圆锥曲线与平面向量的综合.docx

椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB=。

解析几何【8】圆锥曲线的综合应用1、定值、最值、取值范围问题（1）在圆锥曲线中，还有一类曲线方程，对其变量取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是定值问题．（2）当变量取不同值时，相关几何量达到最大或最小，这就是最值问题．通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题，曲线遵循某种条件时，变量有相应的允许取值范围，即取值范围问题．求解时有两种方法：①代数法：引入新的变量，通过圆锥曲线的性质、韦达定理、方程思想等，用新的变量表示（计算）最值、范围问题，再用函数思想、不等式方法得到最值、范围．②几何法：若问题的条件和结论能明显地体现曲线几何特征，则利用图形性质来解决最值与取值范围问题．2、对称、存在性问题、圆锥曲线有关的证明问题涉及线段相等，角相等，直线平行、垂直的证明方法，及定点、定值问题的判断方法等．3、实际应用解决的关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题，作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是【温馨点睛】1、圆锥曲线经常和函数、三角函数、平面向量、不等式等结合，还有解析思想的应用，这些问题有较高的能力要求，这是每年高考必考的一道解答题，平时加强训练，认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题的突破口．2、利用函数思想，讨论有关最值时，特别要注意圆锥曲线自身范围的限定条件．3、涉及弦长的问题时，在熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解．4、圆锥曲线综合问题要四重视；①定义；②平面几何知识；③根与系数的关系；④曲线的几何特征与方程的代数特征．【例1】设1F 、2F 是椭圆22:12x C y 的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点．（1）求12PF PF 的取值范围；（2）设过点1F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.设点1F C 上任意一点，且12PF PF （1）（2）满足AD BD ，【例2】如图，已知抛物线2:4C x y ，过点 0,2M 任作一直线与C 相交于A 、B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y 相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221MN MN 为定值，并求此定值．（1）（2）C 、D 两点（A 、【例3】已知抛物线2y x 上的动点 00,M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t 于A 、B 两点．（1）若点M ，求M 与焦点的距离；（2）若1t ， 1,1P ， 1,1Q ，求证：A B y y 为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y 且P Q y y 为常数？若存在，求t 的所有可能值；若不存在，请说明理由．x ．（1）（2）（3）使得PM PN 为【例4】为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km 的A 、B 两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（如图）．在直线2x 的右侧，考察范围为到点B 的距离不超过5km 的区域；在直线2x 的左侧，考察范围为到A 、B两点的距离之和不超过km 的区域．（1）求考察区域边界曲线的方程；（2）如图，设线段12PP 、23P P 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．【同类变式】某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为km，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？【真题自测】1.设A 、B 是椭圆22:13x y C m长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ，则m 的取值范围是（）.A 0,19, ；.B 9, ；.C 0,14, ；.D 4, ．2.① ②P .A 13.②若 111,P x y 、 222,P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120x x ．下列判断正确的是（）.A ①和②均为真命题；.B ①和②均为假命题；.C ①为真命题，②为假命题；.D ①为假命题，②为真命题．4.设圆C 位于抛物线22y x 与直线3x 所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为．5.114c ，则c6.Q 使得AP AQ 07.如图，已知椭圆2221x y ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记AOC 的面积为S ．（1）设 11,A x y ， 22,C x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明122112S x y x y ；（2）设1:l y kx ，若,33C ，13S ，求k 的值．（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 和2l 如何变动，面积S 保持不变．。

第六节 圆锥曲线的综合问题与圆锥曲线有关的最值、范围问题1.(2012年山东卷,文21,13分)如图,椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形ABCD 的面积为8.(1)求椭圆M 的标准方程;(2)设直线l:y=x+m(m ∈R)与椭圆M 有两个不同的交点P,Q,l 与矩形ABCD 有两个不同的交点S,T.求的最大值及取得最大值时m 的值.解:(1)∵e==,∴1-=,∴=,∴a=2b,①∵矩形ABCD 的面积为8,∴4ab=8,∴ab=2,②由①②解得a=2,b=1,∴椭圆M 的标准方程为+y 2=1. (2)由消去y 整理得,5x 2+8mx+4m 2-4=0, 由Δ=64m 2-80(m 2-1)=80-16m 2>0得-<m<,设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则x1+x2=-m,x1x2=∴|PQ|====(-<m<)线段CD的方程为y=1(-2≤x≤2),线段AD的方程为:x=-2(-1≤y≤1).①不妨设点S在AD边上,T在CD边上,则1≤m<,S(-2,m-2),D(-2,1) ∴|ST|=|SD|=[1-(m-2)]=(3-m)∴=×令t=3-m(1≤m<)则m=3-t,t∈(3-,2]∴===∵t∈(3-,2]∴∈[,),∴当=即t=时,取到最大值,此时m=.②不妨设点S在AB边上,T在CD边上,此时,-1≤m≤1因此|ST|=|AD|=2,=∴m=0时,取到最大值.③不妨设点S在AB边上,T在BC边上,-<m≤-1由椭圆和矩形的对称性知,取得最大值,此时m=-,综上,当m=±或m=0时,取得最大值.本题考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系,考查学生数形结合、分类讨论及利用函数求最值,考查学生的推理论证及运算求解能力,难度较大,综合性较强.2.(2012年浙江卷,文22,14分)如图,在直角坐标系xOy中,点P(1,)到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.(1) 求p,t的值;(2)求△ABP面积的最大值.解:(1)由题意知得.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为Q(m,m). 由题意知,设直线AB的斜率为k(k≠0).由故(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,故k·2m=1,所以直线AB方程为y-m=(x-m).即x-2my+2m2-m=0.由消去x,整理得y2-2my+2m2-m=0,所以Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1y2=2m2-m.从而|AB|=·|y1-y2|=·.设点P到直线AB的距离为d,则d=.设△ABP的面积为S,则S=|AB|·d=|1-2(m-m2)|·.由Δ=4m-4m2>0,得0<m<1.令u=,0<m≤,则S=u(1-2u2).设S(u)=u(1-2u2),0<u≤,则S'(u)=1-6u2.由S'(u)=0,得u=∈(0,),所以S(u)max=S()=.故△ABP面积的最大值为.本题把直线与抛物线以及三角形的面积与函数结合在一起考查,题目背景新颖,知识综合应用能力较强.3.(2011年上海卷,文22)已知椭圆C:+y2=1(常数m>1),P是曲线C上的动点,M是曲线C的右顶点,定点A的坐标为(2,0),(1)若M与A重合,求曲线C的焦点坐标;(2)若m=3,求|PA|的最大值与最小值;(3)若|PA|的最小值为|MA|,求实数m的取值范围.解:(1)若M与A重合,则M(2,0),∴m=2,∴椭圆C的方程为+y2=1,c==,曲线C的焦点坐标为(-,0)、(,0).(2)若m=3,则C:+y2=1,设P(x,y)(-3≤x≤3),|PA|2=(x-2)2+y2=(x-2)2+1-=-4x+5=(x-)2+,∵-3≤x≤3,∴当x=时,|PA=,当x=-3时,|PA=25.∴当x=时,|PA|min=,当x=-3时,|PA|max=5.(3)设动点P(x,y)(-m≤x≤m),则|PA|2=(x-2)2+y2=(x-2)2+1-=(x-)2-+5,∵当x=m时,|PA|取最小值,且>0,∴≥m且m>1,解得1<m≤1+.4.(2011年湖南卷,文21)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1,(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C 相交于点D,E,求·的最小值.解:(1)设动点P的坐标为(x,y),由题意有-|x|=1.化简得y2=2x+2|x|.当x≥0时,y2=4x;当x<0时,y=0.所以,动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x≥0)和y=0(x<0).(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方程为y=k(x-1).由,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,于是x1+x2=2+,x1x2=1.因为l1⊥l2,所以l2的斜率为-.设D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.故·=(+)·(+)=·+·+·+·=||·||+||·||=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1=1+(2+)+1+1+(2+4k2)+1=8+4(k2+)≥8+4×2=16.当且仅当k2=,即k=±1时,·取最小值16.5.(2010年湖南卷,文19)为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距8 km的A,B 两点各建一个考察基地,视冰川面为平面形,以过A,B两点的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图),考察范围为到A,B两点的距离之和不超过10 km的区域.(1)求考察区域边界曲线的方程;(2)如图所示,设线段P1P2是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2 km,以后每年移动的距离为前一年的2倍,问:经过多长时间,点A恰好在冰川边界线上?解:(1)设考察区域边界曲线上点P的坐标为(x,y),则由|PA|+|PB|=10>8知,点P在以A,B为焦点,长轴长为2a=10的椭圆上,此时短半轴长b==3,所以考察区域边界曲线的方程为+=1.(2)由题意知冰川边界线每年平行移动的距离构成以0.2为首项,2为公比的等比数列,易知过点P1,P2的直线方程为4x-3y+47=0,因此点A到直线P1P2的距离为d==.设经过n年,点A恰好在冰川边界线上,则利用等比数列求和公式可得=,解得n=5,即经过5年,点A恰好在冰川边界线上.6.(2010年北京卷,文19)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-,0),(,0),离心率是.直线y=t与椭圆C交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆P,圆心为P.(1)求椭圆C的方程;(2)若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标;(3)设Q(x,y)是圆P上的动点,当t变化时,求y的最大值.解:(1)因为由题意知=,且c=,所以a=,b==1,所以椭圆C的方程为+y2=1,(2)由题意知P(0,t)(-1<t<1),由,得x=±,所以圆P的半径为,当圆P与x轴相切时,|t|=.解得t=±.所以圆心P 的坐标是(0,±).(3)由(2)知,圆P 的方程为x 2+(y-t)2=3(1-t 2),因为点Q(x,y)在圆P 上,所以y=t ±≤t+. 设t=cos θ,θ∈(0,π),则 t+=cos θ+sin θ=2sin(θ+).当θ=,即t=,且x=0时,y 取最大值2.与圆锥曲线有关的定值、定点问题7.(2012年福建卷,文21,12分)如图,等边三角形OAB 的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x 2=2py(p>0)上.(1)求抛物线E 的方程;(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P,与直线y=-1相交于点Q.证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点.解:(1)由题意知|OB|=8,∠BOy=30°,设B(x,y),则x=|OB|sin 30°=4,y=|OB|cos 30°=12, ∵B(4,12)在x 2=2py 上,∴(4)2=2×12p,解得p=2,∴抛物线E的方程为x2=4y.(2)由(1)知y=x2,y'=x,设P(x0,y0)则x0≠0,l的方程为:y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-,由得,∴Q(,-1).设M(0,y1),令·=0对满足y0=(x0≠0)的x0,y0恒成立,由于=(x0,y0-y1),=(,-1-y1),由·=0得-y0-y0y1+y1+=0,即(+y1-2)+(1-y1)y0=0对满足y0=(x0≠0)的y0恒成立,∴,∴y1=1,∴以PQ为直径的圆经过y轴上的定点(0,1).本题主要考查抛物线的标准方程求法,圆的性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、逻辑推理能力、数形结合思想、化归与转化思想,属于难题. 8.(2011年四川卷,文21)过点C(0,1)的椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(-a,0),过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.(1)当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长;(2)当点P异于点B时,求证:·为定值.解:(1)由已知得b=1,=,解得a=2.∴椭圆方程为+y2=1,椭圆的右焦点为(,0),此时直线l的方程为y=-x+1,代入椭圆方程化简得7x2-8x=0,可得D(,-),故|CD|==.(2)当直线l与x轴垂直时与题意不符.所以直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1(k≠0且k≠),代入椭圆方程化简得(4k2+1)x2+8kx=0,求得D(,),又直线AC的方程为+y=1,直线BD的方程为y=(x+2),联立解得,因此Q点坐标为(-4k,2k+1).又P(-,0),∴·=(-,0)·(-4k,2k+1)=4,故·为定值.9.(2010年江苏卷,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1的左、右顶点为A、B,右焦点为F.设过点T(t,m)的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0.(1)设动点P满足|PF|2-|PB|2=4,求点P的轨迹;(2)设x1=2,x2=,求点T的坐标;(3)设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).(1)解:由题知F(2,0),B(3,0),A(-3,0).设P(x,y),则(x-2)2+y2-(x-3)2-y2=4,化简得x=.故所求点P的轨迹为直线x=.(2)解:∵+=1,∴x1=2时,y1=±,x2=时,y2=±,∵y1>0,y2<0,∴M(2,),N(,-).又A(-3,0),B(3,0),∴直线AM的方程为y=(x+3),①直线BN的方程为y=(x-3),②由①②得,即T(7,).(3)证明:∵T(9,m),∴直线TA的方程为y=(x+3),直线TB的方程为y=(x-3).由,得, 即M(-,).由,得,即N(,-).若x1=x2,则由-=及m>0得m=2.此时直线MN的方程为x=1,过点(1,0). 若x1≠x2,则m≠2,直线MN的方程为y+=·[x-],化简得y+=-[x-]. 令y=0,得x=1,即直线MN过点(1,0),综上,直线MN过x轴上定点(1,0).开放性问题10.(2012年湖北卷,文21,14分)设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点,l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x轴的交点,点M在直线l上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1).当点A 在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(2)过原点斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点,其中P在第一象限,且它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H,是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)如图(1),设M(x,y),A(x0,y 0),则由|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1),可得x=x0,|y|=m|y0|,所以x0=x,|y0|=|y|.①因为A点在单位圆上运动,所以+=1.②将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2+=1(m>0,且m≠1).因为m∈(0,1)∪(1,+∞),所以当0<m<1时,曲线C是焦点在x轴上的椭圆,两焦点坐标分别为(-,0),(,0);当m>1时,曲线C是焦点在y轴上的椭圆,两焦点坐标分别为(0,-),(0,).(2)法一:如图(2)、(3),∀k>0,设P(x1,kx1),H(x2,y2),则Q(-x1,-kx1),N(0,kx1)直线QN的方程为y=2kx+kx1,将其代入椭圆C的方程并整理可得(m2+4k2)x2+4k2x1x+k2-m2=0.依题意可知此方程的两根为-x1,x2,于是由韦达定理可得-x1+x2=-,即x2=.因为点H在直线QN上,所以y2-kx1=2kx2=,于是=(-2x1,-2kx1),=(x2-x1,y2-kx1)=(-,).而PQ⊥PH等价于·==0,即2-m2=0,又m>0,得m=,故存在m=,使得在其对应的椭圆x2+=1上,对任意的k>0,都有PQ⊥PH.法二:如图(2)、(3),∀x2∈(0,1),设P(x1,y1),H(x2,y2),则Q(-x1,-y1),N(0,y1),因为P,H两点在椭圆C上,所以两式相减可得m2(-)+(-)=0.③依题意,由点P在第一象限可知,点H也在第一象限,且P,H不重合,故(x1-x2)(x1+x2)≠0,于是由③式可得=-m2.④又Q,N,H三点共线,所以k QN=k QH,即=.于是由④式可得k PQ·k PH=·=·=-.而PQ⊥PH等价于k PQ·k PH=-1,即-=-1,又m>0,得m=,故存在m=,使得在其对应的椭圆x2+=1上,对任意的k>0,都有PQ⊥PH.本题是一个椭圆模型,第一问需要注意讨论椭圆焦点的位置,不要误认为只可能在x轴上,考查了分类讨论的能力;第二问是一个探讨性问题,探讨性问题一直是高考考查的热点,一般难度较大,作为压轴题出现.11.(2011年浙江卷,文22)如图,设P是抛物线C1:x2=y上的动点.过点P作圆C2:x2+(y+3)2=1的两条切线,交直线l:y=-3于A,B两点.(1)求圆C2的圆心M到抛物线C1准线的距离;(2)是否存在点P,使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)因为抛物线C1的准线方程为y=-,所以圆心M到抛物线C1准线的距离为|--(-3)|=.(2)设点P的坐标为(x0,),抛物线C1在点P处的切线交直线l于点D. 再设A,B,D的横坐标分别为x A,x B,x D,过点P(x0,)的抛物线C1的切线方程为y-=2x0(x-x0),①当x0=1时,过点P(1,1)与圆C2的切线PA为y-1=(x-1).切线PB为x=1,可得x A=-,x B=1,x D=-1,x A+x B≠2x D,当x0=-1时,过点P(-1,1)与圆C2的切线PB为y-1=-(x+1),切线PA为x=-1,可得x A=-1,x B=,x D=1,x A+x B≠2x D.所以-1≠0.设切线PA,PB的斜率分别为k1、k2(k1≠0,k2≠0),则PA:y-=k1(x-x0).②PB:y-=k2(x-x0).③将y=-3分别代入①,②,③得x D=(x0≠0);x A=x0-;x B=x0-,从而x A+x B=2x0-(+3)(+).又=1,即(-1)-2(+3)x0k1+(+3)2-1=0,同理(-1)-2(+3)x0k2+(+3)2-1=0.所以k1,k2是方程(-1)k2-2(+3)x0k+(+3)2-1=0的两个不相等的根,从而k1+k2=,k1·k2=,因为x A+x B=2x D,所以2x0-(3+)(+)=,即+=.从而=,进而得=8,x0=±.综上所述,存在点P满足题意,点P的坐标为(±,2).12.(2011年辽宁卷,文21)如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e.直线l⊥MN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.(1)设e=,求|BC|与|AD|的比值;(2)当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由.解:(1)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设C1:+=1,C2:+=1(a>b>0).设直线l:x=t(|t|<a),分别与C1,C2的方程联立,求得A(t,),B(t,).当e=时,b=a,分别用y A,y B表示A,B的纵坐标,可知|BC|∶|AD|===.(2)t=0时的l不符合题意.t≠0时,BO∥AN当且仅当BO的斜率k BO与AN的斜率k AN相等,即=,解得t=-=-·a.因为0<|t|<a,所以0<<1,又0<e<1,解得<e<1.所以当0<e≤时,不存在直线l,使得BO∥AN;当<e<1时,存在直线l,使得BO∥AN.13.(2010年浙江卷,文22)已知m是非零实数,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F在直线l:x-my-=0上,(1)若m=2,求抛物线C的方程;(2)设直线l与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的准线的垂线,垂足为A1,B1,△AA1F,△BB1F的重心分别为G,H.求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.(1)解:因为焦点F(,0)在直线l上,得p=m2,又m=2,故p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)证明:因为抛物线C的焦点F在直线l上, 所以p=m2.所以抛物线C的方程为y2=2m2x.设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去x得y2-2m3y-m4=0,由于m≠0,故Δ=4m6+4m4>0,且有y1+y2=2m3,y1y2=-m4.设M1,M2分别为线段AA1,BB1的中点,由于2=,2=,可知G(,),H(,),所以==+,=.所以GH的中点M(+,).设R是以线段GH为直径的圆的半径,则R2=|GH|2=(m2+4)(m2+1)m4.设抛物线的准线与x轴交点N(-,0).|MN|2=(++)2+()2=m4(m4+8m2+4)=m4[(m2+1)(m2+4)+3m2]>m4(m2+1)(m2+4)=R2.故N 在以线段GH 为直径的圆外.圆锥曲线间的综合问题14.(2012年浙江卷,文8,5分)如图,中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点,若M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( ) (A)3(B)2(C)(D)解析:本题主要考查椭圆与双曲线的离心率的求法.设椭圆的长轴是2a,焦距是2c,双曲线的实轴是2 m,所以m=a,所以e 1=,e 2==,所以=2.故选B. 答案:B.15.(2012年山东卷,文11,5分)已知双曲线C 1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C 2:x 2=2py(p>0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2,则抛物线C 2的方程为( ) (A)x 2=y (B)x 2=y(C)x 2=8y (D)x 2=16y解析:本题考查双曲线的离心率、渐近线等基础知识, ∵e=2,∴e 2=1+=4,∴=±,∴双曲线的渐近线方程为:y=±x 即:±x+y=0,又抛物线x 2=2py(p>0)的焦点为(0,),故=2,即p=8,故抛物线C 2方程为x 2=16y.答案:D.本题考查双曲线的离心率,渐近线及抛物线方程的求法,考查学生的推理能力及运算能力,难度适中.16.(2011年浙江卷,文9)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点,若C1恰好将线段AB三等分,则( )(A)a2=(B)a2=13(C)b2=(D)b2=2解析:由已知双曲线渐近线方程为y=±2x.圆的方程为x2+y2=a2,则|AB|=2a.不妨取y=2x与椭圆交于P、Q点,且P在x轴上方,则由已知|PQ|=|AB|=,∴|OP|=.则点P坐标为(,),又∵点P在椭圆上,∴+=1,①又∵a2-b2=5,∴b2=a2-5.②解①②得.故选C.答案:C.17.(2011年天津卷,文6)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( )(A)2(B)2(C)4(D)4解析:由交点(-2,-1)得-=-2,∴p=4,∴抛物线方程为y2=8x,∴抛物线的焦点为F(2,0),又a+=a+2=4,∴a=2,又∵双曲线的一条渐近线方程为y=x,且过(-2,-1),∴a-2b=0,∴b=1,∴c2=a2+b2=5,∴c=,2c=2.故选B.答案:B.18.(2010年北京卷,文13)已知双曲线-=1的离心率为2,焦点与椭圆+=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为.解析:椭圆+=1的焦点F1(-4,0),F2(4,0)也是双曲线的焦点,∴c=4,又e=2==,∴a=2,则b2=c2-a2=16-4=12,∴b=2,渐近线方程为y=±x=±x.答案:(±4,0) y=±x19.(2012年新课标全国卷,文20,12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A为C 上一点.已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.解:(1)由△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p,由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p,由△ABD的面积为4,所以|BD|·d=4,即×2p×p=4,解得p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)由题意A、B、F三点共线于直线m,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°,由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,故∠ABD=30°,m的斜率为或-.当m=时,可设n为y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0,由n与C只有一个公共点,令Δ=p2+8pb=0,得b=-.又m的截距为b1=,=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.同理,m=-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.20.(2012年广东卷,文20,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.解:(1)由椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上,可得,∴.故椭圆C1的方程为+y2=1.(2)由题意分析,直线l斜率存在且不为0,设其方程为y=kx+b,由直线l与抛物线C2相切得消y得k2x2+(2bk-4)x+b2=0,Δ1=(2bk-4)2-4k2b2=0,化简得kb=1.①由直线l与椭圆C1相切得消y得(2k2+1)x2+4bkx+2b2-2=0,Δ2=(4bk)2-4(2k2+1)(2b2-2)=0,化简得2k2=b2-1.②①②联立得,解得b4-b2-2=0,∴b2=2或b2=-1(舍),∴b=时,k=,b=-时,k=-.即直线l的方程为y=x+或y=-x-.本题考查了直线与椭圆、直线与抛物线相切的位置关系,良好的计算能力是解答本题的关键.21.(2012年上海数学,文22,16分)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:2x2-y2=1.(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点.若|MF|=2,求点M的坐标;(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;(3)设斜率为k(|k|<)的直线l交C于P、Q两点.若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ. 解:(1)由2x2-y2=1知F(-,0),设M(x,y),则由②得y2=2x2-1代入①得x2+x++2x2-9=0.即3x2+x-=0,解得x==.x1=-(舍去),x2=.将x2=代入②得y2=2⇒y=±,∴M(,)或(,-).(2)左顶点A(-,0),渐近线方程为y=±x.过点A与渐近线y=x平行的直线方程为y-0=(x+),即y=x+1,由⇒B(-,),∴S四边形=2×|OA|·y B=|OA|·y B=×=.(3)设l为y=kx+b,(|k|<),由l与x2+y2=1相切知:=1,即b2=1+k2,将l:y=kx+b代入2x2-y2=1得2x2-(kx+b)2=1,即(2-k2)x2-2kbx-(b2+1)=0.设P(x1,kx1+b),Q(x2,kx2+b),则其中①显然成立·=(x1,kx1+b)·(x2,kx2+b)=x1x2+k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=++b2===0.∴⊥,即OP⊥OQ.本题的难点是直线与圆锥曲线的位置关系.两个方程联立后利用韦达定理得出x1+x2,以及x1·x2.证明OP⊥OQ,也就是证·=0,利用坐标代入即可.22.(2012年湖南卷,文21,13分)在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆 E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心.(1)求椭圆E的方程;(2)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2,当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标.解:(1)由x2+y2-4x+2=0得(x-2)2+y2=2,故圆C的圆心为点(2,0).从而可设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),其焦距为2c,由题设知c=2.e==,所以a=2c=4,b2=a2-c2=12.故椭圆E的方程为+=1.(2)设点P的坐标为(x0,y0),l1,l2的斜率分别为k1,k2,则l1,l2的方程分别为l1:y-y0=k1(x-x0),l2:y-y0=k2(x-x0),且k1k2=.由l1与圆C:(x-2)2+y2=2相切得=.即[(2-x0)2-2]+2(2-x0)y0k1+-2=0.同理可得[(2-x0)2-2]+2(2-x0)y0k2+-2=0.从而k1,k2是方程[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+-2=0的两个实根.于是①且k1k2==.由得5-8x0-36=0,解得x0=-2,或x0=.由x0=-2得y0=±3;由x0=得y0=±,它们均满足①式.故点P的坐标为(-2,3),或(-2,-3),或(,),或(,-).23.(2012年辽宁卷,文20,12分)如图,动圆C1:x2+y2=t2,1<t<3,与椭圆C2:+y2=1相交于A,B,C,D四点,点A1,A2分别为C2的左,右顶点.(1)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?并求出其最大面积;(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.解:(1)设A(x0,y0),则矩形ABCD的面积S=4|x0||y0|由+=1得=1-,从而=(1-)=-(-)2+,当=,=时,S max=6,从而t=时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为6.(2)由A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0)知直线AA1的方程为y=(x+3),①直线A2B的方程为y=-(x-3)②由①②得y2=-(x2-9)③又点A(x0,y0)在椭圆C上,故=1-④将④代入③得-y2=1(x<-3,y<0).因此点M的轨迹方程为-y2=1(x<-3,y<0).24.(2010年江西卷,文21)如图,已知抛物线C1:x2+by=b2经过椭圆C2:+=1(a>b>0)的两个焦点.(1)求椭圆C2的离心率;(2)设点Q(3,b),又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△QMN的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程.解:(1)因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),所以c2+b×0=b2,即c2=b2,又a2=b2+c2=2c2,所以椭圆C2的离心率e=.(2)由(1)可知a2=2b2,椭圆C2的方程为+=1.联立抛物线C1的方程x2+by=b2,得2y2-by-b2=0,解得y=-或y=b(舍去),所以x=±b,即M(-b,-),N(b,-),所以△QMN的重心坐标为(1,0).因为重心在C1上,所以12+b×0=b2,得b=1.所以a2=2.所以抛物线C1的方程为x2+y=1,椭圆C2的方程为+y2=1.(2011年山东卷,文22)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+y2=1.如图所示,斜率为k(k>0)且不过原点的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x=-3于点D(-3,m).(1)求m2+k2的最小值.(2)若|OG|2=|OD|·|OE|,①求证:直线l过定点;②试问点B,G能否关于x轴对称?若能,求出此时△ABG的外接圆方程;若不能,请说明理由. 难题特色:直线与椭圆的位置关系,圆的方程、定点、中点坐标、不等式等知识综合命题,涉及知识多,解题方法不易确定,计算难度大.难点突破:(1)可设直线l方程为y=kx+t与椭圆方程联立,用“设而不求法”表示出y1+y2,x1+x2,从而表示出x E,y E和直线OE方程,得到m、k的关系.(2)①由OD方程与椭圆方程联立,求得G点坐标,求|OG|、|OD|、|OE|建立关于t、k方程,求得t、k关系.②先假设B、G关于x轴对称,再推理证明存在性成立.再设出圆心坐标,运用两点距离公式列方程可求出△ABG的外接圆方程.(1)解:设直线l的方程为y=kx+t(k>0).由题意知t>0.由方程组得(3k2+1)x2+6ktx+3t2-3=0.由题意知Δ>0,所以3k2+1>t2.设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x E,y E),由根与系数的关系得x1+x2=-,所以y1+y2=.因为E为线段AB的中点,所以x E=-,y E=,此时k OE==-.所以OE所在直线的方程为y=-x.由题意知D(-3,m)在直线OE上,所以m=,即mk=1,所以m2+k2≥2mk=2,当且仅当m=k=1时上式等号成立.此时由Δ>0及t>0,得0<t<2.因此当m=k=1且0<t<2时,m2+k2取最小值2.(2)①证明:由(1)知OD所在直线的方程为y=-x, 将其代入椭圆C的方程,并由k>0,解得G(-,).又E(-,),D(-3,),由距离公式及t>0得|OG|2=(-)2+()2=,|OD|==,|OE|==,由|OG|2=|OD|·|OE|得t=k.因此直线l的方程为y=k(x+1).所以直线l恒过定点(-1,0).②解:由①得G(-,),若点B,G关于x轴对称,则B(-,-).将点B的坐标代入y=k(x+1),整理得3k2-1=k,即6k4-7k2+1=0,解得k2=或k2=1.又因为3k2-1>0,即k2>,所以k2=1,所以k=1.此时B(-,-),G(-,)关于x轴对称.由(1)得x1=0,y1=1,所以A(0,1).由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上,可设△ABG的外接圆的圆心为(d,0),因此d2+1=(d+)2+,解得d=-,故△ABG的外接圆的半径为=.所以△ABG的外接圆的方程为(x+)2+y2=.(2010年福建卷,文19,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA 与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.解:(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,所以p=2.2分故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.4分第(1)问赋分细则:(1)方法对,计算错扣1分;(2)未写出“抛物线方程y2=4x”扣1分;(3)没写出结论“准线方程为x=-1”扣1分.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t,由得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点,6分所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.8分又由直线OA与l的距离d=可得=,解得t=±1.10分因为-1∉[-,+∞),1∈[-,+∞),所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.12分第(2)问赋分细则:(1)没有写出“假设存在”扣1分;(2)没有判断“Δ≥0”扣2分;(3)思路正确,计算错误扣1分,如t的范围求错;(4)没计算d值,后面求不出t=±1得前面的8分;(5)未排除“t=-1”扣1分;(6)没有写出“符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0”扣1分.通过高考阅卷统计分析,造成失分的原因如下:(1)解题步骤不全,跨过得分点,如未写出假设存在符合条件的直线等;(2)计算失误,致使结论错误;(3)没有注意判别式Δ≥0的限制;(4)考虑问题不全面,不知道由直线OA与d的距离求t;(5)第(2)问结论写不全.。

圆锥曲线的综合问题直线和圆锥曲线问题解法的一般规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【一】．直线与圆锥曲线的位置关系(1）从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．（2）从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断． 1。

设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0,圆锥曲线方程f (x ，y )＝0.由Ax+0(,)0{By c f x y +==,消元。

如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0,当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时,直线l 与抛物线的对称轴平行或重合． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac 。

a ．Δ ＞ 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点;b ．Δ ＝ 0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．Δ ＜ 0时，直线和圆锥曲线没有公共点．2。

“点差法”的常见题型求中点弦方程、求（过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式Δ〉0是否成立．3．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题（1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1（x 1，y 1），P 2(x 2，y 2)，则所得弦长｜P 1P 2｜ ＝ 或|P 1P 2｜＝ .(2）当斜率k 不存在时,可求出交点坐标，直接运算（利用轴上两点间距离公式)．1＋k 2|x 1－x 2|1＋1k 2|y 1－y 2|4．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆错误!＋错误!＝1中，以P(x0，y0）为中点的弦所在直线的斜率k＝－错误!;在双曲线错误!－错误!＝1中，以P（x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝错误!；在抛物线y2＝2px (p〉0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝错误!.题型一圆锥曲线中的范围、最值问题【例1】已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设错误!＝λ错误!.（1）若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；（2)若λ∈错误!，求｜PQ|的最大值．[思维启迪］（1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立|PQ|和λ的关系,然后求最值．解析：（1)证明设P(x1，y1),Q（x2,y2），M（x1,－y1）．∵错误!＝λ错误!，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，∴y错误!＝λ2y错误!，y错误!＝4x1,y错误!＝4x2，x1＝λ2x2，∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1），λx2（λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x2＝错误!，x1＝λ,又F(1，0），∴错误!＝（1－x1，y1）＝(1－λ，λy2）＝λ错误!＝λ错误!，∴直线MQ经过抛物线C的焦点F。

平面向量与圆锥曲线的综合问题例1 已知F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是第一象限内该数轴上的一点，，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线的斜率的取值范围.解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知，，∴，．设．则，又，联立，解得，． （Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．联立 ∴，由，，得．①又为锐角，∴又∴2214x y +=1254PF PF •=-l k 2a =1b =c =1(F 2F (,)P x y (0,0)x y >>22125(,,)34PF PF x y x y x y ⋅=---=+-=-2214x y +=22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩221134x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩P 0x =l 2y kx =+11(,)A x y 22(,)B x y 22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩1221214x x k =+1221614kx x k+=-+22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅>22163(14)0k k -+>2430k ->234k >AOB ∠cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>12120OA OB x x y y ⋅=+>212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414kk k k k=+⋅+⋅-+++∴．② 综①②可知，∴的取值范围是 例2 已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）（I ）求圆的方程；（II ）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．（I ）解法一：设两点坐标分别为，，由题设知． 解得，所以，或，． 设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为 解法二：设两点坐标分别为，，由题设知．又因为，，可得．即．由，，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上．设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆的方程为． （II ）解：设，则．在中，，由圆的几何性质得 22212(1)21641414k k kk k+⋅=-+++224(4)014k k -=>+2144k -<<2344k<<k 33(2,)(,2)22--OAB 22y x =O C OAB C C M 22(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=M P C PE PF ，E F ，CE CF •A B ，2112y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2222y y ⎛⎫⎪⎝⎭，=221212y y ==(6A (6B -，(6A -，(6B C (0)r ，2643r =⨯=C 22(4)16x y -+=A B ，11()x y ，22()x y ，22221122x y x y +=+2112y x =2222y x =22112222x x x x +=+1212()(2)0x x x x -++=10x >20x >12x x =A B ，x C x C (0)r ，A 32r ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2322r ⎫=⨯⎪⎪⎝⎭4r =C 22(4)16x y -+=2ECF a ∠=2||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα===-Rt PCE △4cos ||||x PC PC α==，，所以，由此可得．则的最大值为，最小值为．例3 已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．（1）已知，，求的值；（2）求的最小值．解法一：（Ⅰ）设点，则，由得： ，化简得．（Ⅱ）（1）设直线的方程为：．设，，又， 联立方程组，消去得：，，由，得： 整理得：解法二：（Ⅰ）由得：，所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：． （Ⅱ）（1）由已知，，得．||||17PC MC +=≤18+=||||1716PC MC -=-=≥12cos 23α≤≤1689CE CF --≤≤CE CF 169-8-(10)F ，:1l x =-P P l Q QP QF FP FQ •=•P C F C A B，l M 1MA AF λ=2MB BF λ=12λλ+MA MB()P x y ，(1)Q y -，QP QF FP FQ =(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，2:4C y x =AB 1(0)x my m =+≠11()A x y ，22()B x y ，21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，x 2440y my --=2(4)120m ∆=-+>121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，．1MA AF λ=2MB BF λ=1112y y m λ+=-2222y y m λ+=-1121my λ=--2221my λ=--12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424mm =---0=QP QF FP FQ =()0FQ PQ PF +=()()0PQ PF PQ PF ∴-+=220PQ PF ∴-=PQ PF ∴=P C C 24y x =1MA AF λ=2MB BF λ=120λλ<P B QMFO A xy则：．…………①过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，则有：．…………②由①②得：，即．（Ⅱ）（2）解：由解法一，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为．同步练习1 设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ B ）A ．9 B ．6C ．4D ．32 设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则（ B ）AB ．CD ．3已知是椭圆的两个焦点．满足·＝0的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C ）A ．(0，1) B ．(0，] C ．(0，) D ．[，1)4 已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，且|F 1F 2|=2c ，点A 在椭圆上，=0，则椭圆的离心率e= （ ）A ．B ．C ．D ．5 P 是抛物线上的动点，点A （0,-1），点M 满足，则点M 的轨12MA AF MBBFλλ=-A B ，l 1A 1B 11MA AA AFMB BB BF ==12AFAF BFBF λλ-=120λλ+=(2121M M MA MB y y y y =--221212(1)()M Mm y y y y y y =+-++2224(1)44m m m m =+-+⨯+224(1)4m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222214(2)4216m m m ⎛=+++= ⎪ ⎪⎝⎭≥221m m =1m =±MA MB 16F 24y x =AB C ，，FA FB FC ++=0FA FB FC ++=12F F ，2219y x -=P 120PF PF •=12PF PF +=12F F 、1MF 2MF M 21222212222=+by a x 211F F AF ⋅221c AF AF =⋅33213-215-22)1(212-=y x 2PM MA =迹方程是（ A )A ） （B ） （C ） （D ）6 .已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为 ( B )A. B. C. D.7设直线过点P （0，3），和椭圆顺次交于A 、B 两点，若 则λ的取值范围为______8已知点，动点满足，则动点P 的轨迹方程是______9椭圆E 的中心在原点O ，焦点在轴上，其离心率, 过点C （－1,0）的直线与椭圆E 相交于A 、B 两点，且满足点C 满足（1）用直线的斜率k ( k ≠0 ) 表示△OAB 的面积；（2）当△OAB 的面积最大时，求椭圆E 的方程。