联赛新高一暑假第6讲(学生版)

第六讲 圆的方程（一）热点透析考查目标 1.考查圆的方程的形式及应用；2.利用待定系数法求圆的方程．达成目标 1.熟练掌握圆的方程的两种形式及其特点；2.会利用代数法、几何法求圆的方程，注意圆的方程形式的选择．（二）知识回顾1． 圆的定义在平面内，到 的距离等于 的点的集合叫圆． 2． 确定一个圆最基本的要素是 和 3． 圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中( )为圆心， 为半径． 4． 圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是 ，其中圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，半径r ＝D 2＋E 2－4F2.5． 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程． 6． 点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上： ； (2)点在圆外： ； (3)点在圆内： . [难点正本 疑点清源]1． 确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 2． 圆的一般方程的特征圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，若化为标准式，即为⎝⎛⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.由于r 2相当于D 2＋E 2－4F4. 所以①当D 2＋E 2－4F >0时，圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.②当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. ③当D 2＋E 2－4F <0时，这样的圆不存在．附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1． 若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是______________．2． (2011·辽宁)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______________． 3． (2011·四川)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)4． (2012·辽宁)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝05． (2012·湖北)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0二、高频考点专题链接题型一 求圆的方程例1 根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．探究提高 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．(1)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2(2)经过点A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为 ____________________．题型二 与圆有关的最值问题例2 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求yx 的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值．探究提高 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x－a)＋(y－b)形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．题型三与圆有关的轨迹问题例3设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．探究提高求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是() A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)＋(y－1)＝1反思总结利用方程思想求解圆的问题典例：(12分)已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．温馨提醒(1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题中三种解法都是用方程思想求m值，即三种解法围绕“列出m的方程”求m值．(3)本题的易错点：不能正确构建关于m的方程，找不到解决问题的突破口，或计算错误．方法与技巧1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．失误与防范1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．2．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．巩固练习(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．－1<a<1 B．0<a<1C．a>1或a<－1 D．a＝±13．(2011·安徽)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为() A．－1 B．1 C．3 D．－34．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为() A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1二、填空题(每小题5分，共15分)5．若圆x2＋y2－4x＋2my＋m＋6＝0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是______________．6．以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________________．7．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是__________．三、解答题(共22分)8．(10分)根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．9．(12分)一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．拓展训练(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b) () A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为() A．8 B．－4 C．6 D．无法确定3．已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是()A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．5．若PQ是圆O：x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是____________．6．已知AC、BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，2)，则四边形ABCD的面积的最大值为________．三、解答题7．(13分)圆C通过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，试求圆C的方程．。

本节再介绍其他常用的数学归纳法，并向大家展示所有介绍过的归纳法在代数、组合、数论问题中的应用.值得注意的是，除了应用归纳法的各种形式，在必要的时候，我们还可以结合加强结论、归纳定义、反证法等手段.1.反向数学归纳法此方法是由法国著名数学家柯西首先使用的.下面给出： （1）()P n 对无穷多个正整数成立；（2）假设(1)P k +成立，可以推出()P k 也成立， 那么()P n 对任意正整数n 成立.2.双向参数归纳法此方法用于证明对两个独立的正整数有关的命题(,)P n m 时，可用如下形式进行： （1）证明(1,)P m 对任意正整数m 成立，(,1)P n 对任意正整数成立； （2）假设(1,)P n m +与(,1)P n m +成立，可以推出(1,1)P n m ++成立. 由此可推出对所有的正整数对都成立.3.螺旋归纳法.设()P n 、()Q n 是两列关于正整数n 的命题，如果： （1）命题(1)P 成立； （2）对任何正整数k ，若命题()P k 成立，则命题()Q k 成立；若命题()Q k 成立，则命题(1)P k +成立，那么对所有正整数n ，命题()P n 及命题()Q n 都成立.本讲概述第5讲 归纳与演绎(3)数学归纳法(2)【例1】设0a >，证明：对任意正整数n ，有不等式2232111n n a a n n a a a-++++≥+++.【例2】已知数列{}n a 满足011,5a a ==，及21122392n n n na a a a +++--=. 证明：所有的n a 都是整数.【例3】设1112n a n =+++，求证：当2n ≥时，有232223nn a a aa n⎛⎫>++ ⎪⎝⎭例题精讲【例4】证明：存在无穷的自然数数列12a a <<，使得对所有自然数n ，22212n a a a +++都是平方数.【例5】证明：对于所有正整数n 22n ++<【例6】已知数列{}n a 中每项都是正整数且逐项递增，22a =.若对任意*,m n N ∈，有mn m n a a a =，证明：n a n =.【例7】设{}k a (1)k ≥是一个正实数数列，且存在一个常数k ，使得2222121(1)n n a a a ka n ++++<≥.证明：存在一个常数c ，使得：2222121121(1)(1)n n n n a a a ka n ca a a ca n +++++<≥+++<≥.【例8】设(,)f m n 满足*(1,)(,1)1(,)f n f m m n N ==∈，且当,2m n ≥时有(,)(,1)(1,)f m n f m n f m n ≤-+-.求证：12(,)m m n f m n C -+-≤.【例9】有一块66⨯的正方形大巧克力，甲、乙两人轮流从大巧克力上掰一块下来吃，谁吃到左下方11⨯的小块谁就算输.每次掰下的一块巧克力必须是由11⨯的小块组成的矩形，且它的右边、上边与剩下的巧克力没有重叠的边.问：谁有必胜策略能使对方吃到左下方的小块？【例10】设n 是正整数，,[0,]A B n ⊆是整数集合，满足||||2A B n +≥+.求证：存在,a A b B ∈∈使得a b +为2的幂.1. 设1112,,1,2,.2n n na a a n a +==+=求证：1n a n<.大显身手2. 设2a >.010,a a a ==，20112120,(2),1,2,.n n n n n a a a a a a a a n a +->>===-=证明：121111(2n a a a a +++<-3. 练习3：设0a >1na ++<+4. 求证:存在无穷多个这样的无穷数列，它的各项是不同的自然数，并且对每一个自然数n ，这个数列的前n 项的和能被3n 整除.5. 正数数列{}n a ，满足21n n n a a a +≤-.证明：1n a n≤.6. 设非负数列12,,a a 满足条件：,,m n n m a a a m n N ++≤+∈，求证：对任意正整数n 都有：1(1)n m na ma a m≤+-.7. 证明平均值不等式：假设12,,,n a a a 为n 个非负实数，它们的算数平均值记为12nn a a a A n+++=，几何平均值n G =则n n A G ≥.的方格中，任意填入1,2,,100（每个方格中填一个数）.用红笔圈出每行最大的3个数，8.在1010用蓝笔圈出每列最大的3个数.证明：至少有9个数同时被红、蓝笔圈出.。

●新高一暑假数学衔接课程第6讲：不等式1．一元二次不等式及其解法[1]定义：形如 为关于x 的一元二次不等式． [2]一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠及一元二次方程20ax bx c ++=的关系(简称：三个二次)．（ⅰ）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数； (2) 观测相应的二次函数图象． ①如果图象与x 轴有两个交点12(,0),(,0)x x ，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根12,x x (也可由根的判别式0∆>来判断) ．则②如果图象与x 轴只有一个交点(,0)2b a-，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根22x b x x a==-(也可由根的判别式0∆=来判断) ．则：③如果图象与x 轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式0∆<来判断) ．则：（ⅱ）解一元二次不等式的步骤是：(1) 化二次项系数为正；(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根12,x x ．那么“0>”型的解为12x x x x <>或(俗称两根之外)；“0<”型的解为12x x x <<(俗称两根之间)；2．简单分式不等式的解法3．含有字母系数的一元一次不等式例1、解下列不等式：(1) 260x x+-> (2) (1)(2)(2)(21)x x x x-+≥-+例2、解下列不等式：(1) 2280x x--<；(2) 2440x x-+≤；(3) 220x x-+<．例3、已知对于任意实数x，22kx x k-+恒为正数，求实数k的取值范围．例4、解下列不等式：(1) 231xx-<+；(2)132x≤+．例5、求关于x 的不等式222m x m x m +>+的解． 【课后作业】1．解下列不等式： (1) 220x x +< (2) 23180x x --≤(3) 231x x x -+≥+ (4) (9)3(3)x x x +>-2．解下列不等式： (1)101x x +≥-(2)31221x x +<- (3)21x>- (4)221021x x x -+>+3．解下列不等式： (1) 22222x x x ->+ (2)21110235x x -+≥4．解关于x 的不等式(2)1m x m ->-．5．已知关于x 的不等式20m x x m -+<的解是一切实数，求m 的取值范围．6．若不等式2231x x kk+->+的解是3x >，求k 的值．7．a 取何值时，代数式2(1)2(2)2a a ++--的值不小于0？。

高一暑假第6讲数学知识点在高一的数学课程中，我们学习了很多重要的数学知识点。

在这篇文章中，我将介绍一些高一暑假第6讲的数学知识点，希望能够对同学们的学习有所帮助。

1. 二次函数二次函数是高中数学中非常重要的一部分内容。

它的一般式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数，a ≠ 0。

二次函数的图像是一个抛物线。

我们可以通过一些常见的方法来分析二次函数的图像，包括确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及特殊点等。

2. 幂函数幂函数也是高中数学中的重点内容。

幂函数的定义域是实数集，一般式为y = x^m，其中m为实数。

幂函数的图像形状与幂指数m的正负及大小相关。

当m为正数时，图像呈现递增趋势；当m为负数时，图像呈现递减趋势；当m为0时，图像为一条常函数。

3. 对数函数对数函数是一种常见的函数形式，它的定义域是正实数集，定义式为y = logₐx，其中a为底数，x为真数。

对数函数和指数函数是互逆的关系，通过对数函数可以简化复杂的指数运算。

对数函数的图像呈现递增趋势，底数越大，图像的变化越剧烈。

4. 不等式不等式在高中数学中也是重要的知识点之一。

我们学习了一元一次不等式、一元二次不等式以及绝对值不等式等内容。

解不等式的关键是找到使得不等式成立的数值范围，并将其用数轴或集合表示出来。

需要注意的是，不等式在进行运算时，需要遵循一定的规则以及不等式的性质。

5. 三角函数三角函数是数学中较为复杂的一部分内容。

我们学习了正弦函数、余弦函数以及正切函数等基本三角函数的概念和性质。

在解三角函数的问题时，我们需要熟练运用诱导公式和简单的三角函数化简技巧。

同时，还需要掌握三角函数在坐标系中的图像特征，包括周期、振幅、相位等。

6. 排列与组合在数学中，排列和组合是组合数学的基础概念。

我们学习了排列和组合的定义以及计算方法。

排列是指从n个元素中选取r个元素进行排列，其中元素之间有顺序关系，计算公式是A(n,r) = n! / (n-r)!；组合是指从n个元素中选取r个元素进行组合，其中元素之间没有顺序关系，计算公式是C(n,r) = n! / (r!(n-r)!）。

第06讲充分条件、必要条件、充要条件知识点一充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p⇒/q条件关系p是q的充分条件；q是p的必要条件p不是q的充分条件；q不是p的必要条件知识点二充要条件1．定义：如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q 的充要条件是p.2．记法：如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”．3．传递性：“⇒”和“⇔”都具有传递性，即(1)如果p⇒q，q⇒s，那么p⇒s；(2)如果p⇔q，q⇔s，那么p⇔s．考点一：充分条件、必要条件的判断例1下列命题中，p是q的什么条件？(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；(2)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0.【解析】(1)∵等腰梯形的对角线相等，∴四边形的对角线相等⇒/四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等．∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件．(2)当x＝1时，x2－4x＋3＝0，∴x＝1⇒x2－4x＋3＝0.当x2－4x＋3＝0时，x＝1或x＝3.∴p是q的充分条件，p不是q的必要条件．【总结】A AB 变式(多选)下列命题是真命题的是()A ．“x ＞2”是“x ＞3”的必要条件B ．“x ＝2”是“x 2＝4”的必要条件C ．“A ∪B ＝A ”是“A ∩B ＝B ”的必要条件D ．p ：a ＞b ，q ：ac ＞bc ，p 是q 的必要条件【答案】AC【解析】∵x ＞3⇒x ＞2，∴A 是真命题；∵x ＝2⇒x 2＝4，x 2＝4⇒/x ＝2，∴B 是假命题；∵A ∩B ＝B ⇒A ∪B ＝A ，∴C 是真命题；∵q ⇒/p ，∴p 不是q 的必要条件，D 是假命题．考点二：充分条件与必要条件的应用例2已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解析】p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0).因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，－m ≥－2，＋m ＜10－m ＞－2，＋m ≤10，解得m ≤3.又m ＞0，所以实数m 的取值范围为{m |0＜m ≤3}．变式已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【解析】p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0).因为p 是q 的充分不必要条件，－m ≤－2，＋m ＞10－m ＜－2，＋m ≥10.解得m≥9，故实数m的取值范围是{m|m≥9}．考点三：充要条件的判断例3(1)(多选)下列选项中，p是q的充要条件的为()A．p：x＞0，y＜0，q：xy＜0B．p：a＞b，q：a＋c＞b＋cC．p：x＞5，q：x＞10D．p：a＞b≥0，q：a＞b(2)设A，B，U是三个集合，且A⊆U，B⊆U，则“x∈(∁U A)∩(∁U B)”是“x∈∁U(A∪B)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】(1)BD(2)C【解析】(1)对于A选项，p⇒q，但q⇒/p，故p不是q的充要条件；对于B选项，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；对于C选项，p⇒/q，但q⇒p，故p不是q的充要条件；对于D选项，p ⇒q，且q⇒p，故p是q的充要条件．故选B、D.(2)∵(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)，∴“x∈(∁U A)∩(∁U B)”是“x∈∁U(A∪B)”的充要条件．故选C.【总结】变式以下选项中，p是q的充要条件的是()A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解【答案】D【解析】对于A，p：x＞1，q：x＜1，所以p是q的既不充分又不必要条件；对于B，p⇒q，但q⇒/p，所以p是q的充分不必要条件；对于C，p⇒/q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，显然q⇔p，所以p是q的充要条件．故选D.考点四：充要条件的证明例4求证：方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等实根的充要条件是－13＜m ＜0.【解析】证明：(1)充分性：∵－13＜m ＜0，∴方程x 2－2x －3m ＝0的判别式Δ＝4＋12m ＞0，且－3m ＞0，∴方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根，Δ＝4＋12m ＞0，x 1x 2＝－3m ＞0，解得－13＜m ＜0.综合(1)(2)知，方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－13＜m ＜0.【总结】充要条件的证明思路在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p 的充要条件是q ”，那么“充分性”是q ⇒p ，“必要性”是p ⇒q ；若证明“p 是q 的充要条件”，则与之相反．[注意]证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．变式已知a ，b ，c 均为实数，证明“ac ＜0”是“关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根”的充要条件．【解析】证明：充分性：∵ac ＜0，∴a ≠0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0为一元二次方程，且Δ＝b 2－4ac ≥－4ac ＞0，∴ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，分别设为x 1，x 2.∵ac ＜0，∴x 1·x 2＝ca＜0，∴x 1，x 2为一正一负，即ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．必要性：∵ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，∴a ≠0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0为一元二次方程．设两个根分别为x 1，x 2，则x 1·x 2＝ca＜0，∴ac ＜0.综上知，“ac ＜0”是“关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根”的充要条件．考点五：充分条件、必要条件、充要条件的探求例5(1)关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解的一个必要条件是()A ．m ＜12B ．m ＜14C ．m ＜－12D ．m ＜－14(2)若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③ab ＞0中分别选出适合下列条件者，用序号填空．(ⅰ)a ，b 都为0的必要条件是________；(ⅱ)使a ，b 都不为0的充分条件是________．【答案】(1)A(2)(ⅰ)①②(ⅱ)③【解析】(1)由题意可得Δ＝b 2－4ac ＝1－4×1×m ≥0，解得m ≤14.四个选项中，只有m ＜12是m ≤14的必要条件．故选A.(2)①ab ＝0即为a ＝0或b ＝0，即a ，b 中至少有一个为0；②a ＋b ＝0，即a ，b 互为相反数，则a ，b 可能均为0，也可能为一正一负；③由ab ＞0知a 与b 同号，即a ，b 都不为0.综上可知，“a ，b 都为0”能推出①②，③能推出“a ，b 都不为0”，所以a ，b 都为0的必要条件是①②，使a ，b 都不为0的充分条件是③.【总结】变式求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．【解析】(1)当a ＝0时，方程为一元一次方程，其根为x ＝－12，符合要求．(2)当a ≠0时，方程为一元二次方程，此时ax 2＋2x ＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a ≥0，从而a ≤1.设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，由根与系数的关系，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a.①方程ax 2＋2x ＋1＝01，0⇒a ＜0；②方程ax 2＋2x ＋1＝01，－2a ＜0，0⇒0＜a ≤1.综上所述，方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1.1．设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“1＜x ＜3”的()A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】“1＜x ＜2”⇒“1＜x ＜3”，反之不成立．∴“1＜x ＜2”是“1＜x ＜3”的充分不必要条件．故选B.2．设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】D【解析】若a ＋b ＞0，取a ＝3，b ＝－2，则ab ＞0不成立；反之，若ab ＞0，取a ＝－2，b ＝－3，则a ＋b ＞0也不成立，因此“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分又不必要条件．3．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p ：开关S 闭合，q ：灯泡L 亮，则p 是q 的充要条件的电路图是()【答案】BD【解析】由题知，电路图A 中，开关S 闭合，灯泡L 亮，而灯泡L 亮开关S 不一定闭合，故A 中p 是q 的充分不必要条件；电路图B 中，开关S 闭合，灯泡L 亮，且灯泡L 亮，则开关S 一定闭合，故B 中p 是q 的充要条件；电路图C 中，开关S 闭合，灯泡L 不一定亮，灯泡L 亮则开关S 一定闭合，故C 中p 是q 的必要不充分条件；电路图D 中，开关S 闭合则灯泡L 亮，灯泡L 亮则一定有开关S 闭合，故D 中p 是q 的充要条件．故选B 、D.4．设集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜1}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的______________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”).【答案】必要不充分【解析】由题可知0＜x ＜2⇒/0＜x ＜1，但0＜x ＜1⇒0＜x ＜2，故“m ∈A ”是“m ∈B ”的必要不充分条件．5．已知集合P ＝{x |－1≤x ≤4}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，若x ∈P 是x ∈S 的充分不必要条件，则m 的取值范围为________．【答案】m ≥3【解析】由题意可知，P S －m ≤－1，＋m ≥4(等号不同时成立)，解得m ≥3.6．“x >0”是“x ≠0”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．7．(多选题)使x>3成立的充分条件是()A．x>4B．x>5C．x>2D．x>1【答案】AB【解析】x>4⇒x>3，x>5⇒x>3，其他选项不可推出x>3．8．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4,x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．9．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．【答案】a≤1【解析】因为x>1⇒x>a，所以a≤1．10．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)．【答案】必要充分【解析】由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．1．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“至千里”是“积跬步”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分又不必要条件D．充要条件【答案】A【解析】荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“至千里”是“积跬步”的充分不必要条件．故选A.2．x2＝1是x＝1的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】若x2＝1，则x＝±1；而若x＝1，则必有x2＝1，因此x2＝1是x＝1必要不充分条件．故选B.3．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选B.4．设p：1＜x＜2，q：2x＋1＞0，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】1＜x＜2时，2x＋1＞3＞0，充分性满足；x＝0时满足2x＋1＞0，不满足1＜x＜2，必要性不满足，故p是q的充分不必要条件．故选A.5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是()A．a≥b＋1B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b3【答案】A【解析】由a≥b＋1＞b，从而a≥b＋1⇒a＞b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4＞3.5/⇒4≥3.5＋1，故a ＞b/⇒a≥b＋1.故A正确．6．(多选)命题“∀x∈R，则x＜2”的一个必要不充分条件是()A．x＜1B．x＜3C．x＞3D．x≤5【答案】BD【解析】x＜2的必要不充分条件对应的集合真包含了(－∞，2)，故只有B、D中对应的集合满足这一个要求．故选B、D.7．(多选)对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是()A．a＝b是ac＝bc的充要条件B．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．a＞b是a2＞b2的充要条件D．a＜5是a＜3的必要条件【答案】BD【解析】∵“a＝b”⇒“ac＝bc”为真命题，但当c＝0时，“ac＝bc”⇒“a＝b”为假命题，故“a ＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A为假命题；∵“a＋5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“a＋5是无理数”也为真命题，故“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，故B 为真命题；∵“a ＞b ”⇒“a 2＞b 2”为假命题，“a 2＞b 2”⇒“a ＞b ”也为假命题，故“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的既不充分又不必要条件，故C 为假命题；∵{a |a ＜3}{a |a ＜5}，故“a ＜5”是“a ＜3”的必要不充分条件，故D 为真命题．故选B 、D.8．“x ＜0”是“x ＜3”的________________条件．【答案】充分不必要【解析】设A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |x ＜3}，因为AB ，所以“x ＜0”是“x ＜3”的充分不必要条件．9．命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”中，“a 是偶数”是“a ＝4n ”的__________条件；“a ＝4n ”是“a 是偶数”的________条件(用“充分”“必要”填空).【答案】必要充分【解析】当a 是偶数时，取a ＝2，不能得到a ＝4n ，当a ＝4n 时，a 是偶数，故“a 是偶数”是“a ＝4n ”的必要条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的充分条件．10．设集合A ＝{1，2}．(1)请写出一个集合B ，________，使“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，但“x ∈A ”不是“x ∈B ”的必要条件；(2)请写出一个集合B ，________，使“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，但“x ∈A ”不是“x ∈B ”的充分条件．【答案】B ＝{1，2，3}(答案不唯一)B ＝{1}(答案不唯一)【解析】(1)由于“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，但“x ∈A ”不是“x ∈B ”的必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集，由此可得B ＝{1，2，3}符合题意．(2)由于“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，但“x ∈A ”不是“x ∈B ”的充分条件，所以集合B 是集合A 的非空真子集，由此可知B ＝{1}符合题意．11．指出下列各命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件．(1)p ：x 2＞0，q ：x ＞0；(2)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2；(3)p ：a 能被6整除，q ：a 能被3整除；(4)p ：两个角不都是直角，q ：两个角不相等．【解析】(1)p ：x 2＞0，则x ＞0或x <0，q ：x ＞0，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．(2)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2，则x ＋2≠y ，且x ＋2≠－y ，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．(3)p ：a 能被6整除，故也能被3和2整除，q ：a 能被3整除，故p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．(4)p ：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q ：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．12．(多选)给出下列四个条件：①xt 2＞yt 2；②xt ＞yt ；③x 2＞y 2；④0＜1x ＜1y.其中能成为x ＞y 的充分条件的有()A ．①B ．②C ．③D ．④【解析】AD①由xt 2＞yt 2可知t 2＞0，所以x ＞y ，故xt 2＞yt 2⇒x ＞y ；②当t ＞0时，x ＞y ，当t ＜0时，x ＜y ，故xt ＞yt ⇒/x ＞y ；③由x 2＞y 2，得|x |＞|y |，故x 2＞y 2⇒/x ＞y ；④由0＜1x ＜1y ⇒x ＞y .故选A 、D.13．一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是()A ．m ＞0，n ＞0B ．mn <0C ．m <0，n <0D ．mn ＞0【解析】D因为一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、二、四象限，所以－m n <0，且1n ＞0，解得m ＞0，n ＞0.故由一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限可以推出mn ＞0.而由mn ＞0不一定能得到一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象经过第一、二、四象限，所以mn ＞0是一次函数y ＝－m nx ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件．14．请选择“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”填入下面空格处．(1)xy ＝0是x 2＋y 2＝0的________条件；(2)已知a ，b ，c ∈R ，a ＝b ＝c 的________条件是a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac .【答案】必要不充分条件(2)充要【解析】(1)由x 2＋y 2＝0，解得x ＝0且y ＝0，由xy ＝0，解得x ＝0或y ＝0，故“xy ＝0”是“x 2＋y 2＝0”成立的必要不充分条件；(2)若a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac ，则2(a 2＋b 2＋c 2)＝2(ab ＋bc ＋ac )，∴2(a 2＋b 2＋c 2)－2(ab ＋bc ＋ac )＝0，(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2＝0，则a ＝b ＝c ，则a ＝b ＝c 的充要条件是a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac .15．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z}，k ＝0，1，2，3，4.给出下列四个结论：①2015∈[0]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”，其中正确的结论是________．【答案】①③④【解析】对于①，因2015＝5×403＋0，则2015∈[0]，正确；对于②，因－3＝5×(－1)＋2，则－3∈[2]，不正确；对于③，因任意整数除以5，余数可以且只可以是0，1，2，3，4五类，则Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，正确；对于④，若整数a，b属于同一“类”，则整数a，b被5除的余数相同，从而得a－b被5除的余数为0，即有a－b∈[0]，若a－b∈[0]，不妨令a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈Z，k1，k2∈{0，1，2，3，4})，则a－b＝5(n1－n2)＋(k1－k2)，显然(n1－n2)∈Z，|k1－k2|∈{0，1，2，3，4}，于是得|k1－k2|＝0，k1＝k2，即有整数a，b属于同一“类”，所以“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”，正确．所以正确的结论是①③④. 16．给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要．请从中选择一个补充到下面的横线上并解答．已知集合P＝{x|1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}且S≠∅，是否存在实数m使得“x∈P”是“x∈S”的______条件？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】若选择①，即“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则P S且S≠∅，－m≤1，＋m≥4，解得m≥3，当m＝3时，S＝{x|－2≤x≤4}，P S成立，因此，实数m的取值范围是m≥3；若选择②，即“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件，则S P且S≠∅，则11,14,11,mmm m-≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥+⎩解得m＝0；若选择③，即“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则P＝S－m＝1，＋m＝4，无解，故不存在实数m，使得“x∈P”是“x∈S”的充要条件．17．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.【解析】证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x20＋2ax0＋b2＝0，x20＋2cx0－b2＝0.两式相减，得x0＝b2c－a，将此式代入x20＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.故两方程有公共根x＝－(a＋c).∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.18．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．【解析】“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：当a，b，c∈R，a≠0时，若“a－b＋c＝0”，则x＝－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”，故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件。

第6讲专题复习——匀变速直线运动试题分析主要考查直线运动的有关概念、规律及其应用，重点考查匀变速直线运动规律的应用及图象．对本知识点的考查既有单独命题，也有与牛顿运动定律以及电场中带电粒子的运动、磁场中通电导体的运动、电磁感应现象等知识结合起来，作为综合试题中的一个知识点加以体现，多以中等偏上难度的试题出现．命题特征本章的重点知识是直线运动的概念、匀变速直线运动规律的几个有用推论及应用、自由落体和竖直上抛运动的规律及应用、运动图象的物理意义及应用和追及相遇问题．方法强化重点要对直线运动的概念、规律的形成过程的理解和掌握，弄清其物理实质，不断关注当今科技动态，把所学的知识应用到生动的实例中去，通过对这些实例的分析、物理情境的构建、物理过程的认识，建立起物理模型，再运用相应的规律处理实际问题．同时，对同一问题应从不同角度(如一题多解)进行研究与描述，从而达到对规律的理解与应用．1．考查的重点是匀变速直线运动的规律及v－t图象．图象问题频频出现，且要求较高，它属于数学方法在物理中应用的一个重要方面．2．本章知识点较多，常与牛顿运动定律、电场、磁场中带电粒子的运动等知识结合起来进行考察．3．近年试题的内容与现实生活和生产实际的结合越来越密切.【模块一】审题答题解析 (1)汽车从O 到标志杆B 的过程中：L OA ＋ΔL ＝v 0Δt ＋v 0(t B －Δt )－12a (t B －Δt )2 (3分)汽车从O 到标志杆C 的过程中：L OA ＋2ΔL ＝v 0Δt ＋v 0(t C －Δt )－12a (t C －Δt )2 (3分)联立方程解得：v 0＝16 m/s (2分) a ＝2 m/s 2 (2分)(2)汽车从开始到停下运动的距离：x ＝v 0Δt ＋v 202a (3分)可得x ＝72 m因此汽车停止运动时车头前端面在CD 之间离D 杆6 m ． (3分) 答案 (1)16 m/s 2 m/s 2 (2)6 m[点评] 本题为应用运动学公式求解的运动学问题．本类题目应注意分析物体的运动过程， 建立运动模型．在本题中应特别注意学员乙经过O 点考官时车头已过O 点2 m.【模块二】巧解直线运动四法在解决直线运动的某些问题时，如果用常规解法——一般公式法，解答繁琐且易出错，如果从另外角度入手，能够使问题得到快速、简捷解答．下面便介绍几种处理直线运动的巧法．一、平均速度法在匀变速直线运动中，物体在时间t 内的平均速度等于物体在这段时间内的初速度v 0与末速度v 的平均值，也等于物体在t 时间内中间时刻的瞬时速度，即v ＝x t ＝v 0＋v 2＝v t2.如果将这两个推论加以利用，可以使某些问题的求解更为简捷．一个小球从斜面顶端无初速度下滑，接着又在水平面上做匀减速运动，直至停止．它共运动了10 s ，斜面长4 m ，在水平面上运动的距离为6 m ．求：(1)小球在运动过程中的最大速度；(2)小球在斜面和水平面上运动的加速度大小．[解析] (1)小球在斜面上做匀加速直线运动，在斜面底端速度最大，设最大速度为v max ，在斜面上运动的时间为t 1，在水平面上运动的时间为t 2.则由v max 2t 1＋v max 2t 2＝10，t 1＋t 2＝10，得v max ＝2 m/s.(2)由公式2ax ＝v 2max ，代入数据得a 1＝12 m/s 2，a 2＝13m/s 2.[答案] (1)2 m/s (2)12 m/s 2 13m/s 2二、比例法对于初速度为零的匀加速直线运动需要牢记几个推论，这几个推论都是比例关系，在处理初速度为零的匀加速直线运动时，首先考虑用比例关系求解，可以省去很多繁琐的推导，简化运算．注意，这几个推论也适用于与刹车类似的减速到零的匀减速直线运动．一根轻质细线将2个薄铁垫片A 、B 连接起来，一同学用手固定B ，此时A 、B 间距为3L ，A 距地面为L ，如图所示．由静止释放A 、B ，不计空气阻力，且A 、B 落地后均不再弹起．从开始释放到A 落地历时t 1，A 落地前的瞬时速率为v 1，从A 落地到B 落在A 上历时t 2，B 落在A 上前的瞬时速率为v 2，则( )A ．t 1>t 2B ．t 1＝t 2C ．v 1∶v 2＝1∶2D ．v 1∶v 2＝1∶3 [解析] A 垫片下落用时t 1等于B 垫片开始下落L 用时，B 垫片再下落3L 用时t 2，由于t 1、t 2时间内B 下落的位移满足1∶3的关系，故t 1＝t 2，v 1∶v 2＝1∶2，所以B 、C 正确．[答案] BC 三、逆向思维法把运动过程的末态作为初态的反向研究问题的方法．一般用于末态已知的情况．如图所示，一冰壶以速度v 垂直进入四个矩形区域沿虚线做匀减速直线运动，且刚要离开第四个矩形区域的E 点时速度恰好为零，冰壶通过前三个矩形的时间为t ，试通过所学知识分析并计算冰壶通过第四个矩形所用的时间是多少？[解析] 冰壶通过矩形区域的匀减速运动，可看做冰壶从E 点开始做初速度为零的匀加速直线运动，由位移公式，由E 到A ，有4l ＝12at 21式中，t 1为冰壶通过四个矩形区域所用的时间，a 为其加速度的大小．由E 到D ，有l ＝12a (t 1－t )2联立解得t 1＝2t 或t 1＝23t显然t 1＝23t 不符合题意，应舍去．所以冰壶通过第四个矩形所用的时间为t ′＝t 1－t ＝t . [答案] t四、图象法应用v －t 图象，可把较复杂的问题转变为较简单的数学问题解决．尤其是用图象定性分析，可避开繁杂的计算，快速找出答案．汽车从甲地由静止出发，沿平直公路驶向乙地．汽车先以加速度a 1做匀加速直线运动，然后做匀速运动，最后以大小为a 2的加速度做匀减速直线运动，到乙地恰好停止．已知甲、乙两地的距离为x ，求汽车从甲地到乙地的最短时间t 和运行过程中的最大速度v m .[解析] 由题意作出汽车做匀速运动时间长短不同的v －t 图象，如图所示．不同的图线与横轴所围成的“面积”都等于甲、乙两地的距离x .由图象可知汽车做匀速运动的时间越长，从甲地到乙地所用的时间就越长，所以当汽车先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，中间无匀速运动时，行驶的时间最短．设汽车做匀加速直线运动的时间为t 1，则匀减速直线运动的时间为(t －t 1)．则v m ＝a 1t 1＝a 2(t －t 1)解得t 1＝a 2t a 1＋a 2，则v m ＝a 1a 2ta 1＋a 2由图象中三角形面积的物理意义有 x ＝12v m t ＝a 1a 2t 22(a 1＋a 2)解得t ＝ 2x (a 1＋a 2)a 1a 2，故v m ＝ 2xa 1a 2a 1＋a 2. [答案] 2x (a 1＋a 2)a 1a 22xa 1a 2a 1＋a 2【突破训练】1．静止在光滑水平面上的木块，被一颗子弹沿水平方向击穿，若子弹击穿木块的过程中子弹受到木块的阻力大小恒定，则当子弹入射速度增大时，下列说法正确的是( )A ．木块获得的速度变大B ．木块获得的速度变小C ．子弹穿过木块的时间变长D ．子弹穿过木块的时间变短2．一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面AB ，右侧面是曲面AC ，如图所示．已知AB 和AC 的长度相同，两个小球p 、q 同时从A 点分别沿AB 和AC 由静止开始下滑，比较它们到达水平面所用的时间( )A ．p 小球先到B ．q 小球先到C ．两小球同时到D ．无法确定3．一辆汽车在笔直的公路上做匀变速直线运动，该公路旁每隔15 m 安置一个路标．汽车经过A 、B 两相邻路标用时2 s ，通过B 、C 两相邻路标用时3 s ，求汽车通过A 、B 、C 三个路标时的速度．4．一物体以某一初速度在粗糙水平面上做匀减速直线运动，最后停下来，若此物体在最初5 s内和最后5 s内经过的路程之比为11∶5.则此物体一共运动了多长时间？5．一辆长为L1＝5 m的汽车以v1＝15 m/s的速度在公路上匀速行驶，在离铁路与公路的交叉点x1＝175 m处，汽车司机突然发现离交叉点x2＝200 m处有一列长为L2＝300 m的列车以v2＝20 m/s的速度行驶过来，为了避免事故的发生，汽车司机立刻使汽车减速，让火车先通过交叉点，求汽车减速的加速度至少多大．(不计汽车司机的反应时间，结果保留3位有效数字)【模块三】对运动图象的理解和应用的考查运动图象问题为高考热点之一，考题常把图象问题与物体的追及、相遇问题相联系，或者与动力学知识相结合，要求考生全方位读懂图象，进而解决物体运动问题．1. 如图所示是A、B两质点从同一地点开始运动的x－t图象，则下列说法正确的是()A．A质点以20 m/s的速度做匀速直线运动B．B质点先沿正方向做直线运动，后沿负方向做直线运动C．B质点在0～4 s内做加速运动，在4～8 s内做减速运动D．A、B两质点在4 s末相遇2．某同学为研究物体运动情况，绘制了物体运动的x－t图象，如图所示．图中纵坐标表示物体的位移x，横坐标表示时间t，由此可知该物体做()A．匀速直线运动B．变速直线运动C．匀速曲线运动D．变速曲线运动3．两辆游戏赛车a 、b 在两条平行的直车道上行驶，t ＝0时两车都在同一处开始计时，此时比赛开始．它们在四次比赛中的v －t 图象如图所示，则有一辆赛车追上另一辆的是( )4. 某跳伞运动员从悬停在高空的直升机上跳下，他从跳离飞机到落地的过程中在空中沿竖直方向运动的v －t 图象如图所示，则下列关于他的运动情况的分析正确的是( )A ．0～10 s 加速度向下，10～15 s 加速度向上B ．0～10 s 、10～15 s 内都在做加速度逐渐减小的变速运动C ．0～10 s 内下落的距离大于100 mD ．10～15 s 内下落的距离大于75 m5．酒后驾驶会导致许多安全隐患，这是因为驾驶员的反应时间变长．反应时间是指驾驶员从发现情况到采取制动的时间．下表中“思考距离”是指驾驶员发现情况到采取制动的时间内汽车的行驶距离；“制动距离”是指驾驶员发现情况到汽车停止行驶的距离(假设汽车制动加速度都相同).速度(m/s)思考距离(m) 制动距离(m)正常 酒后 正常 酒后15 7.5 15.0 22.5 30.0 20 10.0 20.0 36.7 46.7 25 12.5 25.0 54.2 66.7分析上表可知，下列说法不正确的是( ) A ．驾驶员正常情况下反应时间为0.5 s B ．驾驶员酒后反应时间比正常情况慢0.5 sC ．驾驶员采取制动措施后汽车加速度大小为3.75 m/s 2D ．当车速为25 m/s 时，发现前方60 m 处有险情，酒驾者不能安全停车 6．某动车组列车以平均速度v 从甲地开到乙地所需的时间为t ，该列车以速度v 0从甲地出发匀速前进，途中接到紧急停车命令紧急刹车，列车停车后又立即匀加速到v 0继续匀速前进，从开始刹车至加速到v 0的时间是t 0(列车刹车过程与加速过程中的加速度大小相等)，若列车仍要在t 时间内到达乙地，则动车组列车匀速运动的速度v 0应为( )A.v t t －t 0B.v t t ＋t 0C.v t t －12t 0D.v t t ＋12t 07．我国歼－15战机已能在辽宁号航母上成功起降，该航空母舰飞行甲板长度为L＝300 m，歼－15战斗机在航空母舰上起飞过程中的最大加速度为a＝4.5 m/s2，飞机速度要达到v＝60 m/s才能安全起飞．(1)如果航空母舰静止，战斗机被弹射装置弹出后开始加速，要保证飞机起飞安全，战斗机被弹射装置弹出时的速度至少是多大？(2)如果航空母舰匀速前进，在没有弹射装置的情况下，要保证飞机安全起飞，航空母舰前进的速度至少是多大？图3【模块四】分组训练一、运动学图象1．一物体自t ＝0时开始做直线运动，其速度图线如图1所示．下列选项正确的是( ) A ．在0～6 s 内，物体离出发点最远为30 m B ．在0～6 s 内，物体经过的路程为40 m C ．在0～4 s 内，物体的平均速率为7.5 m/s D ．在5～6 s 内，物体所受的合外力做负功2．质点做直线运动的v －t 图象如图2所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s 内平均速度的大小和方向分别为 ()图2A ．0.25 m/s 向右B ．0.25 m/s 向左C ．1 m/s 向右D ．1 m/s 向左二、运动情景的分析及运动学公式的应用3．一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用．此后，该质点的动能可能（ ） A ．一直增大B ．先逐渐减小至零，再逐渐增大C ．先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小D ．先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大4．质点做直线运动的位移x 与时间t 的关系为x ＝5t ＋t 2(各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点 ( )A ．第1 s 内的位移是5 mB ．前2 s 内的平均速度是6 m/sC ．任意相邻的1 s 内位移差都是1 mD ．任意1 s 内的速度增量都是2 m/s5．如图3所示，将小球a 从地面以初速度v 0竖直上抛的同时， 将另一相同质量的小球b 从距地面h 处由静止释放，两球恰在h2处相遇(不计空气阻力)．则 （ ）A ．两球同时落地B ．相遇时两球速度大小相等C ．从开始运动到相遇，球a 动能的减少量等于球b 动能的增加量D ．相遇后的任意时刻，重力对球a 做功功率和对球b 做功功率相等图1图5图6【模块五】课后限时规范训练（限时：45分钟）1. 甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t ＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车运动的v —t 图象中(如图5所示)，直线a 、b 分别描述了甲、乙两车在0～20 s 的运动情况．关于两车之间的位移关系，下列说法正确的是 ( ) A ．在0～10 s 内两车逐渐靠近 B ．在10～20 s 内两车逐渐远离 C ．在5～15 s 内两车的位移相等D ．在t ＝10 s 时两车在公路上相遇2．刘翔是我国著名的田径运动员，在多次国际比赛中为国争光．已知刘翔的高度为H ，在奥运会的110 m 跨栏比赛中(直道)，在终点处，有一站在跑道旁边的摄影记者用照相机给他拍摄最后冲刺的身影，摄影记者使用的照相机的光圈(控制进光量的多少)是16，快门(曝光时间)是160 s ，得到照片后测得照片中刘翔的高度为h ，胸前号码布上模糊部分的宽度为L ，由以上数据可以知道刘翔的 （ ）A ．110米成绩B ．冲线速度C ．110米内的平均速度D ．110米比赛过程中发生的位移的大小3．某人骑自行车在平直道路上行进，如图6中的实线记录了自行车开始一段时间内的v －t 图象．某同学为了简化计算，用虚线作近似处理，下列说法正确的是 （ ） A ．在t 1时刻，虚线反映的加速度比实际的大B ．在0～t 1时间内，由虚线计算出的平均速度比实际的大C ．在t 1～t 2时间内，由虚线计算出的位移比实际的大D ．在t 3～t 4时间内，虚线反映的是匀速直线运动4．图7是某物体做直线运动的v －t 图象，由图象可得到的正确结果是 ()图7A ．t ＝1 s 时物体的加速度大小为1.0 m/s 2B ．t ＝5 s 时物体的加速度大小为0.75 m/s 2C ．第3 s 内物体的位移为1.5 mD ．物体在加速过程的位移比减速过程的位移大5．如图8所示，以8 m/s匀速行驶的汽车即将通过路口，绿灯还有2 s将熄灭，此时汽车距离停车线18 m．该车加速时最大加速度大小为2 m/s2，减速时最大加速度大小为5 m/s2.此路段允许行驶的最大速度为12.5 m/s.下列说法中正确的是()图8A．如果立即做匀加速运动，在绿灯熄灭前汽车可能通过停车线B．如果立即做匀加速运动，在绿灯熄灭前通过停车线汽车一定超速C．如果立即做匀减速运动，在绿灯熄灭前汽车一定不能通过停车线D．如果距停车线5 m处减速，汽车能停在停车线处6．如图9所示，甲、乙两个同学在直跑道上练习4×100 m接力，他们在奔跑时有相同的最大速度．乙从静止开始全力奔跑需跑出25 m才能达到最大速度，这一过程可看作匀变速直线运动，现在甲持棒以最大速度向乙奔来，乙在接力区伺机全力奔出．若要求乙接棒时奔跑达到最大速度的80%，则：图9(1)乙在接力区需奔跑出多少距离？(2)乙应在距离甲多远时起跑？。

新高一衔接教材数学新版高一暑期衔接数学课程第1讲数与式1910+⨯的正整数n ，有1(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲基本不等式【内容概述】基本不等式2a bab +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3、如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4、常用不等式有：1）2222211a b a b ab a b++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； 2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； 3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。

变式1: 变式：（配凑项与系数） 1. 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

3.（耐克函数型）求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。

4.（用耐克函数单调性）求函数2254x y x +=+的值域。

5.（条件不等式）1）若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .2）已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。

目录第六讲函数及其表示(3) (2)考点1：函数的表示法 (2)题型一：代入法求解析式 (2)题型二：待定系数法求解析式 (2)题型三：换元法求解析式 (4)题型四：配方法求解析式 (4)题型五：方程组法求解析式 (5)课后综合巩固 (6)第六讲 函数及其表示(3)考点1：函数的表示法函数的三种表示法⑴ 列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法． 优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用．⑵ 图象法：把一个函数定义域内的每个自变量x 的值和它对应的函数值()f x 构成的有序实数(())x f x ，对作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数()y f x =的图象，即{()|()}F P x y y f x x A ==∈，，．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质．⑶ 解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如26y x =-．优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．题型一：代入法求解析式例1.(1)已知()21f x x =+，求(1)f x +，2(1)f x -；【解答】22(1)23(1)21f x x f x x +=+-=-，．（2）（2016秋•夏津县月考）已知2()2f x x x =+，求(21)f x +；【解答】22(21)(21)2(21)483f x x x x x +=+++=++；题型二：待定系数法求解析式例2.（1）已知()f x 是一次函数，并且[()]43f f x x =+，求()f x ；【解答】解：（1）设一次函数()f x ax b =+，则(())()f f x a ax b b =++243a x ab b x =++=+，∴243a ab b ⎧=⎨+=⎩，得21a b =⎧⎨=⎩或23a b =-⎧⎨=-⎩，()21f x x ∴=+，或()23f x x =--． （2）（2018秋•赫山区校级期中）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，则函数()f x 的解析式 ．【解答】解：由题意设()f x ax b =+，(0)a ≠． ()f x 满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，3[(1)]2[(1)]217a x b a x b x ∴++--+=+，化为(5)217ax a b x ++=+，∴2517a a b =⎧⎨+=⎩，解得27a b =⎧⎨=⎩． ()27f x x ∴=+．故答案为：()27f x x =+．（3）（2019春•常州期中）若一次函数()f x 满足(())4f f x x =+，则(1)f -= ．【解答】解：设()f x ax b =+，则：2(())()()4f f x f ax b a ax b b a x ab b x =+=++=++=+； ∴214a ab b ⎧=⎨+=⎩； 解得12a b =⎧⎨=⎩； ()2f x x ∴=+；(1)1f ∴-=．故答案为：1．（4）已知()f x 是二次函数，若(0)0f =，(1)()1f x f x x +=++，求()f x ．【解答】解：（1）设2()f x ax bx c =++，(0)a ≠，由于(0)0f =，得：2()f x ax bx =+，又由(1)()1f x f x x +=++，22(1)(1)1a x b x ax bx x ∴+++=+++即 22(2)(1)1ax a b x a b ax b x ++++=+++，题型三：换元法求解析式例3.（1）（2018秋•宁县期末）若函数()f x 满足(32)98f x x +=+，求()f x ；所以()32f x x =+．（2）2(21)483f x x x+=++，求()f x ；则2()2f x x x =+．（3）（2018秋•聊城期中）已知2(1)65f x x x +=++，求()f x ;【解答】解：22(1)65(1)4(1)f x x x x x +=++=+++；2()4f x x x ∴=+．题型四：配方法求解析式例4.（1）已知1)f x =+()f x ；1t -，故所求的函数1)x -．（2）已知2211()3f x x x x+=+-，求()f x ； 【解答】1()f x x +2()5f x x ∴=-，(x ∈-∞，2][2-，)+∞．（3）已知2211()f x x x x-=+，求()f x ；【解答】1 () f xx-(4)（2018秋•吉林期末）已知函数2)5f x=+，求()f x;【解答】解：(f x2()1(2)f x x x∴=+．题型五：方程组法求解析式例5.（1）已知1()2()32f x f xx-=+，求()f x;（2）（2017秋•德州期末）设函数()f x对0x≠的一切实数均有2018()2()3f x f xx+=，则(2018)=f_______;解：()2f x+2()f x=得3()f x-=(2018)201822016 f∴=-+=-课后综合巩固1．函数的概念：设集合A 是非空的数集，对于A 中的____实数x ，按照确定的对应法则f ，都有_____的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()y f x x A =∈，．2．函数的三要素是：________、________与________，其中________与________一致的函数就称为同一函数；3．函数的表示方法有______、_______与_______．4．对于复合函数[()]f g x ，内层函数是______，外层函数是______，求复合函数的值域需要先求_____，再________一层一层求值域．答案：1．任意（任一）、唯一确定；2．定义域、值域、对应法则，定义域与对应法则；3．列表法、解析法、图象法；4．()g x ，()f x ，定义域，自内而外．5.（2016秋•夏津县月考）已知2()2f x x x =+，求(21)f x +；【解答】22(21)(21)2(21)483f x x x x x +=+++=++；6.（2019春•常州期中）若一次函数()f x 满足(())4f f x x =+，则(1)f -= ．【解答】解：设()f x ax b =+，则：2(())()()4f f x f ax b a ax b b a x ab b x =+=++=++=+；∴214a ab b ⎧=⎨+=⎩； 解得12a b =⎧⎨=⎩； ()2f x x ∴=+；(1)1f ∴-=．故答案为：1．7.（2018秋•聊城期中）已知2(1)65f x x x +=++，求()f x ;【解答】解：22(1)65(1)4(1)f x x x x x +=++=+++；2()4f x x x ∴=+．8.已知2211()3f x x x x+=+-，求()f x ； 【解答】1()f x x +2()5f x x ∴=-，(x ∈-∞，2][2-，)+∞．。