高中数学(苏教版必修5)1.3正弦定理、余弦定理的应用(一)

正弦、余弦定理及应用一．课标要求：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

二．命题走向对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。

今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。

题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。

三．要点精讲1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。

2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

R C cB b A a 2sin sin sin ===。

（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：（1）△＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；（3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A BA c +；（4）△＝2R 2sin A sin B sin C 。

学习目标核心素养１．能将实际问题转化为解三角形问题．（难点）２．能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题．（重点）通过利用正、余弦定理求解实际问题中的长度、高度，培养学生的直观想象及数学建模素养.正、余弦定理在物理学中的应用【例１】都是细杆，只受沿杆方向的力．试求杆OA，OB所受的力．思路探究：先借助向量的合成与分解画出图示，然后借助正弦定理求解．[解] 如图，作错误!＝F，将F沿A到O，O到B两个方向进行分解，即作▱OCED，则错误!＝错误!＝F１，错误!＝F２.由题设条件可知，|错误!|＝１0，∠OCE＝５0°，∠OEC＝70°，所以∠COE＝１80°—５0°—70°＝60°.在△OCE中，由正弦定理，得错误!＝错误!，错误!＝错误!，因此，|F１|＝错误!≈１１．３N，|F２|＝错误!≈１２．３N.即灯杆OA所受的力为１１．３N，灯杆OB所受的力为１２．３N.在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.１．作用于同一点的三个力F１，F２，F３平衡．已知F１＝３0 N，F２＝５0 N，F１与F２之间的夹角是60°，求F３的大小与方向（精确到0．１°）．[解] F３应和F１，F２的合力F平衡，所以F３和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图，在△OF１F中，由余弦定理，得F＝错误!＝70（N），再由正弦定理，得sin∠F１OF＝错误!＝错误!，所以∠F１OF≈３8．２°，从而∠F１OF３≈１４１．8°.即F３为70 N，F３和F１间的夹角为１４１．8°.正、余弦定理在几何中的应用【例２】（１）求sin∠BAC的值；（２）设BC的中点为D，求中线AD的长．思路探究：（１）（２）[解] （１）因为cos C＝错误!，且C是三角形的内角，所以sin C＝错误!＝错误!＝错误!.所以sin∠BAC＝sin[π—（B＋C）]＝sin（B＋C）＝sin B cos C＋cos B sin C＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.（２）在△ABC中，由正弦定理得，错误!＝错误!，则BC＝错误!×sin∠BAC＝错误!×错误!＝6，所以CD＝错误!BC＝３．又在△ADC中，AC＝２错误!，cos C＝错误!，所以由余弦定理得，AD＝错误!＝错误!＝错误!.（三角形中几何计算问题的解题思路１正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决.２此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件.２．如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB ＝２．（１）求cos∠CBE的值；（２）求AE.[解] （１）因为∠BCD＝90°＋60°＝１５0°，CB＝AC＝CD，所以∠CBE＝１５°.所以cos∠CBE＝cos（４５°—３0°）＝错误!.（２）在△ABE中，AB＝２，由已知和（１）知∠ABE＝∠ABC—∠CBE＝４５°—１５°＝３0°，∠AEB＝∠ACB＋∠EBC＝90°＋１５°＝１0５°，由正弦定理，得错误!＝错误!，∴AE＝错误!＝错误!＝错误!—错误!.正、余弦定理在测量学中的应用[探究问题]１．如图，A，B两点在河的对岸，且不可到达，如何测量其两点间的距离？[提示] 在河岸这边选取点C，D，测得CD＝a，∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，则在△ACB和△ACD中应用正弦定理可求AC，BC的长，进而在△ACB中应用余弦定理求AB.２．如图，如何测量山顶塔AB的高？（测量者的身高忽略不记）[提示] 测量者在山下先选择一基点P，测出此时山顶的仰角α，前进a米后，再测出此时山顶的仰角β，则借助直角三角形的边角关系可求塔顶距地面的高h，进而利用AB＝h—H求解．【例３】如图，A，B是海面上位于东西方向相距５（３＋错误!）海里的两个观测点，现位于A点北偏东４５°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距２0错误!海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为３0海里每小时，该救援船到达D点至少需要几个小时？思路探究：在△ABD中，利用正弦定理求出BD的长，再在△DBC中利用余弦定理求出DC的长，进而求时间．[解] 由题意知AB＝５（３＋错误!），∠DBA＝90°—60°＝３0°，∠DAB＝４５°，所以∠ADB＝１0５°，所以sin １0５°＝sin ４５°cos 60°＋sin 60°cos ４５°＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!，在△ABD中，由正弦定理得错误!＝错误!，所以BD＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝１0错误!，又∠DBC＝１80°—60°—60°＝60°，BC＝２0错误!，在△DBC中，由余弦定理得CD２＝BD２＋BC２—２×BD×BC cos 60°＝３00＋１２00—２×１0错误!×２0错误!×错误!＝900，所以CD＝３0（海里），则至少需要的时间t＝错误!＝１（小时）．本例中，A与B的距离改为“５（错误!＋错误!）海里”，点C的位置改为“位于A点南偏西１５°且与A点相距１0错误!海里，如图所示”，其他条件不变，应如何解答？[解] 在△ABD中，由正弦定理得错误!＝错误!，所以AD＝错误!＝错误!＝错误!＝１0．在△ACD中，∠CAD＝90°＋４５°＋１５°＝１５0°，AD＝１0，AC＝１0错误!，由余弦定理得CD２＝AD２＋AC２—２×AD×AC cos １５0°＝１00＋３00—２×１0×１0错误!×错误!＝700，所以CD＝１0错误!（海里），则需要的时间t＝错误!＝错误!（小时）．１．解决测量高度问题的一般步骤（１）画图：根据已知条件画出示意图；（２）分析三角形：分析与问题有关的三角形；（３）求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．２．测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达．解决此问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．提醒：解题时要注意题目条件和实际意义中的隐含信息，避免出现增解或漏解．１．本节课要掌握四类问题的解法（１）测量距离问题．（２）测量高度问题．（３）角度问题．（４）与立体几何有关的测量问题．２．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况（１）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理和余弦定理解之．（２）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．１．判断正误（１）已知三角形的三个角，能够求其三条边．（）（２）两个不可到达的点之间的距离无法求得．（）（３）东偏北４５°的方向就是东北方向．（）（４）仰角与俯角所在的平面是铅垂面．（）[答案] （１）×（２）×（３）√（４）√[提示] 已知三角形中至少知道一条边才能解三角形，故（１）错．两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形的方法求出，故（２）错．２．身高相同的甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测２0 m高的旗杆，甲观测的仰角为５0°，乙观测的仰角为４0°，用d１，d２分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有（）Ａ．d１>d２Ｂ．d１<d２Ｃ．d１>２0 m Ｄ．d２<２0 mB[如图，设旗杆高为h，则d１＝错误!，d２＝错误!.因为tan ５0°>tan ４0°，所以d１<d２.]３．一艘船以４km/h的速度沿着与水流方向成１２0°的方向航行，已知河水流速为２km/h，则经过错误!h，该船实际航程为________．6 km [v实＝错误!＝２错误!（km/h）．所以实际航程为２错误!×错误!＝6（km）．]４．某市在“旧城改造”工程中，计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a元/m２，则购买这种草皮需要________元．１５0a[∵S△＝错误!×２0×３0×sin １５0°＝错误!×２0×３0×错误!＝１５0（m２），∴购买这种草皮需要１５0a元．]５．如图，A，B两点都在河的对岸（不可到达），若在河岸选取相距４0 m的C，D两点，测得∠BCA ＝60°，∠ACD＝３0°，∠CDB＝４５°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？[解] 在△ACD中，应用正弦定理得AC＝错误!＝错误!＝错误!＝２0（１＋错误!）（m），在△BCD中，应用正弦定理得BC＝错误!＝错误!＝４0（m）．在△ABC中，由余弦定理得AB＝错误!＝２0错误!（m）．。

2019-2020学年苏教版数学精品资料课题：§1.3正弦定理、余弦定理的应用总第____课时班级_______________姓名_______________【学习目标】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、航海以及力学有关的实际问题，了解有关常用术语及其准确含义．【重点难点】学习重点：从有关测量、航海、力学等实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解．学习难点：根据题意建立数学模型，画出示意图．【学习过程】一、自主学习与交流反馈：如图，设A 、B 两点在河的两岸且不可到达，现要测量两点之间的距离，测量者站在A 的同侧C 点处．问题1：利用学过的知识，测量者只要测出哪些量就可求出A 、B 两点间的距离？问题2：如何求A 、B 两点间的距离呢？二、知识建构与应用：例1 如图，为了测量河对岸两点A 、B 之间（不可到达）的距离，在河岸的这边取点C 、D ，测得∠ADC=45°，∠BDC=75°，∠ACD=60°，∠BCD=45°，CD=100m,设A 、B 、C 、D 在同一平面内，试求A 、B 之间的距离（精确到1m ）．BCADCBA例2 如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1°，时间精确到1min ）．(注：方位角是从指北方向顺时针转到目标方向线的角)例 3 作用于同一点的三个力321F F F 、、平衡.已知N F N F 503021，，1F 与2F 之间的夹角是60°，求3F 的大小与方向（精确到0.1°）．F 3F 2F 1O北北ACB105°45°αOCB A例 4 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA ，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，问：点B 在什么位置时，四边形OACB 的面积最大？四、巩固练习1．从200m 高的电视塔塔顶A 测得地面上某两点B ，C 的俯角分别为o 30和o45，o45BAC ，则这两个点之间的距离为（精确到0.1m ）．2．某人朝正东方走xkm 后，向左转o150，然后朝新方向走3km ，结果它离出发点恰好3km ，那么x=．3．两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南偏东60°,则A,B 之间的相距km ．4．如图所示,海岛A周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B处测得岛A在船的南偏东045方向上，30方向上，船航行30海里后，在C处测得岛A在船的南偏东0如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？五、回顾反思:六、作业批改情况记录及分析:。

教案：高中数学——正弦定理、余弦定理及应用教案编写者：教学目标：1. 理解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 掌握正弦定理、余弦定理的应用方法；3. 能够运用正弦定理、余弦定理解决实际问题。

教学重点：1. 正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 正弦定理、余弦定理的应用方法。

教学难点：1. 正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用。

教学准备：1. 教师准备PPT、教案、例题及练习题；2. 学生准备笔记本、文具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生回顾正弦、余弦函数的定义及图像；2. 提问：如何利用三角函数解决几何问题？引出正弦定理、余弦定理的学习。

二、正弦定理（15分钟）1. 讲解正弦定理的定义：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等；2. 解释正弦定理的几何意义：三角形任意一边的长度等于这一边所对角的正弦值乘以对边的长度；3. 举例说明正弦定理的应用方法，如已知三角形两边和一边的对角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握正弦定理的应用。

三、余弦定理（15分钟）1. 讲解余弦定理的定义：在一个三角形中，各边的平方和等于两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的二倍；2. 解释余弦定理的几何意义：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍；3. 举例说明余弦定理的应用方法，如已知三角形两边和它们的夹角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握余弦定理的应用。

四、应用练习（15分钟）1. 给学生发放练习题，要求学生在纸上完成；2. 学生在纸上完成练习题，教师巡回指导；3. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。

1. 回顾本节课学习的正弦定理、余弦定理的定义及应用；2. 强调正弦定理、余弦定理在解决几何问题中的重要性；3. 提醒学生课后复习巩固，做好预习准备。

教学反思：本节课通过讲解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义，让学生掌握了这两个重要定理的应用方法。

高中苏教数学⑤1.1～1.2正弦定理、余弦定理要点解读一、正弦定理1．正弦定理及其证明在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C==． 课本利用三角形中的正弦函数的定义和向量的数量积两种方法证明了正弦定理，同学们可以思考一下有没有别的方法呢？答案是肯定的．证明如下：当ABC △为锐角三角形时（如图所示），过点A 作单位向量i 垂直于AB ，因为AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，所以()AC AB BC AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ····i i i i ，cos(90)0cos(90)b A a B -=+-°°，即sin sin b A a B =，得sin sin a b A B=． 当ABC △为钝角或直角三角形时也可类似证明．2．正弦定理常见变形公式 （1）sin sin sin sin b A c A a B C ==，sin sin sin sin c B a B b C A ==，sin sin sin sin a C b C c A B==； （2）::sin :sin :sin a b c A B C =；（3）2sin 2sin a R A b R B ==，，2sin c R C =（R 为ABC △外接圆的半径）； （4）sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =； （5）sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C++===++． 注：这些常见的变形公式应熟练掌握，在具体解题时，可根据不同的题设条件选择不同的变形公式．3．正弦定理的运用利用正弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他两边和另一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．二、余弦定理1．余弦定理及表达式三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．2222cos a b c bc A =+-；2222cos b c a ca B =+-；2222cos c a b ab C =+-． 注：余弦定理反映了a b c A B C ，，，，，元素间的动态结构，揭示了任意三角形的边、角关系．2．余弦定理的另一种表达形式222cos 2b c a A bc+-=； 222cos 2c a b B ac+-=；222cos 2a b c C ab+-=； 注：若已知三边求角时，应用余弦定理的此表达形式简单易行．3．余弦定理的运用利用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．注：这两类问题在有解时都只有一个解．4．勾股定理和余弦定理的区别与联系勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．由余弦定理及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．因此，勾股定理可以看作是余弦定理的特殊情况，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．三角形形状的判定根据条件判断三角形的形状，是一类常见的解斜三角形问题．本文介绍几种常用解法，以供参考．一、利用向量的模，或利用向量的夹角来判定例1 在ABC △中，设BC CA AB ===u u u r u u u r u u u r ，，a b c ，若==ab bc ca ，判断ABC △的形状． 解：∵++=0a b c ，∴ +=-a b c ，22()()+=-a b c ，即2222++=a b a b c ·，同理有：2222++=b c b c a ·，两式相减有：22222()-+-=-a c ab bc c a ··， ∵=a b b c ··，∴22=a c ．即=a c ，同理：=a b ，即==a b c ，故ABC △为等边三角形．注：我们还可以利用向量的夹角来判断．提示：以BA BC ，为平行四边形的两邻边，作ABCD Y ，由=a b b c ··知()0-=ba c ·，即0CA BD =u u u r u u u r ·，即CA BD ⊥，所以ABCD Y 为菱形，故BA BC =，同理可得AB AC =．二、利用正、余弦定理来判断边或角的关系一般地，对于给出的边、角关系混合在一起的问题，利用正、余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么统一为角的关系，再利用三角形的有关知识及三角恒等变形等来解决． 例2 在ABC △中，若2cos sin sin C A B =，则ABC △的形状一定是（ ）（A ）等腰直角三角形 （B ）直角三角形（C ）等腰三角形 （D ）等边三角形解析：∵2cos sin sin C A B =，∴ cos 2b C a =． 又由余弦定理，知222cos 2a b c C ab +-=．∴a c =，故选（C ）．三、利用三角变换例3 在ABC △中，若sin sin cos cos A B A B <，则此三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）锐角三角形（C ）钝角三角形 （D ）等腰三角形解析：由条件知cos cos sin sin 0A B A B ->， 即cos()0A B +>，所以π02A B <+<，所以ππ2C <<，故选（C ）． 那么可不可以利用三角变换来解决例2呢？ 提示：∵π()B A C =-+，∴sin sin()B A C =+． ∴2cos sin sin cos cos sin C A A C A C =+． 故sin()0A C -=，即A C =．例4 在ABC △中，若sin sin sin cos cos sin cos cos 2A B A B A B A B +++=，则ABC △是（）．（A ）等边三角形 （B ）钝角三角形（C ）等腰直角三角形 （D ）直角三角形 解析：由已知，得cos()sin()2A B A B -++=， 又cos()1A B -≤，sin()1A B +≤， 故cos()1A B -=且sin()1A B +=， 即A B =且90A B +=°，故选（C ）．评注：本题是利用了正、余弦函数的有界性来解决．。

1.3 正弦定理、余弦定理的应用【三维目标】：一、知识与技能1.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题。

2.体会数学建模的基本思想，应用解三角形知识解决实际问题的解题一般步骤：①根据题意做出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案。

3.了解常用的测量相关术语（如：仰角、俯角、方位角、视角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义）；综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题。

4．能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力。

5．规范学生的演算过程：逻辑严谨，表述准确，算法简练，书写工整，示意图清晰。

二、过程与方法通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，熟练运用。

三、情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。

【教学重点与难点】：重点：（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；（2）掌握求解实际问题的一般步骤。

难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。

【学法与教学用具】：1. 学法：让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。

生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。

解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。

【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题总结解斜三角形的要求和常用方法（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：①已知两角和任一边，求其它两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角。

§1.3正弦定理、余弦定理的应用情景引入正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用．解三角形的知识本身是从人类长期的生产和生活实践中产生和发展起来的，在数学发展历史上，受到天文测量，航海测量和地理测量等方面实践活动的推动，解三角形的理论得到不断发展，并被应用于解决许多测量问题.知识技能详解知识点1 有关名词、术语1. 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图 2．方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角是45︒，指北偏东45︒，即东北方向．3．方向角指从指定方向线到目标方向线的水平角，如北偏西30︒（或北30︒西）是指测量的正北方向向西旋转30︒所成的角．4．坡度是指坡面与水平面所成的角的度数．知识点2 解三角形应用题的一般思路(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．(3)选择正弦定理和余弦定理求解，把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正、余弦定理有顺序地解这些三角形；实际问题→数学问题（三角形）→数学问题的解（解三角形）→实际问题的解(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中单位、近似计算要求并作答．这一思路描述如下：视线 仰角俯角视线 铅垂线水平线知识点3 三角形的面积公式结合正弦定理，三角形面积公式为111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===，三角形的面积公式有许多：例如已知三角形的三边a 、b 、c 及外接圆、内切圆的半径为R ，r ，则有2a b c S r ++= 与abcS =4R； 在△ABC 中，若11(,)AB x y = ，22(,)AC x y = ，则△ABC 的面积为211212S x y x y =- ；还有三角形的面积公式（海伦公式）：()()()S p p a p b p c =---，其中S 表示三角形的面积，a 、b 、c 表示三角形的三边长，p 表示三角形的半周长，即1()2p a b c =++． 技能应用导引题型一 距离问题例1一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由A 点开始做匀速直线运动，到达点B 时，发现足球在点D 处正以2倍于自己的速度向点A 作匀速直线滚动，如图1-3-1所示，已知42AB dm =，17AD dm =，45BAC ∠=︒，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？【分析】机器人最快截住足球的地方正是机器人与足球同时到达的地方，设为C 点，利用速度建立AC 与BC 之间的关系，再利用余弦定理便可建立方程解决问题． 【解】设机器人最快可在点C 处截住足球，点C 在线段AD 上，设BC x = dm ，由题意，得2CD x = dm ，(172)AC AD CD x =-=- dm在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅ 即222(42)(17)x x =+-82(17)cos45x --︒解得15x = (dm ), 2373x =(dm )∴1727AC x =-=(dm )或233AC =-(dm )（舍去） 答：该机器人最快可在线段AD 上离A 点7dm 的点C 处截住足球．【评注】本题是利用余弦定理解决实际问题，关键是转化为数学模型．在转化为数学模型的过程中，最好是先画好简单的图示，然后根据题目中条件分清那些是已知量，那些是未知量，灵活地选用正、余弦定理． 变式练习1如图1-3-2，有两条直线AB 和CD 相交成80︒角，交点是O ，甲、乙两人同时从O 点分别沿OA 、OC 方向出发，速度分别4/km h ，4.5/km h ，3h 后两人相距多远（精确到0.1km ）？变式练习2某炮兵阵地于A 点，两观察所分别位于C 、D 两点，已知△ACD 为正三角形，且3DC km =，当目标出现在B 时，测得45CDB ∠=︒，75BCD ∠=︒，求炮兵阵地与目标的距离是多少？（精确到0.01km ）例2 如图1-3-3，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75︒，距离为126n mile ，在A 处看灯塔CACBD45︒1-3-1A P DB 80︒QCO在货轮的北偏西30︒，距离为，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120︒，求：(1)A 处与D 处的距离；(2)灯塔C 与D 处的距离．【分析】(1)要求AD 的长，在△ABD中，AB =45B ∠=︒，可由正弦定理求解．(2)要求CD 的长，在△ACD 中，可由余弦定理解决． (楷体)【解】(1)在△ABD 中，60ADB ∠=︒，45B ∠=︒，由正弦定理得sin sin AB BAD ADB=∠24==(n mile )(2) 在△ADC 中，由余弦定理得2222cos30CD AD AC AD AC =+-⋅︒解得14CD =≈(n mile)即A 处到D 处距离为24n mile ，灯塔C 与D 处的距离约为14n mile ． 【小结】利用正弦定理、余弦定理可以求得两个不可到达点之间的距离． 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达，又不能相互看到． 需要测量CB 、CA 的长和角C 的大小， 由余弦定理，2222cos AB CA CB CA CB C =+-可求得AB 的长．A B C 30︒30︒60︒1-3-31-3-41-3-51-3-61-3-7 A CB126︒78︒1-3-8变式练习3如图1-3-7所示，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为32km ，30ADB CDB ∠=∠=︒，60ACD ∠=︒，45ACB ∠=︒，求A 、B 两点间的距离．变式练习4如图1-3-8，货轮在海上以35/n mile h 的速度沿着方位角为148︒的方向航行，为了确定船位，在B 点观察灯塔A 的方位角是126︒，航行半小时后到达C 点，观察灯塔A 的方位角是78︒，求货轮到达C 点时与灯塔A 的距离（精确到1n mile ）题型二 角度问题例3 沿一条小路前进，从A 到B ，方位角（从正北方向顺时针转到AB 方向所成的角）是50︒，距离是470m ，从B 到C ，方位角是80︒，距离是860m ，从C 到D ，方位角是150︒，距离是640m ．试画出示意图，并计算出从A 到D 的方位角和距离．【分析】如图1-3-9，作图要理解题意，并按适当的比例．要求A 到D 的方位角，需构造三角形，连结AC ，在△ABC 中，用余弦定理求出AC ，进而求出BAC ∠，再在△ACD 中，求出AD 和CAD ∠． 【解】连结AC ，在△ABC 中，50(18080)150ABC ∠=︒+︒-︒=︒，由余弦定理，得 222cos150AC AB BC AB BC =+-⋅︒1289()m ≈由正弦定理，得sin sin BC ABC BAC AC ∠∠=860sin1500.33361289︒=≈，19.5BAC ∠≈︒，10.5ACB ∠=︒连结AD ，在△ACD 中，8010.53099.5ACD ∠=︒-︒+︒=︒ 由余弦定理，得222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠1531)m ≈（ 由正弦定理，得sin sin CD ACDCAD AD⋅∠∠=0.4123≈，24.3CAD ∠≈︒于是AD 的方位角为5019.524.393.8︒+︒+︒=︒ 即从A 到D 的方位角约为93.8︒，距离约为1531m ．【评注】解决本题的关键在于根据题意作出示意图，然后再根据图形选择解法．所以在本节中，画示意图是很关键的一步，它是关系到能否准确地判断题意．变式练习5 如图1-3-10，某市三个新兴工业小区A 、B 、C 决定平均投资共建一个中心医院O ，使得医ADC B80︒50︒150︒北北北1-3-9B C A O 1-3-101-3-11院到三个小区的距离相等，已知这三个小区之间的距离分别为 4.3AB km =， 3.7BC km =，4.7CA km =，问该医院应建在和处？（精确到0.1km 或1︒）变式练习6如图1-3-11，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东3π的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西3π的B 处，12时40分轮船到达海岛正西方5km 的E 港口.如果轮船始终匀速前进，求船速．例4 如图1-3-12，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30︒方向上，航行30海里后，在C 处测得小岛在船的偏南偏东45︒方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？【分析】船继续南航行，有无触礁的危险，取决于A 到直线BC 的距离与38海里的大小，于是我们只要先算出AC （或AB ）的大小，再算出A 到BC 所在直线的距离，将它与38海里比较即可得问题的解．【解】在△ABC 中，30BC =，30B =︒，135ACB ∠=︒∴15A ∠=由正弦定理知：sin sin BC ACA B= 即30sin15sin 30AC=︒︒∴30sin 30sin15AC ︒=︒60cos15=︒60cos(4530)=︒-︒ 60(cos 45cos30sin 45sin30)=︒︒+︒︒15(62)=+于是，A 到BC 所在直线的距离为2sin 4515(62)2AC ︒=+⨯15(31)40.98=+≈海里它大于38海里，所以船继续向南航行，没有触礁的危险．【点拨】把实际问题抽象成数学问题，要能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景多了解，但也不能机械地模仿一些常见数学问题的解法，当面临一种新的问题时要认真分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等去发现问题、解决问题．变式练习7如图1-3-13，甲船自A 港口出发时，乙船在离A 港口7 n mile 的海面上由D 处驶向A 港，已ABC1-3-12A BC60︒30︒北 东1-3-14A DC E 1-3-13知两船的航速之比为2：1，甲船航行方向与AD 成60︒角，求两船相距最近时，各离A 港口多远？ 变式练习8如图1-3-14，已知A 、B 两点距离为100 n mile ，B 在A 的北偏东30︒，甲船从A 点以50 n mile/h 的速率向B 航行，同时乙船从B 以30 n mile/h 的速率沿南偏东30︒方向航行，问航行几小，两船之间的距离最小？题型三 高度问题例5某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度(精确到1米)．【分析】如图1-3-15，要求BC ，只要求AB ，为此考虑解ABD ∆． 【解】过点D 作//DEAC 交BC 于E ，∵20DAC ∠=︒， ∴160ADE ∠=︒，于是36016065135ADB ∠=︒-︒-︒=︒． 又352015BAD ∠=︒-︒=︒，∴30ABD ∠=︒． 在ABD ∆中，由正弦定理，得sin 1000sin13510002()sin sin 30AD ADB AB m ABD ∠︒===∠︒．在Rt ABC ∆中，sin3510002sin35811()BC AB m =︒=︒≈． 答：山的高度约为811m ．【小结】测量垂直高度一般有以下两点：1、底部可以到达的；测量出角C 和BC 的长度，解直角三角形即可求出AB 的长．2、底部不能到达的；测量边CD ，测量∠C 和∠ADB ，cot cot CDAB C ADB=-∠．变式练习9如图1-3-17，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南测远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上，行驶5 km 后到达B 处， 测得此山顶在东偏南的25︒方向上，仰角为8︒，求此山的高度CD ． 变式练习10飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m ，速率为189 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为15.8︒，经过960 s 后， 又看到山顶的俯角为81︒，求山顶的海拔高度（结果精确到1m ）．例6 如图1-3-18，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角5440'α=︒，在塔底C 处测得A 处的俯角501'β=︒．已知铁塔BC 部分的高为27.3m ，求出山高CD （精确到1m ）． 【分析】根据已知条件，应设法求出AB 或AC 的长．【解】在△ABC 中，90BCA β∠=︒+，90ABC α∠=︒-，BAC αβ∠=-，BAD α∠=，根据正弦定理，得sin()sin(90)BC ABαββ=-︒+∴sin(90)cos sin()sin()BC BC AB ββαβαβ︒+==--在Rt △ABD 中， sin BD AB BAD =∠cos sin sin()BC βααβ=-1-3-1515︒25︒ D C BA1-3-171-3-18把测量数据代入上式，得27.3cos501'sin 5440'sin 439'BD ︒︒=︒176.5()m ≈176.327.3149()CD BD BC m =-≈-≈答：山高约为149m ．【评注】我们可以看出，解三角形知识在实践测量方面有着广泛的应用．有时我们还需要加强动手实践，提高利用数学知识解决问题的能力，深刻认识数学在生产、生活实际中所发挥的作用． 变式练习11 ：如图1-3-19，A 、B 是水平面上的两个点，相距800m ，在A 点测得山顶C 的仰角为25︒，110BAD ∠=︒，又在B 点测得40ABD ∠=︒，其中D 是点C 在水平面上的垂足，求山高CD （精确到1m ）． 变式练习12如图1-3-20，在山脚A 处测得山顶P 的仰角为α，沿倾角为β的斜坡向上走a m 到B ，又测得山顶P 的仰角为γ，求山高．技能拓展探究◆基础综合题例7．据气象台预报，距S 岛300 ｋｍ的正东方向的A 处有一台风中心形成，并以每小时30ｋｍ的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 ｋｍ以内的地区将受到台风的影响 问： （1）S 岛是否受其影响?（2）若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由 【分析】：设B 为台风中心，则B 为AB 边上动点，SB 也随之变化S 岛是否受台风影响可转化为SB ≤270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB ，可设台风中心经过ｔ小时到达B 点，则在△ABS 中，由余弦定理可求SB【解】如图1-3-21，设台风中心经过ｔ小时到达B 点，由题意，∠SAB ＝90°－30°＝60°在△SAB 中，SA ＝300，AB ＝30ｔ，∠SAB ＝60°， 由余弦定理得：SB 2＝SA 2＋AB 2－2SA ·AB ·cos SAB ＝3002＋（30ｔ）2－2·300·30t cos60°若S 岛受到台风影响，则应满足条件 ｜SB ｜≤270 即SB 2≤2702化简整理得 ｔ2－10ｔ＋19≤0 解之得 56ｔ≤56所以从现在起，经过5－6小时S 岛开始受到影响，(5＋6)小时后影响结束 持续时间：(5＋6)－（5－6）＝26小时答：S 岛受到台风影响，从现在起，经过（5－6）小时，台风开始影响S 岛，且持续时间为26小时【评注】对于这种实际应用问题，往往要设未知量，然后利用解斜三角形的知识把已知信息按方程的思想ABDC25︒110︒40︒AB PD Qγβα1-3-201-3-191-3-21进行处理，从而使问题解决． 例8 某船在距救生艇A 处10 n mile 的C 处遇险，现在A 处测得该船的方位角为45︒，还测得该船正沿着方位角为105︒的方向以每小时9 n mile 的速度向一小岛靠近，若救生艇以21 n mile/h 的速度前往营救，试求出救生艇的航向及它们相遇所需的时间．【分析】画出图形，假设救生艇沿着AB 方向前往营救，经t 小时与遇险船只在B 处相遇，则A 、B 、C 构成一个三角形，只要将AB 、BC 的长用t 表示，再根据方位角的概念，表示出△ABC 中的有关角，就可以运用正弦定理或余弦定理实现求解了．【解】设相遇所需的时间为t h ，在点B 处相遇（如图1-3-22），在△ABC 中，120ACB ∠=︒，10AC =，21AB t =，9BC t =，由余弦定理，得222(21)10(9)2109cos120t t t =+-⨯⨯⨯︒整理，得2369100t t --= 解之，得123t =，2512t =-（舍去） 由正弦定理，得sin120sin AB BC CAB =︒∠，即293sin 214213CAB ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭∠==⨯∴arcsin2214CAB ∠=≈︒．即救生艇的航向的方位角约为(4522)67︒+︒=︒，需要40 min 才能相遇．【评注】解决本题的关键在于理解方位角的概念，从而能够建立起解三角形的数学模型．一般地，方位角是指从正北方向顺时针旋转到目标方向的夹角．由于两船相遇时所用的时间相同，解题时要注意设时间为t ，将所求的路程转化为时间t 的关系式，为运用正弦定理和余弦定理创造条件． ◆拓展探究题。