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专题八：填空题解题策略专题辅导【考情分析】填空题是一种传统的题型，也是高考试卷中又一常见题型。
近几年高考，都有一定数量的填空题，且稳定了4个小题左右，每题4分，共16分，约占全卷总分的11％。
预测12年高考的命题方向为：（1）保持题量和分值的稳定；（2）出题点多在：简单难度的填空题为分段函数求值、导数和定积分的求解以及简单的三角、数列问题；中等难度的填空题为三角、数列、解析几何、立体几何的求值问题；难度较大的填空题为考察合情推理的开放题；【知识交汇】数学填空题作为数学高考试题中第二大类型题，其特点是：形态短小精悍；跨度大；覆盖面广；形式灵活；考查目标集中，旨在考查数学基础知识和学生的基本技能；重在考查学生分析问题、解决问题的能力以及严密的逻辑思维能力和运算能力。
填空题只要求直接写出结果，不必写出计算或推理过程，其结果必须是数值准确、形式规范、表达式（数）最简。
结果稍有毛病，便得零分。
坚持"答案的正确性"、"答题的迅速性"和"解法的合理性"等原则。
1．填空题诠释填空题又叫填充题，是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定的空位上，将缺少的语句填写清楚、准确。
它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语、数字、符号、数学语句等；填空题不要求学生书写推理或者演算的过程，只要求直接填写结果，它和选择题一样，能够在短时间内作答，因而可加大高考试卷卷面的知识容量，同时也可以考查学生对数学概念的理解、数量问题的计算解决能力和推理论证能力。
填空题是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定空位上将缺少的语句填写清楚、准确. 它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语、数字、符号、数学语句等. 填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为我们熟知的题目或基本题型. 填空题不需过程，不设中间分值，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误。
浙江高考“压轴小题”的“解题秘籍”------特值法1 一次让人惊喜的解题。
例1（2012年浙江理科第17题）设a R ∈，若0x >时均有2[(1)1][1)0a x x ax ----≥，则a =_________。
巧解：令1x =得到：(2)()0a a --≥，即02a ≤≤，再令2x =得到：[2(1)1](32)0a a ---≥，即2(32)0a -≤，得到32a =。
评注：这是2012年浙江数学高考理科填空题的最后一题，也就是我们说的“压轴小题”，先代了一个1x =，虽没有结果，但是参数a 范围大大缩小了，紧接着又代了一个2x =，答案竟然出来了。
这次让人惊喜的解题过程让我有了一个想法，是不是在浙江高考中还有这样的题目呢？不研究不知道，一研究吓一跳。
浙江最近几年大家普遍认为是难题的“压轴小题”，几乎都可以用特殊值来做。
笔者收集整理为下面几种典型情况，以飧读者。
2 特值法非常强大。
1.1 巧代特殊数字解决带参（包括多个参数问题）难题。
例 2 （2011年浙江理科第10题）设,,a b c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++，记集合{|()0,}S x f x x R ==∈，{|()0,}T x g x x R ==∈，若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是( ) A ．|S |＝1且|T |＝0 B ．|S |＝1且|T |＝1 C ．|S |＝2且|T |＝2 D ．|S |＝2且|T |＝3 巧解：令1a b c ===时，2()(1)(1)0f x xx x =+++=所以1x =-，2()(1)(1)g x x x x =+++，所以1x =-，故B 可能。
令0,1,2a b c ===时，2()(2)0f x x x x =++=所以0x =，2()210g x x x =++=，无解，故A 可能。
专题五：数学方法之特殊解法【考情分析】近年高考题尽量减少繁烦的运算，着力考查学生的逻辑思维与直觉思维能力，以及观察、分析、比较、简捷的运算方法和推理技巧，突出了对学生数学素质的考查。
试题运算量不大，以认识型和思维型的题目为主，许多题目既可用通性、通法直接求解,也可用“特殊”方法求解。
其中，配方法、待定系数法、换元法、参数法是几种常用的数学解题方法。
这些方法是数学思想的具体体现，是解决问题的手段，它们不仅有明确的内涵，而且具有可操作性，有实施的步骤和作法，事半功倍是它们共同的效果。
纵观近几年高考命题的趋势，在题目上还是很注意特殊解法应用，应为他起到避繁就简、避免分类讨论、避免转化等作用。
预测20XX年的高考命题趋势为：（1）部分涉及函数性质、三角函数变形及求值、方程不等式的参数最值、解析几何求值等知识点的题目会用到这几种特殊解法；（2）这些解题方法都对应更一般的解法，它们的规律不太容易把握，但它们在实际的考试中会节省大量的时间，为后面的题目奠定基础；【知识交汇】1．换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
不等式的恒成立,能成立,恰成立用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的:（1）恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值大于A ,若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值小于B .（2）能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,即()A x f >在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值大于A ,若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,即()B x f <在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值小于B .（3）恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ,若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D ,不等式的恒成立【例】已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (Ⅰ)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(Ⅱ)若对[]1,2x ∈-，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围。
【解】递增区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭与()1,+∞,递减区间是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭(Ⅱ) 1c <-或2c >. 【例】已知向量),,1(),1,(2t x b x x a -=+=若函数()b a x f ⋅=在区间()1,1-上是增函数，求t 的取值范围【解】 5≥t . 【例】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,()n S n n n *⎛⎫∈ ⎪⎝⎭N 均在函数32y x =-的图像上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n *∈N 都成立的最小正整数m .【分析及解】（Ⅰ）65()n a n n *=-∈N .（Ⅱ）10m ≥ 【例】已知函数()()22log f x x ax a =--在区间(),13-∞-上是减函数,求实数a 的取值范围.【解】2232a -≤≤. 【例】 设函数()(1)ln(1).f x x x =++若对所有的0,x ≥都有()f x ax ≥成立，求实数a 的取值范围。
专题六：数学方法之特殊证法【考情分析】近几年的高考虽然削弱了在不等式证明方面的要求，但像立体几何中位置关系的认定，数列关系式的认可以及解析几何性质的证明都是频频出现的考试形式。
在高考中所占的分值大约在30分左右。
这类考题的特点是：（1）立体几何证明多以线、面间垂直或平行关系的证明为主，解决此类问题的思路是应用好在该部分学习的判定定理和性质定理即可；（2）数列题可能是与等差等比数列定义或性质有关的结论的证明问题（譬如证明数列是否为等差或等比数列，这类题目要应用好定义和性质公式，技巧性很强）、也可能是复合不等式知识的或单纯等式形式的与自然数有关的结论的证明问题（解题思路是可能应用数学归纳法或放缩法）；（3）解析几何中的解答题经常与平面几何图形相结合，经常判断一些位置关系，此类题目的证明多要结合几何特征，应用好代数关系式说明；预测2012年高考的趋势为：题型、题量以及出题点还和往年一样，基本保持不变；【知识交汇】1．定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解决问题。
数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。
定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。
简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。
用定义法解题，是最直接的方法。
2．反证法反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。
反证法的实质：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。
特殊值法一、填空题1. 函数对任意实数，都满足：且，则的值是．2. 若函数的零点为，满足且，则．3. 若实数满足，那么，，，由小到大的顺序是．4. 若为奇函数，则．5. 已知函数满足：，，则．6. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则的值为．7. 下列命题：①设，是非零实数，若，则；②若，则；③函数的最小值是；④若、是正数，且，则有最小值；⑤已知两个正实数，满足，则的最小值是；其中正确命题的序号是．8. 已知，，成等比数列，如果，，和，，都成等差数列，则．9. 设，，并给出以下结论；①存在，使是偶函数，也存在，使是奇函数；②存在，使是偶函数，但不存在，使是奇函数；③不存在，使是偶函数，但存在，使是奇函数；④不存在，使是偶函数，也不存在，使是奇函数．其中正确的结论的为．（写出所有正确结论的序号）10. 已知是首项为，公比为的等比数列，是的前项和．①；若，则；③成等比数列以上说法不正确的有．（请填序号）11. 已知数列的前项和为，若数列的各项按照如下规律排列：，，，，，，，，，，，，，，有如下运算和结论：①；②；③数列是等比数列；④数列的前项和；在横线上填写出所有你认为是正确的运算结果或结论的序号．12. 设，若函数存在整数零点，则的取值集合为．13. 已知圆和点，若定点和常数满足：对圆上任意一点，都有，则（1）；（2）．14. 设，若时恒有，则．15. 如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是．16. 定义“正对数”：现有三个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；其中正确的命题有．（写出所有正确命题的序号）17. 在平面四边形中，，，则的取值范围是．18. 给出下列命题：①变量与之间的相关系数，查表到相关系数的临界值为，则变量与之间具有线性关系；②，则不等式恒成立；③对于函数，若，，则函数在内至多有一个零点；④与的图象关于对称．其中所有正确命题的序号是．19. 以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．例如，当，时，，．现有如下命题：①设函数的定义域为，则“ ”的充要条件是“ ，，”；②若函数，则有最大值和最小值；③若函数，的定义域相同，且，，则；④若函数有最大值，则．其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）20. 给出定义：若（为整数），则叫做离实数最近的整数，记作．在此基础上给出下列关于函数的四个结论：①函数的定义域为，值域为；②函数的图象关于直线（）对称；③函数是偶函数；④函数在上是增函数．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）二、解答题21. 已知二次函数满足和．(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间上的最大值和最小值．22. 已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，(1)求；(2)解不等式．23. 设函数对于任意的，，都有，且时，，．(1)求证：是奇函数．(2)试问：当时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由．24. 已知函数对一切，都有．(1)求证：是奇函数；(2)若，试用表示．25. 定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数．(1)求，的值；(2)求证：；(3)解关于的不等式：；26. 已知函数对一切实数都有，且当时，，又．(1)试判定该函数的奇偶性；(2)试判断该函数在上的单调性；(3)求在上的最大值和最小值．27. 已知定义在区间上的函数满足，且当时，．(1)求的值；(2)判定的单调性；(3)若，求在上的最小值．28. 已知是由所有满足下述条件的函数构成的集合：①方程有实数根；②设函数的导函数，且对定义域内任意的，都有．(1)判断函数是否是集合中的元素，并说明理由；(2)若函数是集合中的元素，求实数的取值范围．29. 已知函数的定义域为，对任意实数，都有，且，当时，．(1)求；(2)求和；(3)判断函数的单调性并证明．30. 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，，，都有成立，则称函数为理想函数．(1)若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数是否为理想函数，并予以证明；(3)若函数为理想函数，假定存在，使得，且，求证．31. 已知函数（）．(1)若，函数的图象能否总在直线的下方？说明理由；(2)若函数在上是增函数，求的取值范围；(3)设，，为方程的三个根，且，，，求证：．32. 定义在上的函数，满足当时，，且对任意的，有，．(1)求的值；(2)求证：对任意，都有；(3)解不等式．33. 已知（），是关于的次多项式；(1)若恒成立，求和的值；并写出一个满足条件的的表达式，无需证明．(2)求证：对于任意给定的正整数，都存在与无关的常数，，，…，，使得．34. 已知是等差数列，为公差且不为，和均为实数，它的前项和记作．设集合，．试问下列结论是否正确？如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：(1)若以集合中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2)中至多有一个元素；(3)当时，一定有．35. 各项均为正数的数列，，，且对满足的正整数，，，都有．(1)当，时，求；(2)在（1）的条件下，将用表示出来（其中）．(3)在（1）的条件下，证明为等比数列，并求通项．(4)证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有．36. 已知函数，其中且．(1)讨论的单调性；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)若方程存在两个异号实根，，求证：．答案第一部分1234567 ②④89 ②1011 ②④1213 ；141516 ①1718 ①④19 ①③④20 ①②③第二部分21 (1) 设，因为，所以．又因为，所以，而．所以，这是一个恒等式，所以解得所以．(2) 解法一：由．因为，所以，所以，所以函数在区间上的最大值和最小值分别为，．解法二：画出函数的示意图（如图）．由图可知函数在时取得最小值，在时取是最大值，所以函数在区间上的最大值和最小值分别为和．22 (1) 由，令，则，所以．(2) 因为对于，都有，所以在上为减函数，又因为，即，即，即．由题意得，解得：．23 (1) 在中，令，得，即，令，得，，所以为奇函数．(2) 设，由，知，因为为奇函数，所以，又时，，，所以，所以，即，所以在上是减函数．当时，，．24 (1) 在式子中，令，得．再令，得，所以，所以，即，故是奇函数．(2) 已知，于是．在中令，可得，因此．25 (1) 令，则，所以．令，则，所以．(2) 令，则，所以．(3) 据题意可知，，所以或，所以或．26 (1) 令，得，所以．令，得，所以，所以为奇函数．(2) 任取，则，所以，所以，即所以在上是减函数．(3) 因为在上是减函数，所以最小，最大．又，所以．所以在上的最大值是，最小值是．27 (1) 令，则．(2) 任取，满足，则，所以．因为，所以，即，所以在上是减函数．(3) 因为，所以．又在上是减函数，所以在上是减函数．所以在上的最小值为．28 (1) 因为，当时，不符合条件②，所以函数不是集合中的元素．(2) 因为是集合中的元素，所以对于任意均成立．即恒成立，即．令，依题意，是集合中的元素，必满足．当时，对任意恒成立，所以在上为增函数．又．，所以方程有实根，也符合条件①．当时，在时，与条件②矛盾．综上．29 (1) 令，则．(2) 再令，则，即，是首项为，公差为的等差数列．．(3) 函数在上是增函数，证明如下：任取，且，，．又当时，，，即，．所以函数在上是增函数．30 (1) ．(2) 为理想函数，证明略．(3) 略．31 (1) 当时，，因为，所以，函数的图象不能总在直线的下方．(2) 由题意，得，令，解得或．当时，由，解得，所以在上是增函数，与题意不符，舍去；当时，由，与题意不符，舍去；当时，由，解得，所以在上是增函数，又在上是增函数，所以，解得，综上，的取值范围为．(3) 因为方程最多只有个根，由题意，得在区间内仅有一根，所以同理当时，由得，即，由得，即，因为，所以，即；当时，由得，即，由得，即，因为，所以，即；当时，因为，所以有一根，这与题意不符．综上，．注：在第（3）问中，得到后，可以在坐标平面内，用线性规划方法解．32 (1) 对任意，．令，得，即，得或．令，得，对任意成立，所以，因此．(2) 证明：对任意，有．假设存在，使，则对任意，有．这与已知时，矛盾．所以，对任意，均有成立．(3) 令有，所以．任取，且，则：．因为，所以，由已知，所以．由（2）知，．所以，即．故函数在上是增函数．由，得，即，解得．所以，不等式的解集是．33 (1) 令，则，即，因为，所以；令，则，即，即，因为，所以；例如．(2) 当时，，故存在常数，，使得．假设当（）时，都存在与无关的常数，，，…，，使得即则当时，令，，（），；故存在与无关的常数，，，…，，，使得综上所述，对于任意给定的正整数，都存在与无关的常数，，，…，，使得．34 (1) 在等差数列中，对一切，有，则，这表明点适合方程，于是点均在直线上．(2) 设，则是方程组的解．由上述方程组消去，得．当时，方程无解，此时；当时，方程只有一个解，此时，方程组只有一解，综上，上述方程组至多有解所以中至多有一个元素．(3) 取，，对一切的，有，，这时集合中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正．另外，由于，如果，那么根据（2）的结论，中至多有一个元素．而，，这样的，产生矛盾．由此，，时，，所以，当时，一定有是不正确的．35 (1) 由，得即解得．(2) 由已知，得将，代入，解得．(3) 由（2），知则数列是首项为，公差为的等比数列，从而解得．(4) 由题意，得的值仅与有关，记为，则考察函数，则有当时，，则在上单调递减，从而有当时，；当时，，则在上单调递增，从而有综上，在定义域上有因此，对，恒成立．又注意到，解上式，得取，即有．36 (1) 的定义域为，其导数，①当时，，函数在上是增函数．②当时，在区间上，，在区间上，．所以在是增函数，在是减函数．(2) 当时，则取适当的数能使，比如取，能使，所以不合题意．当时，令，则，问题化为求恒成立时的取值范围．由于所以在区间上，；在区间上，．所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以只需．即，所以，所以．(3) 由于存在两个异号根，，不妨设，因为，所以．构造函数：，所以，，所以函数在区间上为减函数．因为，则，于是，又，，由在上为减函数可知，即．春到四月，如火如荼，若诗似画，美到了极致，美到了令人心醉。
