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常见的几种分布函数概率论中，分布函数（distribution function）是描述随机变量取值的概率分布的函数。
常见的几种分布函数包括离散型分布函数、连续型分布函数以及混合分布函数。
1. 离散型分布函数离散型分布函数是指随机变量在有限或可数个点上取值的分布函数。
离散型分布函数的特点是其概率质量函数只在有限或可数个点上取值，或者说离散型分布函数所描述的随机变量的取值是离散的。
比较常见的离散型分布函数有：- 二项分布函数：二项分布函数是描述n个独立的、相同概率的随机试验中成功的次数的分布函数。
- 泊松分布函数：泊松分布函数是描述一定时间间隔内一个随机事件发生次数的分布函数。
- 几何分布函数：几何分布函数是描述进行一系列独立的、相同概率的实验，成功的次数需要进行多次才能得到的情况的分布函数。
2. 连续型分布函数连续型分布函数是指随机变量的取值范围为连续区间的分布函数。
连续型分布函数所描述的随机变量的取值是连续的。
比较常见的连续型分布函数有：- 正态分布函数：正态分布函数又称高斯分布函数，是一种描述随机变量分布最为常用的分布函数之一。
- 均匀分布函数：均匀分布函数是描述随机变量在一定区间内取值时等概率分布的分布函数。
- 指数分布函数：指数分布函数是描述随机变量取值时间间隔的分布函数。
3. 混合分布函数混合分布函数是指一个随机变量可以同时满足两种或两种以上的分布函数时的情况。
比较常见的混合分布函数有：- 混合正态分布函数：混合正态分布函数是指由多个正态分布函数混合而成的分布函数。
- 混合伯努利分布函数：混合伯努利分布函数是指由多个伯努利分布函数混合而成的分布函数。
总之，分布函数是描述随机变量的 one-stop-shop，而离散型、连续型和混合型都是这一目的下的不同实现方式。
不同的分布函数有不同的特点和应用场景，选择合适的分布函数是进行概率论研究和应用的前提。
3种常用离散型分布的公式嘿，咱们来聊聊 3 种常用的离散型分布公式。
先来说说二项分布。
这二项分布啊，就好比你扔硬币。
假设你扔 10 次硬币，每次都只有正面和反面两种可能，而且每次扔硬币正面朝上的概率都一样。
那在这10 次中，出现正面的次数就可能符合二项分布。
我记得之前教过一个学生，他特别纠结这个二项分布的公式。
我就跟他说：“你就想象成你去抽奖，每次抽奖中奖的概率是固定的，抽了特定的次数，算一下总共中奖几次的可能性。
”他还是一脸懵。
于是我就给他举了个例子，假设抽奖中奖概率是 0.2，一共抽 5 次，那中奖 2次的概率咋算呢？这时候二项分布公式就派上用场啦。
二项分布的公式是：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k) 。
这里的 n 就是试验次数，k 就是成功的次数，p 是每次试验成功的概率。
再讲讲泊松分布。
泊松分布就像是在一段时间或者一个区域内，某种事件发生的次数。
比如说，在一个小时内，某个路口发生交通事故的次数。
我曾经观察过我们学校门口的交通情况。
有一天，我特意在那站了一个小时，想看看大概会有多少起小的交通摩擦。
结果发现，差不多平均下来，一个小时会有那么两三起。
这其实就有点像泊松分布的情况。
泊松分布的公式是：P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k! ，这里的λ是单位时间或者单位面积内事件发生的平均次数。
最后说说几何分布。
几何分布就好像是你不断尝试做一件事，直到第一次成功为止，所需要的尝试次数。
有次我陪我家孩子玩猜谜语，他一直猜不对，我就告诉他，你猜猜看，平均几次能猜对一个。
这其实就和几何分布有点关系。
几何分布的公式是：P(X = k) = (1 - p)^(k - 1) * p ，其中 p 是每次试验成功的概率。
总之，这三种离散型分布公式在生活和学习中都有很多用处。
咱们多观察、多思考，就能更好地理解和运用它们啦！。
(一)常用离散分布
这里将给出三个常用的离散分布：二项分布、泊松分布与超几何分布。
1 .二项分布
我们来考察由n次随机试验组成的随机现象，它满足如下条件：
⑴重复进行n次随机试验。
比如，把一枚硬币连抛n次，检验n个产品的质量，对一个目
标连续射击n次等。
2 2) n次试验间相互独立，即任何一次试验结果不会对其他次试验结果产生影响。
⑶每次试验仅有两个可能的结果，比如，正面与反面、合格与不合格、命中与不命中、具
有某特性与不具有某特性，以下统称为“成功”与“失败工
(4)每次试验成功的概率均为p,失败的概率均为1-p。
在上述四个条件下，设X表示n次独立重复试验中成功出现的次数，显然X是可以取0,1,..., n等n+1个值的离散随机变量，且它的概率函数为：
n
= x) = /(1一。
)1 , x=O,l,…3(1.2-4)
W
'G
这个分布称为二项分布，记为父乩，)，其中是从n个不同元素中取出/个的蛆合数，它的计算公式为：
\X)
G、_ n\
㈤%!(« - x)!
二项分布的均值、方差与标准差分别为：
E(X) = np
Var{X}-4>(1 - p)
—=加(1-0)
特例：n=i的二项分布称为二点分布。
它的概率函数为：
产= —, x = O,l
或列表如下：
x | 0 1 ____________
P P
它的均值、方差与标准差分别为
跃© = P，gr(X) = Hl-⑼，6X)=［pQ-p)
［例1.2-10］在一个制造过程中，不合格品率为0.1，如今从成品中随机取出6个，记X为6个成品中的不合格品数，则x服从二项分布8(6 ,0.1),简记为X〜堆，0.1) o现研究如下几个问题：
(1)恰有1个不合格品的概率是多少?这里规定抽到不合格品为“成功” > 则事件XE的概率为：
P{X = 1) = x0.1x(l-0.1)6-i = 6x0.1x0.95 =0.3543
Uz
这表明, 6个成品中恰有一个不合格品的概率为0. 3543-类似可计算X=0 , X=1 ,…'X=6的概率，计算结果可列出一张分布列，具体如下：
X 0 1 2 3 4 5 6
P 0.5314~0.3543 0.0984 0.0146 0.0012 0.0001 0.0000
这里0. 0000表示X=6的概率取前4位小数的有效数字为零,实际上，它的概率为P 0(=6)=0. 000001 ,并不严格为零。
还可以画出一张线条图(图 1.2—7 Q))来表示这个分布(X共有7个取值)。
图上的横坐标为X的取值，姒轴为其相应概率。
从此图上可以看出分布的形态，哪些天上的概率大，哪些X上的概率小。
假如改变成功概率p,其线条图亦会改变。
比如，连抛六次硬币,耳中正面出现次数X〜8(6 , 0.5) O通过计算可画出其线条图现图1 . 2—7 (b)),止匕图是对称的，如P (X=2)=P (X=4)=0. 2343o
阳1・二7 一月分布p)的我条阳
(2)不超过1个不合格品的概率为：
P (X < 1 )=P (X=O)+P a=l )=0.5314+0.3543=0. 8857
这表明，6个成品中不超过1个不合格品的概率为0. 8857o
在实际中经常需要求形如“ X X X ”的概率，在概率论中把事件“ X X X ”的概率称为X的分布函数，
也称为累积分布函数，记为F 00 ,即：
F(x)=产(X < x)
对二项分布的分布函数已编制了数表，详见附表1—1,此表可帮助我们计算二项概率，例如从附表1-1中可查得：
P(X<l)=0. 8857 J P(X<4)=0. 9999
于是可篁得：
PQ<XW4)=P(XW4) - P (X < 1 )=0. 9999-0. 8857=0. 1142
(3)二项分布8(6 , 0.1)的均值、方差与标准差分别为：
=缚=6 x 0,1 = 0.6
Var{X}=吵(1 - 0=6 x 0.1 x 0.9 = 0.54
式X)=而(1 一,)=A/054 = 0.73。
