信号与系统-拉普拉斯变换(上)

号；
(σ > σ 0 ) 的信号称指数阶信
2. 有界的非周期信号的拉氏变换一定存在； n t n −σ t lim σ t = 0 lim t (σ > 0 ) 3. t →∞ e = 0 t →∞ e α t −σ t lime 4. t →∞ e = 0 (σ > α ) ； 5. e 等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标，为 非指数阶信号，无法进行拉氏变换。 6. 一般情况下，求函数的单边拉氏变换，可以不加注 其收敛范围。
§4.01 引言
– 以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点： 它有着清楚的物理意义------频谱的概念： F(nω)---谱系数 F(ω)-----频谱密度
局限性
–用定义求F(ω),要求只能处理符合狄利克雷条件的 信号。而有些信号是不满足绝对可积条件的，引 入冲激函数后，可以解决一部分，但对另一些信 号的分析会受到限制,如eat (a>0)上升函数；
−σ t
=
∫
+∞
−∞
−σ t − jω t ⋅ f ( t )e e dt
=∫
+∞
−∞
f (t ) ⋅ e−(σ + jω )t d t = F (σ + jω )
令 σ + jω = s ，具有频率的量纲，称之为复频率。 则
F ( s) = ∫
∞ -∞
f ( t ) e -s t dt
[ ]
0
[ ]
L [ t ] = ∫ t ⋅ e− st d t
∞
2 2 1 2 L t = s L[t ] = s ⋅ s2 = s3 n=3 3 3 2 6 3 2 t = L t = ⋅ 3 = 4 L s s s s n! n 所以 L t = n+1 s
∞
1 e = e dt = α+ s − (α + s) 0
−( α + s) t
(σ > − α)
全s域平面收敛
− st0 − st L δ ( t − t0 ) = ∫ δ ( t − t0 ) ⋅ e d t = e 0
4. tnu(t)
L t = ∫0 t ⋅ e d t
∫
∞
−∞
f (t ) d t < ∞
–另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进 行的无穷积分求解困难。 1 ∞ jω t −1 f (t ) = F ω e d ω = F f (t ) ] ( ) [ ∫ 2π −∞
复频域分析的优缺点
为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，可利用本章 要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围， • 优点在于： 求解(求反变换）比较简单，特别是对系统的微分方 程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更 为普遍； • 缺点在于： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
Chapter 4
Laplace变换、LTI系统的s域分析
目录
§4.01 §4.02 §4.03 §4.04 §4.05 §4.06 §4.07 §4.08 §4.09 §4.10 §4.11 §4.12 引言 拉普拉斯变换的定义、收敛域 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯逆变换 用拉普拉斯变换法分析电路、S域元件模型 系统函数（网络函数）H(S) 系统函数零、极点分布决定时域特性 由系统函数零、极点分布决定频响特性 全通函数与最小相移函数的零、极点分布 线性系统的稳定性 双边拉氏变换 拉普拉斯变换与傅氏变换的关系
jω t
d ω) = ∫
∞
0
F (ω ) d ω cos[ωt + ϕ (ω )] π
π
指数分量之和，每一对正负 ω 复指数分量组成一 F (s ) eσ t d ω 个变幅的正弦振荡，其振幅为 ，也是无 π σt 穷小量，但幅度是按 e 随时间变化的，振荡频 率连续分布于无穷。 σ + j∞ σ + j∞
2
1 ∞ − st = t de −s ∫ 0
常用信号的拉普拉斯变换列表
1. δ (t ) ← →1
1 2. u ( t ) ← → s
1 3. tu (t ) ← → 2 s
→ 4. t nu (t ) ← n! s n +1
−α t → 5. e u (t ) ←
1 s +α
ω 6. sin ωtu(t ) ← → 2 s + ω2
二、拉氏变换的收敛域
♦ f（t）e-σt增加了f（t）收敛的可能性，但并
不一定全收敛
♦ σ=Re{s}在一定范围内可能使F(s)存在。
1.拉氏变换的收敛域 收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC (region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件：
lim f ( t )e− σ t = 0
n n − st ∞
1 − st = t ⋅e −s
∞ 0
−∫
∞ 0
e dt
− st
t n − st = e −s
∞
n ∞ n −1 − st + ∫ t e dt 0 s 0
1 1 − st ∞ 1 e = − − = 2 s −s s 0
n=2
n ∞ n −1 − st = ∫ t e dt s 0 n n −1 n 所以 L t = L t s n=1
解：
a −σ < 0
lim e at e −σ t = lim e ( a −σ ) t = 0
t →∞
σ > a = σ0
♦ 例4：
f (t ) = e
t2
t2
e e = lim e 解： lim t→ ∞ t→ ∞ 拉氏变换不存在
−σ t
( t 2 −σ t )
≠ 0
例题及说明 −σ t lim f t e =0 ( ) 1. 满足 t →∞
t2
3.双边拉氏变换的收敛域
♦ 全时域信号：
4.一般情况
1.阶跃函数
L [ u( t )] = ∫
∞ 0
1 − st e 1⋅ e d t = −s
− st
− α t − st
∞ 0
1 = s
∞
2.指数函数
L e
−α t
= ∫0 e
∞
3.单位冲激信号 ∞ − st L δ t = δ t ⋅ e dt = 1 ( ) ∫0 ( )
t →∞
( σ > σ0 )
jω
收敛域： Re{s} = σ> σ0 收敛坐标： σ0与f(t)有关
σ0
O
σ
S= σ +jω，为一复平面 （S plane）
S平面
2.单边拉氏变换的收敛域
♦ 例1： f (t ) = e −2 t
t →∞
(t > 0)
t →∞ t →∞
解： lim f (t )e −σ t = lim e −2 t e −σ t = lim e − ( 2+σ ) t = 0
σ +2>0 σ > −2 = σ 0 σ 0 : 收敛坐标
♦ 例2： f (t ) = u (t )
−σ t −σ t lim u ( t ) e = lim 1 ⋅ e =0 解： t →∞ t →∞
σ >0
σ0 = 0
at f t = e u (t ) ( ) ♦ 例3：
( a > 0)
t →∞
上两式为广义的傅氏变换，也称为双边拉氏变换。 考虑到实际信号都是因果信号，所以有： ∞ F ( ω ) = ∫ f ( t ) e− jω t d t
0
若采用0-系统，相应的单边拉氏变换为：
F (s ) = L[ f (t )] = ∞ f (t )e − s t d t ∫ 0− 1 σ + j∞ −1 st f (t ) = L [F (s )] = ( ) F s e ds ∫ σ − j ∞ 2πj
2．拉普拉斯逆变换 ∞ ∞ −(σ + jω ) t F (σ + j ω ) = ∫ f ( t ) e dt = F ( s ) = ∫ f ( t ) e − s t dt −∞ −∞
−σ t f t e ( ) 对于 是 F (σ + jω ) 的傅里叶逆变换。
f (t ) e
−σ t
两边同时乘以 e ：
n! → 10. t e u(t )(n为正整数) ← (s + α )n+1
n −αt
2ω s → 2 11.t sin ωtu(t ) ← ( s + ω 2 )2
s2 − ω 2 → 2 12. t cos ω tu ( t ) ← (s + ω 2 )2
13.
a sh ( at )u ( t ) ← → 2 s − a2
σ + j∞
σ + j∞
3、复频率s 为了与傅氏变换的实频率 ω 相对照，定义 s = σ + jω 为 复频率，其中实部 σ 为幅度的衰减（或增长）指数， 虚部 ω 为振荡频率； 不同的s值对应于复平面 s = σ + jω 上不同位置的点 傅氏变换是在s 平面的虚轴上的拉氏变换 (σ = 0)，因此 傅氏变换是拉氏变换的一个特例。
§4.02 Laplace变换的定义、收敛域
– 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 – 拉氏变换的收敛 – 一些常用函数的拉氏变换
1．拉普拉斯正变换
−σ t f ( t ) e 信号 ，乘以衰减因子 （σ 为任意实数）
后容易满足绝对可积条件（例如在σ>ε范围内 收敛），依傅氏变换定义：
F1 ( ω ) = F f (t ) ⋅ e