上海高考数学试卷及答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(上海卷)一、 填空题本题共12小题，满分54分。

1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分。

1、 设全集{}U 1,2,3,4,5=，集合{}A 24=，，求A =_________________。

2、 已知()01, 0x f x x >=≤ ，()f x =______________。

3、 不等式2230x x −−<的解集为_________________。

4、 已知()3f x x a =+，且()f x 是奇函数，则a =___________________。

5、 已知()2,5a =，()6b k =，，//a b ，则k 的值为________________。

6、 在()1nx +的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中2x 的系数为__________。

7、 已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为_______。

8、 某校举办科学竞技比赛，有A,B,C,3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题，小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是______。

9、 已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m R z+=∈，则实数m 为____________。

10、设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，则集合中元素个数的最大值为____________。

11、海上有灯塔O,A,B,货船T,如图，已知A 在O 的正东方向，B 在O 的正北方向，O 到A,B的距离相等，165BTO ∠=°，37ATO ∠=°，则BOT ∠=____________。

高考数学试题上海题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的值域为[0, +∞)，则该函数的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C解析：函数f(x) = x^2 - 4x + 3可以写成f(x) = (x - 2)^2 - 1，其最小值为-1，因此值域为[-1, +∞)。

由于值域为[0, +∞)，所以函数的零点个数为2。

2. 若复数z = a + bi（a, b ∈ R）满足|z| = √2，且z的实部与虚部的和为0，则a和b的值分别为：A. a = 1, b = -1B. a = -1, b = 1C. a = 1, b = 1D. a = -1, b = -1答案：A解析：由|z| = √2，得√(a^2 + b^2) = √2，即a^2 + b^2 = 2。

又因为z的实部与虚部的和为0，即a + b = 0。

解得a = 1, b = -1。

3. 若直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率为：A. 0B. 1D. √2答案：B解析：直线的倾斜角为45°，根据斜率的定义，斜率k = tan(45°) = 1。

4. 若向量a = (3, -2)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的数量积为：A. 1B. -1C. 3D. -3答案：D解析：向量a与向量b的数量积为a·b = 3*(-1) + (-2)*2 = -3 - 4 = -7。

5. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图象是开口向上的抛物线，且f(1) = f(3)，则该函数的对称轴为：A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：B解析：由于抛物线开口向上，且f(1) = f(3)，根据抛物线的对称性，对称轴为x = (1 + 3) / 2 = 2。

6. 若等比数列{an}的前n项和为S_n，且S_3 = 7，S_6 = 28，则该数列的公比q为：B. 4C. 3D. 1/2答案：A解析：设等比数列的首项为a1，公比为q，则S_3 = a1(1 - q^3) / (1 - q) = 7，S_6 = a1(1 - q^6) / (1 - q) = 28。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（上海卷）一、填空题（本题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 已知集合，，求_______2. ________3. 已知复数z 满足（为虚数单位），则_______4. 已知行列式，则行列式_______5.已知，则_______6.已知a 、b 、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab=________7.已知，则的最大值为___________8.已知是公差不为零的等差数列，且，则___________9.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有____种排法。

10.椭圆，过右焦点F 作直线交椭圆于P 、Q 两点，P 在第二象限已知都在椭圆上，且，，则直线的方程为______11.设，若存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或”又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为______12、已知是平面内两两互不平等的向量，满足，{}1,2,4A ={}2,3,4B =A B =1lim31n n n →∞+=-12z i =-i z =126300a cd b =a c d b=()3f x x =()1f x -=20230x y y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩2z y x =-{}n a 1109a a a +=12910a a a a ++⋅⋅⋅=22143x y +=l ()(),,'','Q Q Q Q Q x y Q x y y'0Q Q y +='FQ PQ ⊥l a R ∈R ()f x 0x R ∈()0f x 20x 0x x ()f x a =α且(其中)，则K 的最大值为________二、选择题（本题共有4小题，每题5分，共计20分） 13、下列不等式恒成立的是（） A 、 B 、 C 、 D 、14、已知直线的解析式为，则下列各式是的参数方程的是（）A 、B 、C 、D 、15、在棱长为10的正方体.中，为左侧面上一点，已知点到的距离为3，点到的距离为2，则过点且与平行的直线交正方体于、1,21,2,...i j k ==，，222a b ab +≤22-2a b ab +≥2a b ab +≥-2a b ab +≤l 3410x y -+=l 4334x ty t=+⎧⎨=-⎩4334x t y t =+⎧⎨=+⎩1413x ty t =-⎧⎨=+⎩1413x ty t =+⎧⎨=+⎩1111ABCD A B C D -P 11ADD A P 11A D P 1AA P 1A C P两点，则点所在的平面是（ ）A. B. C. D.16.、若存在,对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质，已知：单调递减，且恒成立；单调递增，存在使得，则是具有性质的充分条件是（）A 、只有B 、只有C 、D 、都不是三、解答题（本题共5小题，共计76分） 综合题分割17、已知边长为1的正方形ABCD ，沿BC 旋转一周得到圆柱体。

2024年上海市高考数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．(★)(5分)已知集合U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A={2，3，4，5}，B={1，2，3，6，7}，则B∩(∁U A)=()A．{1，6}B．{6，7}C．{6，7，8}D．{1，6，7}2．(★)(5分)函数f(x)=+的定义域为()A．[0，2)B．(2，+∞)C．[，2)∪(2，+∞)D．(-∞，2)∪(2，+∞)3．(★★)(5分)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a,b,c∈R且a＞b,则下列不等式恒成立的是()A．＜B．a2＞b2C．a|c|＞b|c|D．＞4．(★)(5分)若x＜0，M=5x2+x+2，N=4x(x+1)，则M与N的大小关系为() A．M＞N B．M=N C．M＜N D．无法确定5．(★★)(5分)若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4＜0的解集为R，则a的取值范围是()A．a≤2B．-2＜a≤2C．-2＜a＜2D．a＜26．(★)(5分)函数f(x)=x2+x在区间[-1，1]上的最小值是()A．B．0C．D．27．(★★)(5分)对于非空集合P，Q，定义集合间的一种运算“★”：P★Q={x|x∈P∪Q且x∉P∩Q}．如果P={x|-1≤x-1≤1}，Q={x|y=}，则P★Q=()A．{x|1≤x≤2}B．{x|0≤x≤1或x≥2}C．{x|0≤x≤1或x＞2}D．{x|0≤x＜1或x＞2}8．(★★)(5分)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术“，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c,则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=3，b+c=5，则此三角形面积的最大值为()A．B．3C．D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．(★)(5分)下列四组函数中表示同一个函数的是()A．f(x)=x,g(x)=()2B．f(a)=3a2-2a+3，g(t)=3t2-2t+3C．f(x)=，g(x)=xD．f(x)=0，g(x)=+10．(★★)(5分)下列结论不正确的是()A．“x∈N”是“x∈Q”的充分不必要条件B．“∃x∈N*，x2-3＜0”是假命题C．△ABC内角A，B，C的对边分别是a,b,c,则“a2+b2=c2”是“△ABC是直角三角形”的充要条件D．命题“∀x＞0，x2-3＞0”的否定是“∃x＞0，x2-3≤0”11．(★★)(5分)下列说法正确的是()A．若a＞b＞0，则a＞＞＞bB．当a＞0，b＞0时，++2≥4C．若a2+b2=2，则a+b的最大值为2D．y=+有最小值212．(★★)(5分)“双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠：(1)如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；(2)如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；(3)如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠；(4)如果购物总额超过300元，其中300元内的按第(3)条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠．某人购买了部分商品，则下列说法正确的是()A．如果购物总额为78元，则应付款为73元B．如果购物总额为228元，则应付款为205.2元C．如果购物总额为368元，则应付款为294.4元D．如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．(★)(5分)若集合A={x|-3≤x＜a}，B={x|x≤b}，且A∩B=∅，则实数b取值范围为(-∞，-3)．14．(★★)(5分)已知f(+1)=2x+3，则f(x)的解析式为f(x)=2x2-4x+5(x≥1)．15．(★)(5分)能够说明“若a,b,c是任意正实数，则”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为1，1，1(答案不唯一)．16．(★)(5分)一位少年能将圆周率π准确记忆到小数点后面200位，更神奇的是提问小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．记圆周率π小数点后第n位上的数字为y,则y是n的函数，设y=f(n)，n∈N*．则(1)y=f(n)的值域为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}；(2)函数y=f(n)与函数y=n3的交点有1个．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(★★)(10分)在①A=∅，②A恰有两个子集，③A∩{x|＜x＜2}≠∅这三个条件中任选一个，补充在下列横线上(要求把你选的条件先写到答题纸上)，并求解下列问题．已知集合A={x∈R|mx2-2x+1=0}．(1)若1∈A，求实数m的值；(2)若集合A满足_____，求实数m的取值范围．18．(★★)(12分)已知集合A={x|2-a≤x≤2+a}，B={x|x≤1或x≥4}．(1)当a=3时，求A∩B；(2)若“x∈A”是“x∈∁R B”的充分不必要条件，且A≠∅，求实数a的取值范围．19．(★)(12分)已知不等式ax2+5x-2＞0的解集是M．(1)若2∈M且3∉M，求a的取值范围；(2)若，求不等式ax2-5x+a2-1＞0的解集．20．(★★)(12分)已知x＞0，y＞0且+=2，若6x+y≥m2+6m恒成立，求实数m的取值范围．21．(★★)(12分)经调查，某产品在过去两周内的日销售量(单位：千克)与日销售单价(单位：元)均为时间t(天)的函数．其中日销售量为时间t的一次函数，且t=1时，日销售量为34千克，t=10时，日销售量为25千克．日销售单价满足函数．(1)写出该商品日销售额y关于时间t的函数(日销售额=日销售量×销售单价)；(2)求过去两周内该商品日销售额的最大值．22．(★★)(12分)已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+c,且f(0)=2．(1)若f(x)＜0的解集为{x|2＜x＜8}，求函数的值域；(2)当a＞0时，解不等式f(x)＜0．。

2024年上海市高考数学试卷注意：试题来自网络，请自行参考（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.设全集，集合，则______．【答案】【解析】【分析】根据补集的定义可求.【详解】由题设有，故答案为：2.已知则______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的形式可求.【详解】因故，故答案为：.3.已知则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【详解】方程的解为或，故不等式的解集为，故答案为：.4.已知，，且是奇函数，则______．【答案】【解析】【分析】根据奇函数的性质可求参数.【详解】因为是奇函数，故即，故，故答案为：.5.已知，且，则的值为______．【答案】15【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】，，解得．故答案为：15．6.在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______．【答案】10【解析】【分析】令，解出，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.【详解】令，，即，解得，所以的展开式通项公式为，令，则，．故答案为：10．7.已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，代入抛物线方程，得，解得，则点到轴的距离为．故答案为：．8.某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．【答案】0.85【解析】【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.【详解】由题意知，题库的比例为：，各占比分别为，则根据全概率公式知所求正确率．故答案为：0.85．9.已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．【答案】2【解析】【分析】设，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【详解】设，且.则，，，解得，故答案为：2.10.设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．【答案】329【解析】【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，根据分步乘法这样的偶数共有，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个．故答案为：329．11.已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度)【答案】【解析】【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案.【详解】设，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因为，得，利用计算器即可得，故答案为：.12.无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围.【详解】由题设有，因为，故，故，当时，，故，此时为闭区间，当时，不妨设，若，则，若，则，若，则，综上，，又为闭区间等价于为闭区间，而，故对任意恒成立，故即，故，故对任意的恒成立，因，故当时，，故即.故答案为：.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A气候温度高，海水表层温度就高B.气候温度高，海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势【答案】C【解析】【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误.故选：C.14.下列函数的最小正周期是的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A，，周期，故A正确；对B，，周期，故B错误；对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，，周期，故D错误，故选：A．15.定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对C，由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由能推出，对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故D错误.故选：C．16.已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在是偶函数B.存在在处取最大值C.存在是严格增函数D.存在在处取到极小值【答案】B【解析】【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断.【详解】对于A，若存在是偶函数,取,则对于任意,而,矛盾,故A错误；对于B，可构造函数满足集合，当时，则，当时，，当时，，则该函数的最大值是，则B正确；对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图为正四棱锥为底面的中心．（1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积；（2）连接，可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解.【小问1详解】正四棱锥满足且平面，由平面，则，又正四棱锥底面是正方形，由可得，，故，根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥，即圆锥的高为，底面半径为，根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是【小问2详解】连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，由是中点，则，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直线与平面所成角的大小即为，不妨设，则，，又线面角的范围是，故.即为所求.18.若．（1）过，求的解集；（2）存在使得成等差数列，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围．【小问1详解】因为的图象过，故，故即（负的舍去），而在上为增函数，故，故即，故的解集为.小问2详解】因为存在使得成等差数列，故有解，故，因为，故，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域为，故即.19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：其中，．）【答案】（1）（2）（3）有【解析】【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.【小问1详解】由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为．【小问2详解】估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为．则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.【小问3详解】由题列联表如下：其他合计优秀455095不优秀177308485合计222358580提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．其中．．则零假设不成立，即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．20.已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.（1）若离心率时，求的值．（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【小问1详解】由题意得，则，．【小问2详解】当时，双曲线，其中，，因为为等腰三角形，则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；②当以为底时，，设，则,联立解得或或，因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；③当以为底时，，设，其中，则有，解得，即．综上所述：.小问3详解】由题知，当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知，联立有，显然二次项系数，其中，①，②，，则，因为在直线上，则，，即，即，将①②代入有，即化简得，所以,代入到,得,所以,且，解得，又因为，则，综上知，，．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.21.对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．（1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；（2）对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；（3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．【答案】（1）证明见解析（2）存在，（3）严格单调递减【解析】【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可；（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.【小问1详解】当时，，当且仅当即时取等号，故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．【小问2详解】由题设可得，则，因为均为上单调递增函数，则在上为严格增函数，而，故当时，，当时，，故，此时，而，故在点处的切线方程为.而，故，故直线与在点处的切线垂直．【小问3详解】设，，而，，若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，设，则既是的最小值点，也是的最小值点，因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在,使得，即①②由①②相等得，即，即，又因为函数在定义域R上恒正，则恒成立，接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，即，③，④③④得即，因为则，解得，则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可.。

2023年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）不等式|x﹣2|＜1的解集为　（1，3）　．【答案】（1，3）．【解答】解：由|x﹣2|＜1可得，﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．2．（4分）已知向量＝（﹣2，3），＝（1，2），则•＝　4　．【答案】4．【解答】解：∵向量＝（﹣2，3），＝（1，2），∴•＝﹣2×1+3×2＝4．故答案为：4．3．（4分）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为S n，则S6＝　189　．【答案】189．【解答】解：∵等比数列的首项为3，公比为2，∴S6＝＝189．故答案为：189．4．（4分）已知tanα＝3，则tan2α＝　﹣　．【答案】﹣．【解答】解：∵tanα＝3，∴tan2α＝＝＝﹣．故答案为：﹣．5．（4分）已知函数f（x）＝，则函数f（x）的值域为　[1，+∞）　．【答案】[1，+∞）．【解答】解：当x≤0时，f（x）＝1，当x＞0时，f（x）＝2x＞1，所以函数f（x）的值域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．6．（4分）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝ ．【答案】．【解答】解：∵z＝1﹣i，∴|1+iz|＝|1+i（1﹣i）|＝|2+i|＝．故答案为：．7．（5分）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为π，则m＝　﹣3　．【答案】﹣3．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣m＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+y2＝4+m，∵圆的面积为π，∴圆的半径为1，∴4+m＝1，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3．8．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sin A＝ ．【答案】．【解答】解：a＝4，b＝5，c＝6，由余弦定理得，cos A＝＝＝，又∵A∈（0，π），∴sin A＞0，∴sin A＝＝＝．故答案为：．9．（5分）现有某地一年四个季度的GDP（亿元），第一季度GDP为232（亿元），第四季度GDP为241（亿元），四个季度的GDP逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP为　946（亿元）　．【答案】946（亿元）．【解答】解：设第二季度GDP为x亿元，第三季度GDP为y亿元，则232＜x＜y＜241，∵中位数与平均数相同，∴，∴x+y＝473，∴该地一年的GDP为232+x+y+241＝946（亿元）．故答案为：946（亿元）．10．（5分）已知（1+2023x）100+（2023﹣x）100＝a0+a1x+a2x2+⋯+a99x99+a100x100，若存在k∈{0，1，2，⋯，100}使得a k＜0，则k的最大值为　49　．【答案】49．【解答】解：二项式（1+2023x）100的通项为＝•2023r•x r，r∈{0，1，2，…，100}，二项式（2023﹣x）100的通项为＝•2023100﹣r•（﹣1）r•x r，r∈{0，1，2，…，100}，∴a k＝+＝[2023k+2023100﹣k•（﹣1）k]，k∈{0，1，2，⋯，100}，若a k＜0，则k为奇数，此时a k＝（2023k﹣2023100﹣k），∴2023k﹣2023100﹣k＜0，∴k＜100﹣k，∴k＜50，又∵k为奇数，∴k的最大值为49．故答案为：49．11．（5分）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025﹣cosθ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ＝　arccos　．【答案】arccos．【解答】解：斜坡的长度为l＝，上坡所消耗的总体力y＝×（1.025﹣cosθ）＝，函数的导数y′＝＝，由y′＝0，得4﹣4.1cosθ＝0，得cosθ＝，θ＝arccos，由f′（x）＞0时cosθ＜，即arccos＜θ＜时，函数单调递增，由f′（x）＜0时cosθ＞，即0＜θ＜arccos时，函数单调递减，即θ＝arccos，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小．故答案为：θ＝arccos．12．（5分）空间中有三个点A、B、C，且AB＝BC＝CA＝1，在空间中任取2个不同的点D，E（不考虑这两个点的顺序），使得它们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有　9　种．【答案】9．【解答】解：如图所示，设任取2个不同的点为D、E，当△ABC为正四棱锥的侧面时，如图，平面ABC的两侧分别可以做ABDE作为圆锥的底面，有2种情况，同理以BCED、ACED为底面各有2种情况，所以共有6种情况；当△ABC为正四棱锥的截面时，如图，D、E位于AB两侧，ADBE为圆锥的底面，只有一种情况，同理以BDCE、ADCE为底面各有1种情况，所以共有3种情况；综上，共有6+3＝9种情况．故答案为：9．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（4分）已知P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，x∉Q}，则M＝（ ）A．{1}B．{2}C．{3}D．{1，2，3}【答案】A【解答】解：∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P，x∉Q}，∴M＝{1}．故选：A．14．（4分）根据所示的散点图，下列说法正确的是（ ）A．身高越大，体重越大B．身高越大，体重越小C．身高和体重成正相关D．身高和体重成负相关【答案】C【解答】解：根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关．故选：C．15．（5分）已知a∈R，记y＝sin x在[a，2a]的最小值为s a，在[2a，3a]的最小值为t a，则下列情况不可能的是（ ）A．s a＞0，t a＞0B．s a＜0，t a＜0C．s a＞0，t a＜0D．s a＜0，t a＞0【答案】D【解答】解：由给定区间可知，a＞0．区间[a，2a]与区间[2a，3a]相邻，且区间长度相同．取a＝，则[a，2a]＝[]，区间[2a，3a]＝[]，可知s a＞0，t a＞0，故A可能；取a＝，则[a，2a]＝[，]，区间[2a，3a]＝[，]，可知s a＞0，t a＜0，故C可能；取a＝，则[a，2a]＝[，]，区间[2a，3a]＝[，]，可知s a＜0，t a＜0，故B可能．结合选项可得，不可能的是s a＜0，t a＞0．故选：D．16．（5分）已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q 使得|MP|•|MQ|＝1，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则（ ）A．①成立，②成立B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立【答案】B【解答】解：∵椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M点，使得|MP|•|MQ|＝1成立，故①正确，在双曲线中，|PM|max→+∞，而|QM|min是个固定值，则无法对任意的P∈C，都存在Q∈C，使得|PM||QM|＝1，故②错误．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝3，CD＝4．（1）证明：直线A1B∥平面DCC1D1；（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角A1﹣BD﹣A的大小．【答案】（1）证明见解答；（2）arctan．【解答】解：（1）证明：根据题意可知AB∥DC，AA1∥DD1，且AB∩AA1＝A，∴可得平面A1ABB1∥平面DCC1D1，又直线A1B⊂平面A1ABB1，∴直线A1B∥平面DCC1D1；（2）设AA1＝h，则根据题意可得该四棱柱的体积为＝36，∴h＝4，∵A1A⊥底面ABCD，在底面ABCD内过A作AE⊥BD，垂足点为E，则A1E在底面ABCD内的射影为AE，∴根据三垂线定理可得BD⊥A1E，故∠A1EA即为所求，在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝3，∴BD＝＝，∴AE＝＝＝，又A1A＝h＝4，∴tan∠A1EA＝＝＝，∴二面角A1﹣BD﹣A的大小为arctan．18．（14分）已知a，c∈R，函数f（x）＝．（1）若a＝0，求函数的定义域，并判断是否存在c使得f（x）是奇函数，说明理由；（2）若函数过点（1，3），且函数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取值范围．【答案】（1）a＝0时，f（x）的定义域为{x|x≠0}，不存在c使得f（x）是奇函数．（2）（，）∪（，+∞）．【解答】解：（1）若a＝0，则f（x）＝＝x++1，要使函数有意义，则x≠0，即f（x）的定义域为{x|x≠0}，∵y＝x+是奇函数，y＝1是偶函数，∴函数f（x）＝x++1为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数c，使得f（x）是奇函数．（2）若函数过点（1，3），则f（1）＝＝＝3，得3a+2+c＝3+3a，得c＝3﹣2＝1，此时f（x）＝，若数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，即f（x）＝＝0，得x2+（3a+1）x+1＝0，当x＜0时，有两个不同的交点，设g（x）＝x2+（3a+1）x+1，则，得，得，即a＞，若x+a＝0即x＝﹣a是方程x2+（3a+1）x+1＝0的根，则a2﹣（3a+1）a+1＝0，即2a2+a﹣1＝0，得a＝或a＝﹣1，则实数a的取值范围是a＞且a≠且a≠﹣1，即（，）∪（，+∞）．19．（14分）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：红色外观蓝色外观棕色内饰128米色内饰23（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求P（B）和P（B|A），并判断事件A和事件B是否独立；（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望．【答案】（1）P（A）＝，P（B）＝．P（B|A）＝．事件A和事件B不独立．（2）EX＝277（元）．【解答】解：（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概率P（A）＝＝，若小明取到棕色内饰，分红色外观12，蓝色外观8，则对应的概率P（B）＝＝＝．取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即P（AB）＝，则P（B|A）＝＝＝＝．∵P（A）P（B）＝＝≠，∴P（A）P（B）≠P（AB），即事件A和事件B不独立．（2）由题意知X＝600，300，150，则外观和内饰均为同色的概率P＝＝＝，外观和内饰都异色的概率P＝＝，仅外观或仅内饰同色的概率P＝1﹣﹣＝，∵＞＞，∴P（X＝150）＝，P（X＝300）＝＝，P（X＝600）＝，则X的分布列为：X150300600P则EX＝150×+300×+600×＝277（元）．20．（18分）已知抛物线Γ：y2＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a ＞0）．（1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值；（2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离；（3）直线l：x＝﹣3，P是第一象限内Γ上异于A的动点，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）（0，2]．【解答】解：（1）抛物线Γ：y2＝4x的准线为x＝﹣1，由于A到抛物线Γ准线的距离为3，则点A的横坐标为2，则a2＝4×2＝8（a＞0），解得；（2）当a＝4时，点A的横坐标为，则A（4，4），设B（b，0），则AB的中点为，由题意可得，解得b＝﹣2，所以B（﹣2，0），则，由点斜式可得，直线AB的方程为，即2x﹣3y+4＝0，所以原点O到直线AB的距离为；（3）如图，设，则，故直线AP的方程为，令x＝﹣3，可得，即，则，依题意，恒成立，又，则最小值为，即，即，则a2+12＞a2+4a+4，解得0＜a＜2，又当a＝2时，，当且仅当t＝2时等号成立，而a≠t，即当a＝2时，也符合题意．故实数a的取值范围为（0，2]．21．（18分）已知f（x）＝lnx，在该函数图像Γ上取一点a1，过点（a1，f（a1））做函数f （x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a2），若a2＞0，则过点（a2，f（a2））做函数f（x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a3），以此类推a3，a4，⋯，直至a m≤0停止，由这些项构成数列{a n}．（1）设a m（m≥2）属于数列{a n}，证明：a m＝lna m﹣1﹣1；（2）试比较a m与a m﹣1﹣2的大小关系；（3）若正整数k≥3，是否存在k使得a1、a2、a3、⋯、a k依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明过程见解答；（2）a m≤a m﹣1﹣2；（3）k＝3．【解答】解：（1）证明：，则过点（a m﹣1，f（a m﹣1））的切线的斜率为，由点斜式可得，此时切线方程为，即，令x＝0，可得y＝lna m﹣1﹣1，根据题意可知，a m＝lna m﹣1﹣1，即得证；（2）先证明不等式lnx≤x﹣1（x＞0），设F（x）＝lnx﹣x+1（x＞0），则，易知当0＜x＜1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，当x＞1时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，则F（x）≤F（1）＝0，即lnx≤x﹣1（x＞0），结合（1）可知，a m＝lna m﹣1﹣1≤a m﹣1﹣1﹣1＝a m﹣1﹣2；（3）假设存在这样的k符合要求，由（2）可知，数列{a n}为严格的递减数列，n＝1，2，3，…，k，由（1）可知，公差d＝a n﹣a n﹣1＝lna n﹣1﹣a n﹣1﹣1，2≤n≤k，先考察函数g（x）＝lnx﹣x﹣1，则，易知当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，则g（x）＝d至多只有两个解，即至多存在两个a n﹣1，使得g（a n﹣1）＝d，若k≥4，则g（a1）＝g（a2）＝g（a3）＝d，矛盾，则k＝3，当k＝3时，设函数h（x）＝ln（lnx﹣1）﹣2lnx+x+1，由于h（e1.1）＝ln0.1﹣2.2+e1.1+1＝e1.1﹣ln10﹣1.2＜0，h（e2）＝﹣3+e2＞0，则存在，使得h（x0）＝0，于是取a1＝x0，a2＝lna1﹣1，a3＝lna2﹣1，它们构成等差数列．综上，k＝3．。

2021年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，满分54分） 1．（4分）已知11z i =+，223z i =+，求12z z += ． 2．（4分）已知{|21}A x x =，{1,0,1}B =-，则AB = ．3．（4分）若22240x y x y +--=，求圆心坐标为 ． 4．（4分）如图正方形ABCD 的边长为3，求AB AC ⋅= ．5．（4分）已知3()2f x x=+，则1(1)f -= ． 6．（4分）已知二项式5()x a +展开式中，2x 的系数为80，则a = ． 7．（5分）已知3220380x x y x y ⎧⎪--⎨⎪+-⎩，z x y =-，则z 的最大值为 ．8．（5分）已知{}n a 为无穷等比数列，13a =，n a 的各项和为9，2n n b a =，则数列{}n b 的各项和为 ． 9．（5分）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，C 是下底面圆周上的一个动点，则ABC ∆的面积的取值范围为 ．10．（5分）已知花博会有四个不同的场馆A ，B ，C ，D ，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 ．11．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>，若第一象限的A ，B 在抛物线上，焦点为F ，||2AF =，||4BF =，||3AB =，求直线AB 的斜率为 ．12．（5分）已知*(1i a N i ∈=，2，⋯，9)对任意的*(28)k N k ∈，11k k a a -=+或11k k a a +=-中有且仅有一个成立，16a =，99a =，则19a a +⋯+的最小值为 ． 二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 13．（5分）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数( ) A ．3y x =-B ．3y x =C ．3log y x =D ．3x y =14．（5分）已知参数方程323421x t ty t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，[1,1]t ∈-，以下哪个图符合该方程( )A ．B ．C ．D ．15．（5分）已知()3sin 2f x x =+，对任意的1[0,]2x π∈，都存在2[0,]2x π∈，使得12()2()2f x f x θ=++成立，则下列选项中，θ可能的值是( ) A ．35πB ．45π C ．65π D ．75π 16．（5分）已知两两不相等的1x ，1y ，2x ，2y ，3x ，3y ，同时满足①11x y <，22x y <，33x y <；②112233x y x y x y +=+=+；③1133222x y x y x y +=，以下哪个选项恒成立( )A ．2132x x x <+B ．2132x x x >+C ．2213x x x < D ．2213x x x >三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB BC ==，13AA =． （1）若P 是棱11A D 上的动点，求三棱锥C PAD -的体积； （2）求直线1AB 与平面11ACC A 的夹角大小．18．（14分）在ABC ∆中，已知3a =，2b c =． （1）若23A π=，求ABC S ∆． （2）若2sin sin 1B C -=，求ABC C ∆．19．（14分）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%．（1）求今年起的前20个季度的总营业额；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？20．（16分）已知22:12x y Γ+=，1F ，2F 是其左、右焦点，直线l 过点(,0)(2)P m m -，交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上． （1）若B 是上顶点，11||||BF PF =，求m 的值；（2）若1213F A F A ⋅=，且原点O 到直线l l 的方程；（3）证明：对于任意m <12//F A F B 的直线有且仅有一条．21．（18分）已知1x ，2x R ∈，若对任意的21x x S -∈，21()()f x f x S -∈，则有定义：()f x 是在S 关联的． （1）判断和证明()21f x x =-是否在[0,)+∞关联？是否有[0,1]关联？（2）若()f x 是在{3}关联的，()f x 在[0,3]x ∈时，2()2f x x x =-，求解不等式：2()3f x ． （3）证明：()f x 是{1}关联的，且是在[0,)+∞关联的，当且仅当“()f x 在[1,2]是关联的”．2021年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，满分54分） 1．（4分）已知11z i =+，223z i =+，求12z z += 34i + ．【解析】因为11z i =+，223z i =+，所以1234z z i +=+．故答案为：34i +． 【评注】本题考查了复数的加法运算，属基础题． 2．（4分）已知{|21}A x x =，{1,0,1}B =-，则A B = {1,0}- ．【解析】因为1{|21}{|}2A x x x x==，{1,0,1}B =-，所以{1,0}A B =-．故答案为：{1,0}-．【评注】本题考查了交集及其运算，属基础题．3．（4分）若22240x y x y +--=，求圆心坐标为 (1,2) ．【解析】由22240x y x y +--=，可得圆的标准方程为22(1)(2)5x y -+-=，所以圆心坐标为(1,2)． 故答案为：(1,2)．【评注】本题考查了圆的一般方程和标准方程，考查了转化思想，属于基础题． 4．（4分）如图正方形ABCD 的边长为3，求AB AC ⋅= 9 ．【解析】由数量积的定义，可得cos AB AC AB AC BAC ⋅=⨯⨯∠，因为cos AB AC BAC =⨯∠，所以29AB AC AB ⋅==．故答案为：9．【评注】本题主要考查平面向量数量积的定义与计算，属于基础题． 5．（4分）已知3()2f x x=+，则1(1)f -= 3- ． 【解析】因为3()2f x x =+，令()1f x =，即321x+=，解得3x =-，故1(1)3f -=-．故答案为：3-． 【评注】本题考查了反函数定义的理解和应用，解题的关键是掌握原函数的定义域即为反函数的值域，考查了运算能力，属于基础题．6．（4分）已知二项式5()x a +展开式中，2x 的系数为80，则a = 2 ．【解析】5()x a +的展开式的通项公式为515r r r r T C x a -+=，所以2x 的系数为33580C a =，解得2a =．故答案为：2．【评注】本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题． 7．（5分）已知3220380x x y x y ⎧⎪--⎨⎪+-⎩，z x y =-，则z 的最大值为 4 ．【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：y x z =-，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距的相反数， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B 处取得最大值， 联立直线方程：3380x x y =⎧⎨+-=⎩，可得点的坐标为：(3,1)B -，据此可知目标函数的最大值为：3(1)4max z =--=．故答案为：4．【评注】本题主要考查线性规划的应用，利用线性规划求最值的方法等知识，属于中档题．8．（5分）已知{}n a 为无穷等比数列，13a =，n a 的各项和为9，2n n b a =，则数列{}n b 的各项和为185． 【解析】设{}n a 的公比为q ，由13a =，n a 的各项和为9，可得391q =-，解得23q =，所以123()3n n a -=⨯，21223()3n n n b a -==⨯，可得数列{}n b 是首项为2，公比为49的等比数列，则数列{}n b 的各项和为2184519=-． 故答案为：185． 【评注】本题考查等比数列的通项公式和无穷递缩等比数列的求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9．（5分）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，C 是下底面圆周上的一个动点，则ABC ∆的面积的取值范围为．【解析】如图1，上底面圆心记为O ，下底面圆心记为O '，连接OC ，过点C 作CM AB ⊥，垂足为点M ，则12ABC S AB CM ∆=⨯⨯，根据题意，AB 为定值2，所以ABC S ∆的大小随着CM 的长短变化而变化，如图2所示，当点M 与点O 重合时，CM OC ==ABC S ∆取得最大值为122⨯；如图3所示，当点M 与点B 重合，CM 取最小值2，此时ABC S ∆取得最小值为12222⨯⨯=．综上所述，ABC S ∆的取值范围为．故答案为：．【评注】本题考查了空间中的最值问题，将三角形面积的最值问题转化为求解线段CM 的最值问题进行求解是解题的关键，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．10．（5分）已知花博会有四个不同的场馆A ，B ，C ，D ，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为23． 【解析】甲选2个去参观，有246C =种，乙选2个去参观，有246C =种，共有6636⨯=种， 若甲乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有144C =种，然后从剩余3个馆种选2个进行排列，有236A =种，共有4624⨯=种，则对应概率242363P ==，故答案为：23． 【评注】本题主要考查概率的计算，利用古典概型的概率公式是解决本题的关键，是基础题．11．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>，若第一象限的A ，B 在抛物线上，焦点为F ，||2AF =，||4BF =，||3AB =，求直线AB 的斜率为． 【解析】如图所示，设抛物线的准线为l ，作AC l ⊥于点C ，BD l ⊥于点D ，AE BD ⊥于点E ，由抛物线的定义，可得2AC AF ==，4BD BF ==，∴422,BE AE =-===∴直线AB 的斜率tan AB AE k ABE BE =∠==． 【评注】本题主要考查直线斜率的定义与计算，抛物线的定义等知识，属于基础题．12．（5分）已知*(1i a N i ∈=，2，⋯，9)对任意的*(28)k N k ∈，11k k a a -=+或11k k a a +=-中有且仅有一个成立，16a =，99a =，则19a a +⋯+的最小值为 31 ． 【解析】设1k k k b a a +=-，由题意可得，k b ，1k b -恰有一个为1， 如果135791b b b b b =====，那么16a =，27a =，31a ，4312a a =+， 同样也有，51a ，6512a a =+，71a ，8712a a =+， 全部加起来至少是67121212931++++++++=； 如果24681b b b b ====，那么88a =，21a ，3212a a =+， 同样也有，41a ，52a ，61a ，72a ，全部加起来至少是61212128932++++++++=， 综上所述，最小应该是31．故答案为：31．【评注】本题考查了数列的概念的理解和应用，递推公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 13．（5分）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数( ) A ．3y x =-B ．3y x =C ．3log y x =D ．3x y =【解析】3y x =-在R 上单调递减且为奇函数，A 符合题意；因为3y x =在R 上是增函数，B 不符合题意；3log y x =，3x y =为非奇非偶函数，C 不符合题意；故选：A ．【评注】本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．14．（5分）已知参数方程3342x t ty ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，[1,1]t ∈-，以下哪个图符合该方程( )A ．B ．C ．D ．【解析】利用特殊值法进行排除，当0y =时，0t =，1，1-， 当0t =时，0x =， 当1t =时，1x =-， 当1t =-时，1x =，故当0y =时，0x =或1或1-，即图象经过(1,0)-，(0,0)，(1,0)三个点， 对照四个选项中的图象，只有选项B 符合要求．故选：B ．【评注】本题考查了函数图象的识别问题，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．15．（5分）已知()3sin 2f x x =+，对任意的1[0,]2x π∈，都存在2[0,]2x π∈，使得12()2()2f x f x θ=++成立，则下列选项中，θ可能的值是( ) A ．35πB ．45π C ．65π D ．75π 【解析】1[0,]2x π∈，1sin [0,1]x ∴∈，1()[2,5]f x ∴∈，都存在2[0,]2x π∈，使得12()2()2f x f x θ=++成立，2()0min f x θ∴+，23()2maxf x θ+， ()3sin 2f x x =+，∴22sin()3min x θ+-，21sin()6max x θ+-，sin y x =在3[,]22x ππ∈上单调递减，当35πθ=时，2311[,]510x ππθ+∈，∴21171sin()sin sin 1062x ππθ+=>=-，故A 选项错误， 当45πθ=时，2413[,]510x ππθ+∈，∴21352sin()sinsin 1043min x ππθ+=<=-， 24sin()sin 05max x πθ+=>，故B 选项正确，当65πθ=时，2617[,]510x ππθ+∈，26131sin()sinsin 5126max x ππθ+=<<-，故C 选项错误， 当75πθ=时，2719[,]510x ππθ+∈，219231sin()sinsin 10126max x ππθ+=<=<-，故D 选项错误． 故选：B ．【评注】本题考查了三角函数的单调性，以及恒成立问题，需要学生有较综合的知识，属于中档题． 16．（5分）已知两两不相等的1x ，1y ，2x ，2y ，3x ，3y ，同时满足①11x y <，22x y <，33x y <；②112233x y x y x y +=+=+；③1133222x y x y x y +=，以下哪个选项恒成立( )A ．2132x x x <+B ．2132x x x >+C ．2213x x x < D ．2213x x x > 【解析】设1122332x y x y x y m +=+=+=，11x m a y m a =-⎧⎨=+⎩，22x m b y m b =-⎧⎨=+⎩，33x m cy m c =-⎧⎨=+⎩，根据题意，应该有,,0a b c a b c ≠≠⎧⎨>⎩，且2222222()0m a m c m b -+-=->，则有222222a c b m b ⎧+=⎨>⎩， 则1322()()2()2()x x x m a m c m b b a c +-=-+---=-+，因为22222(2)()2()()0b a c a c a c -+=+-+>，所以13222()0x x x b a c +-=-+>，所以A 项正确，B 错误．2222132()()()()(2)(2)2a c x x x m a m c mb b ac m ac b b a c m --=----=--+-=---，而上面已证(2)0b a c -->，因为不知道m 的正负，所以该式子的正负无法恒定．故选：A ．【评注】本题主要考查不等关系与不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB BC ==，13AA =． （1）若P 是棱11A D 上的动点，求三棱锥C PAD -的体积；（2）求直线1AB 与平面11ACC A 的夹角大小．【解析】（1）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1112322332C PAD PAD C PAD V S h -∆-⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭平面；（2）连接1111AC B D O =，AB BC =，∴四边形1111A B C D 为正方形，则11OB OA ⊥，又11AA OB ⊥，111OA AA A =，1OB ∴⊥平面11ACC A ，∴直线1AB 与平面11ACC A 所成的角为1OAB ∠，∴111sin OB OAB AB ∠===．∴直线1AB 与平面11ACC A所成的角为．【评注】本题考查三棱锥体积的求法，考查线面角的求解，考查推理能力及运算能力，属于中档题． 18．（14分）在ABC ∆中，已知3a =，2b c =． （1）若23A π=，求ABC S ∆． （2）若2sin sin 1B C -=，求ABC C ∆．【解析】（1）由余弦定理得22222159cos 224b c a c A bc c +--=-==，解得297c =，21sin 22ABC S bc A c ∆∴==； （2）2b c =，∴由正弦定理得sin 2sin B C =，又2sin sin 1B C -=，1sin 3C ∴=，2sin 3B =，sin sin C B ∴<，C B ∴<，C ∴为锐角，cos C ∴=． 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，又3a =，2b c =，2294c c ∴=+-，得：2390c -+=，解得：c =当c =时，b =3ABC C ∆=+；当c =时，b =3ABC C ∆=+． 【评注】本题考查余正、弦定理应用、三角形面积求法，考查数学运算能力，属于中档题．19．（14分）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%． （1）求今年起的前20个季度的总营业额；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？【解析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项1 1.1a =，公差0.05d =， 20120(201)2020 1.110190.0531.52S a d -∴=+=⨯+⨯⨯=，即营业额前20季度的和为31.5亿元． （2）法一：假设今年第一季度往后的第*()n n N ∈季度的利润首次超过该季度营业额的18%， 则0.16(14%)(1.10.05)18%n n ⨯+>+⋅，令()0.16(14%)(1.10.05)18%n f n n =⨯+-+⋅，*()n N ∈，即要解()0f n >， 则当2n 时，1()(1)0.0064(14%)0.009n f n f n ---=⋅+-， 令()(1)0f n f n -->，解得：10n ，即当19n 时，()f n 递减；当10n 时，()f n 递增， 由于(1)0f <，因此()0f n >的解只能在10n 时取得， 经检验，(24)0f <，(25)0f >，所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的18%． 法二：设今年第一季度往后的第*()n n N ∈季度的利润与该季度营业额的比为n a ， 则1 1.04(1.050.05) 1.04261.0410.04(1)1.10.052222n n a n a n n n++==-=+-+++， ∴数列{}n a 满足1234567a a a a a a a >>>=<<<⋯⋯，注意到，250.178a =⋯，260.181a =⋯，∴今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的18%．【评注】本题主要考查了函数的实际应用，考查了等差数列的实际应用，同时考查了学生的计算能力，是中档题．20．（16分）已知22:12x y Γ+=，1F ，2F 是其左、右焦点，直线l 过点(,0)(2)P m m -，交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上． （1）若B 是上顶点，11||||BF PF =，求m 的值；（2）若1213F A F A ⋅=，且原点O 到直线ll 的方程；（3）证明：对于任意m <12//F A F B 的直线有且仅有一条．【解析】（1）因为Γ的方程：2212x y +=，所以22a =，21b =，所以2221c a b =-=，所以1(1,0)F -，2(1,0)F ，若B 为Γ的上顶点，则(0,1)B ，所以1||BF ==1||1PF m =--，又11||||BF PF =，所以1m =- （2）设点,sin )A θθ，则222121(21)sin 2cos 1sin 3F A F Aθθθθθ⋅=+-+=-+=，因为A 在线段BP 上，横坐标小于0，解得cos θ=，故(A ， 设直线l的方程为0)y kx k =+>，由原点O 到直线l则d +==，化简可得231030k k -+=，解得3k =或13k =，故直线l的方程为13y x =3y x =（舍去，无法满足m <，所以直线l 的方程为13y x =+（3）联立方程组2212y kx km x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22222(12)4220k x k mx k m +-+-=， 设11(),A x y ，22(),B x y ，则222121222422,1212k m k m x x x x k k -+==++， 因为12//F A F B ，所以2112(1)(1)x y x y-=+，又y kxkm =-，故化简为122212x x k-=-+， 又1222||||12x x k -===-+， 两边同时平方可得，2224210k k m -+=，整理可得22142k m =--，当m <221042k m=->-， 因为点A ，B 在x 轴上方，所以k 有且仅有一个解， 故对于任意m <12//F A F B 的直线有且仅有一条．【评注】本题考查了平面向量与圆锥曲线的综合应用，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于难题．21．（18分）已知1x ，2x R ∈，若对任意的21x x S -∈，21()()f x f x S -∈，则有定义：()f x 是在S 关联的． （1）判断和证明()21f x x =-是否在[0,)+∞关联？是否有[0,1]关联？（2）若()f x 是在{3}关联的，()f x 在[0,3]x ∈时，2()2f x x x =-，求解不等式：2()3f x ． （3）证明：()f x 是{1}关联的，且是在[0,)+∞关联的，当且仅当“()f x 在[1,2]是关联的”． 【解析】（1）()f x 在[0,)+∞关联，在[0,1]不关联，任取12[0,)x x -∈+∞，则1212()()2()[0,)f x f x x x -=-∈+∞，()f x ∴在[0,)+∞关联； 取11x =，20x =，则121[0,1]x x -=∈，1212()()2()2[0,1]f x f x x x -=-=∉，()f x ∴在[0,1]不关联；（2）()f x 在{3}关联，∴对于任意123x x -=，都有12()()3f x f x -=，∴对任意x ，都有(3)()3f x f x +-=，由[0,3)x ∈时，2()2f x x x =-，得()f x 在[0,3)x ∈的值域为[1,3)-，()f x ∴在[3,6)x ∈的值域为[2,6)， 2()3f x ∴仅在[0,3)x ∈或[3,6)x ∈上有解，[0,3)x ∈时，2()2f x x x =-，令2223x x -13x <，[3,6)x ∈时，2()(3)3818f x f x x x =-+=-+，令228183x x -+，解得35x ，∴不等式2()3f x 的解为1,5]，（3）证明：①先证明：()f x 是在{1}关联的，且是在[0,)+∞关联的()f x ⇒在[1,2]是关联的， 由已知条件可得，(1)()1f x f x +=+，()()f x n f x n ∴+=+，n Z ∈， 又()f x 是在[0,)+∞关联的，∴任意21x x >，21()()f x f x >成立，若2112x x -，12112x x x ∴++，121(1)()(2)f x f x f x ∴++，即121()1()()2f x f x f x ++， 211()()2f x f x ∴-，()f x ∴是[1,2]关联，②再证明：()f x 在[1,2]是关联的()f x ⇒是在{1}关联的，且是在[0,)+∞关联的， ()f x 在[1,2]是关联的，∴任取12[1,2]x x -∈，都有12()()[1,2]f x f x -∈成立，即满足1212x x -，都有121()()2f x f x -， 下面用反证法证明(1)()1f x f x +-=，若(1)()1f x f x +->，则(2)()(2)(1)(1)()2f x f x f x f x f x f x +-=+-+++->，与()f x 在[1,2]是关联的矛盾，若(1)()1f x f x +-<，而()f x 在[1,2]是关联的，则(1)()1f x f x +-，矛盾， (1)()1f x f x ∴+-=成立，即()f x 是在{1}关联的，再证明()f x 是在[0,)+∞关联的，任取12[,)()x x n n N -∈+∞∈，则存在n N ∈，使得任取12[,1]()x x n n n N -∈+∈， 121(1)2x n x ---，1212[(1)]()()(1)()[1,2]f x n f x f x n f x ∴---=---∈， 12()()[,1][0,)f x f x n n ∴-⊆+⊆+∞，()f x ∴是在[0,)+∞关联的；综上所述，()f x 是{1}关联的，且是在[0,)+∞关联的，当且仅当“()f x 在[1,2]是关联的”，故得证． 【评注】该题考查了函数求解析式，解不等式，函数恒成立的知识，对学生逻辑推理能力提出了很高的要求，属于难题．。

精心整理2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. （4分）（2018?上海）行列式° 1的值为18 .2 5【考点】OM :二阶行列式的定义.【专题】11:计算题；49:综合法；5R:矩阵和变换.【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可.【解答】解：行列式*】=4X 5 -2X仁18.2 5 ；故答案为：18.【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查.2. （4分）（2018?上海）双曲线二;--y2 3 4 5 6=1的渐近线方程为土一工.【考点】KC :双曲线的性质.【专题】11:计算题.【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程.I 2 n【解答】解：•••双曲线’.■- |的a=2，b=1，焦点在x轴上2 2 ■| i u而双曲线------- 的渐近线方程为y=±二丁精心整理【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数.2 I 1I——双曲线1的渐近线方程为y= ±寺芷故答案为：y=±—工【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3. （4分）（2018?上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21 （结果用数值表示）.【考点】DA :二项式定理.【解答】解：二项式（1+X）7展开式的通项公式为T r+1= ：?X「，令r=2,得展开式中x2的系数为c铲21.故答案为：21.【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题.4. （4分）（2018?上海）设常数a€ R,函数f （x）=1og2 （x+a）.若f （x）的反函数的图象经过点（3, 1）,则a= 7 .【考点】4R:反函数.【专题】11:计算题；33:函数思想；40:定义法；51:函数的性质及应用.【分析】由反函数的性质得函数f （x）=1og2 （x+a）的图象经过点（1, 3）,由此能求出a.【解答】解：•常数a€ R,函数 f （x）=1og2 （x+a）. 「f （x）的反函数的图象经过点（3, 1）,•••函数f （x）=1og2 （x+a）的图象经过点（1, 3）,•••Iog2 （1+a）=3,解得a=7.故答案为：7.【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.5. （4分）（2018?上海）已知复数z满足（1+i）z=1 - 7i （i是虚数单位），则| z| = 5 .【考点】A8 :复数的模.I\ I ;【专题】38:对应思想；4A:数学模型法；5N :数系的扩充和复数.【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案. 【解答】解：由（1+i）z=1 - 7i,得1-五-6-8i 戸得二（1+i ）（17〕，则|z|= 」二 ..故答案为：5.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.6. （4分）（2018?上海）记等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a3=0, a s+a z=14,则S7= 14 . 【考点】85:等差数列的前n项和.精心整理【专题】11:计算题；34:方程思想；40:定义法；54:等差数列与等比数列.【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a i=- 4, d=2，由此能求出S7.【解答】解：•••等差数列{a n}的前n项和为S n, a3=0, a6+a7=14.If ai+2d=0・・< a i+5a i+6d=l 4解得a i= - 4, d=2,••• S7=7a i+^^ 尸-28+42=14.故答案为：14.【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.7. (5分)(2018?上海)已知a€ { - 2,- 1,-一. 一，1, 2, 3}，若幕函数f (x) =x a为奇函数，■1—1且在(0, +x)上递减，则a= - 1 .【考点】4U :幕函数的概念、解析式、定义域、值域.【专题】11:计算题；34:方程思想；4O:定义法；51:函数的性质及应用.【分析】由幕函数f (x) =x a为奇函数，且在(0, +x)上递减，得到a是奇数，且a v0,由此能求出a的值.【解答】解: T a€ { - 2,- 1, 1, 1, 2, 3},幕函数f (x) =x a为奇函数，且在(0, +X)上递减，• a是奇数，且a v0,•••a=- 1.故答案为：-1.【点评】本题考查实数值的求法，考查幕函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.8. (5分)(2018?上海)在平面直角坐标系中，已知点 A (- 1, 0)、B (2, 0), E、F是y轴上的两个动点，且|卩|=2，则二，匸的最小值为 -3 .【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】11:计算题；35:转化思想；41:向量法；5A :平面向量及应用.【分析】据题意可设E (0, a), F (0, b),从而得出| a- b| =2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得1|■ ■ - •,将a=b+2带入上式即可求出‘I的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出.1 'I的最小值.精心整理【解答】解：根据题意，设E （0, a）, F （0, b）;二丨丨--:;•••a=b+2，或b=a+2 ；且|三站・• •「:；.••両■丽二一2十命；当a=b+2时，…丨.：「— | < | :;••• b2+2b- 2的最小值为；4 ■；• < -1 ；的最小值为-3,同理求出b=a+2时，Z-I卜的最小值为-3.故答案为：-3.【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式.9. （5分）（2018?上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是丄（结果用最简分数表示）.—冬—【考点】CB :古典概型及其概率计算公式.【专题】11:计算题；34:方程思想；49 :综合法；51:概率与统计.【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可.【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2,没有2，3种情况，所有的事件总数为：心訂10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5, 3, 1或5, 2, 2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：亠4,故答案为：亍.【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查.10. （5分）（2018?上海）设等比数列｛a n｝的通项公式为a n=q n_ 1（n€ N*）,前n项和为S n.若lim-—=^，贝卩q=—.n—K a n+i z【考点】8J:数列的极限.【专题】11:计算题；34:方程思想；35:转化思想；49:综合法；55:点列、递归数列与数学归纳法.【分析】禾I 」用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可. 【解答】解：等比数列｛an ｝的通项公式为a =q"1 (n € N*),可得a i =1, 因为 r 八‘=丄，所以数列的公比不是1,n+s a n+l 乂【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用, 是基本知识的考查.11. (5分)(2018?上海)已知常数a >0,函数f(x )=' 的图象经过点P(p,\),Q(q ,)•若2z +ax552p+q =36pq ，则 a= 6.【考点】3A :函数的图象与图象的变换. 【专题】35:转化思想；51:函数的性质及应用.【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的 a 值. 【解答】解：函数f (x ) =_-——的图象经过点P (p , ¥), Q (q ,丄).严十" 同 I 5 则：一二丄,2p +ap 2q faq 55整理得：「=1,2p+n + 2p aQ+2q ap+解得：2p+q =a 2pq , 由于：2p+q =36pq , 所以：a 2=36, 由于a >0, 故：a=6.口1 -Qna n +i =q .可得 lim “n -*-00 (l _q) q1」1可得q=3.故答案为：3.故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用.12'( 5分)(2018?上海)已知实数"心 y1、y2 满足：Xl2+yi2=1, X22处1, X1X2+y1y2「则"I —"的最大值为一+亠【考点】7F :基本不等式及其应用；IT :点到直线的距离公式. 【专题】35:转化思想；48 :分析法；59 :不等式的解法及应用.【分析】设A (x i , y i ), B (x 2, y 2), OA = (x i , y i ), OB = (x 2, y 2),由圆的方程和向量数量积的为点A , B 两点到直线x+y - 1=0的距离d i 与d 2之和，由两平行线的距离可得所求最大值. 【解答】解：设 A (x i , y i ) , B (x 2, y 2),'■= (x i , y i ), l-= (X 2 , y 2),由 x i 2+y i 2=1, x 22+y 22=1 , x i x 2+y i y 2= 2可得A , B 两点在圆x 2+y 2=1上, 且玉鉅=1 X 1 x cos / AOB=L ,2 [- 即有/ AOB=6° ,即三角形OAB 为等边三角形, AB=1 ,弱'5弱"的几何意义为点A ，B 两点 到直线x+y - 1=0的距离d i 与d 2之和,显然A , B 在第三象限，AB 所在直线与直线x+y=1平行, 可设 AB : x+y+t=0 , (t > 0), 由圆心O 到直线AB 的距离精心整理即h 、川+丨丄「： 1的最大值为:-:+ ■;,V2 V2故答案为：.〕+「::.【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系， 运=■: 1 -苗2即有两平行线的距离为 定义、坐标表示,可得三角形 OAB 为等边三角形,AB=1,I xj+yI -11 J的几何意义可得2 ：二1=1，解得t=.,用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项•考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.2 2|13. （5分）（2018?上海）设P是椭圆=1上的动点，贝U P到该椭圆的两个焦点的距离之和为5 3（）A. 2B. 2 :;C. 2 !.D. 4 '：：」［\ \ : J J ；'【考点】K4 :椭圆的性质.【专题】11:计算题；49:综合法；5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a,接利用椭圆的定义，转化求解即可.2 2【解答】解：椭圆'=1的焦点坐标在x轴，a="，5 32 2 -P是椭圆I厂=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2 J 5 3故选：C.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查.14. （5分）（2018?上海）已知a€ R,贝U “A1”是1”的（）A .充分非必要条件B .必要非充分条件C•充要条件D.既非充分又非必要条件【考点】29 :充分条件、必要条件、充要条件.【专题】11:计算题；34:方程思想；40:定义法；5L :简易逻辑.【分析】“A 1”？“丈1”，丄V1”？“A 1或a v 0”，由此能求出结果.a a【解答】解：a€ R,贝U “A1”？“V1”，a丄J .”？“a 1 或a v0”，a... “A 1”是丄"的充分非必要条件.a故选：A.精心整理【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.15. （5分）（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA i是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A. 4B. 8C. 12D. 16【考点】D8:排列、组合的实际应用.【专题】11:计算题；38:对应思想；4R:转化法；5O:排列组合.【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.【解答】解：根据正六边形的性质，则D1- A1ABB1, D1 - A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E,和D1 一样，有2X6=12，丿I J '当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意，故有12+2+2=16故选：D.【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题.16. （5分）（2018?上海）设D是含数1的有限实数集，f （x）是定义在D上的函数，若f （x）的图象绕原点逆时针旋转一后与原图象重合，则在以下各项中，f （1）的可能取值只能是（）6A. .「；B.C. _D. 0【考点】3A :函数的图象与图象的变换.【专题】35:转化思想；51:函数的性质及应用；56:三角函数的求值.I ■-.. I .【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转——个单位后6与下一个点会重合.我们可以通过代入和赋值的方法当 f （1）=亠一，0时，此时得到的圆心角为0,然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当x=—，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y,因此答案就选：B.2 b故选：B .【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17. (14分)(2018?上海)已知圆锥的顶点为 P ,底面圆心为O ,半径为2. (1) 设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；(2) 设PO=4, OA 、OB 是底面半径，且/ AOB=9° , M 为线段AB 的中点，如图•求异面直线 PM 与OB 所成的角的大小.【考点】LM :异面直线及其所成的角；L5 :旋转体(圆柱、圆锥、圆台)；LF :棱柱、棱锥、棱 台的体积.【专题】11:计算题；31:数形结合；41 :向量法；5F :空间位置关系与距离；5G :空间角. 【分析】(1)由圆锥的顶点为P ,底面圆心为O ,半径为2,圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积. (2)以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求 出异面直线PM 与OB 所成的角.I' ；: a | !【解答】解：(1) •••圆锥的顶点为P ,底面圆心为O ,半径为2,圆锥的母线长为4, •••圆锥的体积 v=£ X 71 心2 x h=7" X IT X 22 X^/7^-22J J =師兀■.(2) T PO=4, OA , OB 是底面半径，且 / AOB=9° , M 为线段AB 的中点，•••以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，P (0, 0, 4), A (2, 0, 0), B (0, 2, 0), M (1, 1, 0), O (0, 0, 0),「二(1 , 1 , - 4) , ' = (0 , 2 , 0), 设异面直线PM 与OB 所成的角为9,• 9 =arcc飞'【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题. 18. (14分)(2018?上海)设常数 a € R ,函数 f (x ) =asin2x+2cos 2x . (1) 若f (x )为偶函数,求a 的值；=I M -O E I =::.|wi | - |0B |6则 cos 9•异面直线PM 与OB 所成的角的为arccos —19. (14分)(2018?上海)某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的 平均用时.某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当 S 中X% (0v x v 100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为(2)若 f (K 7【考点】GP :两角和与差的三角函数；GS :二倍角的三角函数. 计算题；38:对应思想；4R :转化法；58:解三角形. )=丘+1,求方程f (x ) =1 -血在区间［-n n 上的解.【专题】11:【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出, (2)先求出 a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出.(1) v f (x ) =asin2x+2co$x , • f (- x ) = - asin2x+2co$x ,v f (x )为偶函数,【解答】解:• f (- x ) =f (x ),• - asin2x+2co$x=asin2x+2coSx , 二 2asi n2x=0, • a=0；(2) v f (丄)=-；+1 ,4• asin ——+2cos (日=a+1="，• f (x ) = :;si n2x+2coVx= :;si n2x+cos2x+1= 2sin (2x+—) +1 ,••• f (x ) =1 - :■:, • 2sin (2x+二)+1=1-近,6••• sin (2x • 2x^—=-66 4n +2k n, k € Z ,n +k n,或 x= 13 24n +k n, k € Z ,v x € [ -n n ,"24"13K ~24~【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题.或x=或x=- 或x=-IT+2kn,或精心整理IpO, 0<x<30f ( X )= 30< .<100 (单位：分钟)，I H 而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1) 当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2) 求该地上班族S 的人均通勤时间g(x )的表达式；讨论g( x )的单调性，并说明其实际意义.【考点】5B :分段函数的应用.【专题】12:应用题；33:函数思想；4C :分类法；51:函数的性质及应用.【分析】(1)由题意知求出f (x ) >40时x 的取值范围即可；(2) 分段求出g (x )的解析式，判断g (x )的单调性，再说明其实际意义.【解答】解；(1)由题意知，当30v x V 100时，即 x 2- 65x+900>0,解得x V 20或x > 45，•I x € (45， 100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2) 当 0v x <30 时,g (x ) =30?x%+40 (1-x%) =40-希;丄LJ当 30v x V 100 时, 当0V x v 32.5时，g (x )单调递减； 当32.5V x v 100时，g (x )单调递增;说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的;有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少.【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力.20. (16分)(2018?上海)设常数t >2•在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2, 0)，直线I : x=t ， 曲线r y 2=8x (0< x < t , y >0). I 与x 轴交于点A 、与r 交于点B . P 、Q 分别是曲线r 与线段 AB 上的动点.(1) 用t 表示点B 到点F 的距离;f (x ) =2x+1800 -90>40, (2x+^^To一 2 23 "102 90) ?x%+40 (1 - x%) 奇-托x+58; 13 10 g (x )= 二 g(x )（2） 设t=3, |FQ|=2,线段0Q 的中点在直线FP 上，求△ AQP 的面积；（3） 设t=8,是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在r 上？若存在，求点P 的坐标; 若不存在，说明理由.【考点】KN :直线与抛物线的位置关系.【专题】35:转化思想；4R :转化法；5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】（1）方法一：设B 点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得| BF| ;方法二：根据抛物线的定义，即可求得| BF| ;（2） 根据抛物线的性质，求得 Q 点坐标，即可求得0D 的中点坐标，即可求得直线 PF 的方程， 代入抛物线方程，即可求得 P 点坐标，即可求得△ AQP 的面积；（3） 设P 及E 点坐标，根据直线k PF ?k FQ = - 1，求得直线QF 的方程，求得Q 点坐标，根据「+卩」=-，求得E 点坐标，贝则（牝+F ） 2=8 （「+6），即可求得P 点坐标. ；'| I 知 I m :/【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设 B （t ，2逅t ）,则 |BF|=. •=+2， •••I BF|=t+2；方法二：由题意可知：设 B (t , 2血t ),由抛物线的性质可知：| BF| =t^-=t+2, • | BF| =t+2；(2) F (2, 0), |FQ|=2, t=3,则 | FA| =1,• |AQ|=庚，• Q （3,旧,设OQ 的中点D ,解得：x==, x=6 （舍去），• △ AQP 的面积S 〒x 體X 丄斗3 ；(3)存在，设 P (牛，y ), E (弓m ),则 k PF =^^= J , k FQ 芈H 3 8 匚―y -16 8V8),D ( V3严 k QF = =-屈，则直线PF 方程：y=-犯（x - 2）,，整理得: 3x 2- 20x+12=0,2 2 2 2直线QF 方程为卡（x -2），「y Q 嚮（8-2）咛，Q （8,气 j 根据丨•+ |.'=「.，则 E C +6，’亠丁）,8 4y2 2...（耳J ）2=8 （红+6）,解得：y 2半,4y 8 5.存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在r 上，且P （二，）【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档 题.21. （18分）（2018?上海）给定无穷数列｛an ｝，若无穷数列｛b n ｝满足：对任意n € N *，都有|b n -a n | w 1，则称｛ b n ｝与｛a n ｝接近”.（1） 设｛a n ｝是首项为1，公比为丄的等比数列，b n =a n +1 + 1， n € N ，判断数列｛b n ｝是否与｛a n ｝接近， 并说明理由；（2） 设数列｛a n ｝的前四项为：a 1=1， a 2=2， a 3=4， a 4=8，｛b n ｝是一个与｛a n ｝接近的数列，记集合 M=｛x|x=b i ， i=1， 2， 3， 4｝，求 M 中元素的个数 m ；（3） 已知｛a n ｝是公差为d 的等差数列，若存在数列｛b n ｝满足：｛b n ｝与｛a n ｝接近，且在b 2 - b 1，b 3- b 2，…，b 201 - b 200中至少有100个为正数，求d 的取值范围.【考点】8M :等差数列与等比数列的综合.【专题】34：方程思想；48 :分析法；54：等差数列与等比数列.【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义 接近”，即可判断；（2） 由新定义可得 1 w b n <a n +1，求得b i ，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3） 运用等差数列的通项公式可得 an ，讨论公差d >0, d=0，- 2v d v 0, d w - 2,结合新定义 接 近”，推理和运算，即可得到所求范围.【解答】解：（1）数列｛b n ｝与｛a n ｝接近.可得 a n - 1 w b n W an+1 ,理由：｛an ｝是首项为1,公比为寺的等比数列,,b n =a n +1 +1=丄2n |=1- 可得a n = +1,2n_1 可得数列｛b n ｝与｛an ｝接近；（2） ｛b n ｝是一个与｛an ｝接近的数列, v 1, n € N *,则 | b n - a n | =|1数列｛a n｝的前四项为：a i=1, a2=2, 33=4, a4=8,可得b i€ [0, 2] , b2€ [ 1, 3] , b3€ [3, 5] , b4€ [7, 9],可能b i与b2相等，b2与b3相等，但b i与b3不相等，b4与b3不相等，集合M=｛x|x=b i, i=1, 2, 3, 4｝,M中元素的个数m=3或4;(3)｛a n｝是公差为d的等差数列,若存在数列｛b n｝满足：｛b n｝与｛a n｝接近,可得a n=a1 + (n - 1) d ,①若d>0 ,取b n=a n ,可得b n+1 - b n=a n+1 - a n=d> 0 ,则b2 - b1 , b3 - b2 ,…，b201 - b200中有200个正数，符合题意；②若d=0 ,取b n=a1 -丄，则|b n- a n|=|a1-丄-a1| —v 1 , n€ N ,n n nI ------------- 1 j ”产/ ' I可得b n+1 - b n=—- > 0 ,n n+1则b2 - b1 , b3 - b2 ,…，b201 - b200中有200个正数，符合题意；③若-2v d v 0 ,可令b2n- 1=a2n-1 - 1 , b2n=a2n+1 ,贝U b2n —b2n-1=a2n+1 -( 92nT — 1 ) =2+d > 0 ,则b2 - b1 , b3 - b2 ,…，b201 - b200中恰有100个正数，符合题意；④若d< - 2,若存在数列｛b n｝满足：｛b n｝与｛a n｝接近,即为a n —1W b n W cl n+1 , a n+1 —1W b n+1 9n+1 +1 ,可得b n+1 - b n< a n+1 + 1 -(a n - 1) =2+d< 0 ,b2 - b1 , b3 - b2 ,…,b201 - b200中无正数，不符合题意.综上可得，d的范围是(-2 , +x).【点评】本题考查新定义接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用,I . i :考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题.感恩和爱是亲姐妹。

2020年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，4，5}，则A∩B＝．2．（4分）计算：＝．3．（4分）已知复数z＝1﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝．4．（4分）已知函数f（x）＝x3，f′（x）是f（x）的反函数，则f′（x）＝．5．（4分）已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为．6．（4分）已知行列式＝6，则＝．7．（5分）已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab＝．8．（5分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，且a1+a10＝a9，则＝．9．（5分）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．10．（5分）已知椭圆C：+＝1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C 于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是．11．（5分）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件：（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；（2）关于x的方程f（x）＝a无实数解，则a的取值范围是．12．（5分）已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab 14．（5分）已知直线方程3x+4y+1＝0的一个参数方程可以是（）A．B．C．D．15．（5分）在棱长为10的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线相交的面是（）A．AA1B1B B．BB1C1C C．CC1D1D D．ABCD 16．（5分）命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f（x+a）＜f（x）+f（a）；命题q1：f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立；命题q2：f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，则下列说法正确的是（）A．只有q1是p的充分条件B．只有q2是p的充分条件C．q1，q2都是p的充分条件D．q1，q2都不是p的充分条件三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．（1）求该圆柱的表面积；（2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角．18．（14分）已知函数f（x）＝sinωx，ω＞0．（1）f（x）的周期是4π，求ω，并求f（x）＝的解集；（2）已知ω＝1，g（x）＝f2（x）+f（﹣x）f（﹣x），x∈[0，]，求g（x）的值域．19．（14分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v＝，x为道路密度，q为车辆密度．v＝f（x）＝．（1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围；（2）已知道路密度x＝80，交通流量v＝50，求车辆密度q的最大值．20．（16分）已知双曲线Γ1：﹣＝1与圆Γ2：x2+y2＝4+b2（b＞0）交于点A（x A，y A）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x＞|x A|的部分．（1）若x A＝，求b的值；（2）当b＝，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2；（3）过点D（0，+2）斜率为﹣的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示•，并求•的取值范围．21．（18分）已知数列{a n}为有限数列，满足|a1﹣a2|≤|a1﹣a3|≤…≤|a1﹣a m|，则称{a n}满足性质P．（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；（2）若a1＝1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；（3）若{a n}是1，2，3，…，m的一个排列（m≥4），{b n}符合b k＝a k+1（k＝1，2，…，m﹣1），{a n}、{b n}都具有性质P，求所有满足条件的数列{a n}．2020年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，4，5}，则A∩B＝{2，4} ．【分析】由交集的定义可得出结论．【解答】解：因为A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则A∩B＝{2，4}．故答案为：{2，4}．【点评】本题考查交集的定义，属于基础题．2．（4分）计算：＝．【分析】由极限的运算法则和重要数列的极限公式，可得所求值．【解答】解：＝＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查数列的极限的求法，注意运用极限的运算性质，考查运算能力，是一道基础题．3．（4分）已知复数z＝1﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝．【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解．【解答】解：由z＝1﹣2i，得|z|＝．故答案为：．【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．4．（4分）已知函数f（x）＝x3，f′（x）是f（x）的反函数，则f′（x）＝x，x∈R．【分析】由已知求解x，然后把x与y互换即可求得原函数的反函数．【解答】解：由y＝f（x）＝x3，得x＝，把x与y互换，可得f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x）＝．故答案为：．【点评】本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．5．（4分）已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为﹣1 ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图阴影部分，化目标函数z＝y﹣2x为y＝2x+z，由图可知，当直线y＝2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，联立，解得，即A（1，1）．z有最大值为1﹣2×1＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（4分）已知行列式＝6，则＝ 2 ．【分析】直接利用行列式的运算法则求解即可．【解答】解：行列式＝6，可得3＝6，解得＝2．故答案为：2．【点评】本题考查行列式的应用，代数余子式的应用，是基本知识的考查．7．（5分）已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab＝36 ．【分析】分别由题意结合中位数，平均数计算方法得a+b＝13，＝3，解得a，b，再算出答案即可．【解答】解：因为四个数的平均数为4，所以a+b＝4×4﹣1﹣2＝13，因为中位数是3，所以＝3，解得a＝4，代入上式得b＝13﹣4＝9，所以ab＝36，故答案为：36．【点评】本题考查样本的数字特征，中位数，平均数，属于基础题．8．（5分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，且a1+a10＝a9，则＝．【分析】根据等差数列的通项公式可由a1+a10＝a9，得a1＝﹣d，在利用等差数列前n 项和公式化简即可得出结论．【解答】解：根据题意，等差数列{a n}满足a1+a10＝a9，即a1+a1+9d＝a1+8d，变形可得a1＝﹣d，所以＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的前n项和与等差数列通项公式的应用，注意分析a1与d的关系，属于基础题．9．（5分）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有180 种安排情况．【分析】根据题意，由组合公式得共有排法，计算即可得出答案．【解答】解：根据题意，可得排法共有＝180种．故答案为：180．【点评】本题考查组合数公式，解题关键是正确理解题意并熟悉组合数公式，属于基础题．10．（5分）已知椭圆C：+＝1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是x+y﹣1＝0 ．【分析】求出椭圆的右焦点坐标，利用已知条件求出直线的斜率，然后求解直线方程．【解答】解：椭圆C：+＝1的右焦点为F（1，0），直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，可知直线l的斜率为﹣1，所以直线l的方程是：y＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0．故答案为：x+y﹣1＝0．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用直线与直线的对称关系的应用，直线方程的求法，是基本知识的考查．11．（5分）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件：（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；（2）关于x的方程f（x）＝a无实数解，则a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．【分析】根据条件（1）可知x0＝0或1，进而结合条件（2）可得a的范围【解答】解：根据条件（1）可得x0＝0或1，又因为关于x的方程f（x）＝a无实数解，所以a≠0或1，故a∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，属于基础题．12．（5分）已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是 6 ．【分析】设，，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得k的最大值．【解答】解：如图，设，，由||＝1，且|﹣|∈{1，2}，分别以A1，A2为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k的最大值为6．故答案为：6．【点评】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab 【分析】利用（a+b）2≥0恒成立，可直接得到a2+b2≥﹣2ab成立，通过举反例可排除ACD．【解答】解：A．显然当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故A错误；B．∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，∴a2+b2≥﹣2ab，故B正确；C．显然当a＜0，b＜0时，不等式a+b≥2不成立，故C错误；D．显然当a＞0，b＞0时，不等式a2+b2≤﹣2ab不成立，故D错误．故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题．14．（5分）已知直线方程3x+4y+1＝0的一个参数方程可以是（）A．B．C．D．【分析】选项的参数方程，化为普通方程，判断即可．【解答】解：的普通方程为：，即4x+3y﹣1＝0，不正确；的普通方程为：，即3x+4y+1＝0，正确；的普通方程为：，即4x+3y﹣1＝0，不正确；的普通方程为：，即3x+4y﹣7＝0，不正确；故选：B．【点评】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化，是基本知识的考查．15．（5分）在棱长为10的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线相交的面是（）A．AA1B1B B．BB1C1C C．CC1D1D D．ABCD【分析】由图可知点P在△AA1D内，过P作EF∥A1D，且EF∩AA1于E，EF∩AD于F，在平面ABCD中，过F作FG∥CD，交BC于G，由平面与平面平行的判定可得平面EFG ∥平面A1DC，连接AC，交FG于M，连接EM，再由平面与平面平行的性质得EM∥A1C，在△EFM中，过P作PN∥EM，且PN∩FM于N，可得PN∥A1C，由此说明过点P且与A1C平行的直线相交的面是ABCD．【解答】解：如图，由点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，可得P在△AA1D内，过P作EF∥A1D，且EF∩AA1于E，EF∩AD于F，在平面ABCD中，过F作FG∥CD，交BC于G，则平面EFG∥平面A1DC．连接AC，交FG于M，连接EM，∵平面EFG∥平面A1DC，平面A1AC∩平面A1DC＝A1C，平面A1AC∩平面EFM＝EM，∴EM∥A1C．在△EFM中，过P作PN∥EM，且PN∩FM于N，则PN∥A1C．∵线段FM在四边形ABCD内，N在线段FM上，∴N在四边形ABCD内．∴过点P且与A1C平行的直线相交的面是ABCD．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．16．（5分）命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f（x+a）＜f（x）+f（a）；命题q1：f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立；命题q2：f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，则下列说法正确的是（）A．只有q1是p的充分条件B．只有q2是p的充分条件C．q1，q2都是p的充分条件D．q1，q2都不是p的充分条件【分析】对于命题q1：当a＞0时，结合f（x）单调递减，可推出f（x+a）＜f（x）＜f（x）+f（a），命题q1是命题p的充分条件．对于命题q2：当a＝x0＜0时，f（a）＝f（x0）＝0，结合f（x）单调递增，推出f（x+a）＜f（x），进而f（x+a）＜f（x）+f （a），命题q2都是p的充分条件．【解答】解：对于命题q1：当f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立时，当a＞0时，此时x+a＞x，又因为f（x）单调递减，所以f（x+a）＜f（x）又因为f（x）＞0恒成立时，所以f（x）＜f（x）+f（a），所以f（x+a）＜f（x）+f（a），所以命题q1⇒命题p，对于命题q2：当f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，当a＝x0＜0时，此时x+a＜x，f（a）＝f（x0）＝0，又因为f（x）单调递增，所以f（x+a）＜f（x），所以f（x+a）＜f（x）+f（a），所以命题p2⇒命题p，所以q1，q2都是p的充分条件，故选：C．【点评】本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等式之间关系，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．（1）求该圆柱的表面积；（2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角．【分析】（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，依次求出圆面和矩形的面积，相加即可；（2）先利用线面垂直的判定定理证明AD1⊥平面ADB，连接CD1，则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角，再利用三角函数的知识求出cos∠D1CA即可．【解答】解：（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，∴S＝2×π×12+2π×1＝4π．故该圆柱的表面积为4π．（2）∵正方形ABC1D1，∴AD1⊥AB，又∠DAD1＝，∴AD1⊥AD，∵AD∩AB＝A，且AD、AB⊂平面ADB，∴AD1⊥平面ADB，即D1在面ADB上的投影为A，连接CD1，则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角，而cos∠D1CA＝＝，∴线段CD1与平面ABCD所成的角为arccos．【点评】本题考查圆柱的表面积、空间线面夹角问题，熟练掌握线面垂直的判定定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．18．（14分）已知函数f（x）＝sinωx，ω＞0．（1）f（x）的周期是4π，求ω，并求f（x）＝的解集；（2）已知ω＝1，g（x）＝f2（x）+f（﹣x）f（﹣x），x∈[0，]，求g（x）的值域．【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．（2）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．【解答】解：（1）由于f（x）的周期是4π，所以ω＝，所以f（x）＝sin．令sin，故或，整理得或．故解集为{x|或，k∈Z}．（2）由于ω＝1，所以f（x）＝sin x．所以g（x）＝＝＝﹣＝﹣sin（2x+）．由于x∈[0，]，所以．，故，故．所以函数g（x）的值域为[﹣．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．（14分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v＝，x为道路密度，q为车辆密度．v＝f（x）＝．（1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围；（2）已知道路密度x＝80，交通流量v＝50，求车辆密度q的最大值．【分析】（1）易知v越大，x越小，所以v＝f（x）是单调递减函数，k＞0，于是只需令，解不等式即可；（2）把x＝80，v＝50代入v＝f（x）的解析式中，求出k的值，利用q＝vx可得到q 关于x的函数关系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上q的最大值，取较大者即可．【解答】解：（1）∵v＝，∴v越大，x越小，∴v＝f（x）是单调递减函数，k＞0，当40≤x≤80时，v最大为85，于是只需令，解得x＞3，故道路密度x的取值范围为（3，40）．（2）把x＝80，v＝50代入v＝f（x）＝﹣k（x﹣40）+85中，得50＝﹣k•40+85，解得k＝．∴q＝vx＝，当0＜x＜40时，q单调递增，q＜100×40﹣135×≈4000；当40≤x≤80时，q是关于x的二次函数，开口向下，对称轴为x＝，此时q有最大值，为＞4000．故车辆密度q的最大值为．【点评】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档题．20．（16分）已知双曲线Γ1：﹣＝1与圆Γ2：x2+y2＝4+b2（b＞0）交于点A（x A，y A）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x＞|x A|的部分．（1）若x A＝，求b的值；（2）当b＝，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2；（3）过点D（0，+2）斜率为﹣的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示•，并求•的取值范围．【分析】（1）联立曲线Γ1与曲线Γ2的方程，以及x A＝，解方程可得b；（2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角；（3）设直线l：y＝﹣x+，求得O到直线l的距离，判断直线l与圆的关系：相切，可设切点为M，考虑双曲线的渐近线方程，只有当y A＞2时，直线l才能与曲线Γ有两个交点，解不等式可得b的范围，由向量投影的定义求得•，进而得到所求范围．【解答】解：（1）由x A＝，点A为曲线Γ1与曲线Γ2的交点，联立，解得y A＝，b＝2；（2）由题意可得F1，F2为曲线Γ1的两个焦点，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|＝8，2a＝4，所以|PF2|＝8﹣4＝4，因为b＝，则c＝＝3，所以|F1F2|＝6，在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝＝，由0＜∠F1PF2＜π，可得∠F1PF2＝arccos；（3）设直线l：y＝﹣x+，可得原点O到直线l的距离d＝＝，所以直线l是圆的切线，设切点为M，所以k OM＝，并设OM：y＝x与圆x2+y2＝4+b2联立，可得x2+x2＝4+b2，可得x＝b，y＝2，即M（b，2），注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当y A＞2时，直线l才能与曲线Γ有两个交点，由，可得y A2＝，所以有4＜，解得b2＞2+2或b2＜2﹣2（舍去），因为为在上的投影可得，•＝4+b2，所以•＝4+b2＞6+2，则•∈（6+2，+∞）．【点评】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．21．（18分）已知数列{a n}为有限数列，满足|a1﹣a2|≤|a1﹣a3|≤…≤|a1﹣a m|，则称{a n}满足性质P．（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；（2）若a1＝1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；（3）若{a n}是1，2，3，…，m的一个排列（m≥4），{b n}符合b k＝a k+1（k＝1，2，…，m﹣1），{a n}、{b n}都具有性质P，求所有满足条件的数列{a n}．【分析】（1）根据定义，验证两个数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P 即可；（2）假设公比q的等比数列满足性质p，可得：|a1﹣a1q n|≥|a1﹣a1q n﹣1|，推出（q﹣1）q n﹣1[q n﹣1（q+1）﹣2]≥0，通过q≥1，0＜q≤1时，﹣1≤q＜0时：q＜﹣1时，四种情况讨论求解即可．（3）设a1＝p，分p＝1时，当p＝m时，当p＝2时，当p＝m﹣1时，以及P∈{3，4，…，m﹣3，m﹣2}，五种情况讨论，判断数列{a n}的可能情况，分别推出{b n}判断是否满足性质P即可．【解答】解：（1）对于数列3，2，5，1，有|2﹣3|＝1，|5﹣3|＝2，|1﹣3|＝2，满足题意，该数列满足性质P；对于第二个数列4、3、2、5、1，|3﹣4|＝1，|2﹣4|＝2，|5﹣4|＝1．不满足题意，该数列不满足性质P．（2）由题意：|a1﹣a1q n|≥|a1﹣a1q n﹣1|，可得：|q n﹣1|≥|q n﹣1﹣1|，n∈{2，3，…，9}，两边平方可得：q2n﹣2q n+1≥q2n﹣2﹣2q n﹣1+1，整理可得：（q﹣1）q n﹣1[q n﹣1（q+1）﹣2]≥0，当q≥1时，得q n﹣1（q+1）﹣2≥0此时关于n恒成立，所以等价于n＝2时，q（q+1）﹣2≥0，所以，（q+2）（q﹣1）≥0，所以q≤﹣2，或q≥1，所以取q≥1，当0＜q≤1时，得q n﹣1（q+1）﹣2≤0，此时关于n恒成立，所以等价于n＝2时，q （q+1）﹣2≤0，所以（q+2）（q﹣1）≤0，所以﹣2≤q≤1，所以取0＜q≤1．当﹣1≤q＜0时：q n﹣1[q n﹣1（q+1）﹣2]≤0，当n为奇数时，得q n﹣1（q+1）﹣2≤0，恒成立，当n为偶数时，q n﹣1（q+1）﹣2≥0，不恒成立；故当﹣1≤q＜0时，矛盾，舍去．当q＜﹣1时，得q n﹣1[q n﹣1（q+1）﹣2]≤0，当n为奇数时，得q n﹣1（q+1）﹣2≤0，恒成立，当n为偶数时，q n﹣1（q+1）﹣2≥0，恒成立；故等价于n＝2时，q（q+1）﹣2≥0，所以（q+2）（q﹣1）≥0，所以q≤﹣2或q≥1，所以取q≤﹣2，综上q∈（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．（3）设a1＝p，p∈{3，4，…，m﹣3，m﹣2}，因为a1＝p，a2可以取p﹣1，或p+1，a3可以取p﹣2，或p+2，如果a2或a3取了p﹣3或p+3，将使{a n}不满足性质P；所以{a n}的前5项有以下组合：①a1＝p，a2＝p﹣1；a3＝p+1；a4＝p﹣2；a5＝p+2；②a1＝p，a2＝p﹣1；a3＝p+1；a4＝p+2；a5＝p﹣2；③a1＝p，a2＝p+1；a3＝p﹣1；a4＝p﹣2；a5＝p+2；④a1＝p，a2＝p+1；a3＝p﹣1；a4＝p+2；a5＝p﹣2；对于①，b1＝p﹣1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝1，与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于②，b1＝p﹣1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝3，|b4﹣b1|＝2与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于③，b1＝p+1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝3，|b4﹣b1|＝1与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于④b1＝p+1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝1，与{b n}满足性质P矛盾，舍去；所以P∈{3，4，…，m﹣3，m﹣2}，均不能同时使{a n}、{b n}都具有性质P．当p＝1时，有数列{a n}：1，2，3，…，m﹣1，m满足题意．当p＝m时，有数列{a n}：m，m﹣，…，3，2，1满足题意．当p＝2时，有数列{a n}：2，1，3，…，m﹣1，m满足题意．当p＝m﹣1时，有数列{a n}：m﹣1，m，m﹣2，m﹣3，…，3，2，1满足题意．所以满足题意的数列{a n}只有以上四种．【点评】本题考查数列的综合应用，不等式以及不等关系，二次函数的性质以及函数的相关性质的综合应用，考查分析问题解决问题的能力是难度大的题目，必须由高的数学思维逻辑修养才能解答．。

2022年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.1．（4分）已知z =1+i （其中i 为虚数单位），则2z =．2．（4分）双曲线x 29-y 2=1的实轴长为 ．3．（4分）函数f （x ）=cos 2x -sin 2x +1的周期为 ．4．（4分）已知a ∈R ，行列式a 132的值与行列式a 041的值相等，则a =．5．（4分）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为．6．（4分）x -y ≤0，x +y -1≥0，求z =x +2y 的最小值 ．7．（5分）二项式（3+x ）n 的展开式中，x 2项的系数是常数项的5倍，则n =．8．（5分）若函数f （x ）=V Y Y Y W Y Y Y X a 2x −1x <0x +a x >00x =0，为奇函数，求参数a 的值为 ．9．（5分）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 ．10．（5分）已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前n 项和，若S 5=0，则S i （i =0，1，2，…，100）中不同的数值有 个．11．（5分）若平面向量|a |=|b |=|c |=λ，且满足a •b =0，a •c =2，b •c =1，则λ=．→→→→→→→→→12．（5分）设函数f （x ）满足f (x )=f (11+x)对任意x ∈[0，+∞）都成立，其值域是A f ，已知对任何满足上述条件的f （x ）都有{y |y =f （x ），0≤x ≤a }=A f ，则a 的取值范围为．A ．{-2，-1，0，1}B ．{-1，0，1}C ．{-1，0}D ．{-1}13．（5分）若集合A =[-1，2），B =Z ，则A ∩B =（ ）A ．a +b >2abB ．a +b <2abC ．a 2+2b >2abD ．a 2+2b <2ab 14．（5分）若实数a 、b 满足a >b >0，下列不等式中恒成立的是（ ）√√√√15．（5分）如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 、S 分别为棱AB 、BC 、BB 1、CD 的中点，联结A 1S ，B 1D ．空间任意两点M 、N ，若线段MN 上不存在点在线段A 1S 、B 1D 上，则称MN 两点可视，则下三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.A ．点PB ．点BC ．点RD ．点Q列选项中与点D 1可视的为（ ）A ．①成立②成立B ．①成立②不成立C ．①不成立②成立D ．①不成立②不成立16．（5分）设集合Ω={（x ,y ）|（x -k ）2+（y -k 2）2=4|k |，k ∈Z }①存在直线l ,使得集合Ω中不存在点在l 上，而存在点在l 两侧；②存在直线l ,使得集合Ω中存在无数点在l 上；（ ）17．（14分）如图所示三棱锥，底面为等边△ABC ，O 为AC 边中点，且PO⊥底面ABC ，AP =AC =2．（1）求三棱锥体积V P -ABC ；（2）若M 为BC 中点，求PM 与面PAC所成角大小．18．（14分）f （x ）=log 3（a +x ）+log 3（6-x ）．（1）若将函数f （x ）图像向下移m （m >0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a ,m 的值．（2）若a >-3且a ≠0，求解不等式f （x ）≤f （6-x ）．19．（14分）如图，在同一平面上，AD =BC =6，AB =20，O 为AB 中点，曲线CD 上任一点到O 距离相等，角∠DAB =∠ABC =120°，P ，Q 关于OM 对称，MO ⊥AB ；（1）若点P 与点C 重合，求∠POB 的大小；（2）P 在何位置，求五边形MQABP 面积S的最大值．20．（16分）设有椭圆方程Γ：x2a 2+y2b 2=1（a >b >0），直线l ：x +y -42=0，Γ下端点为A ，M 在l上，左、右焦点分别为F 1（-2，0）、F 2（2，0）．（1）a =2，AM 中点在x 轴上，求点M 的坐标；（2）直线l 与y 轴交于B ，直线AM 经过右焦点F 2，在△ABM 中有一内角余弦值为35，求b ；（3）在椭圆Γ上存在一点P 到l 距离为d ,使|PF 1|+|PF 2|+d =6，随a 的变化，求d 的最小值．√√√21．（18分）数列{a n}对任意n∈N*且n≥2，均存在正整数i∈[1，n-1]，满足a n+1=2a n-a i，a1=1，a2=3．（1）求a4可能值；（2）命题p：若a1，a2，⋯，a8成等差数列，则a9<30，证明p为真，同时写出p逆命题q,并判断命题q是真是假，说明理由；（3）若a2m=3m，（m∈N*）成立，求数列{a n}的通项公式．。

2021年上海市高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知11i z =+，223i z =+，则12z z +=2.已知{|21}A x x =≤，{1,0,1}B =-，则A B = 3.已知圆22240x y x y +--=，则该圆的圆心坐标为4.如图，正方形ABCD 的边长为3，则AB AC ⋅=5.已知3()2f x x=+，则1(1)f -=6.已知二项式5()x a +展开式中，2x 项的系数为80，则a =7.已知实数x 、y 满足2203803x x x y y ⎧⎪--≥≥≤⎨⎪+-⎩，则z x y =-的最大值为8.已知无穷等比数列{}n a 和{}n b ，满足13a =，2n n b a =，n a 的各项和为9，则数列{}n b 的各项和为9.已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，C 为下底面圆周上的一个动点，则ABC 的面积的取值范围为10.已知花博会有四个不同的场馆A 、B 、C 、D ，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个场馆相同的概率为11.已知抛物线：22y px =(0)p >，若第一象限的A 、B 两点在抛物线上，焦点为F ，||2AF =，||4BF =，||3AB =，则直线AB 的斜率为12.已知*i a ∈N (1,2,,9)i =⋯，对任意的*k ∈N (28)k ≤≤，11k k a a -=+或11k k a a +=-中有且仅有一个成立，且16a =，99a =，则91a a ++ 的最小值为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A.3y x=- B.3y x = C.3log xy = D.3xy =14.已知参数方程3342x t ty ⎧=-⎪⎨=⎪⎩[1,1]t ∈-，下列选项的图中，符合该方程的是（）A. B. C.D.15.已知()3sin 2f x x =+，对任意的1[0,]2x π∈，都存在2[0,2x π∈，使得12()2()3f x f x θ++=成立，则下列选项中，θ可能的值为（）A.35π B.45π C.65π D.75π16.已知实数1x 、1y 、2x 、2y 、3x 、3y 同时满足：①11x y <，22x y <，33x y <；②112233x y x y x y +=+=+；③11332220x y x y x y +>=，则下列选项中恒成立的是（）A.2132x x x <+ B.2132x x x >+ C.2213x x x < D.2213x x x >三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB BC ==，13AA =.（1）若点P 是棱11A D 上的动点，求三棱锥C PAD -的体积；（2）求直线1AB 与平面11ACC A 的夹角大小.18.已知在ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且3a =，2b c =.（1）若23A π=，求ABC 的面积；（2）若2sin sin 1B C -=，求ABC 的周长.19.已知某企业今年（2021年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%.（1）求2021年起前20季度营业额的总和；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？20.已知椭圆22:12x y Γ+=，1F 、2F 是其左右焦点，直线l 过点(,0)P m (m <交椭圆Γ于A 、B 两点，且A 、B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上.（1）若B 是上顶点，11||||BF PF =，求m 的值；（2）若1213F A F A ⋅= ，且原点O 到直线l 的距离为15，求直线l 的方程；（3）对于任意点P ，是否存在唯一直线l ，使得12F A F B∥成立，若存在，求出直线l 的斜率，若不存在，请说明理由.21.已知()f x 是定义在R 上的函数，若对任意的1x 、2x ∈R ，21x S x -∈，均有12(())f f x S x -∈，则称()f x 是S 关联.（1）判断和证明()21f x x =+是否是[0,)+∞关联？是否是[0,1]关联？（2）若()f x 是{3}关联，当[0,3)x ∈时，2()2f x x x =-，解不等式2()3f x ≤≤；（3）证明：“()f x 是{1}关联，且是[0,)+∞关联”的充要条件是“()f x 是[1,2]关联”.2021年上海市高考数学试卷答案一.填空题1.已知11i z =+，223i z =+，则12z z +=【解析】34i +，121i 23i 34i z z +=+++=+2.已知{|21}A x x =≤，{1,0,1}B =-，则A B =【解析】{1,0}-，1(,]2A =-∞，{1,0,1}B =-，∴A B = {1,0}-3.已知圆22240x y x y +--=，则该圆的圆心坐标为【解析】(1,2)，2222240(1)(2)5x y x y x y +--=⇒-+-=，故圆心为(1,2)4.如图，正方形ABCD 的边长为3，则AB AC ⋅=【解析】9，由数量积几何意义，29AB AC AB ⋅== 5.已知3()2f x x=+，则1(1)f -=【解析】3-，3()213f x x x=+=⇒=-，∴1(3)1(1)3f f --=⇒=-6.已知二项式5()x a +展开式中，2x 项的系数为80，则a =【解析】2，32325802C x a x a =⇒=7.已知实数x 、y 满足2203803x x x y y ⎧⎪--≥≥≤⎨⎪+-⎩，则z x y =-的最大值为【解析】4，可行域的三个顶点为(3,4)、(2,2)、(3,1)-，可知max 3(1)4z =--=8.已知无穷等比数列{}n a 和{}n b ，满足13a =，2n n b a =，n a 的各项和为9，则数列{}n b 的各项和为【解析】185，1232lim()913n n a a a q q →∞++⋅⋅⋅+==⇒=-，212a a q ==，∴2242218lim()51n n a a a a q →∞++⋅⋅⋅+==-9.已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，C 为下底面圆周上的一个动点，则ABC 的面积的取值范围为【解析】，12ABC S AB h h =⋅=，∵h ∈，∴ABC S ∈ 10.已知花博会有四个不同的场馆A 、B 、C 、D ，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个场馆相同的概率为【解析】23，1243224423C P C C =11.已知抛物线：22y px =(0)p >，若第一象限的A 、B 两点在抛物线上，焦点为F ，||2AF =，||4BF =，||3AB =，则直线AB 的斜率为【解析】52，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，1||22p AF x =+=，2||42pBF x =+=，∴12||2x x -=，由12|||3AB x x =-=，且0k >，∴2k =法二：12AA =，14BB =，由11132AA AP AB BB =⇒==∴1114cos tan 62BB ABB ABB BP ∠==⇒∠=，即：52AB k =12.已知*i a ∈N (1,2,,9)i =⋯，对任意的*k ∈N (28)k ≤≤，11k k a a -=+或11k k a a +=-中有且仅有一个成立，且16a =，99a =，则91a a ++ 的最小值为【解析】31，令k k k a a b -=+1，则依题意：k b 和1+k b 中，仅有1个为1（即只能隔项为1）若17531====b b b b ，则：61=a ，72=a ，13≥a ，24≥a ，15≥a ，26≥a ，17≥a ，28≥a ，99=a ；此时：91a a ++ 最小值为31.若18642====b b b b ，则：12≥a ，23≥a ，14≥a ，25≥a ，16≥a ，27≥a ，88=a ，99=a ；此时：91a a ++ 最小值为32.综上：91a a ++ 最小值为31.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A.3y x=- B.3y x = C.3log xy = D.3xy =【解析】选A ，选项B 、C 、D 均为增函数14.已知参数方程3342x t ty ⎧=-⎪⎨=⎪⎩[1,1]t ∈-，下列选项的图中，符合该方程的是（）A. B. C.D.【解析】选B ，特殊值法，当0y =时，0t =、1、1-，对应0x =、1-、115.已知()3sin 2f x x =+，对任意的1[0,]2x π∈，都存在2[0,]2x π∈，使得12()2()3f x f x θ++=成立，则下列选项中，θ可能的值为（）A.35πB.45π C.65π D.75π【解析】选D ，设1()f x 范围为A ，232()f x θ-+范围为B ，由题意，A B ⊆，∵1()[2,5]f x ∈，且2232()16sin()f x x θθ-+=--+，当75πθ=时，2719[,]510x ππθ+∈，21916sin()[16sin,5]10x πθ--+∈--，1916sin 0.85210π--≈<，符合题意16.已知实数1x 、1y 、2x 、2y 、3x 、3y 同时满足：①11x y <，22x y <，33x y <；②112233x y x y x y +=+=+；③11332220x y x y x y +>=，则下列选项中恒成立的是（）A.2132x x x <+ B.2132x x x >+ C.2213x x x < D.2213x x x >【解析】选A ，令1122332x y x y x a y ++=+==，由①可知，1x a <，2x a <，3x a <，由③得，132132(2)(2)(2)2x x x x a x a a x ---+=，构造函数()(2)f x x a x =-，∴132()()2()f x f x f x +=，如图所示，()f x 为上凸函数，满足13132()()()()22x x f x f x f f x ++>=，∵()f x 在(,)a -∞上严格增，∴1322x x x +>三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB BC ==，13AA =.（1）若点P 是棱11A D 上的动点，求三棱锥C PAD -的体积；（2）求直线1AB 与平面11ACC A 的夹角大小.【解析】（1）1123233P ADC ADC V S h -=⋅⋅=⨯⨯=△（2）1111112B ACC A B C A d d --==，113AB =，∴226sin 1313θ==，即所求角为26arcsin 1318.已知在ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且3a =，2b c =.（1）若23A π=，求ABC 的面积；（2）若2sin sin 1B C -=，求ABC 的周长.【解析】（1）22222214937cos 2274b c a c c A c bc c +-+-=⇒-=⇒=，119sin 2227214ABC S bc A ==⨯⨯⨯=（2）依题意，正弦定理：sin 2sin sin sin b cB C B C=⇒=，∴代入计算：14sin sin 1sin 3C C C -=⇒=，则2sin 3B =当B 为锐角时，22251425sin sin()sin cos cos sin 33339A B C B C B C =+=+=⨯⨯=3sin sin sin 3c a b c A B C b ⎧=⎪⎪==⇒⎨-⎪=⎪⎩，∴3ABC C =+△当B为钝角时，21sin sin()sin cos cos sin 33339A B C B C B C =+=+=⨯⨯=，3sin sin sin 3c a b c A B C b ⎧=⎪⎪==⇒⎨+⎪=⎪⎩，∴3△=++ABC C综上：3△=+ABC C或319.已知某企业今年（2021年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%.（1）求2021年起前20季度营业额的总和；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？【解析】（1）依题意：营业额是首项为1.1，公差为0.05的等差数列；∴前20季度营业额之和为：20201920 1.10.0531.52S ⨯=⨯+⨯=（亿）（2）设2021年起第n 季度（n *∈N ）满足条件，依题意：第n 季度的营业额为： 1.1(1)0.050.05 1.05n a n n =+-⨯=+，第n 季度的利润为：10.16(14%)n -⋅+，依题意：%18)05.105.0(%)41(16.01⨯+≥+⋅-n n ，解得：26≥n 即今年起第26个季度（2027年第二季度）时满足条件.20.已知椭圆22:12x y Γ+=，1F 、2F 是其左右焦点，直线l 过点(,0)Pm (m <交椭圆Γ于A 、B 两点，且A 、B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上.（1）若B 是上顶点，11||||BF PF =，求m 的值；（2）若1213F A F A ⋅= ，且原点O 到直线l的距离为15，求直线l 的方程；（3）对于任意点P ，是否存在唯一直线l ，使得12F A F B∥成立，若存在，求出直线l 的斜率，若不存在，请说明理由.【解析】（1）依题意：11||||BF PF a ===，∴1||1OP PF c =+=+，此时：1m =-；（2）设直线l 方程：()y k x m =-（k 必存在），11(,)A x y 22212111111(1)(1)13⋅=+-+=-+= F A F A x x y x y ，又222211111122x x y y +=⇒=-，代入：222211211111111233⋅=+-=+--=⇒=-x F A F A x y x x，13=y 即直线l：()33k m =⋅--①又点到直线距离：15d ==②联立①②：313m k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即l 方程为：1()33y x =+.（3）设直线l 方程：()y k x m =-，),(11y x A ，),(22y x B 则111(1,)=+ F A x y ，222(1,)=- F B x y ，121221(1)(1)∥⇒+⋅=-⋅F A F B x y x y 消元：1221(1)()(1)()+⋅-=-⋅-x k x m x k x m ，化简：1221()20x x m x x m ++--=联立：2222222()(12)442022y k x m k x mk x k m x y =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩韦达：2122221224124212mk x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩代入：221212242()201212mk m x x m x x k k+--=⇒-=++，又：22221121222()()4(12x x x x x x k -=+-=+，代入化简：222221421024k m k m k m m-+=⇒=-，对于任意m <，都有唯一的k =，即直线有且仅有一条.21.已知()f x 是定义在R 上的函数，若对任意的1x 、2x ∈R ，21x S x -∈，均有12(())f f x S x -∈，则称()f x 是S 关联.（1）判断和证明()21f x x =+是否是[0,)+∞关联？是否是[0,1]关联？（2）若()f x 是{3}关联，当[0,3)x ∈时，2()2f x x x =-，解不等式2()3f x ≤≤；（3）证明：“()f x 是{1}关联，且是[0,)+∞关联”的充要条件是“()f x 是[1,2]关联”.【解析】（1）任取21,x x R ∈，若21[0,)x x -∈+∞，则：1212()()2()[0,)f x f x x x -=-∈+∞，∴()f x 是[0,)+∞关联；若21[0,1]x x -∈，则1212()()2()[0,2]f x f x x x -=-∈，∴()f x 不是[0,1]关联；（2）依题意：当213x x -=时，21(3)()f f x x -=，即满足：(3)()3+-=f x f x ，数形结合：求出(1A ，(5,3)B ，∴原不等式的解集为：[1x ∈+.（3）必要性：证明：根据条件可以得到(1)()1f x f x +=+，∴()()f x n f x n +=+，n ∈Z ，21x x ≥，21()()f x f x ≥，若2112x x ≤-≤，∴12112x x x +≤≤+，∴121(1)()(2)f x f x f x +≤≤+∴121()1()()2f x f x f x +≤≤+，∴211()()2f x f x ≤-≤，∴()f x 是[1,2]关联；充分性：2112x x ≤-≤时，211()()2f x f x ≤-≤，1(2)(1)2f x f x ≤+-+≤，1(1)()2f x f x ≤+-≤，∴2(2)()4f x f x ≤+-≤，又1(2)2x x ≤+-≤，∴1(2)()2f x f x ≤+-≤，∴(2)()2f x f x +-=，∴(2)(1)1f x f x +-+=，(1)()1f x f x +-=，∴()()f x n f x n +=+，n ∈Z ，∴()f x 是{1}关联；若21[,1]x x n n -∈+，n ∈N ，21[(1)][1,2]x x n -+-∈，1n -∈Z ，∴21()[(1)][1,2]f x f x n -+-∈，21()()(1)[1,2]f x f x n ---∈，∴21()()[,1][0,)f x f x n n -∈+⊆+∞，而[0,)[0,1][1,2][,1]n n +∞=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ，∴21[0,)x x -∈+∞，∴存在n 使21[,1]x x n n -∈+，21()()[,1][0,)f x f x n n -∈+⊆+∞∴21()()[0,)f x f x -∈+∞，故()f x 是[0,)+∞关联；证毕.。

2020年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，4，5}，则A∩B＝．2．（4分）计算：＝．3．（4分）已知复数z＝1﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝．4．（4分）已知函数f（x）＝x3，f﹣1（x）是f（x）的反函数，则f﹣1（x）＝．5．（4分）已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为．6．（4分）已知行列式＝6，则＝．7．（5分）已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab＝．8．（5分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，且a1+a10＝a9，则＝．9．（5分）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．10．（5分）已知椭圆C：+＝1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是．11．（5分）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件：（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；（2）关于x的方程f（x）＝a无实数解，则a的取值范围是．12．（5分）已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab14．（5分）已知直线方程3x+4y+1＝0的一个参数方程可以是（）A．（t为参数）B．（t为参数）C．（t为参数）D．（t为参数）15．（5分）在棱长为10的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线交正方体于P、Q两点，则Q点所在的平面是（）A．AA1B1B B．BB1C1C C．CC1D1D D．ABCD16．（5分）命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f（x+a）＜f（x）+f（a）；命题q1：f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立；命题q2：f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，则下列说法正确的是（）A．只有q1是p的充分条件B．只有q2是p的充分条件C．q1，q2都是p的充分条件D．q1，q2都不是p的充分条件三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．（1）求该圆柱的表面积；（2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角．18．（14分）已知函数f（x）＝sinωx，ω＞0．（1）f（x）的周期是4π，求ω，并求f（x）＝的解集；（2）已知ω＝1，g（x）＝f2（x）+f（﹣x）f（﹣x），x∈[0，]，求g（x）的值域．19．（14分）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v＝，x为道路密度，q为车辆密度，交通流量v＝f（x）＝．（1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围；（2）已知道路密度x＝80时，测得交通流量v＝50，求车辆密度q的最大值．20．（16分）已知双曲线Γ1：﹣＝1与圆Γ2：x2+y2＝4+b2（b＞0）交于点A（x A，y A）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x＞|x A|的部分．（1）若x A＝，求b的值；（2）当b＝，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2；（3）过点D（0，+2）斜率为﹣的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示•，并求•的取值范围．21．（18分）已知数列{a n}为有限数列，满足|a1﹣a2|≤|a1﹣a3|≤…≤|a1﹣a m|，则称{a n}满足性质P．（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；（2）若a1＝1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；（3）若{a n}是1，2，3，…，m的一个排列（m≥4），{b n}符合b k＝a k+1（k＝1，2，…，m﹣1），{a n}、{b n}都具有性质P，求所有满足条件的数列{a n}．2020年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，4，5}，则A∩B＝{2，4}．【解答】解：因为A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则A∩B＝{2，4}．故答案为：{2，4}．2．（4分）计算：＝．【解答】解：＝＝＝＝，故答案为：．3．（4分）已知复数z＝1﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝．【解答】解：由z＝1﹣2i，得|z|＝．故答案为：．4．（4分）已知函数f（x）＝x3，f﹣1（x）是f（x）的反函数，则f﹣1（x）＝x，x∈R．【解答】解：由y＝f（x）＝x3，得x＝，把x与y互换，可得f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x）＝．故答案为：．5．（4分）已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为﹣1．【解答】解：由约束条件作出可行域如图阴影部分，化目标函数z＝y﹣2x为y＝2x+z，由图可知，当直线y＝2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，联立，解得，即A（1，1）．z有最大值为1﹣2×1＝﹣1．故答案为：﹣1．6．（4分）已知行列式＝6，则＝2．【解答】解：行列式＝6，可得3＝6，解得＝2．故答案为：2．7．（5分）已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab＝36．【解答】解：因为四个数的平均数为4，所以a+b＝4×4﹣1﹣2＝13，因为中位数是3，所以＝3，解得a＝4，代入上式得b＝13﹣4＝9，所以ab＝36，故答案为：36．8．（5分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，且a1+a10＝a9，则＝．【解答】解：根据题意，等差数列{a n}满足a1+a10＝a9，即a1+a1+9d＝a1+8d，变形可得a1＝﹣d，所以＝＝＝＝．故答案为：．9．（5分）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有180种安排情况．【解答】解：根据题意，可得排法共有＝180种．故答案为：180．10．（5分）已知椭圆C：+＝1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是x+y﹣1＝0．【解答】解：椭圆C：+＝1的右焦点为F（1，0），直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，可知直线l的斜率为﹣1，所以直线l的方程是：y＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0．故答案为：x+y﹣1＝0．11．（5分）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件：（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；（2）关于x的方程f（x）＝a无实数解，则a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．【解答】解：根据条件（1）可得f（0）＝0或f（1）＝1，又因为关于x的方程f（x）＝a无实数解，所以a≠0或1，故a∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．12．（5分）已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是6．【解答】解：如图，设，，由||＝1，且|﹣|∈{1，2}，分别以A1，A2为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k的最大值为6．故答案为：6．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab【解答】解：A．显然当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故A错误；B．∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，∴a2+b2≥﹣2ab，故B正确；C．显然当a＜0，b＜0时，不等式a+b≥2不成立，故C错误；D．显然当a＞0，b＞0时，不等式a2+b2≤﹣2ab不成立，故D错误．故选：B．14．（5分）已知直线方程3x+4y+1＝0的一个参数方程可以是（）A．（t为参数）B．（t为参数）C．（t为参数）D．（t为参数）【解答】解：（t为参数）的普通方程为：，即4x+3y﹣1＝0，不正确；（t为参数）的普通方程为：，即3x+4y+1＝0，正确；（t为参数）的普通方程为：，即4x+3y﹣1＝0，不正确；（t为参数）的普通方程为：，即3x+4y﹣7＝0，不正确；故选：B．15．（5分）在棱长为10的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线交正方体于P、Q两点，则Q点所在的平面是（）A．AA1B1B B．BB1C1C C．CC1D1D D．ABCD【解答】解：如图，由点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，可得P在△AA1D内，过P作EF∥A1D，且EF∩AA1于E，EF∩AD于F，在平面ABCD中，过F作FG∥CD，交BC于G，则平面EFG∥平面A1DC．连接AC，交FG于M，连接EM，∵平面EFG∥平面A1DC，平面A1AC∩平面A1DC＝A1C，平面A1AC∩平面EFM＝EM，∴EM∥A1C．在△EFM中，过P作PQ∥EM，且PQ∩FM于Q，则PQ∥A1C．∵线段FM在四边形ABCD内，Q在线段FM上，∴Q在四边形ABCD内．∴则Q点所在的平面是平面ABCD．故选：D．16．（5分）命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f（x+a）＜f（x）+f（a）；命题q1：f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立；命题q2：f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，则下列说法正确的是（）A．只有q1是p的充分条件B．只有q2是p的充分条件C．q1，q2都是p的充分条件D．q1，q2都不是p的充分条件【解答】解：对于命题q1：当f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立时，当a＞0时，此时x+a＞x，又因为f（x）单调递减，所以f（x+a）＜f（x）又因为f（x）＞0恒成立时，所以f（x）＜f（x）+f（a），所以f（x+a）＜f（x）+f（a），所以命题q1⇒命题p，对于命题q2：当f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，当a＝x0＜0时，此时x+a＜x，f（a）＝f（x0）＝0，又因为f（x）单调递增，所以f（x+a）＜f（x），所以f（x+a）＜f（x）+f（a），所以命题p2⇒命题p，所以q1，q2都是p的充分条件，故选：C．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．（1）求该圆柱的表面积；（2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角．【解答】解：（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，∴S＝2×π×12+2π×1＝4π．故该圆柱的表面积为4π．（2）∵正方形ABC1D1，∴AD1⊥AB，又∠DAD1＝，∴AD1⊥AD，∵AD∩AB＝A，且AD、AB⊂平面ADB，∴AD1⊥平面ADB，即D1在面ADB上的投影为A，连接CD1，则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角，而cos∠D1CA＝＝，∴线段CD1与平面ABCD所成的角为arccos．18．（14分）已知函数f（x）＝sinωx，ω＞0．（1）f（x）的周期是4π，求ω，并求f（x）＝的解集；（2）已知ω＝1，g（x）＝f2（x）+f（﹣x）f（﹣x），x∈[0，]，求g（x）的值域．【解答】解：（1）由于f（x）的周期是4π，所以ω＝，所以f（x）＝sin．令sin，故或，整理得或．故解集为{x|或，k∈Z}．（2）由于ω＝1，所以f（x）＝sin x．所以g（x）＝＝＝﹣＝﹣sin（2x+）．由于x∈[0，]，所以．，故，故．所以函数g（x）的值域为[﹣．19．（14分）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v＝，x为道路密度，q为车辆密度，交通流量v＝f（x）＝．（1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围；（2）已知道路密度x＝80时，测得交通流量v＝50，求车辆密度q的最大值．【解答】解：（1）∵v＝，∴v越大，x越小，∴v＝f（x）是单调递减函数，k＞0，当40≤x≤80时，v最大为85，于是只需令100﹣135•＞95，解得x＜，故道路密度x的取值范围为（0，）．（2）把x＝80，v＝50代入v＝f（x）＝﹣k（x﹣40）+85中，得50＝﹣k•40+85，解得k＝．∴q＝vx＝，①当0＜x＜40时，v＝100﹣135•（）＜100，q＝vx＜100×40＝4000．②当40≤x≤80时，q是关于x的二次函数，q＝﹣x2+120x，对称轴为x＝，此时q有最大值，为＞4000．综上所述，车辆密度q的最大值为．20．（16分）已知双曲线Γ1：﹣＝1与圆Γ2：x2+y2＝4+b2（b＞0）交于点A（x A，y A）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x＞|x A|的部分．（1）若x A＝，求b的值；（2）当b＝，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2；（3）过点D（0，+2）斜率为﹣的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示•，并求•的取值范围．【解答】解：（1）由x A＝，点A为曲线Γ1与曲线Γ2的交点，联立，解得y A＝，b＝2；（2）由题意可得F1，F2为曲线Γ1的两个焦点，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|＝8，2a＝4，所以|PF2|＝8﹣4＝4，因为b＝，则c＝＝3，所以|F1F2|＝6，在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝＝，由0＜∠F1PF2＜π，可得∠F1PF2＝arccos；（3）设直线l：y＝﹣x+，可得原点O到直线l的距离d＝＝，所以直线l是圆的切线，设切点为M，所以k OM＝，并设OM：y＝x与圆x2+y2＝4+b2联立，可得x2+x2＝4+b2，可得x＝b，y＝2，即M（b，2），注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当y A＞2时，直线l才能与曲线Γ有两个交点，由，可得y A2＝，所以有4＜，解得b2＞2+2或b2＜2﹣2（舍去），因为为在上的投影可得，•＝4+b2，所以•＝4+b2＞6+2，则•∈（6+2，+∞）．21．（18分）已知数列{a n}为有限数列，满足|a1﹣a2|≤|a1﹣a3|≤…≤|a1﹣a m|，则称{a n}满足性质P．（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；（2）若a1＝1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；（3）若{a n}是1，2，3，…，m的一个排列（m≥4），{b n}符合b k＝a k+1（k＝1，2，…，m﹣1），{a n}、{b n}都具有性质P，求所有满足条件的数列{a n}．【解答】解：（1）对于数列3，2，5，1，有|2﹣3|＝1，|5﹣3|＝2，|1﹣3|＝2，满足题意，该数列满足性质P；对于第二个数列4、3、2、5、1，|3﹣4|＝1，|2﹣4|＝2，|5﹣4|＝1．不满足题意，该数列不满足性质P．（2）由题意：|a1﹣a1q n|≥|a1﹣a1q n﹣1|，可得：|q n﹣1|≥|q n﹣1﹣1|，n∈{2，3，…，9}，两边平方可得：q2n﹣2q n+1≥q2n﹣2﹣2q n﹣1+1，整理可得：（q﹣1）q n﹣1[q n﹣1（q+1）﹣2]≥0，当q≥1时，得q n﹣1（q+1）﹣2≥0此时关于n恒成立，所以等价于n＝2时，q（q+1）﹣2≥0，所以，（q+2）（q﹣1）≥0，所以q≤﹣2，或q≥1，所以取q≥1，当0＜q≤1时，得q n﹣1（q+1）﹣2≤0，此时关于n恒成立，所以等价于n＝2时，q（q+1）﹣2≤0，所以（q+2）（q﹣1）≤0，所以﹣2≤q≤1，所以取0＜q≤1．当﹣1≤q＜0时：q n﹣1[q n﹣1（q+1）﹣2]≤0，当n为奇数时，得q n﹣1（q+1）﹣2≤0，恒成立，当n为偶数时，q n﹣1（q+1）﹣2≥0，不恒成立；故当﹣1≤q＜0时，矛盾，舍去．当q＜﹣1时，得q n﹣1[q n﹣1（q+1）﹣2]≤0，当n为奇数时，得q n﹣1（q+1）﹣2≤0，恒成立，当n为偶数时，q n﹣1（q+1）﹣2≥0，恒成立；故等价于n＝2时，q（q+1）﹣2≥0，所以（q+2）（q﹣1）≥0，所以q≤﹣2或q≥1，所以取q≤﹣2，综上q∈（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．（3）设a1＝p，p∈{3，4，…，m﹣3，m﹣2}，因为a1＝p，a2可以取p﹣1，或p+1，a3可以取p﹣2，或p+2，如果a2或a3取了p﹣3或p+3，将使{a n}不满足性质P；所以{a n}的前5项有以下组合：①a1＝p，a2＝p﹣1；a3＝p+1；a4＝p﹣2；a5＝p+2；②a1＝p，a2＝p﹣1；a3＝p+1；a4＝p+2；a5＝p﹣2；③a1＝p，a2＝p+1；a3＝p﹣1；a4＝p﹣2；a5＝p+2；④a1＝p，a2＝p+1；a3＝p﹣1；a4＝p+2；a5＝p﹣2；对于①，b1＝p﹣1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝1，与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于②，b1＝p﹣1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝3，|b4﹣b1|＝2与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于③，b1＝p+1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝3，|b4﹣b1|＝1与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于④b1＝p+1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝1，与{b n}满足性质P矛盾，舍去；所以P∈{3，4，…，m﹣3，m﹣2}，均不能同时使{a n}、{b n}都具有性质P．当p＝1时，有数列{a n}：1，2，3，…，m﹣1，m满足题意．当p＝m时，有数列{a n}：m，m﹣1，…，3，2，1满足题意．当p＝2时，有数列{a n}：2，1，3，…，m﹣1，m满足题意．当p＝m﹣1时，有数列{a n}：m﹣1，m，m﹣2，m﹣3，…，3，2，1满足题意．所以满足题意的数列{a n}只有以上四种．。