条件A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)l 1与l 2重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)四、两条直线的交点与距离问题1、求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．2、点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．五、对称问题的求解方法1、点关于点：点P (x ，y )关于点Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)′＝2a －x ，′＝2b －y .2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．3、点关于线：点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，六、求圆的方程的两种方法1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．七、解决有关弦长问题的常用方法及结论1、几何法：如图所示，设直线l 被圆C 截得的弦为AB ，圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则有关系式：|AB |＝2r 2－d 22、代数法：若斜率为k 的直线与圆相交于A (x A ，y A )，B (x B ，y B )两点，则|AB |＝1＋k 2· x A ＋x B 2－4x A x B ＝1＋1k2y A －y B |(其中k ≠0)．特别地，当k ＝0时，|AB |＝|x A －x B |；当斜率不存在时，|AB |＝|y A －y B |，八、求过一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的方法1、几何法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；2、代数法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证九、求与圆有关的轨迹问题的方法1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；2、定义法：根据圆、直线等定义列方程；3、几何法：利用圆的几何性质列方程；4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式。