上海海洋大学2016-2017(1)线性代数B卷

一、填空题(共 18分)1.设 A 是3阶方阵，|A|=3，A∗为 A 的伴随矩阵，则|3A−1|=( )，|A∗|=( )，|3A∗−7A−1|=( ).2.设α=(1,−2,3)T，β=(−1, 12,0)，A=αβ，则|A100|=( ).3.设向量α=(1k 1)是矩阵A=(211121112) 的一个特征向量，则k=().4.A为3阶实对称矩阵，向量 ξ1=(1,2,5)T，ξ1=(k,2k,3)T是分别对应于特征值2和3的特征向量, 则 k=().5.设 η1,η2,η3为4元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解，r(A)=3，已知η1+η2=(3,4,5,6)T,η3=(1,2,3,4)T，则 Ax=b 的一般解为( ).二、选择题(共 6 题，每题 3分，共 18 分)1.设 M、P 为 n 阶矩阵，且 P 可逆，则下列运算不正确的是( ).A. |M|=|P−1MP|；B. |2E−M|=|2E−P−1MP|；C. |2E−M|=|2E−(P−1MP)T|；D. P−1MP=M.2.设 M、N、P 为同阶矩阵，下列结论成立的有( ).A. MN=NM；B. (M+N)−1=M−1+N−1；C. 若 MP=NP，则M=N；D. (M+N)T=M T+N T.3.设 A 为 m×n 矩阵，线性方程组 Ax=b 有解的充分条件为( ).A. 矩阵A 行满秩；B. 矩阵A 列满秩；C. 矩阵A 的秩小于其行数；D. 矩阵A 的秩小于其列数.4.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵；若 n 维列向量 α 是 A 的属于特征值 λ 的特征向量，则矩阵 (P−1AP)T的属于特征值 λ 的特征向量是( ).A. P−1α；B. P Tα；C. Pα；D. (P−1)Tα.5.设向量 α,β,γ 线性无关，α,β,δ 线性相关，下列哪个成立().中国海洋大学《线性代数》2016-2017学年第二学期期末试卷A卷A. α 必可由 β,γ,δ 线性表示；B. β 必不可由 α,γ,δ 线性表示；C. δ 必可由 α,β,γ 线性表示；D. δ 必不可由 α,β,γ 线性表示.6.设 A 是 n (n ≥2)阶可逆矩阵，交换 A 的第1行与第2行得矩阵 B ；A ∗、B ∗分别为 A 、B 的伴随矩阵，则( ).A. 交换 A ∗的第一列与第二列得 B ∗；B. 交换 A ∗的第一行与第二行得 B ∗；C. 交换 A ∗的第一列与第二列得 −B ∗；D. 交换 A ∗的第一行与第二行得 −B ∗.三、计算题(共 4题，共 28 分)1.计算行列式的值：|−a 1a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯−a n a n 111⋯11|. 2.矩阵 A =(11−1−1111−11)，矩阵 X 满足 A ∗X =A −1+2X ，其中 A ∗是 A 的伴随矩阵，求矩阵 X .3.已知 R 3的两组基 B 1={α1,α2,α3}和 B 2={β1,β2,β3}，其中α1=(1,1,1)T ，α2=(0,1,1)T ， α3=(0,0,1)T ；β1=(1,0,1)T ，β2=(0,1,−1)T ，β3=(1,2,0)T .(1)求基 B 1到基 B 2的过渡矩阵 A ；(2)已知 α 在基 B 1下的坐标向量为 (1,−2,−1)T ，求 α 在基 B 2下的坐标向量.4.求向量组 α1=(1,0,1,0), α2=(2,1,−3,7), α3=(4,1,−1,7), α4=(3,1,0,3), α5=(4,1,3,−1) 的秩，及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示.四、证明题(共 1题，共 8 分)设 A 为 n 阶方阵，且 4A 2−I =O ，证明：(1) A 的特征值只能为− 1 2或 1 2；(2) r (2A +I )+r (2A −I )=n.五、解方程组（共1题，13分）当 λ 取何值时，线性方程组 {(1+λ)x 1+x 2+x 3=0x 1+(1+λ)x 2+x 3=3x 1+x 2+(1+λ)x 3=λ无解、有唯一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解.六、二次型（共1题，12分）二次型 f (x 1,x 2,x 3)=5x 12+5x 22+cx 32+2x 1x 2+4x 1x 3−4x 2x 3 的秩为2，(1)求 c ；(2)用正交变换法将二次型化为标准形，并写出对应的正交矩阵.一、填空题(共 18分)1.设 A 是3阶方阵，|A |=3，A ∗为 A 的伴随矩阵，则 |3A −1|=( )， |A ∗|=( )，|3A ∗−7A −1|=( ).解：|3A −1|=33|A−1|=331|A |=9；|A ∗|=|A |3−1=9； |3A ∗−7A −1|=|3|A |A −1−7A−1|=|2A −1|=23|A −1|= 8 3. 2.设 α=(1,−2,3)T ，β=(−1, 1 2,0)，A =αβ，则 |A 100|=( ).解：A =αβ=(1−23)(−1, 1 2,0)= 1 2(−2104−20−630)⟹|A |=0 |A 100|=|A|100=0.3.设向量 α=(1k 1) 是矩阵 A =(211121112) 的一个特征向量，则 k =( ).解：设向量 α 是 A 的特征值 λ 对应的特征向量，则 Aα=λα，即 (211121112)(1k 1)=λ(1k 1)⟹{2+k +1=λ1+2k +1=λk ⟹(k −1)=λ(k −1)⟹{k −1=0⟹k =1，λ=4；k −1≠0⟹λ=1，k =−2. 4.A 为3阶实对称矩阵，向量 ξ1=(1,2,5)T ，ξ1=(k,2k,3)T 是分别对应于特征值2和3的特征向量, 则 k =( ).解：由题意知：ξ1,ξ2 正交，即 (ξ1,ξ2)=0⟹1∙k +2∙2k +5∙3=0从而 k =−3.5.设 η1,η2,η3 为4元非齐次线性方程组 Ax =b 的三个解，r (A )=3，已知 η1+η2=(3,4,5,6)T ,η3=(1,2,3,4)T ，则 Ax =b 的一般解为( ). 解：r (A )=3⟹Ax =0 的基础解系含有 4−r (A )=1 个向量.Ax =b 的一般解为 x =x 0+kξ；答案(1) x0可取 η3；(2)取 ξ=(η1−η3)+(η2−η3)=η1+η2−2η3=(1,0,−1,−2)T；于是，Ax=b 的一般解x=(1,2,3,4)T+k(1,0,−1,−2)T，k 任意.二、选择题(共 6 题，每题 3分，共 18 分)1.设 M、P 为 n 阶矩阵，且 P 可逆，则下列运算不正确的是( D ).A. |M|=|P−1MP|；B. |2E−M|=|2E−P−1MP|；C. |2E−M|=|2E−(P−1MP)T|；D. P−1MP=M.解：A. |M|=|P−1MP|=|P−1|∙|M|∙|P|=|M|；B. |2E−M|=|P−1|∙|2E−M|∙|P|=|P−1(2E−M)P|=|2E−P−1MP|；C. |2E−(P−1MP)T|=|(2E−P−1MP)T|=|2E−P−1MP|=|2E−M|；D. P−1MP=M结论不一定成立；MP不一定等于PM.2.设 M、N、P 为同阶矩阵，下列结论成立的有( D ).A. MN=NM；B. (M+N)−1=M−1+N−1；C. 若 MP=NP，则M=N；D. (M+N)T=M T+N T.3.设 A 为 m×n 矩阵，线性方程组 Ax=b 有解的充分条件为( A ).A. 矩阵A 行满秩；B. 矩阵A 列满秩；C. 矩阵A 的秩小于其行数；D. 矩阵A 的秩小于其列数.解：A 行满秩⟹r(A,b)=r(A)⟺Ax=b 有解.4.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵；若 n 维列向量 α 是 A 的属于特征值 λ 的特征向量，则矩阵 (P−1AP)T的属于特征值 λ 的特征向量是( B ).A. P−1α；B. P Tα；C. Pα；D. (P−1)Tα.解：已知 Aα=λα，且 A T=A；记 P−1AP=Q，则 (P−1AP)T=Q T；则PQ=AP⟹Q T P T=P T A T，A 对称⟹Q T P T=P T A⟹Q T P Tα=P T Aα=λP Tα.5.设向量 α,β,γ 线性无关，α,β,δ 线性相关，下列哪个成立( C ).A. α 必可由 β,γ,δ 线性表示；B. β 必不可由 α,γ,δ 线性表示；C. δ 必可由 α,β,γ 线性表示；D. δ 必不可由 α,β,γ 线性表示.解：α,β,γ 线性无关，则 α,β 线性无关；又 α,β,δ 线性相关，则 δ 可由 α,β 线性表示，即 δ=k 1α+k 2β=k 1α+k 2β+0γ.6.设 A 是 n (n ≥2)阶可逆矩阵，交换 A 的第1行与第2行得矩阵 B ；A ∗、B ∗分别为 A 、B 的伴随矩阵，则( C ).A. 交换 A ∗的第一列与第二列得 B ∗；B. 交换 A ∗的第一行与第二行得 B ∗；C. 交换 A ∗的第一列与第二列得 −B ∗；D. 交换 A ∗的第一行与第二行得 −B ∗.解：A r 1↔r 2 ⇒ B ，则 B =E 12A ⟹{|B |=|E 12A|=−|A | B −1=(E 12A)−1=A −1E 12−1=A −1E 12于是 B ∗=|B |B −1=−|A |A −1E 12=−A ∗E 12；得 −B ∗=A ∗E 12⟺ 交换 A ∗的第1列和第2列得到 −B ∗.三、计算题(共 4题，共 28 分)1.计算行列式的值：|−a 1a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯−a n a n 111⋯11|. 解：行列式c 1+c 2+⋯+c n+10a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮ ⋮⋮000⋯−a n a n n +111⋯11|=(n +1)∙(−1)n+1+1|a 10⋯00−a 2a 2⋯00⋮⋮ ⋮⋮00⋯−a n a n| =(−1)n (n +1)a 1a 2⋯a n .2.矩阵 A =(11−1−1111−11)，矩阵 X 满足 A ∗X =A −1+2X ，其中 A ∗是 A 的伴随 矩阵，求矩阵 X .解：A ∗X =A −1+2X ⟹(A ∗−2I )X =A −1⟹A (A ∗−2I )X =AA −1=I ⟹(|A |I −2A )X =I⟹X =(|A |I −2A)−1；又 |A |=4，则 |A |I −2A =(2−2222−2−222)=2(1−1111−1−111)=2B ，这里 B =(1−1111−1−111)；从而 X =(2B)−1= 1 2B −1 由 (B,I )=(1−1111−1−111 1000 1 0001)初等行变换⇒ (1000 10001 1/21/2001/21/21/201/2)=(I,B −1)， 得 B −1= 1 2(1100 11101)，于是 X = 1 4(1100 11101). 3.已知 R 3的两组基 B 1={α1,α2,α3}和 B 2={β1,β2,β3}，其中 α1=(1,1,1)T ，α2=(0,1,1)T ， α3=(0,0,1)T ； β1=(1,0,1)T ，β2=(0,1,−1)T ，β3=(1,2,0)T .(1)求基 B 1到基 B 2的过渡矩阵 A ；(2)已知 α 在基 B 1下的坐标向量为 (1,−2,−1)T ，求 α 在基 B 2下的坐标向量. 解：仍记 B 1=(α1,α2,α3)，B 2=(β1,β2,β3).(1)由 (β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)A ，即得 B 2=B 1A ，于是，(B 1,B 2)=(1001011100121111−10)初等行变换⇒ (100101010−1110011−2−2)=(I,A )则基 B 1到基 B 2的过渡矩阵 A =(101−1111−2−2).(2)两种方法：已知 αB 1=(1,−2,−1)T方法1：α=B 1αB 1=(1,−1,−2)T ，又有 α=B 2αB 2，则求解该方程组(B 2,α)=(1010121−10|1−1−2)初等行变换⇒ (100010001|57−4),则 α 在基 B 2下的坐标向量 αB 2=(5,7,−4)T .方法2：因为 A αB 2=αB 1，求解该方程组(A ,αB 1)=(101−1111−2−2|1−2−1)初等行变换⇒ (100010001|57−4)，则 α 在基 B 2下的坐标向量 αB 2=(5,7,−4)T .4.求向量组 α1=(1,0,1,0), α2=(2,1,−3,7), α3=(4,1,−1,7), α4=(3,1,0,3), α5=(4,1,3,−1) 的秩，及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示.解：记矩阵A =(α1T ,α2T ,α3T ,α4T ,α5T )=(12434011111−3−1030773−1) 初等行变换 ⇒ (102000110−10001200000)，则 (1)秩{α1,α2,α3,α4,α5}=3；(2)α1,α2,α4 是向量组 α1,α2,α3,α4,α5 的一个极大线性无关组；(3)α3=2α1+α2,α5=−α2+2α4.四、证明题(共 1题，共 8 分)设 A 为 n 阶方阵，且 4A 2−I =O ，证明：(1) A 的特征值只能为− 1 2或 1 2；(2) r (2A +I )+r (2A −I )=n. 证：(1)设 A 的特征值为 λ，则 4A 2−I 的特征值为 4λ2−1，因为 4A 2−I =O ，而零矩阵 O 的特征值均为0，于是有 4λ2−1=0⟹λ=− 1 2或 1 2； (2)4A 2−I =O ⟹(2A +I)(2A −I )=O ，则① r (2A +I )+r (2A −I )≤n ；② r (2A +I )+r (2A −I )=r (2A +I )+r (I −2A )≥r(2A +I +(I −2A ))=r (2I )=n ；于是，r (2A +I )+r (2A −I )=n .五、解方程组（共1题，13分）当 λ 取何值时，线性方程组{(1+λ)x 1+x 2+x 3=0x 1+(1+λ)x 2+x 3=3x 1+x 2+(1+λ)x 3=λ无解、有唯一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解.解：系数矩阵 A =(1+λ1111+λ1111+λ)，b =(03λ).又 |A |=|1+λ1111+λ1111+λ|=λ2(λ+3)①当 |A |≠0，即当 λ≠0 且 λ≠−3 时，方程组有唯一解； ②当 λ=0 时，增广矩阵(A,b )=(111111111| 030)初等行变换⇒ (111000000| 030) 方程组出现矛盾方程，则原方程组无解；③当 λ=−3 时，增广矩阵(A,b )=(−2111−2111−2|03−3)初等行变换⇒ (10−101−1000| −1−20)=(U,d)取 x 3 为自由未知量，1)令 x 3=0，代入 Ux =d ，得原方程组的一个特解 x 0=(−1,−2,0)T ；2)令 x 3=1，代入 Ux =0，得 Ax =0 的一个基础解系 ξ=(1,1,1)T ；则原方程组的通解为 x =x 0+kξ=(−1−20)+k (111)，k 任意；综上，{当 λ≠0 且 λ≠−3时，方程组有唯一解；当 λ=0 时，方程组无解；当 λ=−3时，方程组有无穷多解.六、二次型（共1题，12分）二次型 f (x 1,x 2,x 3)=5x 12+5x 22+cx 32+2x 1x 2+4x 1x 3−4x 2x 3 的秩为2， (1)求 c ；(2)用正交变换法将二次型化为标准形，并写出对应的正交矩阵.解：二次型对应的矩阵为 A =(51215−22−2c)， (1)已知 r (A )=2⟹|A |=0，得 c =2；(2)A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−5−1−2−1λ−52−22λ−2|=λ(λ−6)2，A 的特征值为 λ1=λ2=6，λ3=0；①对于 λ1=λ2=6，由(λ1I −A)x =0，即 (1−1−2−112−224)(x 1x 2x 3)=0，得基础解系 {ξ1=(1,1,0)T ξ2=(2,0,1)T ， 1)正交化：取 β1=ξ1=(1,1,0)T ，令 β2=ξ2−(ξ2,β1)(β1,β1)β1=(1,−1,1)T ， 2)单位化：令 η1=1‖β1‖β1=(1√2,1√2,0)T ； η2=1‖β2‖β2=(1√3,−1√31√3)T； ②对于特征值 λ3=0，由(λ3I −A)x =0⟺Ax =0，即 (51215−22−22)(x 1x 2x 3)=0，得基础解系为 ξ3=(−1,1,2)T ，单位化得：η3=1‖ξ3‖ξ3=(−1√6,1√6,2√6)T； ③记矩阵 Q =(η1,η2,η3)=( √2√3√6√2√3√60√3√6) ，则 Q 为正交阵， 且使得 Q T AQ =Q −1AQ =Λ=(660)④令 x =(x 1,x 2,x 3)T ，y =(y 1,y 2,y 3)T ，做正交变换 x =Qy ，原二次型就化成标准形 x T Ax =y T (Q T AQ )y =6y 12+6y 22.。

上海海洋大学试卷答案一、填空与选择题（1836='⨯） 1. 行列式的值是_____________.2. 已知A 为四阶方阵, 且=2, 是的伴随矩阵, 则=___128______.3. 当__2____时, 方程组有非零解 4．设, ,若初等矩阵, 使得,则P =___100001010æèççöø÷÷______5. 已知四阶行列式中第三列元素依次是它们的余子式依次为, 则=________6．已知＝, 且则一定有：（ D ）（A ）E A = （B ）0=A （C ）矩阵E A -一定可逆 （D ）矩阵E A +一定可逆 二、（16分）计算下列行列式 1.... （10分） 解：D =232-23-101421-354-10=-6-1043-101421-3960-33=9-2-141-1112-16=9-3031-113018=-9-3331=108103.（6分）解：D n +1=x -n 11100x -n +111000x -n +210000x -10nn -1n -211 (3)=(-1)2n +2x -n 1110x -n +111000x -2100x -1 (5)=(x -i )i =1nÕ (6)三、（15分）设, , 求1. 2. 3.若, 求矩阵. 解: (1)A -3E =2-112131-11æèççöø÷÷-300030003æèççöø÷÷ (2)=-1-112-231-1-2æèççöø÷÷ (3)(2)A E ()=2-112131-11100010001æèççöø÷÷...........2®10001000110-11414-1-34141æèççççöø÷÷÷÷..................7 所以A -1=10-11414-1-34141æèççççöø÷÷÷÷ (8)(3)X =BA -1..................................2=-34142-74142æèçççöø÷÷÷ (4)四、（15分）设矩阵, 求1.矩阵的列向量组的秩2.的列向量组的一个极大无关组3.将向量组中的其余向量表达为极大无关组的线性组合 解：由a 1,a 2,a 3,a 4()=22311-3-211033-132-1320-2æèçççççöø÷÷÷÷÷®10330187001100000000æèçççççöø÷÷÷÷÷..............5®1000010-1001100000000æèçççççöø÷÷÷÷÷ (7)得1． 向量组的秩为3 (2)2． 向量组的极大无关组为a 1,a 2,a 3...................3 3． a 4=-a 2+a 3 (3)五、（10分）设列向量组线性相关, 列向量组线性无关, 证明: （1）一定可由线性表示；（2）4α不可由321,,ααα线性表示。

题目部分，(卷面共有100题,分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16小题,共分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分Dxydxdy ⎰⎰(其中D ：0≤y ≤x 2,0≤x ≤1)的值为 （A ）16 （B ）112 （C ）12 （D ）14答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2Dxy dxdy =⎰⎰=（A ）0； （B ）323 （C ）643（D ）256 答 ( )(3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分22(,)Df x y dxdy =⎰⎰__________122(,)D f x ydxdy ⎰⎰（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）12答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分011(,)x dx f x y dy -+⎰=(A)112111(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+⎰⎰⎰(B)111(,)y dy f x y dx --⎰⎰(C)11111(,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+⎰⎰⎰(D)21(,)dy f x y dx -⎰⎰答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)Df x y dxdy⎰⎰可化累次积分为(A)201(,)x dx f x y dy -⎰(B)21(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C)21(,)y dy f x y dx -⎰⎰(D)21(,)y dy f x y dx ⎰答 ( ) (3分)[7]设f (x ,y )为连续函数，则二次积分21102(,)y dy f x y dx ⎰⎰可交换积分次序为(A)1010(,)(,)dx f x y dy f x y dy +⎰(B)112102(,)(,)(,)dx f x y dy f x y dy f x y dy ++⎰⎰⎰(C)1(,)dx f x y dy ⎰(D)222cos 0sin (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ⎰⎰答 ( ) (3分)[8]设f (x ,y )为连续函数，则积分212201(,)(,)x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰可交换积分次序为 (A)12201(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(B)212201(,)(,)x xdy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(C)120(,)y dy f x y dx -⎰(D)2120(,)xxdy f x y dx -⎰⎰答 ( ) (4分)[9]若区域D 为(x －1)2+y 2≤1,则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 0(,)d F r dr πθθθ⎰⎰(B)2cos 0(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(C)2cos 202(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(D)2cos 202(,)d F r dr πθθθ⎰⎰其中F (r ,θ)=f (r cos θ,r sin θ)r .答 ( )(3分)[10]若区域D 为x 2+y 2≤2x ，则二重积分22()Dx y x y dxdy ++⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 202(cos sin )2cos d r rdr πθπθθθθ-+⎰⎰(B)2cos 30(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(C)2cos 3202(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(D)2cos 3222(cos sin )d r dr πθπθθθ-+⎰⎰答 ( ) (4分)[11]设777123[ln()],(),sin ()DDDI x y dxdy I x y dxdy I x y dxdy =+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中D 是由x =0,y =0,12x y +=,x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序是 (A)I 1＜I 2＜I 3; (B)I 3＜I 2＜I 1; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2.答 ( ) (5分)[12]设2211cos sin x y dxdyI x y +≤=++⎰⎰，则I 满足 (A)223I ≤≤ (B)23I ≤≤ (C)12D I ≤≤ (D)10I -≤≤答 ( ) (4分)[13]设12x y +=其中D 是由直线x =0,y =0,及x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序为(A)I 3＜I 2＜I 1; (B)I 1＜I 2＜I 3; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2.答 ( ) (3分)[14]设有界闭域D 1与D 2关于oy 轴对称，且D 1∩D 2=,f (x ,y )是定义在D 1∪D 2上的连续函数，则二重积分2(,)Df x y dxdy =⎰⎰(A)122(,)D f x y dxdy ⎰⎰ (B)224(,)D f x y dxdy ⎰⎰(C)124(,)D f x y dxdy ⎰⎰(D)221(,)2D f x y dxdy ⎰⎰ 答 ( )(3分)[15]若区域D 为|x |≤1,|y |≤1,则cos()sin()xy Dxe xy dxdy =⎰⎰ (A) e; (B) e －1; (C) 0; (D)π.答 ( ) (4分)[16]设D ：x 2+y 2≤a 2(a ＞0),当a =___________时，.Dπ=答 ( ) 二、填空 (6小题,共分)(4分)[1]设函数f (x ,y )在有界闭区域D 上有界，把D 任意分成n 个小区域Δσi (i =1,2,…,n ),在每一个小区域Δσi 任意选取一点(ξi ,ηi ),如果极限 01lim(,)niiii f λξησ→=∆∑(其中入是Δσi (i =1,2,…,n )的最大直径)存在，则称此极限值为______________的二重积分。

2016-2017 学年第一学期期末考试线性代数试题一．选择题（每小题 4 分，共 24 分）1、行列式01110212=-k k 的充分条件是（A ）2=k （B ）2-=k （C ）0=k （D ）4=k 2、设A 为n 阶矩阵，*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则=*A A （A ）n n A -2（B ）n A （C ）12+-n n A （D ）1-n A 3、设A 为n 阶矩阵，若A 与n 阶单位矩阵等价，那么方程组AX =b（A ）无解（B ）有唯一解（C ）有无穷多解（D ）解的情况不能确定4、设A 、B 是满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（C ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（D ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关5、已知21,ηη是线性非齐次方程组b x A n m =⨯的两个不同的解，21,ξξ是对应线性齐次方程组0=⨯x A n m 的基础解系，21,k k 为任意常数，则方程组b x A n m =⨯的通解为（A ）2)(2121211ηηξξξ-+++k k ；（B ）2)(2121211ηηξξξ++-+k k ；（C ）2)(2121211ηηηηξ-+++k k ；（D ）2)(2121211ηηηηξ++-+k k ；6、设A 是3阶不可逆矩阵，21,αα是AX =0的基础解系，3α是属于特征值1=λ的特征向量，下列不是A 的特征向量的是（A ）213αα+（B ）21αα-（C ）31αα+（D ）32α二．填空题（每小题4分，共16分）1、若三阶矩阵A 的伴随矩阵是*A ,且21=A ,则=-*-A A 231）（__________.2、设X A AX +=，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010312022A ，则=X ___________.3、已知123,,αααγβ,,都是四维列向量，,,,,321a =βααα,,,,123b =+αααγβ则=321,,,2αααγ___________.4、设l ααα,,,21 都是非齐次线性方程组AX =b 的解，如果l l c c c ααα+++ 2211还是AX =b 的解，则=+++l c c c 21___________.三、计算题（每题10分，共50分）1、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=231102A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102324171B 求T AB ）（.2、求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=97963422644121121112A 的列向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1312α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0143α,用施密特正交化过程把这组向量规范正交化4、用基础解析表示如下线性方程组的全部解⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=-+-=+--2143214321432132130x x x x x x x x x x x x 5、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=60028022a A 相似于对角矩阵∧，确定常数a 的值；并求可逆矩阵P ,使得∧=-AP P 1。

2016~2017学年春季学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1．设A 为3阶方阵，A 的第3列的元素分别为1,-3,2，其对应的余子式为3,1,2，则||A =10．．解析：313233||(1)13+(1)3)1+(1)2210(-A +++=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=注释本题知识点：行列式按行按列展开答案：102．设矩阵1223135()4()2()αααααα-+-=+，其中1=(3,-1,0,1)Tα，2=(3,-3,6,3)Tα则3=α(1,0-1,0)T，解析：由1223135()4()2()αααααα-+-=+得到12336ααα-=所以31211=3-=(9-303)(3-36,3)(10-10)66（），，，，，，，，T T T ααα⎡⎤-=⎣⎦注释本题知识点：向量的运算答案：0（1，0，-1，）T3.设四元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵的秩为3，已知123,,ηηη是它的三个解向量，且12-2=(2,1,1,1)T ηη，3=(0,2,1,1)T η，则齐次方程组的通解为(2,3,2,2),T k k R∈．解析：因为四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，所以其对应的齐次线性方程组的基础解系中只包含一个解量，而123-2+=(2,3,2,2)Tηηη为齐次线性方程组0Ax =的解，则齐次方程组的通解为(2,3,2,2)()Tk k R ∈注释本题知识点：（1）齐次线性方程组的基础解系所包含的向量个数n r-（2）齐次线性方程组的通解1122+++(,1,2,)n r n r i k k k k R i n r ξξξ--∈=-L L 答案：(2,3,2,2)()T k k R ∈4．设矩阵123(,,)A ααα=有三个不同的特征值，且312=+ααα，则矩阵的秩()R A =2．解析：由312=+ααα知向量123,,ααα线性相关，而三个特征值不同，所以12,αα线性无关，故()2R A =注释本题知识点：矩阵的秩等于矩阵中行向量组或者列向量组的最大无关组的秩，即最大无关组所包含的向量的个数。

第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

拟题学院（系）： 数理学院适用专业： 全校 2015-2016学年 1 学期 线性代数（必修）B 卷 试题标准答案（答案要注明各个要点的评分标准）一、填空题（每小题3分，共15分）1. -2M2.11B A --3.111,,336- 4. 0 5. 2k >二、选择题（每小题3分，共15分）1. C2. D3. A4. B5. B三、计算题(每小题10分，共20分)1.解：888811111511151181151115111151115==原式——————————————————————5分11110400851200400004==2. 解：()22AX B X A E X B =+⇒-=1112012,002A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ————————————3分()1111101001112,012102~010100,002202001101A E B ⎛⎫⎛--⎫⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭———————————— 8分所以111100101X --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

—————————————————————— 10分四、计算题(第1题10分，第2题15分，第3题15分，共40分)拟 题 人： 周红燕书写标准答案人： 周红燕1.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=00000100000120011221~10000500000120011221~13600512000240011221~46063332422084211221),(b A ————————————8分3)(,2)(==B R A R 因此 ——————————————————10分2. 解：111111101152321130012263(,)01226300000054331200000B A b ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭————8分基础解系为123115226,,100010001ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，特解为23000η-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，—————————————13分通解为112233x k k k ξξξη=+++。