高中数学(苏教版必修5)3.3.3简单的线性规划问题(二)

数学·必修5(苏教版)3．3.2 简单的线性规划问题情景导入：某家具厂有方木90 m 3、五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木0.1 m 3、五合板2 m 2；生产一个书橱需要方木0.2 m 3、五合板1 m 2.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.怎样安排生产可使利润最大？►基础巩固 一、选择题1．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．1解析：画可行域分析易知当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2时z max ＝11.答案：B2．(2013·全国卷)已知 a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2解析：根据约束条件画出可行域，将最大值转化为y 轴上的截距，当z ＝2x ＋y 经过点B 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，2x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，代入y ＝a(x －3)得a ＝12.答案：B3．(2013·山东卷)平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12解析：作出可行域，由图象可知当M 位于点A 时，OM 的斜率最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即A(3，－1)，此时OM 的斜率为－13＝－13.答案：C4．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2解析：找准区域，对于直线y ＝x －z ，－z 越小，z 越大． 答案：B5．设点P(x ，y)，其中x ，y ∈N ，满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( )A ．10个B ．9个C ．3个D ．无数个解析：选择单位长度，找整数点． 答案：A二、填空题 6．(2013·陕西卷)若点(x ，y)位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．解析：封闭区域为三角形，令|x －1|＝2得x ＝－1或x ＝3， ∴三顶点坐标分别为(1,0)，(－1,2)，(3,2)，故2x －y 在点(－1,2)处的值最小，为－4.答案：－47．(2013·广东卷)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D|x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：画出可行域，其中z ＝x ＋y 取最小值的整点为(0,1)，取得最大值时的整点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，共5个．故可确定5＋1＝6条不同直线． 答案：68．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则x －y 的取值范围是________．解析：约束条件对应△ABC 内部及边界区域，A(0,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，C(1,1)，则x －y ∈[－3,0]．答案：[－3,0]三、解答题9．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费多少元？解析：设购买重量为每袋35千克的x 袋，重量为每袋24千克的y 袋，则所要花费的金额z ＝140x ＋120y ，依题意，可得关于x 、y 的约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧35x ＋24y ≥106，x ∈N ，y ∈N ，如图，当直线经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫10635，0时，目标函数z 的值最小，又x ，y ∈N ，寻找可行域上靠近边界的几个点．令x ＝0，知y ≥5，当x ＝1，知y ≥3，当x ＝2，知y ≥2，当x ＝3，知y ≥1，当x ＝4，知y ≥0，将靠近边界的几个点(0,5)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)分别代入目标函数，可知直线z ＝140x ＋120y 过点(1,3)时，目标函数z 有最小值500元．10．某工厂要制造A 种电子装置45台，B 种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2 m 2，可做A 、B 的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m 2，可做A 、B 的外壳分别为6个．两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小？解析：设用甲种薄钢板x 张，乙种薄钢板y 张，则可做A 种产品外壳3x ＋6y 个，B 种产品外壳5x ＋6y 个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ∈N ，y ∈N ，所有的薄钢板的总面积是z ＝2x ＋3y.可行域是如上图所示的阴影部分，其中l 1：3x ＋6y ＝45；l 2：5x ＋6y ＝55，l 1与l 2的交点为A(5,5)，因目标函数z ＝2x ＋3y 在可行域上的最小值在区域边界的A(5,5)处取得，此时z 的最小值为2×5＋3×5＝25.即甲、乙两种板各5张，既能保证制造A 、B 的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小．►能力升级 一、选择题11．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1解析：如下图，画出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0的解(x ，y)构成的可行域△ABO ，求得B(2,2)．因为根据目标函数的几何意义是可行域上一点与点(－1,1)连线的斜率，可求得目标函数的最小值－1，最大值13.故ω的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13.答案：A12．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32 D ．2解析：如图，当直线x ＝m 经过y ＝2x 与x ＋y －3＝0的交点时，函数y ＝2x 的图象上仅有一个点在可行域内，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x，x ＋y －3＝0，得x ＝1，∴m ≤1.答案：B13．(2013·湖南卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53 D.52解析：作出可行域如图，当直线z ＝x ＋2y 经过 点C 时，z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝1得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，代入z ＝x ＋2y 得z ＝53.答案：C二、填空题14．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0画出可行域，得交点A(1，2)，B(3,4)，如下图，根据x 2＋y 2表示可行域一点到原点的距离，可知x 2＋y 2的最小值是|AO|2＝5.答案：515．若点P(m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y ＜3表示的平面区域内，则m ＝________.解析：∵4＝|4m －3×3＋1|42＋(－3)2，∴|m －2|＝5， ∴m ＝7或m ＝－3.∵P(7,3)不满足2x ＋y ＜3，∴m ＝－3. 答案：－3三、解答题16．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价黄瓜 4吨 1.2万元0.55万元韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，求应分别种植黄瓜和韭菜各多少亩？并求出最大利润．解析：设种植黄瓜和韭菜的面积分别为x 亩和y 亩，则依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ，y ＞0，目标函数z ＝0.55×4x ＋0.3×6y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y ，作出可行域如图，由图知，z ＝x ＋0.9y 经过点A 时，z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，1.2x ×0.9y ＝54⇒A(30,20)，∴种植30亩黄瓜和20亩韭菜时，总利润最大，最大利润为48万元．。

简单的线性规划问题（2）【三维目标】：一、知识与技能1.巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；2.会用画网格的方法求解整数线性规划问题．3.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力二、过程与方法引导学生如何使用网格法三、情感、态度与价值观1.培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的的能力2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新【教学重点与难点】：重点：用画网格的方法求解整数线性规划问题．难点：用画网格的方法求解整数线性规划问题．【学法与教学用具】：1. 学法：学生在建立数学模型中，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，列出正确的不等式组。

可采用分组讨论，各组竞争，自主总结，部分同学示范画图等方式，让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律，并在交流中找到自己的思维漏洞2.教学方法：讲授法，多媒体直观教学3.教学用具：直角板、投影仪【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.什么是目标函数？线形目标函数？线形规划？可行解？可行域？2.当,x y 满足不等式组1101x y y x ⎧-≤⎪≥⎨⎪≤+⎩时，目标函数t x y =+的最大值是二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 设,,x y z 满足约束条件组1320101x y z y z x y ++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求264u x y z =++的最大值和最小值。

解：由1x y z ++=知1z x y =--+，代入不等式组消去z 得210101y x x y -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，A xy O B 1 1代入目标函数得224u x y =-++，作直线0l ：0x y -+=，作一组平行线l ：x y u -+=平行于0l ，由图象知，当l 往0l 左上方移动时，u 随之增大，当l 往0l 右下方移动时，u 随之减小，所以，当l 经过(0,1)B 时，max 202146u =-⨯+⨯+=，当l 经过(1,1)A 时，min 212144u =-⨯+⨯+=，所以，max 6u =，min 4u =．例2 已知,x y 满足不等式组230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩，求使x y +取最大值的整数,x y ．解：不等式组的解集为三直线1l ：230x y --=，2l ：2360x y +-=，3l ：35150x y --=所围成的三角形内部（不含边界），设1l 与2l ， 1l 与3l ，2l 与3l 交点分别为,,A B C ，则,,A B C 坐标分别为153(,)84A ，(0,3)B -，7512(,)1919C -，作一组平行线l ：x y t +=平行于0l ：0x y +=，当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大，∴当l 过C 点时x y +最大为6319，但不是整数解，又由75019x <<知x 可取1,2,3， 当1x =时，代入原不等式组得2y =-， ∴1x y +=-； 当2x =时，得0y =或1-， ∴2x y +=或1；当3x =时，1y =-， ∴2x y +=， 故x y +的最大整数解为20x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩．说明：最优整数解常有两种处理方法，一种是通过打出网格求整点，关键是作图要准确；另一种是本题采用的方法，先确定区域内点的横坐标范围，确定x 的所有整数值，再代回原不等式组，得出y 的一元一次不等式组，再确定y 的所有相应整数值，即先固定x ，再用x 制约y ．例2 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨．该公司有8辆载重为6吨的A 型卡车与4辆载重为10吨的B 型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为A 型车4次，B 型车3次．每辆卡车每天往返的成本费为A 型车320元，B 型车为504元．试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低．解：设每天调出A 型车x 辆，B 型车y 辆，公司花费成本z 元，AC xy O 1l 3l 2l则约束条件为*10463101800804,x y x y x y x y N ⎧+≤⎪⨯+⨯≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪⎪∈⎩，即*1045300804,x y x y x y x y N⎧+≤⎪+≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪⎪∈⎩，目标函数为320504z x y =+．作出可行域（图略，见课本第80页图3-3-11），当直线320504z x y =+经过直线4530x y +=与x 轴的交点(7.5,0)时，z 有最小值．但(7.5,0)不是整点．由图可知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是3205042560x y +=，经过的整点是(8,0)，它是最优解．因此，公司每天调出A 型车8辆时，花费成本最低．四、巩固深化，反馈矫正1.设,,x y z 满足约束条件组1320102x y z y z x y ++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求364F x y z =++的最大值和最小值； 五、归纳整理，整体认识1.本节课主要内容：（1）巩固图解法求线性目标函数的最大值、最小值的方法；（2）用画网格的方法求解整数线性规划问题。

第2课时简单的线性规划的应用(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；(2)会用画网格的方法求解整数线性规划问题；(3)能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能给出解答；(4)培养学生的数学应用意识和解决问题的能力，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．2.过程与方法(1)引导学生学会如何使用网格法；(2)通过讲解实例，让学生感受线性规划中的建模问题，培养学生应用数学的能力．3．情感、态度与价值观(1)培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的能力；(2)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新．●重点、难点重点：将实际问题转化为线性规划问题，并通过最优解的判断予以解决．难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答．解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、数学问题几何化．(教师用书独具)●教学建议1．为了激发学生学习的主体意识，应面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，建议采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质．2．学生在建立数学模型时，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，列出正确的不等式组．可采用分组讨论、各组竞争、自主总结、部分同学示范画图等方式，让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律，并在交流中找到自己的思维漏洞．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!错误!(对应学生用书第59页)课标解读1.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(重点)2.培养应用线性规划的知识，解决实际问题的能力．(难点)实际应用问题的最优解对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．用线性规划解决实际问题的一般步骤整数线性规划要求变量取整数的线性规划称为整数线性规划.(对应学生用书第59页)收益最大问题某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需消耗一级子棉2吨、二级子棉1吨，生产乙种棉纱需消耗一级子棉1吨，二级子棉2吨．每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，才能使利润总额最大？【思路探究】 由已知数据可列表如下：产品消耗量 资源甲种棉纱(1吨)乙种棉纱(1吨)资源限额(吨)一级子棉(吨) 2 1 300 二级子棉(吨) 1 2 250 利润(元)600900【自主解答】 设生产甲、乙两种棉纱分别为x 吨、y 吨， 那么利润总额z ＝600x ＋900y 元， 线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤300，x ＋2y ≤250，x ≥0，y ≥0.作出其可行域如图所示．把z ＝600x ＋900y 变形为平行直线系l ：y ＝－23x ＋z900.由图可知当直线l 经过可行域上的点M 时，截距z900最大，即z取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝300，x ＋2y ＝250，得交点M (3503，2003)．所以应生产甲种棉纱3503吨，乙种棉纱2003吨．1．利用线性规划求最大值，主要是收益最大、效率最高、利润最大等问题，要将求最值的变量设为z ，将z 表示成其它变量的函数，求其最大值．2．对于线性规划问题，由于题干太长，数据太多，为便于理清数据间的关系，不妨用列表法．某公司计划在今年内同时出售某种多功能电子琴和一种智能型洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金(102元)月资金供应量(102元)电子琴 洗衣机成本 30 20 300 劳动力(工资) 5 10 110 单位利润68【解】 设月供应电子琴x 架、洗衣机y 台，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋20y ≤300，5x ＋10y ≤110，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为z ＝6x ＋8y ，不等式组表示的平面区域如图所示．作直线l ：6x ＋8y ＝0，即作直线l ：3x ＋4y ＝0.把直线l 向右上方平移，当直线l 经过可行域中的点M 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋20y ＝300，5x ＋10y ＝110，得点M 的坐标为(4,9)，将M (4,9)代入z ＝6x ＋8y ，得z ＝6×4＋8×9＝96.所以当月供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，才能使总利润最大，最大总利润为9600元.耗费最小问题营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，且食物A 的价格为28元/kg ；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，且食物B 的价格为21元/kg.为了满足营养专家指出的日常饮食要求．同时使花费最低，需要同时食用多少食物A 和食物B?【思路探究】 将已知数据列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg 脂肪/kg A 0.105 0.07 0.14 B0.1050.140.07【自主解答】 设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.105x ＋0.105y ≥0.075，0.07x ＋0.14y ≥0.06，0.14x ＋0.07y ≥0.06，x ≥0，y ≥0，①目标函数为z ＝28x ＋21y . 二元一次不等式组①等价于⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ≥5，7x ＋14y ≥6，14x ＋7y ≥6，x ≥0，y ≥0.②作出二元一次不等式组②所表示的平面区域(如图所示)，即为可行域．考虑z ＝28x ＋21y ，将它变形为y ＝－43x ＋z 21，这是斜率为－43且随z 变化的一族平行直线，z 21是直线在y 轴上的截距，当z21取最小值时，z 的值最小．当然直线要与可行域相交，即求在满足约束条件时目标函数z ＝28x ＋21y 的最小值．由图可知当直线z ＝28x ＋21y 经过可行域上的点M 时，截距z21最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋7y ＝6，7x ＋7y ＝5，得M (17，47)．所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用17kg 食物A 和47kg 食物B .1．利用线性规划求最小值，可以用来解决许多实际问题，诸如省钱，省工，省材料等问题．2．利用线性规划解决实际问题，建立约束条件往往是关键的一步，设出未知数后，应特别注意文字语言与符号语言的转换，以免因审题不细或表达不当而出现错误．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？【解】 设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ， 那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图．把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A (145，3)，∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料145×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省.简单的整数线性规划问题要将两种大小不同的钢板截成A ，B ，C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格第一种钢板 2 11 第二种钢板123今需要A ，B 需的三种规格的成品，且使所用钢板的张数最少？【思路探究】 设截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张．【自主解答】 设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，共使用钢板z 张，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15x ＋2y ≥18，x ＋3y ≥27，x ≥0，y ≥0，且x ，y 都是整数，求使目标函数z ＝x ＋y 取最小值时的x ，y . 作可行域如图所示，平移直线z ＝x ＋y ， 可知直线经过点(185，395)时z 取最小值，此时x ＋y ＝575，但185与395都不是整数，所以可行域内的点(185，395)不是最优解．因为非整点最优解为(185，395)，z ＝575，所以z ≥12.令x ＋y ＝12，则y ＝12－x ，代入约束条件整理得3≤x ≤92，所以x ＝3或x ＝4，这时最优整点为(3,9)和(4,8)．故有以下两种截法：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张； 第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张． 最少要截两种钢板共12张．1．当变量为车辆、产品个数、钢板块数等数量时，应为整数，利用线性规划求最值，最优解也应为整数．2．若按常规方法求出的不是整数解，可按以下方法调整：(1)平移直线法：先在可行域中画网格，再描整点，平移直线l 0，最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解．(2)调整优值法：先求非整点最优解，再借助于不定方程知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．预计用2 000元购买单价为50元的桌子和单价为20元的椅子，希望使桌子、椅子的总数尽可能多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，则买桌子、椅子各多少才行？【解】 设买桌子x 张、买椅子y 把．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ≤y ，y ≤1.5x ，50x ＋20y ≤2 000，x ，y ∈N ，目标函数为z ＝x ＋y ，满足以上不等式组的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1.5x ，50x ＋20y ＝2000，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，∴点B 的坐标为(25，752)．作直线l ：x ＋y ＝0，将直线向右上方平移， 当直线l 经过可行域中的点B 时，z 取得最大值． ∵x ，y ∈N ，∴y ＝37.∴应买桌子25张、椅子37把.(对应学生用书第61页)可行域内整点寻找错误有一批钢管，长度都是4000 mm ，要截成500 mm 和600 mm 两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于13，要使钢管截得的毛坯最多，怎样截最合理？【错解】 设每根钢管截500 mm 的毛坯x 根，600 mm 的毛坯y 根， 则x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4000，x y ＞13，x＞0，y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≤40，y ＜3x ，x ＞0，y ＞0，其中x ，y 均为正整数． 作出可行域，如图所示．目标函数为z ＝x ＋y .作一族平行线y ＝－x ＋z ，经过可行域内的点且和原点距离最大的直线为过A 点的直线，求出A 点的坐标．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，5x ＋6y ＝40，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11723，y ＝5523.所以A (11723，5523)由于x ，y 均为正整数，故调整为x ＝2，y ＝5. 所以x ＋y ＝7.经检验，满足条件，所以每根钢管截500 mm 的毛坯两根，600 mm 的毛坯五根最合理． 【错因分析】 本题错误的原因是：①没能准确作出一族平行直线y ＝－x ＋z ；②可行域内的整点寻找不准确．【防范措施】 准确作图，充分考虑实际问题的特殊性．当图上的整点不好分辨时，应将几个有可能符合题意的整点的坐标都求出来然后逐一检验，而不能采取“四舍五入”的办法．【正解】 设每根钢管截500 mm 的毛坯x 根，600 mm 的毛坯y 根．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4000，x y ＞13，x ＞0，y ＞0，且x ，y 均为正整数．作出可行域，如图3－3－62所示．目标函数为z ＝x ＋y ，作一族平行直线y ＝－x ＋z ，经过可行域内的点且和原点距离最大的直线必为过点B (8,0)的直线，这时x ＋y ＝8.因为x ，y 均为正整数，所以(8,0)不是最优解．在可行域内找整点，使x ＋y ＝7.经验证，可知点(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)均为最优解．答：每根钢管截500 mm 的毛坯两根，600 mm 的毛坯五根，或截500 mm 的毛坯三根，600 mm 的毛坯四根，或截500 mm 的毛坯四根，600 mm 的毛坯三根，或截500 mm 的毛坯五根，600 mm 的毛坯两根，或截500 mm 的毛坯六根，600 mm 的毛坯一根最合理．1．基础知识：(1)实际应用问题的最优解； (2)整数线性规划；(2)用线性规划解决实际问题的一般步骤． 2．基本技能： (1)收益最大问题； (2)耗费最小问题；(3)简单的整数线性规划问题． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)转化与化归思想； (3)函数思想.(对应学生用书第62页)1．有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为________．【解析】 设6吨的有x 辆，4吨的有y 辆，运送货物吨数为z ，则z ＝6x ＋4y . 【答案】 z ＝6x ＋4y2．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1 kg ，b 1 kg ，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2 kg ，b 2 kg ，甲、乙产品每千克可获得的利润分别为d 1元，d 2元，月初一次性购进原料A ，B 各c 1 kg ，c 2 kg ，本月要生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x kg ，y kg ，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为________．【解析】 对原料A 的限制：a 1x ＋a 2y ≤c 1，对原料B 的限制：b 1x ＋b 2y ≤c 2，另外甲、乙两种产品产量x ≥0，y ≥0.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ≤c1b 1x ＋b 2y ≤c2x ≥0y ≥03．某著名品牌汽车零件生产企业生产甲、乙两种汽车配件，已知生产每万件甲种配件要用A 原料3吨，B 原料2吨，生产每万件乙种配件要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每件甲种配件可获得利润5元，每件乙种配件可获得利润3元．已知该企业在一年内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业在一年内可获得的最大利润是________．【解析】 设生产甲种配件x 万件，生产乙种配件y 万件，利润为z 万元．则根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，目标函数为z ＝5x ＋3y .作出可行域如图所示，则可知A(133，0)，B (0,6)，C (3,4)．由图形可知，目标函数在点C (3,4)处取得最大值，最大值为5×3＋3×4＝27.【答案】 27万4．甲、乙两个居民小区的居委会组织本小区的中学生利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区都有同学参加．已知甲区的每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务，乙区的每位同学在返车费是5元，每人可为3位老人服务，如果要求乙区参与活动的同学比甲区的同学多，且去敬老院的往返总车费不超过37元，怎样安排甲、乙两区参与活动同学的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少？【解】 设甲、乙两区参与活动的人数分别为x ，y ，受到服务的老人的人数为z ，则z ＝5x ＋3y ，应满足的约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥1，3x ＋5y ≤37，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N .根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域中的整点，如图所示阴影部分中的点所示．画直线l 0：5x ＋3y ＝0，平行移动l 0到直线l 的位置，使l 过可行域内的点M ，该点到直线l 0的距离最大，则这一点的坐标使目标函数取得最大值，解方程⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，3x ＋5y ＝37，得点M (4,5)．因此当x ＝4，y ＝5时，z 取得最大值，并且z max ＝5×4＋3×5＝35.答：甲、乙两区参与活动的同学人数分别为4人和5人时，受到服务的老人最多，受到服务的老人最多是35人.(对应学生用书第98页)一、填空题1．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组有5名男工，3名女工，乙组有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种，乙种组数不少于1，求各自最多组成的工作小组数．要建立的数学模型中，约束条件为________．【解析】 设组成甲种组x 组，乙种组y 组，则对男工人数的限制为5x ＋4y ≤25，对女工人数的限制为3x ＋5y ≤20，组数限制x ≥y ≥1，故约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤25，3x ＋5y ≤20，1≤y ≤x ..【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤25，3x ＋5y ≤20，1≤y ≤x .2．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种至少买两套，共有________种买法．【解析】 设票面8角的买x 套，票面2元的买y 套．由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N *，y ≥2，y ∈N *，0.8×5x ＋2×4y ≤50，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，2x ＋4y ≤25，x ，y ∈N *.画出如右图平面区域得y ＝2时，x ＝2,3,4,5,6,7,8； y ＝3时，x ＝2,3,4,5,6； y ＝4时，x ＝2,3,4； y ＝5时，x ＝2.共有7＋5＋3＋1＝16. 【答案】 163．实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费________．【解析】 设购买每袋35千克的x 袋，购买每袋24千克的y 袋，则⎩⎪⎨⎪⎧35x ＋24y ≥106，x ≥0，y ≥0.求z ＝140x ＋120y 的最小值，作出可行域知，当x ＝1，y ＝3时费用最少．此时要花费：z ＝140×1＋120×3＝500元．【答案】 500元4．一批长400 cm 的条形钢材，需要将其截成518 mm 与698 mm 的两种毛坯，则钢材的最大利用率为________．【解析】 设518 mm 和698 mm 的毛坯个数分别为x ，y ，最大利用率为z ，则z ＝51.8x ＋69.8y400。

[学业水平训练]一、填空题1．给出下列命题：①线性规划中的最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x 和y 的值； ②线性规划中的最优解指的是目标函数的最大值或最小值；③线性规划中的最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域； ④线性规划中的最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解． 其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号) 答案：①④2．已知1≤a ≤2，－1≤b ≤3，则2a ＋b 的取值范围是________．解析：在平面直角坐标aOb 中画出可行域(图略)，可得目标函数z ＝2a ＋b 的最小值和最大值分别为1与7，故2a ＋b 的取值范围是[1，7]．答案：[1，7]3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为________．解析：因为变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，在坐标系中画出可行域△ABC ，A (2，0)，B (1，1)，C (3，3)，则使目标函数z ＝2x ＋y 取最小值的点是B 点，代入即可得z min ＝3.答案：34．满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0，并使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是________．解析：可行域(如图所示)是四边形OABC 及其内部的区域．作出l 0：6x ＋8y ＝0即3x ＋4y ＝0，平移直线l 0到l 的位置，由图形知，当l 过点C (0，5)时，z 取得最大值．答案：(0，5)5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．解析：作出可行域如图所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，即－4<a <2.答案：(－4，2)6．(2014·浙江省嘉兴一中月考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －y ＋1≤02x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据x 2＋y 2表示可行域内一点到原点的距离，可知x 2＋y 2的最小值是|AO |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y ＋1＝0得A (1，2)，所以|AO |2＝5.答案：57．配制A ，B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3mg 、乙料5mg ；配一剂B 种药需甲料5mg 、乙料4mg.今有甲料20mg 、乙料25mg ，若A ，B 两种药至少各配一剂，则不同的配制方法的种数是________．解析：设A ，B 两种药分别配x ，y 剂．则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥1，3x ＋5y ≤20，作出可行域（如图）.5x ＋4y ≤25，x ，y ∈N .上述不等式组的解集是可行域中的整点．运用画网格的方法，可得这个区域内的整点为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，所以在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法．答案：8 二、解答题8．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≤s y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，求目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝s y ＋2x ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－sy ＝2s －4，交点为B (4－s ，2s －4)，其他各交点分别为A (2，0)，C (0，s )，C ′(0，4)． (1)当3≤s ＜4时，可行域是四边形OABC ，此时7≤z max ＜8； (2)当4≤s ≤5时，可行域是△OAC ′，此时z max ＝8.由(1)，(2)可知目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是[7，8]．9．一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？解：设水稻种x 亩，花生种y 亩，得到的利润为P ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0.而利润P ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y＝960x ＋420y (目标函数)，可行域如图所示，可联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，240x ＋80y ＝400，得交点B (1.5，0.5)．故当x ＝1.5，y ＝0.5时，P max ＝960×1.5＋420×0.5＝1650，即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大．[高考水平训练]一、填空题1．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－222x ＋3y ≥92x ≤11，则z＝10x ＋10y 的最大值是________．解析：先画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ＝－22，2x ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5.5，y ＝4.5，但x ∈N *，y ∈N *，结合图知当x ＝5，y ＝4时，z max ＝90. 答案：902．(2014·湖北省襄阳四中期中考试)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0y ≥a0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．解析：作出满足条件的可行域(如图)，当y ＝a 过点A (0，5)时表示的平面区域为△ABC ；当5<a <7时表示的平面区域均为三角形．综上，5≤a <7.答案：5≤a <7 二、解答题3．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t ，需矿石4t 、煤3t ，生产乙种产品1t ，需矿石5t 、煤10t ，每1t 甲种产品的利润是7万元，每1t 乙种产品的利润是12万元，工厂在生产这两种产品的计划中，要求消耗矿石不超过200t ，煤不超过300t ，问：甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 万元，则z ＝7x ＋12y ，且⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得P (20，24)． ∴当x ＝20，y ＝24时，z 取得最大值．所以应生产甲种产品20t ，乙种产品24t ，能使利润总额达到最大．4．某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A 地10台、B 地8台．已知从甲地调运1台至A 地、B 地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A 地、B 地的运费分别为300元和500元．请你设计调运方案，使总运费不超过9000元．解：设从甲地调x 台给A 地，则给B 地(12－x )台；从乙地调y 台给A 地，则给B 地(6－y )台．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，400x ＋800（12－x ）＋300y ＋500（6－y ）≤9000，0≤x ≤12，0≤y ≤6，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，2x ＋y ≥18，0≤x ≤12，0≤y ≤6，x ，y ∈N .作出可行域如图所示．由图知，符合条件的x ，y 为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝0.所以为使运费不超过9000元，可有三种调运方案．方案1从甲地调8台给A地、4台给B地；再从乙地调2台给A地、4台给B地．方案2从甲地调9台给A地、3台给B地；再从乙地调1台给A地、5台给B地．方案3从甲地调10台给A地，2台给B地，再从乙地调6台给B地．。

简单的线性规划问题（二）一、自主学习学习目标：1.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能给出解答；2.培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．3.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．学习重点：将实际问题转化为线性规划问题求解（建立线性规划模型）学习难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答．学习方法：通过实例学习，感受线性规划中的建模问题，培养应用数学的能力。

解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化．二、学习过程问题一：（1）线性规划及其有关概念是什么？（2）解线性规划问题的一般方法和步骤是什么？问题二：前面我们用图解法解决了一些求线性目标函数最大值、最小值的问题．在现实生活中，我们还会遇到什么样的与线性规划有关的问题呢？下面通过以下事例，了解有关线性规划问题。

例1 （教材例1）投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成下表，以方便理解题意：然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最后用图解法求解．例2（教材例2）某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨．该公司有8辆载重为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为A型车4次，B型车3次．每辆卡车每天往返的成本费为A型车320元，B型车为504元．试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低．。

《简单的线性规划问题》教学设计一、教材分析。

普通高中课程标准实验教科书（苏教版）必修5第三章简单的线性规划问题，这是一堂关于简单线性规划的“问题教学”。

线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用叫广泛的一个分支。

它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题。

简单的线性规划关心的两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最好的任务；二是给定一项任务应如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成，突出体现了优化的思想。

教科书利用生产安排的具体实例，介绍而来线性规划问题的图解法，引用线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在运输等生产实际的应用。

二、学生情况分析。

本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。

从数学知识上看，问题涉及多个已知数据，多个字母变量、多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。

三、设计思想。

本课是一节复习课，首先让学生自己梳理知识点，各小组进行补充完善。

以三个例题为例，让学生自己出题，条件不变，目标函数进行修改，主要是线性函数型，距离型，斜率型，在出题改题的过程中，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。

注重引导帮助学生充分应用“数形结合”的思想方法，培养学生学会分析问题，解决问题的能力。

四、教学目标。

（一）知识与技能了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值。

（二）过程与方法本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将数学中的线性规划问题进行归类合并。

考虑到学生的知识水平和消化能力，真正体现数学的工具性。

（三）情感、态度与价值观渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣。

3.3.3 简单的线性规划问题（2）教学目标：一、知识与技能1．能将实际问题转化为数学问题，从实际情景中抽象解决一些简单的线性规划应用问题的基本思路和主要方法；2. 在应用中培养分析能力、判断能力、作图能力、计算能力；3.通过对线性规划方法的实际应用，进一步加深对线性规划有关知识的理解；4.正确进行多种数学语言的转译，增强学生应用数学的意识．二、过程与方法经历从实际情境中抽象出不等式模型的过程，培养学生数学建模的能力以及数学应用意识．三、情感、态度与价值观1. 通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，体会不等式对于刻画不等关系的意义和价值；2.体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题；3.通过实例，体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力，培养学生理论联系实际的观点．教学重点：线性规划问题的图解法，即根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，并利用图解法求得最优解的主要步骤和基本思路；教学难点：把实际问题转化为数学问题，即如何根据实际问题的条件，转化为线性约束条件；如何把实际问题中要的结果转化为线性目标函数；如何根据实际问题的要求确定最优解．教学方法：应用多媒体辅助教学，增强动感和直观性，增大教学容量，提高教学效果和教学质量．采取先师生共同分析、探究解决一两个范例，给学生提供良好有效的解决问题的思路方法以及完整规范的解题格式和程序，再让学生进行模仿练习，在模仿中加深对求解线性规划应用题的思路方法的理解和掌握，逐步提高分析问题、解决问题的能力．教学过程：一、 问题情景1. 提高企业的经济效益是现代化管理的根本任务，各个领域中的大量问题都可以归结为线性规划问题，根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明，有0085的公司频繁地使用线性规划，并取得了提高经济效益的显著效果．在实际生活中，我们也经常遇到需要合理安排资源，以得到最大效益的问题，如：（多媒体显示）．某校办工厂有方木料390m ，五合板6002m ，正准备为外校新生加工新桌椅和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料301m ⋅，五合板22m ，生产每个书橱需要方木料302m ⋅，五合板12m ，出售一张书桌可获利润80元，出售一张书橱可获利润120元．（1）假设你是工厂的生产科长，请你按要求设计出工厂的生产方案．（2）设生产书桌x 张，书橱y 张，利润z 元，写出x ，y 应满足的条件以及z 与x ，y 之间的函数关系式．（3）如果你是厂长，为使工厂原料充分利用，问怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？二、学生活动1. 让学生思考上面的问题，探究解决这一问题的方案．生甲：若只生产书桌，用完五合板，可生产书桌300张，可获得利润80×300＝24000元，但方木料没有用完．生乙：若只生产书橱，用完方木料，可生产450张书橱，可获得利润120×450＝54000元，但五合板没有用完．师：在上面两种情况下，原料都没有充分利用，造成了资源浪费，那么该怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？生丙：设生产书桌x 张，书橱y 张，利润z 元，利用线性规划． 师：x y 应满足什么约束条件呢？目标函数是什么？0.1x+0.2y=90y2x+y=600OxA （100,400）生丙：约束条件为0.10.2902600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩，，Ｎ，Ｎ．目标函数为y x z 12080+=，这个问题转化为求目标函数的最大值问题．师：能用前面学过的知识解决这一问题吗？ 生丁：作出可行域，作出一组平行直线t y x =+32， 当直线经过点()400,100A 时，直线的纵截距最大， 即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张， 有最大利润为5600012040010080max =⨯+⨯=z 元．师：解决本题的关键在哪儿？生：根据题意，找出线性约束条件和线性目标函数，利用线性规划图解法求解． 师：哪些应用题可以用线性规划来处理？生：（讨论，再次观察例题，总结，教师补充）一是人力、物力、财力等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．（即“少投入，多产出”）三、建构数学1. 线性规划问题的求解步骤：（1）审：审题（将题目中数据列表），将实际问题转化为数学问题； （2）设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；（3）画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；（4）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（5）求：通过解方程组求出最优解； （6）答：回答实际问题．2. 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点，因此，确定其最优解，往往只需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得最优解．四、数学运用y xOx+2y-8=02 4 y =32468 x =4 1. 例题.例1 某工厂用A ，B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品可获利润2万元，生产一件乙产品可获利润3万元，则如何安排日生产，可使工厂所获利润最大？解 设甲、乙两种产品的产量分别为x ，y 件，工厂所获利润z 万元，约束条件为284164120,0x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩，，，．，目标函数是y x z 32+=．作出可行域（如图所示），可行域内的每一个整点就代表所有可能的日生产安排．将目标函数变形为332zx y +-=，这是斜率为32-，在y 轴上的截距为3z ，随着3z 变化的直线族．当3z最大时，z 最大，但直线要与可行域相交．当直线经过两条直线0824=-+=y x x 与的交点()2,4M 时，直线在y 轴上的截距最大，最大值为314，因此，每天生产甲产品4件、乙产品2件时，工厂可得最大利润14万元． 例2 投资生产A 产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地200 m 2，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产一百米需要资金300万元，需场地100m 2，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900 m 2，问 应作怎样的组合投资，可获利最大？ 分析：资金（百万元） 场地（百平方米） 利润（百万元） A 产品（百吨） 2 2 3 B 产品（百米）3 1 2 限制149解 设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，利润为S 百万元，则约束条件为：y2x +y =923142900x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，，，．目标函数为y x S 23+=，作出可行域（如图所示），将目标函数变形为223Sx y +-=，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为2S ，随着2S 变化的直线族．当2S最大时，S 最大，但直线要与可行域相交．当直线经过两条直线143292=+=+y x y x 与的交点⎪⎭⎫⎝⎛25413，A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时75.145.2225.33=⨯+⨯=S ,因此，生产A 产品325t ，生产B 产品250m 时，获利最大，且最大利润为1475万元．例3 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少千克？分析 解 设每天食用x kg食物A ，y kg 食物B ，总成本为z 元，则线性约束条件为：0.1050.1050.0750.070.140.060.140.070.0600x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，，，，．①， 目标函数为：y x z 2128+=28x ＋21不等式①等价于7757146147600x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，，，，． ②，作出可行域如图：考虑y x z 2128+=可变形为2834zx y +-=，这是斜率为34-、随z 变化的一组平行直线，28z 是直线在y 轴上的截距，当28z取最小值时，z 的值最小，且直线要与可行域相交，由上图可见，当直线y x z 2128+=经过可行域上的点M 时，截距28z最小，即z 最小．解方程组⎩⎨⎧=+=+6714577y x y x ，得M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛7471，，所以162128min =+=y x z ．由此可知，每天食用A 食物143g ，食物B 约571g ，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元．2. 练习．（1）某工厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元．甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 上加工一件甲所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙所需工时分别为2小时、1小时，A ，B 两种设备每月有效使用台数分别为400小时/台和500小时/台．如何安排生产可使收入最大？ 解 设甲、乙两种产品的产量分别为x ，y 件，约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00500424002y x y x y x ，目标函数是y x z 23+=． 作出可行域（如图所示） 将目标函数变形为223zx y +-=，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为2z ，随着2z 变化的直线族．当2z 最大时，z 最大，但直线要与可行域相交．当直线经过两条直线40025002=+=+y x y x 与的交点()100,200A 时，直A （200,100）y2x +y =500xOx +2y =400Ox20 30 40y 2030 10 M10x ＋y ＝20 x ＋y ＝30x ＋2y ＝407.2x ＋10.8y ＝0线在y 轴上的截距最大，最大值为800千元，因此，甲、乙两种产品的每月产量分别为200,100件时，工厂可得最大收入800千元．（2）某人准备投资1200万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）： 学段 班级学生数 配备教师数 硬件建设（万元） 教师年薪（万元） 初中 45 2 26/班 2/人 高中40354/班2/人若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1600元，高中每人每年可收取学费2700元．因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜（含20个与30个），那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？解 设开设初中班x 个，高中班y 个，收取学费的总额为z 万元．满足的约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≥+0,04023020y x y x y x y x ，目标函数为y x z 4027.04516.0⨯+⨯=，可行域如图，把z x y y x z 545328.102.7+-=+=变形为，得到斜率为32-，在y 轴上的截距为54z ，随着54z变化的直线族．当54z最大时，z 最大，但直线要与可行域相交．当直线经过可行域上的点M 时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大．解方程组30,240x y x y +=⎧⎨+=⎩()20,10,M 得的坐标为所以252108.10202.7max =⨯+⨯=z ．由此可知，开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最多，为252万元．五、要点归纳与方法小结： 本节课学习了以下内容： 1. 线性规划问题的求解步骤：（1）审：审题（将题目中数据列表），将实际问题转化为数学问题；（2）设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；（3）画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；（4）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（5）求：通过解方程组求出最优解；（6）答：回答实际问题．2. 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点，因此，确定其最优解，往往只需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得最优解．3. 本节课学习的数学思想：化归思想、数形结合思想．。