高考数学选择题问题专题讲解

高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。

高考数学轨迹问题专题练习题讲解第1讲 轨迹问题一．选择题（共12小题）1．方程|1|x −=所表示的曲线是( ) A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆【解答】解：将方程|1|x − 得22(1)(1)1x y −+−=，其中02x 剟，02y 剟．因此方程|1|x −表示以(1,1)C 为圆心，半径1r =的圆． 故选：A ．2．方程||1x −=( ) A ．两个半圆B ．一个圆C ．半个圆D ．两个圆【解答】解：两边平方整理得：22(||1)2x y y −=−， 化简得22(||1)(1)1x y −+−=，由||10x −…得||1x …，即1x …或1x −…， 当1x …时，方程为22(1)(1)1x y −+−=， 表示圆心为(1,1)且半径为1的圆的右半圆； 当1x −…时，方程为22(1)(1)1x y ++−=， 表示圆心为(1,1)−且半径为1的圆的左半圆综上所述，得方程||1x −= 故选：A ．3．在数学中有这样形状的曲线：22||||x y x y +=+．关于这种曲线，有以下结论： ①曲线C 恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意两点之间的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5． 其中正确的结论有( ) A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③【解答】解：①曲线C 经过的整点有(0,0)，(1,0)，(1,0)−，(0,1)，(0,1)−，(1,1)，(1,1)−，(1,1)−，(1,1)−−，恰有9个点，即①正确；②点(1,1)和(1,1)−−均在曲线C 上，而这两点间的距离为2，即②错误； ③由于图形是对称的，所以只需考虑第一象限内的部分即可．此时有，22x y x y +=+，整理得，22111()()222x y −+−=，是以11(,)22为半径的圆，作出曲线在第一象限的图形如图所示，面积211111122224AOB C S S S ππ∆=+=⨯⨯+⋅⋅=+圆，故曲线C 的面积为14()2524ππ⨯+=+>，即③正确．故选：A ．4．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a −，2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C 、已知点0(P x ，0)y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有( )①双纽线经过原点O ； ②双纽线C 关于原点O 中心对称；③022a ay −剟；④双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个． A ．①②B ．①②③C ．②③D ．②③④【解答】解；根据双纽线C 2a =， 将0x =，0y =代入，符合方程，所以①正确；用(,)x y −−替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，②正确； 根据三角形的等面积法可知，1212011||||sin 2||22PF PF F PF a y ∠=⨯⨯，即012||sin 22a ay F PF =∠…，亦即022a ay −剟，③正确； 若双纽线C 上点P 满足12||||PF PF =，则点P 在y 轴上，即0x =，代入方程， 解得0y =，所以这样的点P 只有一个，④错误． 故选：B ．5．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a −，2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C ．已知点0(P x ，0)y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有( )①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y −剟；③双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个；④||PO ． A ．①②B ．①②④C ．②③④D ．①③【解答】解：根据双纽线C 2a =，用(,)x y −−替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，①正确； 根据三角形的等面积法可知，1212011||||sin 2||22PF PF F PF a y ∠=⨯⨯，即012||sin 22a ay F PF =∠…，亦即022a ay −剟，②正确； 若双纽线C 上点P 满足12||||PF PF =，则点P 在y 轴上，即0x =，代入方程， 解得0y =，所以这样的点P 只有一个，③错误；因为121()2PO PF PF =+，所以2221121221||[||2||||cos ||]4PO PF PF PF F PF PF =+∠+由余弦定理可得，2221121224||2||||cos ||a PF PF PF F PF PF =−∠+22222121212||||||cos cos 2PO a PF PF F PF a a F PF a =+∠=+∠…，所以|PO ，④正确．故选：B ．6．如图，设点A 和B 为抛物线22(0)y px p =>上除原点以外的两个动点，已知OA OB ⊥，OM AB ⊥，则点M 的轨迹方程为( )A ．2220x y px +−=（原点除外）B ．2220x y py +−=（原点除外）C ．2220x y px ++=（原点除外）D ．2220x y py ++=（原点除外）【解答】解：设(,)M x y ，直线AB 的方程为y kx b =+， 由OM AB ⊥得x k y=−， 联立22y px =和y kx b =+消去y 得222(22)0k x x kb p b +−+=，所以2122b x x k=，所以22121212122()()()pby y kx b kx b k x x kb x x b k=++=+++=，由OA OB ⊥得12120x x y y +=，所以2220b pbk k +=，所以2b kp =−， 所以(2)y kx b k x p =+=−，把xk y =−代入得2220(0)x y px y +−=≠，故选：A ．7．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为( )A B ．3 C ．D ．4【解答】解：曲线422x y +=围成的平面区域，关于x ，y 轴对称，设曲线上的点(,)P x y ，可得3||2OP ． 所以曲线422x y +=围成的平面区域的直径为：3． 故选：B ．8．由曲线222||2||x y x y +=+围成的图形面积为( ) A ．24π+B ．28π+C ．44π+D ．48π+【解答】解：根据对称性，曲线222||2||x y x y +=+围成的图形面积等于在第一象限围成面积的4倍， 当0x …且0y …时222||2||x y x y +=+等价为2222x y x y +=+， 即22220x y x y +−−=， 即22(1)(1)2x y −+−=，圆心(1,1)C ，半径R ， 则ACO ∆的面积12112S =⨯⨯=，BCO ∆的面积1S =，在第一象限部分的面积211122S ππ=++⨯=+，则四个象限的面积为44(2)84S ππ=+=+， 故选：D ．9．如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是( )A ．22(||1)(1)0x y x y −−−+=B ．( 22)(1)0x y −+=C ．2(||1)(10x y x −−−+=D ．(2)(10x −+=【解答】解：如图曲线表示折线段的一部分和双曲线，选项A 等价于||10x y −−=或2210x y −+=，表示折线||1y x =−的全部和双曲线，故错误； 选项B 等价于22||1010x y x y −−⎧⎨−+=⎩…，或||10x y −−=，||10x y −−=表示折线||1y x =−的全部，故错误； 选项C 等价于22||1010x y x y −−=⎧⎨−+⎩…或2210x y −+=，22||1010x y x y −−=⎧⎨−+⎩…表示折线||1y x =−在双曲线的外部 （包括有原点）的一部分，2210x y −+=表示双曲线，符合题中图象，故正确； 选项D 等价于22||1010x y x y −−=⎧⎨−+⎩…或22||1010x y x y −−⎧⎨−+=⎩…， 22||1010x y x y −−=⎧⎨−+⎩…表示表示折线||1y x =−在双曲线的外部（包括有原点）的一部分，22||1010x y x y −−⎧⎨−+=⎩…表示双曲线在x 轴下方的一部分，故错误． 故选：C ．10．已知点集22{(,)|1}M x y y xy =−…，则平面直角坐标系中区域M 的面积是( ) A ．1B ．34π+C ．πD ．22π+【解答】解：当0xy …时，只需要满足21x …，21y …即可；当0xy >时，对不等式两边平方整理得到221x y +…，所以区域M 如下图．易知其面积为22π+．故选：D ．11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为22322()x y x y +=．给出下列四个结论： ①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴 围成的矩形面积最大值为18；④四叶草面积小于4π． 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④【解答】解：四叶草曲线方程为22322()x y x y +=，将x 换为x −，y 不变，可得方程不变，则曲线关于y 轴对称；将y 换为y −，x 不变，可得方程不变，则曲线关于x 轴对称；将x 换为y ，y 换为x ，可得方程不变，则曲线关于直线y x =对称；将x 换为y −，y 换为x −，可得方程不变，则曲线关于直线y x =−对称； 曲线C 有四条对称轴，故①正确；由y x =与22322()x y x y +=联立，可得y x ==或y x ==C 上的点到原点的最大距离为12=，故②错误； 设曲线C 第一象限上任意一点为(,)x y ，(0,0)x y >>，可得围成的矩形面积为xy ，由222x y xy +…， 则223223()8()x y x y xy +=…，即18xy …，当且仅当x y =取得最大值，故③正确； 易得四叶草曲线在以原点为圆心，12为半径的圆内，故四叶草面积小于4π，则④正确． 故选：C ．12．曲线C 为：到两定点(2,0)M −、(2,0)N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹．以下结论正确的个数为( )（1）曲线C 一定经过原点； （2）曲线C 关于x 轴、y 轴对称； （3）MPN ∆的面积不大于8；（4）曲线C 在一个面积为64的矩形范围内． A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：设(,)P x y 22(2)16x −+，对于（1），原点(0,0)代入方程，得2216⨯≠，即方程不成立， 则曲线C 一定经过原点，命题错误；对于（2），以x −代替x ，y −代替y 22(2)16x −−成立，16也成立，即曲线C 关于x 、y 轴对称，命题正确；对于（3），0x =，y =±MPN ∆的最大面积为1482⨯⨯=，命题正确；对于（4），令0y =，可得x =±，根据距离乘积为16可以得出x 的取值只可能在−到同理y 的取值只可能在−所以曲线C 在一个面积为= 综上，正确的命题有（2）（3），共2个． 故选：B ．二．多选题（共2小题）13．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系xOy 中，到定点(,0)A a −，(,0)B a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹C 是“∞曲线”．若点0(P x ，0)y 是轨迹C 上一点，则下列说法中正确的有( ) A ．曲线C 关于原点O 中心对称 B ．0x 的取值范围是[a −，]aC ．曲线C 上有且仅有一个点P 满足||||PA PB =D ．22PO a −的最大值为22a【解答】解：在平面直角坐标系xOy 中，到定点(,0)A a −，(,0)B a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹C 是“∞曲线”． 故点(P x ，0)y 满足2a ，点(M x −，0)y −代入2a ，得2a ，故A 正确；对于B ：设x 轴上0x 范围的最大值为m x ，所以2()()m m x a x a a −+=，解得m x =，故0x 的范围为[]．故B 错误； 对于C ：若PA PB =，则点P 在AB 的垂直平分线上，即0P x =，设点(0,)P P y ，所以22a =，所以0P y =，即仅原点满足，故C 正确；对于2D a =， 化简得2222222()220x y a x a y +−+=，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到222cos 2a ρθ=， 所以2PO 的最大值为22a ，22PO a −的最大值为2a ，故D 错误．故选：AC ．14．在平面直角坐标系xOy 中，(,)P x y 为曲线22:422||4||C x y x y +=++上一点，则( ) A ．曲线C 关于原点对称B ．[1x ∈−C ．曲线C 围成的区域面积小于18D ．P 到点1(0,)2【解答】解：当0x >，0y >时，曲线C 的方程为22422||4||x y x y +=++， 去掉绝对值化简可得22(1)1()142x y −+−=，将2214x y +=的中心平移到1(1,)2位于第一象限的部分， 因为点(,)x y −，(,)x y −，(,)x y −−都在曲线C 上， 所以曲线C 的图象关于x 轴、y 轴和坐标原点对称， 作出图象如图所示，由图可知曲线C关于原点对称，故选项A正确；令2214xy+=中的0y=，解得2x=，向右平移一个单位可得到横坐标为3，根据对称性可知33x−剟，故选项B错误；令2214xy+=中的0x=，解得1y=，向上平移12个单位可得纵坐标的最大值为32，曲线C第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为39322⨯=，所以曲线C围成的区域面积小于94182⨯=，故选项C正确；令22(1)1()142xy−+−=中的0x=，可得12 y=所以到点1(0,)2，故选项D正确．故选：ACD．三．填空题（共6小题）15．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y xy+=+就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线C恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C③曲线C所围成的“花形”区域的面积小于4．其中，所有正确结论的序号是②．【解答】解：①令0x =，方程化为：21y =，解得1y =±，可得点(0,1)±；令0y =，方程化为：21x =，解得1x =±，可得点(1,0)±；令x y =±，方程化为：21x =，解得1x =±，可得点(1,1)±±．由此可得：曲线C 恰好经过8个整点，因此不正确． ②221||2||xy x y xy +=+…，方程化为：||1xy …，∴曲线C 上任意一点到原点的距离d ==，即曲线C③由四个点(1,1)±±作为正方形的顶点，可得正方形的面积为4，曲线C 所围成的“花形”区域的面积大于4．其中，所有正确结论的序号是②． 故答案为：②．16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 ①② ．【解答】解：根据题意，曲线22:1||C x y x y +=+，用(,)x y −替换曲线方程中的(,)x y ，方程不变，所以曲线C 关于y 轴对称，对于①，当0x …时，221||x y x y +=+，即为，2222112x y x y xy ++=++…，可得222x y +…， 所以曲线经过点(0,1)，(0,1)−，(1,0)，(1,1)，再根据对称性可知，曲线还经过点(1,0)−，(1,1)−，故曲线恰好经过6个整点，①正确；对于②，由上可知，当0x …时，222x y +…，即曲线C再根据对称性可知，曲线C ②正确；对于③，因为在x 轴上方，图形面积大于四点(1,0)−，(1,0)，(1,1)，(1,1)−围成的矩形面积122⨯=， 在x 轴下方，图形面积大于三点(1,0)−，(1,0)，(0,1)−围成的等腰直角三角形的面积12112⨯⨯=，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，③错误． 故答案为：①②．17．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322:()16C x y x y +=恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论： ①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2； ③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程22322()16(0)x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限． 其中正确结论的序号是 ②④ ．【解答】解：22223222()16()2x y x y x y ++=…，224x y ∴+…（当且仅当222x y ==时取等号）， 则②正确；将224x y +=和22322()16x y x y +=联立， 解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C相切于点，(，(，， 则①和③都错误；由0xy <，得方程22322()16x y x y +=表示的曲线C 在第二象限和第四象限，故④正确． 故答案为：②④．18．曲线C 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =−的距离之和为3的动点P 的轨迹．则曲线C 与y 轴交点的坐标是(0, ；又已知点(B a ，1)(a 为常数），那么||||PB PA +的最小值d （a ）= ． 【解答】解：（1）设动点(,)P x y|1|3x +=， ①当4x <−时，|1|3x +>，无轨迹；②当41x −−剟4x +，化为231015(1)2y x x =+−−厖，与y 轴无交点；③当1x >−2x −，化为223y x =−+，3(1)2x −<…． 令0x =，解得y =综上①②③可知：曲线C 与y轴的交点为(0,； （2）由（1）可知：231015,(1)2323,(1)2x x y x x ⎧+−−⎪⎪=⎨⎪−+−<⎪⎩剟…．如图所示，令1y =，则10151x +=，或231x −+=， 解得 1.4x =−或1．①当 1.4a −…或1a …时，||||||PA PB AB +…，d ∴（a）||AB ==； ②当11a −<<时，当直线1y =与2323(1)2y x x =−+−<…相交时的交点P 满足||||PA PB +取得最小值， 此抛物线的准线为2x =，∴直线1y =与准线的交点(2,1)Q ，此时d （a ）||2QB a ==−；③当 1.41a −<−…时，当直线1y =与231015(1)2y x x =+−−剟相交时的交点P 满足|||PA PB +取得最小值，此抛物线的准线为4x =−，∴直线1y =与准线的交点(4,1)Q −，此时d （a ）||4QB a ==+．综上可知：d （a） 1.414, 1.412,1 1.a a a a a a −=+−<−⎨⎪−−<<⎪⎩或剠…19．已知点(A B ，动点P 满足APB θ∠=且2||||cos 12PA PB θ=，则点P 的轨迹方程为2213x y += ． 【解答】解：由2||||cos 12PA PB θ=，(0,)θπ∈，则1cos ||||12PA PB θ+=，||AB = 所以|||||||||cos 2PA PB PA PB θ+=，而在三角形ABP 中22222||||||||||8cos 2||||2||||PA PB AB PA PB PA PB PA PB θ+−+−==，所以可得22||||||||62PA PB PA PB ++=，而222||||(||||)2||||PA PB PA PB PA PB +=+−，所以可得2(||||)12PA PB +=，所以||||PA PB +=||AB ，所以可得P的轨迹为椭圆，且长轴长2a =2c =x 轴上，中心在原点的椭圆，即a =c =2221b a c =−=，所以P 的轨迹方程为：2213x y +=，故答案为：2213x y +=．20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO BO ⊥（如图所示）．则AOB ∆得重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为2233y x =+；【解答】解：显然直线AB 的斜率存在，记为k ，AB 的方程记为：y kx b =+，(0)b ≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线方程代入2y x =得：20x kx b −−=，则有：△240k b =+>①，12x x k +=②，12x x b =−③，又211y x =，222y x =212y y b ∴=；AO BO ⊥，12120x x y y ∴+=，得：20b b −+=且0b ≠，1b ∴=，代入①验证，满足；故21212()22y y k x x k +=++=+； 设AOB ∆的重心为(,)G x y ，则1233x x k x +==④，212233y y k y ++==⑤， 由④⑤两式消去参数k 得：G 的轨迹方程为2233y x =+． 故答案为：2233y x =+． 四．解答题（共5小题）21．如图，直线1l 和2l 相交于点M ，12l l ⊥，点1N l ∈．以A ，B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等．若AMN ∆为锐角三角形，||AM =||3AN =，且||6BN =．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．【解答】解：法一：如图建立坐标系，以1l 为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点． 设曲线段C 的方程为22(0)y px p =>，(A B x x x 剟，0)y >， 其中A x ，B x 分别为A ，B 的横坐标，||p MN =． 所以(2p M −，0)，(2pN ，0)．由||AM =||3AN =得 2()2172A A p x px ++=，① 2()292A A p x px −+=．② 由①，②两式联立解得4A x p =．再将其代入①式并由0p >解得421 2.A Ap p x x ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 因为AMN ∆是锐角三角形，所以2A px >，故舍去22Ap x =⎧⎨=⎩ 所以4p =，1A x =．由点B 在曲线段C 上，得||42B px BN =−=． 综上得曲线段C 的方程为 28(14,0)y x x y =>剟．解法二：如图建立坐标系，分别以1l 、2l 为x 、y 轴，M 为坐标原点．作1AE l ⊥，2AD l ⊥，2BF l ⊥，垂足分别为E 、D 、F ． 设(A A x ，)A y 、(B B x ，)B y 、(N N x ，0)． 依题意有||||||3A x ME DA AN ====，||A y DM =，由于AMN ∆为锐角三角形，故有 ||||N x ME EN =+||4ME = ||||6B x BF BN ===．设点(,)P x y 是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，222)|()N y x x y x −+=，A B x x x 剟，0}y >．故曲线段C 的方程为28(2)(36y x x =−剟，0)y >．22．已知双曲线2212x y −=的左、右顶点分别为1A 、2A ，点1(P x ，1)y ，1(Q x ，1)y −是双曲线上不同的两个动点．求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程．【解答】解：由题设知1||x 1(A 0)，2A 0)， 直线1A P 的斜率为1k =，∴直线1A P 的方程为y x =，⋯①同理可得直线2A Q 的方程为y x ．⋯②将①②两式相乘，得222121(2)2y y x x =−−．⋯③点1(P x ，1)y 在双曲线2212x y −=上，∴221112x y −=，可得22211111(2)22x y x =−=−，⋯④ 将④代入③，得21222211(2)12(2)122x y x x x −=−=−−，整理得2212x y +=，即为轨迹E 的方程． 点P 、Q 不重合，且它们不与1A 、2A 重合，x ∴≠，轨迹E的方程为221(2x y x +=≠23．设圆C与两圆22(4x y ++=，22(4x y +=中的一个内切，另一个外切，求圆心C 的轨迹L 的方程．【解答】解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为1(F 0)、2F 0)， 由题意得：12||2||2CF CF +=−或21||2||2CF CF +=−，2112||||||42||2CF CF a F F c ∴−==<=，可知圆心C 的轨迹是以原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴为4，焦距为 因此2a =，c =2221b c a =−=， 所以轨迹L 的方程为2214x y −=．24．已知椭圆221(0)259x y a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，Q 是椭圆外的动点，满足1||10FQ =．点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF =，2||0TF =． （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明14||55F P x =+； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△12F MF 的面积9S =，求12F MF ∠的正切值；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：设点P 的坐标为(,)x y ． 记1122||,||F P r F P r ==，则12r r = 由22121211410,16,55r r r r x F P r x +=−===+得；（Ⅱ）解：设点T 的坐标为(,)x y ．当||0PT =时，点(5,0)和点(5,0)−在轨迹上． 当200PT TF ≠≠且时，由20PT TF =，得2PT TF ⊥． 又2||||PQ PF =，所以T 为线段2F Q 的中点． 在△12QF F 中，11||||52OT FQ ==，所以有2225x y +=． 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是2225x y +=；（Ⅲ）结论：在点T 的轨迹C 上，存在点M 使△12F MF 的面积9S =，此时12F MF ∠的正切值为2． 理由如下：C 上存在点0(M x ，0)y 使9S =的充要条件是22000254||9x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，显然09||54y =<，∴存在点M ，使9S =； 不妨取094y =，则10(4MF x =−−，9)4−，20(4MF x=−，9)4−， 121212||||cos MF MF MF MF F MF =∠0(4x =−−，09)(44x −−，9)4−220916()4x =−+21 / 21 2209()164x =+− 25169=−=， 又12121||||sin 92S MF MF F MF =∠=， 121212121||||cos ||||sin 2MF MF F MF MF MF F MF ∴∠=∠， 12tan 2F MF ∴∠=．。

成人高考数学选择题技巧或规律介绍成人高考在考数学的选择题中，是有规律和技巧可言的。

下面是的成人高考数学选择题技巧，希望对你有帮助。

1、仔细审题，吃透题意审题是正确解题的前题条件，通过审题，可以掌握用于解题的第一手资料——条件，弄清题目要求。

审题的第一个关键在于：将有关概念、公式、定理等根底知识加以集中。

凡在题中出现的概念、公式、性质等内容都是平时理解、记忆、运用的重点，也是我们在解选择题时首先需要回忆的对象。

除此而外，审题的过程还是一个解题方法的抉择过程，开拓的解题思路能使我们心涌如潮，适宜的解题方法那么帮助我们事半功倍。

2、反复析题，去伪存真析题就是剖析题意。

在认真审题的根底上，对全题进行反复的分析和解剖，从而为正确解题寻得路径。

因此，析题的过程就是根据题意，联系知识，形成思路的过程。

由于选择题具有相近、相关的特点，有时“真作假时假亦真”，对于一些似是而非的选项，我们可以结合题目，将选项逐一比拟，用一些“虚拟式”的“如果”，加以分析与验证，从而提高解题的正确率。

3、抓往关键，全面分析在解题过程中，通过审题、析题后找到题目的关键所在是十分重要的，从关键处入手，找突破口，联系知识进行全面的分析形成正确的解题思路，就可以化难为易，化繁为简，从而解出正确的答案。

4、反复检查，认真核对在审题、析题的过程中，由于思考问题不全面，往往会导致“失根”、“增根”等错误，因而，反复地检查，认真地进行核对，也是解选择题必不可少的步骤之一。

培养兴趣无论是哪一门学科，考生如果想学好，首先应当对这门课产生兴趣。

就拿数学这门课来说，外表上来看比拟枯燥乏味，公式多、符号多、难理解，很多考生学起来有困难。

但只要对它产生兴趣，一点一点学起，打牢学习根底，掌握根本概念，逐渐领悟解题方法，直到能熟练运用公式和概念解题，这样就会有学习上的成就感，反过来又能促进兴趣的培养。

掌握重要环节1.提前预习。

成人辅导班，一般情况下一个星期只安排一次课，考生不可能每天都承受老师的传授。

专题一 选择、填空题常用的10种解法 抓牢小题，保住基本分才能得高分________________________________________________________________________ 原则与策略：1.基本原则：小题不用大做．2.基本策略：充分利用题干和选项所供应的信息作出推断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，选择题可先排解后求解．解题时应认真审题、深化分析、正确推演运算、谨防疏漏． 题型特点：1.高中低档题，且多数按由易到难的挨次排列.2.留意基本学问、基本技能与思想方法的考查.3.解题方法机敏多变不唯一.4.具有较好的区分度，试题层次性强.方法一 定义法所谓定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．简洁地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法解题是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决．[例1] 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 216－y 29＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1A |＝|F 1F 2|，则C 2的离心率是( )A.56B.23C.25D.45解析：由双曲线C 1的方程可得|F 1F 2|＝216＋9＝10， 由双曲线的定义可得|F 1A |－|F 2A |＝216＝8， 由已知可得|F 1A |＝|F 1F 2|＝10， 所以|F 2A |＝|F 1A |－8＝2.设椭圆的长轴长为2a ，则由椭圆的定义可得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝10＋2＝12. 所以椭圆C 2的离心率e ＝2c 2a ＝1012＝56.故选A.答案：A[增分有招] 利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题，要留意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件，机敏利用相关的定义求解．如[本例]中依据双曲线的定义和已知条件，分别把A 到两个焦点的距离求出来，然后依据椭圆定义求出其长轴长，最终就可依据离心率的定义求值． [技法体验]1．(2021·广州模拟)假如P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( ) A ．n ＋10 B ．n ＋20 C ．2n ＋10D ．2n ＋20解析：由题意得，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义，可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，故|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋n ＝n ＋10，选A. 答案：A2．(2022·高考浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． 解析：借助双曲线的定义、几何性质及余弦定理解决．∵双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，∴|F 1F 2|＝4，||PF 1|－|PF 2||＝2.若△F 1PF 2为锐角三角形，则由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－16>0，可化为(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|>16①.由||PF 1|－|PF 2||＝2，得(|PF 1|＋|PF 2|)2－4|PF 1||PF 2|＝4.故2|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－42，代入不等式①可得(|PF 1|＋|PF 2|)2>28，解得|PF 1|＋|PF 2|>27.不妨设P 在左支上，∵|PF 1|2＋16－|PF 2|2>0，即(|PF 1|＋|PF 2|)·(|PF 1|－|PF 2|)>－16，又|PF 1|－|PF 2|＝－2，∴|PF 1|＋|PF 2|<8.故27<|PF 1|＋|PF 2|<8. 答案：(27，8)方法二 特例法特例法，包括特例验证法、特例排解法，就是充分运用选择题中单选题的特征，解题时，可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊向量等对选项进行验证的方法．对于定性、定值的问题可直接确定选项；对于其他问题可以排解干扰项，从而获得正确结论．这是一种求解选项之间有着明显差异的选择题的特殊化策略．[例2] (2022·高考浙江卷)已知实数a ，b ，c ( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 解析：结合特殊值，利用排解法选择答案． 对于A ，取a ＝b ＝10，c ＝－110， 明显|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2>100，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于B ，取a 2＝10，b ＝－10，c ＝0， 明显|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝110，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于C ，取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，明显|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝200，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立． 综上知，A ，B ，C 均不成立，所以选D. 答案：D[增分有招] 应用特例排解法的关键在于确定选项的差异性，利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应，从而排解干扰选项． [技法体验]1．函数f (x )＝cos x ·log 2|x |的图象大致为( )解析：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (12)＝cos 12log 2|12|＝－cos 12，f (－12)＝cos(－12)·log 2|－12|＝－cos 12，所以f (－12)＝f (12)，排解A ，D ；又f (12)＝－cos 12＜0，故排解C.综上，选B. 答案：B2．已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5D.13解析：由于题中直线PQ 的条件是过点E ，所以该直线是一条“动”直线，所以最终的结果必定是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，PQ ∥BC ，则AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时m ＝n ＝23，故1m ＋1n＝3.故选A.法二：如图2，取直线BE 作为直线PQ ，明显，此时AP →＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n ＝3.故选A.答案：A方法三 数形结合法数形结合法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．[例3] (2021·安庆模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,3]C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，3]解析：∵g (x )＝x 2－2x ，a 为实数，∴2g (a )＝2a 2－4a .∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，作出函数f (x )的图象可知，其值域为[－2,6]，∵存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，∴－2≤2a 2－4a ≤6，即－1≤a ≤3， 故选B.答案：B[增分有招] 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，如[本例]中求解，可通过作出图象，数形结合求解． [技法体验]1．(2021·珠海摸底)已知|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：通解：设a 与b 的夹角为θ，由已知可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝3(a 2－2a ·b ＋b 2)，即4a ·b ＝a 2＋b 2，由于|a |＝|b |，所以a ·b ＝12a 2，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，θ＝60°，选C.优解：由|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |可构造边长为|a |＝|b |＝1的菱形，如图，则|a ＋b |与|a －b |分别表示两条对角线的长，且|a ＋b |＝3，|a －b |＝1，故a 与b 的夹角为60°，选C. 答案：C2．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线的焦点F 的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A ．(14，1)B ．(14，－1)C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：如图，由于点Q (2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义可知，|PF |等于点P 到准线x ＝－1的距离．过Q (2，－1)作x ＝－1的垂线QH ，交抛物线于点K ，则点K 为点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和取得最小值时的点．将y ＝－1代入y 2＝4x 得x ＝14，所以点P 的坐标为(14，－1)，选B.答案：B方法四 待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后依据所给条件来确定这些未知系数的方法叫作待定系数法，其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等． [例4] (2021·天津红桥区模拟)已知椭圆C 的焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率为22，则椭圆C 的标准方程是( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1C.x 24＋y 28＝1 D.x 28＋y 24＝1 解析：由题意可得2c ＝4，故c ＝2，又e ＝2a ＝22，解得a ＝22，故b ＝222－22＝2，由于焦点在y 轴上，故选C. 答案：C[增分有招] 待定系数法主要用来解决已经定性的问题，如[本例]中已知椭圆的焦点所在坐标轴，设出标准方程，依据已知列方程求解． [技法体验]1．若等差数列{a n }的前20项的和为100，前45项的和为400，则前65项的和为( ) A ．640 B ．650 C ．660D ．780解析：设等差数列{a n}的公差为d ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 20a 1＋20×192d ＝10045a 1＋45×442d ＝400⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9245d ＝1445，则前65项的和为65a 1＋65×642d ＝65×9245＋65×642×1445＝780.答案：D2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则f (π4)的值为( )A. 2 B ．0 C ．1D. 3解析：由题图可知，A ＝2，34T ＝11π12－π6＝34π，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由f (π6)＝2sin(2×π6＋φ)＝2得2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又0＜φ＜π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)，∴f (π4)＝2sin(2×π4＋π6)＝2cos π6＝3，故选D.答案：D 方法五 估值法估值法就是不需要计算出代数式的精确 数值，通过估量其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要具体的过程，因此可以猜想、合情推理、估算而获得，从而削减运算量．[例5] 若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a解析：由指数函数的性质可知y ＝2x在R 上单调递增，而0<0.5<1，所以a ＝20.5∈(1,2)．由对数函数的性质可知y ＝log πx ，y ＝log 2x 均在(0，＋∞)上单调递增，而1<3<π，所以b ＝log π3∈(0,1)；由于sin 2π5∈(0,1)，所以c ＝log 2sin 2π5<0.综上，a >1>b >0>c ，即a >b >c .故选A. 答案：A[增分有招] 估算，省去很多推导过程和比较简单的计算，节省时间，是发觉问题、争辩问题、解决问题的一种重要的运算方法．但要留意估算也要有依据，如[本例]是依据指数函数与对数函数的单调性估量每个值的取值范围，从而比较三者的大小，其实质就是找一个中间值进行比较． [技法体验]已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π.若f (x )>1对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3D.⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2解析：由于函数f (x )的最小值为－2＋1＝－1，由函数f (x )的图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T ＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2.故f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.由f (x )>1，可得sin(2x ＋φ)>0.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3，所以2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3.对于选项B ，D ，若取φ＝π2，则2x ＋π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，7π6，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，7π6上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意；对于选项C ，若取φ＝π12，则2x ＋π12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，3π4，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意．选A.答案：A方法六 反证法反证法是指从命题正面论证比较困难，通过假设原命题不成立，经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立的证明方法．反证法证明问题一般分为三步：(1)反设，即否定结论；(2)归谬，即推导冲突；(3)得结论，即说明命题成立．[例6] 已知x ∈R ，a ＝x 2＋32，b ＝1－3x ，c ＝x 2＋x ＋1，则下列说法正确的是( )A ．a ，b ，c 至少有一个不小于1B ．a ，b ，c 至多有一个不小于1C ．a ，b ，c 都小于1D ．a ，b ，c 都大于1解析：假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，则有a ＋b ＋c <3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋72＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3.明显两者冲突，所以假设不成立．故a ，b ，c 至少有一个不小于1.选A. 答案：A[增分有招] 反证法证明全称命题以及“至少”“至多”类型的问题比较便利．其关键是依据假设导出冲突——与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实冲突或自相冲突．如[本例]中导出等式的冲突，从而说明假设错误，原命题正确． [技法体验]假如△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：由条件知△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形． 假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，所以A 2＋B 2＋C 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，即π＝3π2－π，明显该等式不成立，所以假设不成立．易知△A 2B 2C 2不是锐角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．故选D. 答案：D 方法七 换元法换元法又称帮助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者变为生疏的形式，把简单的计算和推证简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．理论依据是等量代换，目的是变换争辩对象，将问题移至新对象的学问背景中去争辩，从而使非标准型问题标准化、简单问题简洁化．换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等． [例7] 已知正数x ，y 满足4y －2yx＝1，则x ＋2y 的最小值为________．解析：由4y －2y x ＝1，得x ＋2y ＝4xy ，即14y ＋12x ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＋12x ＝1＋x 4y ＋y x ≥1＋2x 4y ×yx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x 4y ＝yx ，即x ＝2y 时等号成立.所以x ＋2y 的最小值为2.答案：2[增分有招] 换元法主要有常量代换和变量代换，要依据所求解问题的特征进行合理代换．如[本例]中就是使用常数1的代换，将已知条件改写为“14y ＋12x ＝1”，然后利用乘法运算规律，任何式子与1的乘积等于本身，再将其开放，通过构造基本不等式的形式求解最值． [技法体验]1．(2022·成都模拟)若函数f (x )＝1＋3x＋a ·9x，其定义域为(－∞，1]，则a 的取值范围是( ) A ．a ＝－49B ．a ≥－49C ．a ≤－49D ．－49≤a <0解析：由题意得1＋3x ＋a ·9x≥0的解集为(－∞，1]，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋a ≥0的解集为(－∞，1]．令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则t ≥13，即方程t 2＋t ＋a ≥0的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13＋a ＝0，所以a ＝－49.答案：A2．函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为________．解析：y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1. 令t ＝sin x ，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22，∴y ＝－t 2－t ＋1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22.∵函数y ＝－t 2－t ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22上单调递减，∴t ＝0时，y max ＝1.答案：1 方法八 补集法补集法就是已知问题涉及的类别较多，或直接求解比较麻烦时，可以通过求解该问题的对立大事，求出问题的结果，则所求解问题的结果就可以利用补集的思想求得．该方法在概率、函数性质等问题中应用较多． [例8]某学校为了争辩高中三个班级的数学学习状况，从三个班级中分别抽取了1,2,3个班级进行问卷调查，若再从中任意抽取两个班级进行测试，则两个班级不来自同一班级的概率为________． 解析：记高一班级中抽取的班级为a 1，高二班级中抽取的班级为b 1，b 2， 高三班级中抽取的班级为c 1，c 2，c 3.从已抽取的6个班级中任意抽取两个班级的全部可能结果为(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 1，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15种．设“抽取的两个班级不来自同一班级”为大事A ，则大事A 为抽取的两个班级来自同一班级． 由题意，两个班级来自同一班级的结果为(b 1，b 2)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共4种． 所以P (A )＝415，故P (A )＝1－P (A )＝1－415＝1115. 所以两个班级不来自同一班级的概率为1115.答案：1115[增分有招] 利用补集法求解问题时，肯定要精确 把握所求问题的对立大事．如[本例]中，“两个班级不来自同一班级”的对立大事是“两个班级来自同一班级”，而高一班级只有一个班级，所以两个班级来自同一班级的可能性仅限于来自于高二班级，或来自于高三班级，明显所包含基本大事的个数较少． [技法体验]1．(2022·四川雅安中学月考)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)解析：依题意可知“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，即(a ＋1)·(a －3)＜0，解得－1＜a ＜3.故选B. 答案：B2．已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________． 解析：f ′(x )＝2ax －1＋1x.(1)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.①令t ＝1x ，由于x ∈(1,2)，所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， 设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，明显函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18. 由①可知，a ≥18.(2)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.②结合(1)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞. 所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 方法九 分别参数法分别参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法，通过分别参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解，从而避开对参数进行分类争辩的繁琐过程．该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决．但要留意该种方法仅适用于分别参数后能够求解相应函数的最值或值域的状况．[例9] 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是________．解析：由于x >0，则由已知可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52， ∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.答案：－52[增分有招] 分别参数法解决不等式恒成立问题或有解问题，关键在于精确 分别参数，然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系．分别参数时要留意参数系数的符号是否会发生变化，假如参数的系数符号为负号，则分别参数时应留意不等号的变化，否则就会导致错解． [技法体验]1．(2022·长沙调研)若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞D ．[3，＋∞)解析：f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立， 即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，由于y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.答案：C2．(2022·湖南五校调研)方程log 12(a －2x)＝2＋x 有解，则a 的最小值为________．解析：若方程log 12(a －2x )＝2＋x 有解，则⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x ＝a －2x有解，即14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ＝a 有解，∵14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ≥1，故a 的最小值为1. 答案：1 方法十 构造法构造法是指利用数学的基本思想，经过认真的观看，深化的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决．构造法的内涵格外丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点实行相应的解决方法，其基本的方法是借用一类问题的性质，来争辩另一类问题的相关性质．常见的构造法有构造函数、构造方程、构造图形等． [例10] 已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m >2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定解析：由不等式可得1n 2－1m2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m2＋ln m .设f (x )＝1x2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.由于x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增． 由于f (n )<f (m )，所以n <m .故选A. 答案：A[增分有招] 构造法的实质是转化，通过构造函数、方程或图形等将问题转化为对应的问题来解决．如[本例]属于比较两个数值大小的问题，依据数值的特点，构造相应的函数f (x )＝1x2＋ln x .[技法体验]1．a ＝ln 12 014－12 014，b ＝ln 12 015－12 015，c ＝ln 12 016－12 016，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解析：令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－xx.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数．∵1＞12 014＞12 015＞12 016＞0，∴a ＞b ＞c .答案：A2．如图，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析：如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.答案：6π。

不等式选讲年份题号考点考查内容2011文理24不等式选讲绝对值不等式的解法2012文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法2013卷1文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理24不等式选讲多元不等式的证明2014卷1文理24不等式选讲基本不等式的应用卷2文理24不等式选讲绝对值不等式的解法2015卷1文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理24不等式选讲不等式的证明2016卷1文理24不等式选讲分段函数的图像，绝对值不等式的解法卷2文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明卷3文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法2017卷1文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理23不等式选讲不等式的证明卷3文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，绝对值不等式解集非空的参数取值范围问题2018卷1文理23不等式选绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法讲卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲绝对值函数的图象，不等式恒成立参数最值问题的解法2019卷1文理23不等式选讲三元条件不等式的证明卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲三元条件最值问题的解法，三元条件不等式的证明2020卷1文理23不等式选讲绝对值函数的图像，绝对值不等式的解法卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲三元条件不等式的证明考点出现频率2021年预测考点120绝对值不等式的求解23次考4次2021年主要考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的证明，不等式恒成立参数取值范围问题的解法等．考点121含绝对值不等式的恒成立问题23次考12次考点122不等式的证明23次考7次考点120绝对值不等式的求解1．(2020全国Ⅰ文理22)已知函数()3121f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()()1f x f x >+的解集．【解析】(1)∵()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图像，如图所示：(2)将函数()f x 的图像向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图像，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-，∴不等式的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．2．(2020江苏23)设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【思路导引】根据绝对值定义化为三个不等式组，解得结果．【解析】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩ 或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩，21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤，∴解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．3．(2016全国I 文理)已知函数()|1||23|f x x x =+--．(I)在图中画出()y f x =的图像；(II)求不等式|()|1f x >的解集．【解析】(1)如图所示：(2)()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥，()1f x >．当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <，1x -∴≤；当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <，113x -<<∴或312x <<；当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x >．综上，13x <或13x <<或5x >，()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，，．4．(2014全国II 文理)设函数()f x =1(0)x x a a a++->(Ⅰ)证明：()f x ≥2；(Ⅱ)若()35f <，求a 的取值范围．【解析】(I)由0a >，有()f x 111()2x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥，∴()f x ≥2．(Ⅱ)1(3)33f a a=++-．当时a ＞3时，(3)f =1a a+，由(3)f ＜5得3＜a ＜5212；当0＜a ≤3时，(3)f =16a a-+，由(3)f ＜5得12＜a ≤3．综上：a 的取值范围是(152+，5212+)．5．(2011新课标文理)设函数()3f x x a x =-+，其中0a >．(Ⅰ)当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；(Ⅱ)若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-，求a 的值．【解析】(Ⅰ)当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥，由此可得3x ≥或1x ≤-．故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-．(Ⅱ)由()0f x ≤得30x a x -+≤，此不等式化为不等式组30x ax a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩，即4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或2x aax ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤，因为0a >，∴不等式组的解集为{}|2a x x ≤-，由题设可得2a-=1-，故2a =．考点121含绝对值不等式的恒成立问题6．(2020全国Ⅱ文理22)已知函数()221f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；(2)若()4f x ≥，求a 的取值范围．【答案】(1)32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；(2)(][),13,-∞-+∞ ．【思路导引】(1)分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；(2)利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果．【解析】(1)当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭．(2)()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-(当且仅当221a x a -≤≤时取等号)，()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ ．7．(2019全国II 文理23)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--(1)当1a =时，求不等式()0f x <的解集；(2)若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【解析】(1)当a=1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥，∴不等式()0f x <的解集为(,1)-∞．(2)因为()=0f a ，∴1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----∴a 的取值范围是[1,)+∞．8．(2018全国Ⅰ文理)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x 故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0≤a ，则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，∴21≥a，故02<≤a ．综上，a 的取值范围为(0,2]．9．(2018全国Ⅱ文理)设函数()5|||2|=-+--f x x a x ．(1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集；(2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．【解析】(1)当1=a 时，24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x 可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x ．(2)()1≤f x 等价于|||2|4++-≥x a x ．而|||2||2|++-+≥x a x a ，且当2=x 时等号成立．故()1≤f x 等价于|2|4+≥a ．由|2|4+≥a 可得6-≤a 或2≥a ，∴a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞ ．10．(2018全国Ⅲ文理)设函数()|21||1|f x x x =++-．(1)画出()y f x =的图像；(2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．【解析】(1)13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x =的图像如图所示．(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b +≤在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．11．(2018江苏)若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．【解析】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++++≥．因为22=6x y z ++，∴2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，∴222x y z ++的最小值为4．12．(2017全国Ⅰ文理)已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．(1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而11712x -+<≤，∴()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x -+-<≤．(2)当[1,1]x ∈-时，()2g x =，∴()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，∴(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤，∴a 的取值范围为[1,1]-．13．(2017全国Ⅲ文理)已知函数()|1||2|f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．【解析】(1)3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，当1x <-时，()f x 1≥无解；当x -12≤≤时，由()f x 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤；当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ．∴()f x 1≥的解集为{}x x 1≥．(2)由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤，而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤，且当32x =时，2512=4x x x x +---+，故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦．14．(2016全国III 文理)已知函数()|2|f x x a a =-+(Ⅰ)当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；(Ⅱ)设函数()|21|g x x =-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)当2a =时，()|22|2f x x =-+．解不等式|22|26x -+ ，得13x - ，因此()6f x ≤的解集为{|13}x x - ．(Ⅱ)当x R ∈时，()()|2||12|f xg x x a a x +=-++-|212|x a x a -+-+ |1|a a =-+，当12x =时等号成立，∴当x R ∈时，()()3f x g x + 等价于|1|3a a -+ ．①当1a 时，①等价于13a a -+ ，无解．当1a >时，①等价于13a a -+ ，解得2a ．∴a 的取值范围是[2,)+∞．15．(2015全国I 文理)已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >．(Ⅰ)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)当1a =时，不等式()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->，当1x -≤时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<；当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x <≤．∴()1f x >的解集为2{|2}3x x <<．(Ⅱ)有题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩≤≤，∴函数()f x 图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3a A B a C a a -++，ABC ∆的面积为22(1)3a +．有题设得22(1)63a +>，故2a >．∴a 的取值范围为(2,)+∞．16．(2014全国I 文理)若0,0ab >>，且11a b +=．(Ⅰ)求33a b +的最小值；(Ⅱ)是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．【解析】(I)11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==时取等号．故33ab+≥≥，且当a b ==∴33a b +的最小值为(II)由(I)知，23a b +≥．由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=．16．(2013全国I 文理)已知函数()f x =|21||2|x x a -++，()g x =3x +．(Ⅰ)当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；(Ⅱ)设a ＞-1，且当x ∈[2a -，12)时，()f x ≤()g x ，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0，∴原不等式解集是{|02}x x <<．(Ⅱ)当x ∈[2a -，12)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x ++≤，∴2x a -≥对x ∈[2a -，12)都成立，故2a -≥2a -，即a ≤43，∴a 的取值范围为(-1，43]．17．(2012新课标文理)已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．(Ⅰ)当|3-=a 时，求不等式()3f x 的解集；(Ⅱ)若()|4|f x x - 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围．【解析】(1)当3a =-时，()3323f x x x ⇔-+- 2323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩ 或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩ 或3323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩ 1x ⇔ 或4x ．(2)原命题()4f x x ⇔- 在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++-- 在[1,2]上恒成立22x a x ⇔--- 在[1,2]上恒成立30a ⇔- ．考点122不等式的证明18．(2020全国Ⅲ文理23)设,,,0,1a b c a b c abc ∈++==R ．(1)证明：0ab bc ca ++<；(2)用{}max ,,a b c 表示,,a b c 的最大值，证明：{}3max ,,4a b c ≥【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析．【思路导引】(1)根据题设条件,0=++c b a 两边平方，再利用均值不等式证明即可；(2)思路一：不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bc bc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明．思路二：假设出c b a ,,中最大值，根据反证法与基本不等式推出矛盾，即可得出结论．【解析】(1)证明：().0,02=++∴=++c b a c b a ,0222222=+++++∴ca ac ab c b a 即()222222c b a ca bc ab ++-=++.0,0222<++∴<++∴ca bc ab ca bc ab (2)证法一：不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=，当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．证法二：不妨设403<<<≤c b a ，则,4,41133>=-->=c b a c ab而1132a b ->--≥>==矛盾，∴命题得证．19．(2019全国I 文理23)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc=1．证明：(1)222111a b c a b c++≤++；(2)333()()()24a b b c c a +++≥++．【解析】(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++≥++==++，∴222111a b c a b c++≤++．(2)因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c ac 3≥⨯⨯⨯=24．∴333()()()24a b b c c a +++++≥．20．(2019全国III 文理23)设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-．【解析】(1)由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当x=53，y=–13，13z =-时等号成立．∴222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．(2)由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦ ，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+- ，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立，因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a + ，解得3a - 或1a - ．21．(2017全国Ⅱ文理)已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)()()554a b a b ++≥；(2)2a b +≤．【解析】(1)556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++()22244ab a b =+-≥．(2)∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++23()2()4a b a b +≤++33()24a b +=+，∴3()8a b +≤，因此2a b +≤．22．(2017江苏)已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +≤．【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +++≤，因为22224,16,a b c d +=+=∴2()64ac bd +≤，因此8ac bd +≤．23．(2016全国II 文理)已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集．(I)求M ；(II)证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．【解析】(I)当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．(Ⅱ)当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->，即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++，则()()221ab a b +>+，即1a b ab +<+，证毕．24．(2015全国II 文理)设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：(Ⅰ)若ab >cd ，则a b c d +>+；(Ⅱ)a b c d +>+是||||a b c d -<-的充要条件．【解析】(Ⅰ)∵2()2a b a b ab +=++，2()c d c d cd +=++由题设a b c d +=+，ab cd >得22()a b c d >+a b c d +>(Ⅱ)(ⅰ)若||||a b c d -<-，则22()()a b c d -<-，即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，∴ab cd >，由(Ⅰ)得a b c d >(ⅱ)a b c d +>则22(a b c d >+，即a b ab c d cd ++>++因为a b c d +=+，∴ab cd >，于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-．因此||||a b c d -<-．a b c d +>||||a b c d -<-的充要条件．25．(2013全国II 文理)设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明：(Ⅰ)13ab bc ca ++≤；(Ⅱ)2221a b c b c a++≥．【解析】(Ⅰ)2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得222a b c ab bc ca ++≥++，由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=，∴()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤．(Ⅱ)∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥，∴222()2()a b c a b c a b c b c a +++++≥++，即222a b c a b c b c a ++≥++，∴2221a b c b c a ++≥．。

2023高考数学选择题蒙题技巧2023高考数学选择题蒙题技巧死亡拯救法：“三短一长就选长，三长一短就选短，两长两短就选B，参差不齐C无敌。

一样长选C，一样短选B。

"这是网上的，如果是图像题。

那就蒙B、C吧，几率大一点!1、答案有根号的，不选2、答案有1的，选3、三个答案是正的时候，在正的中选4、有一个是正X，一个是负X的时候，在这两个中选5、题目看起来数字简单，那么答案选复杂的，反之亦然6、上一题选什么，这一题选什么，连续有三个相同的则不适合本条7、答题答得好，全靠眼睛瞟8、以上都不实用的时候选B9、在计算题中，要首先写一答字：然后在答题，即使只有一个答字10、最后一招杀手锏：如果你在选择题上不想地O分的话，建议所有选择题全选A，我就这样的。

培养“蒙感”：这个所谓“蒙感”，就是这蒙题的感觉。

因为不可能一面卷子上你一道题也不会做(当然也有例外)，你也有很大可能有不会做的题。

这时，就要看蒙题的感觉了。

所有考试的人都知道，选择题中选择B、C选项的占绝大多数。

所以遇到不会的题，就往B、C上靠，几率会大一点。

还有，如果你有很多题不会——比如说五道题里你有三道不会，那就要看你平时做题的感觉了。

高考数学快速蒙题技巧1.高考时带一个量角器进考场，因为高考解析几何题一定会有求度数的小题，这时你就可以用量角器测一下，就可以写出最后结论，这是最简单也是最牛的高考数学蒙题技巧。

2.在数学计算题中，要首先写一答字!如果选项是4个数，一般是第二大的是正确选项。

单看选项，一般BD稍多，A较少。

还有一点，选了之后就不要改了，除非你有90以上的把握。

这个经验堪称是史上最牛的'高考数学蒙题技巧。

3.经过历年高考经验总结，高考数学第一题和最后一题一般不会是A!高考数学选择题的答案分布均匀!填空题不会就填0或1!答案有根号的，不选!答案有1的，选!有一个是正X，一个是负X的时候，在这两个中选!题目看起来数字简单，那么答案选复杂的，反之亦然!上一题选什么，这一题选什么，连续有三个相同的则不适合本条!以上都不实用的时候选B!4.数学选择不会时去除最大值与最小值再二选一，老师告诉我们的!高考题百分之八十是这样的。

一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【安徽省黄山市2019届高三一模】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，则三角形的面积为，解得，由，且C，P，D三点共线，可知，即，故.以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，则，，，，则，，，则（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.【指点迷津】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且.【举一反三】1、【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期二模】如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设，则因为所以则所以的最大值为所以选B2、【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（）A．B．C．5 D．【答案】B【解析】由题意可设,，因此表示直线上一动点到定点距离的和,因为关于直线的对称点为，所以选B.3、【四川省成都外国语学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系中，，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，即，即，所以在以原点为圆心，半径为的圆上.得到三点共线.画出图像如下图所示，由图可知，的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，直线的方程为，圆心到直线的距离为，故的最小值是，故选C.类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】【四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______.【答案】【解析】，，，在时取得最小值解可得：则夹角的取值范围本题正确结果：【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解． 【举一反三】1、非零向量b a ,满足b a2=22b a，2|||| b a，则b a 与的夹角的最小值是 ．【答案】3【解析】由题意得2212a b a b r r r r ，24a b r r ，整理得22422a b a b a b r r r r r r ，即1a b r11cos ,22a b a b a b a b r rr r r r r r ，,3a b r r ，夹角的最小值为3 .2、【上海市2019年1月春季高考】在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________【答案】【解析】 由题意：，设，，因为，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：类型三 与向量投影有关的最值问题【例3】【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三一模】若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 因为，所以，在方向上的投影为，其中为，的夹角．又，故．设，则有非负解，故， 故，故，故选A ．【指点迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.另外，的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为．【举一反三】1、已知ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC u u u v u u u v u u u v v ，则向量CA u u u v 在向量CB u u u v方向上的投影为( ) A. 3 B. 3 C. -3 D. 3 【答案】B本题选择B 选项.2、设1,2OA OB u uu v u u u v ， 0OA OB u u u v u u u v ， OP OA OB u u u v u u u v u u u v ，且1 ，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围( ) A. 25-,15B.25,15C. 5,15D. 5-,15【答案】D当λ0 时， 0,x当222215λ8λ4482λ0521x λλλλ，故当λ1 时，1x 取得最小值为1，即1101x x， 当λ0 时， 222215844825215x，即15x 505x综上所述 5( ,1x故答案选D 类型四 与平面向量数量积有关的最值问题 【例4】【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．【指点迷津】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐标法；③转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【举一反三】1、已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC u u u r u u u r的最大值为（ ）A. 1B. 12C. 3D. 2【答案】A2、【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．3、已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ）A. -1B. -2C. -3D. -4 【答案】C类型五 平面向量系数的取值范围问题【例5】在矩形ABCD 中， 12AB AD ，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD u u u v u u u v u u u v，则 的最大值为（ ）A. 3B. 22C. 5D. 2【答案】A∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=45， 设点P 25cosθ+1， 25）， ∵AP AB AD u u u v u u u v u u u v，25， 25sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴55cosθ+1=λ， 55sinθ+2=2μ， ∴255（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3， 故选：A【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题； （3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 【举一反三】1、【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】已知正方形ABCD 的边长为1，动点P 满足，若，则的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】解：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系：则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选：C ．2.已知1,3,0OA OB OA OB u u u v u u u v u u u v u u u v ，点C 在AOB 内，且OC u u u v 与OA u u u v 的夹角为030，设,OC mOA nOB m n R u u u v u u u v u u u v ，则mn的值为（ ）A. 2B. 52C. 3D. 4【答案】C 【解析】如图所示，建立直角坐标系．由已知1,3,OA OB u u u v u u u v，，则10033OA OB OC mOA nOB m n u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（，），（，），（，）， 33303n tan m， 3mn． 故选B3.【上海市金山区2019届高三二模】正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n R ，则的最大值是________【答案】 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），D （﹣1，1），P （，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E （﹣3，﹣2）与点P （sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y +2k （x +3），点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：1类型六 平面向量与三角形四心的结合【例6】已知ABC 的三边垂直平分线交于点O ， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且 222c b b ，则AO BC u u u v u u u v的取值范围是__________．【答案】2,23【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【举一反三】1、如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（）A. 4B.C.D.【答案】B2.已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v（m ， n R ），则（ ）A. 2m nB. 21m nC. 1m nD. 10m n 【答案】C【解析】∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1，又OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v ，∴|OC u u u v |=| mOA nOB u u u v u u u v |，可得2OC u u u v =22m OA u u u v +22n OB u u u v +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v ，而OA u u u v ⋅OB uuu v =|OA u u u v|⋅|OB uuu v |cos ∠A 0B <|OA u u u v |⋅|OB uuu v|=1.∴1=2m +2n +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v<22m n +2mn ，∴m n <−1或m n >1，如果m n >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴m n <−1， 故选：C.3、在ABC 中， 3AB ， 5AC ，若O 为ABC 外接圆的圆心（即满足OA OB OC ），则·AO BC u u u v u u u v的值为__________. 【答案】8【解析】设BC 的中点为D ，连结OD ,AD ，则OD BC u u u v u u u v，则：222212121538.2AO BC AD DO BC AD BCAB AC AC AB AC ABu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v三．强化训练1.【宁夏平罗中学2019届高三上期中】已知数列是正项等差数列，在中，，若，则的最大值为（）A．1 B．C． D．【答案】C【解析】解：∵，故三点共线，又∵，∴，数列是正项等差数列，故∴，解得：，故选：C．2.【山东省聊城市第一中学2019届高三上期中】已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，，，则的最小值是（）A．2 B．8 C．6 D．3【答案】D【解析】∵，，∴，化为．∴．∴．则，而=5+4=9，当且仅当，即时取等号，故的最小值是9，故选：D．3．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟《黄金卷三》】已知是边长为的正三角形，且，，设函数，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,因为是边长为的正三角形，且，所以又因，代入得所以当时，取得最大，最大值为所以，解得，舍去负根.故选D项.4．【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】已知平面向量，，满足，若，则的最小值为A．B．C．D．0【答案】B【解析】因为平面向量，，满足，，，，设，，，，所以的最小值为．故选：B．5.已知直线分别于半径为1的圆O相切于点若点在圆O的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B6.【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【答案】C【解析】解：以所在直线建立平面直角坐标系，设，，，因为所以，即，故，令（为参数），所以，因为，所以，，故选C.7．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：．∵，，三点共线，∴．即．由图可知．∴．令，得，令得或（舍）．当时，，当时，．∴当时， 取得最小值故选：D．8．【安徽省宣城市 2019 届高三第二次调研】在直角三角形中，边 的中线 上，则的最大值为（ ）.，，A．B．C．D．【答案】B 【解析】 解：以 A 为坐标原点，以 AB，AC 方向分别为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系， 则 B（2，0），C（0，4），中点 D(1,2)设，所以，，在 斜时，最大值为 ．故选：B． 二、填空题 9.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若对任意 λ∈R，不等式则 的最大值为_____． 【答案】2【解析】由，两边平方得，，则则，又，则，即，由 ，从而，即，从而问题可得解.恒成立， ，，2110.【2019 年 3 月 2019 届高三第一次全国大联考】已知 的内角 所对的边分别为 ，向量，，且，若 ，则 面积的最大值为________．【答案】 【解析】由 ，得，整理得．由余弦定理得，因为，所以．又所以，，当且仅当 时等号成立，所以，即．故答案为： ． 11.【四川省广元市 2019 届高三第二次高考适应】在等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且，【答案】【解析】解：等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，，，，，，则的最小值为______．，22， ，则当且仅当即 时有最小值故答案为：12.【上海市七宝中学 2019 届高三下学期开学】若边长为 6 的等边三角形 ABC，M 是其外接圆上任一点，则的最大值为______．【答案】【解析】解：是等边三角形， 三角形的外接圆半径为 ，以外接圆圆心 为原点建立平面直角坐标系，设，．设，则，．．23的最大值是．故答案为．13．【天津市第一中学 2019 届高三下学期第四次月考】在线段 以点 为中点，则的最大值为________【答案】0 【解析】中，已知 为直角，，若长为 的即 14．【安徽省黄山市 2019 届高三第二次检测】已知 是锐角，则 的取值范围为________.【答案】 【解析】 设 是 中点，根据垂径定理可知，依题意的最大值为 0. 的外接圆圆心， 是最大角，若，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于 是锐角三角形的最大角，故，故.15．【北京市大兴区 2019 届高三 4 月一模】已知点，，点 在双曲线的取值范围是_________．的右支上，则24【答案】【解析】设点 P(x,y),（x＞1），所以，因为，当 y＞0 时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是增函数，所以当 y＞0 时函数 f(x)的最小值=f(1)=1.即 f(x)≥1.当 y≤0 时，y=,所以，由于函数 所以函数在[1，+∞）上都是增函数， 在[1，+∞）上是减函数，所以当 y≤0 时函数 k(x)＞0.综上所述，的取值范围是.16．【上海市青浦区 2019 届高三二模】已知 为的外心，，大值为________【答案】【解析】设的外接圆半径为 1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，因为，所以，不妨设，，，则，，，因为，所以，，则 的最25解得，因为 在圆上，所以 即， ，所以，所以，解得或，因为 只能在优弧 上，所以，故26。

2022四川⾼考数学试题及答案解析2022四川⾼考数学试题及答案解析⼀、选择题（5×12＝60分）1、设集合＝｛｜｝，＝｛｜｝.则＝A. ｛｜－7＜＜－5 ｝B. ｛｜ 3＜＜5 ｝C. ｛｜ －5 ＜＜3｝D. ｛｜ －7＜＜5 ｝【答案】C【解析】＝｛｜ ｝，＝｛｜｝∴＝｛｜ －5 ＜＜3｝2、函数的反函数是 A. B. C. D.【答案】C 【解析】由，⼜因原函数的值域是，∴其反函数是3、等差数列｛｝的公差不为零，⾸项＝1，是和的等⽐中项，则数列的前10项之和是A. 90B. 100C. 145D. 190【答案】B【解析】设公差为，则.∵≠0，解得＝2，∴＝1004、已知函数，下⾯结论错误的是A. 函数的最⼩正周期为2B. 函数在区间［0，］上是增函数C.函数的图象关于直线＝0对称D. 函数是奇函数【答案】D 【解析】∵，∴A 、B 、C 均正确，故错误的是D【易错提醒】利⽤诱导公式时，出现符号错误。

5、设矩形的长为，宽为，其⽐满⾜∶＝，这种矩形给⼈以美感，称为黄⾦矩形。

黄⾦矩形常应⽤于⼯艺品设计中。

下⾯是某⼯艺品⼚随机抽取两个批次的初加⼯矩形宽度与长度的⽐值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639⼄批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618⽐较，正确结论是 A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B. ⼄批次的总体平均数与标准值更接近C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【答案】A【解析】甲批次的平均数为0.617，⼄批次的平均数为0.613【备考提⽰】⽤以上各数据与0.618（或0.6）的差进⾏计算，以减少计算量，说明多思则少算。

6、如图，已知六棱锥的底⾯是正六边形，则下列结论正确的是A.B.C. 直线∥D. 直线所成的⾓为45°【答案】D【解析】∵AD与PB在平⾯的射影AB不垂直，所以A不成⽴，⼜，平⾯PAB⊥平⾯PAE，所以也不成⽴；BC∥AD∥平⾯PAD, ∴直线∥也不成⽴。

专题57一类过定点问题的不等式恒成立【方法点拨】将恒成立问题转化为两函数的位置关系问题，难点在于发现两函数过定点.【典型题示例】例1已知a ∈R ，()2ln 10x x ax x a --+≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】()2ln 10x x ax x a --+≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即对于1,22x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦∀，两函数()ln f x x =、2()1g x ax x a =--+的函数值异号，亦既是在此范围内，两函数的图象分别位于x 轴的两侧，故将恒成立问题转化为了两函数的位置关系问题，再进一步发现两函数过定点（1,0），而函数2()1g x ax x a =--+含参，是二次函数，只需对a 的符号（即对称轴位置）及端点值进行讨论、限制即可.【解析】∵1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，0x >∴()2ln 10x x ax x a --+≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即()2ln 10x ax x a --+≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立设()ln f x x =，2()1g x ax x a =--+易知()f x ，()g x 图象恒过点（1,0），下面对a 的符号进行分类讨论.（1）当0a <时，如上图左中，()g x 的对称轴在y 轴的左侧，()g x 在对称轴右侧单减且恒过点（1,0），故满足题意.(2)当0a =时，易知满足题意.（3）当0a >时，如上图右中，欲使()2ln 10x ax x a --+≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立只需(2)0g ≤，即(2)310g a =-≤，解之得13a ≤，故103a <≤.综上得，实数a 的取值范围为1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．例2设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝______________．【答案】23=a 【分析】本题解法较多，按照一般思路，则可分为以下两种情况：(A )2(1)1010a x x ax ≤⎧⎨≤⎩－－－－，无解；(B )2(1)1010a x x ax ≥⎧⎨≥⎩－－－－，无解．因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x ＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下图)我们知道：函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，1)．考查函数y 1＝(a －1)x －1：令y ＝0，得M (11a -，0)，还可分析得：a ＞1；考查函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a -，0)，代入得：211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭，解之得：23a 0==或者a ，或者23=a ，舍去0=a ，得答案：23=a ．点评：本题的关键在于，一是将恒成立问题转化为利用“形”进一步转化为两函数的位置关系问题，二是发现两函数在x 轴的右侧过定点.【巩固训练】1.对任意的(0,)x ∈+∞，不等式22(2)ln 0ax a x x +-≥恒成立，则实数a 的取值的集合是．2.对任意的(0,)x ∈+∞，不等式2(ln 210)0x x a x ax a -+-++≤恒成立，则实数a 的取值范围是．3.已知不等式2(3)()0ax x b +-≤对于任意的(0,)x ∈+∞恒成立，其中,a b 是整数，则a b +的取值集合为__________.4.已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．(0,2)B ．(0,8)C ．(2,8)D ．(,0)-∞。