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齐次状态方程解

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状态空间表达式的解讲解

状态空间表达式的解讲解

§2-2 矩阵指数函数---- 状态转移矩阵
矩阵指数函数:
e At I At 1 A2t 2 1 A3t 3 ... 1 Ak t k ....
2!
3!
k!
从
可看出:
形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元
素随时间t变化的n×n矩阵。但本质上，它的作用是将
时刻的系统状态矢量
转移到t时刻的状态矢量
1 0 ... 0
A J 0
1 ...
0
.......... .......... ......
0
0
0 ...
1 t
1 t2 ... 2!
(
n
1 - 1)!
t
n1
0 1 t
...
(n
1 - 2)
!
t
n
2
则
(t) eJt et ..............................................
1 t
1 t2 2!
...
1 t n1 (n -1)!
0 1 t
...
(n
1 - 2)!
t
n
2
.
.
T * et ............................
*T 1
0 0 0 .... t
0 0 0 ... 1
控制系统状态空间表达式的解
4. 应用凯莱-哈密尔顿定理(Cayley－Hamilton)求eAT
e 1t
0
T
*
e2t ...........
*
T
1
0
ent
控制系统状态空间表达式的解

2_状态方程求解

2_状态方程求解

4） (t2 t1 ) (t1 t0 ) (t2 t0 )
e At e Bt e( A B )t 5）当且仅当AB=BA时
状态转移矩阵的基本性质
1） (t ) A (t ) (t ) A
2） (0) I
3）
(t )1 1 (t ) (t )
5 线性系统的脉冲响应矩阵
6 线性连续系统方程的离散化
7 线性离散系统的运动分析 8 用MATLAB求解系统方程
2.1
线性定常系统齐次状态方程的解
x (t ) Ax (t )
（1）
线性定常系统齐次状态方程为 这时系统的输入为零 先考察标量齐次微分方程的幂级数解法
x ax
假设其解为一幂级数
如果 [ sI A]为非奇异
[ sI A] x ( s) x (0)
1
x(s) [sI A]1 x(0) [sI A]1 x(0)
（10）
x (t ) L
1
{[sI A]1 x(0)} L
1
由微分方程解的唯一性
(t ) e At L
[sI A]1
而 b0 x(0) （4）
则解为 x(t ) (1 at 因为
1 2 2 1 a t a k t k ) x(0) e at x(0) 2! k!
1 2 2 1 a t akt k 2! k!
e at 1 at
模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程 （1）的解为 （5） x b0 b1t b2t 2 b3t 3 bk t k 将（5）式代入（1）式
e
Jt

现代控制理论_控制系统状态空间表达式的解

现代控制理论_控制系统状态空间表达式的解
第二章 控制系统状态空 间表达式的解
2.1.线性定常连续系统状态方程的解
1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用 下的自由运动，又称为零输入解；
2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状 态转移，而转移规律取决于 eAt ，eA(t-t ) 故称其 为状态转移矩阵.一般用 ( t ) e At 来表示。 A( t t ) ( t t0 ) e 3.求齐次状态解的关键是求转移矩阵 eAt
At
x( t ) e
x(t0 ) e A Bu( )d
t0
t t0
t
x( t ) e
A( t t0 )
x(t0 ) e A( t ) Bu( )d
t
也就是 x(t ) (t t0 ) x(t0 ) t (t )Bu( )d
d At At e x ( t ) e Bu dt
e At Ax x
在区间[t0,t]上积分
e
At
x( t )
t t0
e A Bu( )d
t0
t
e
即
e
At
x( t )
t t0
e A Bu( )d
t0
At0
t
s 3 1 1 2 s s s 3 2
s 1 s 2 s s 1 s 2 1
s3 s 1 s 2 2 s 1 s 2
s 1 ( sI A) 1 s 2
Φ(t ) L
1
sI A
1
(1 t )e t t te

《自动控制原理》线性定常连续系统状态方程的解

《自动控制原理》线性定常连续系统状态方程的解

2
k!
= P −1IP + P −1 APt + 1 P −1 A2 Pt 2 + + 1 P −1 Ak Pt k +
2
k!
= P −1 (I + At + 1 A2t 2 + + 1 Ak t k + )P = P −1e At P
2
k!
因而式（9-39）成立。
性质10: 两种常见的状态转移矩阵。设 A = diag[1, 2 ,,n ]，
2. 拉普拉斯变换法。将式（9-22）取拉氏变换有
sX (s) = AX (s) + x(0)
则
(sI − A) X (s) = x(0)
X (s) = (sI − A)−1 x(0)
（9-27）
进行拉氏反变换有
x(t) = −1[(sI − A)−1]x(0)
（9-28）
与（9-25）相比有
e At = −1[(sI − A)−1 ]
进行拉氏反变换有 x(t) = −1(sI − A)−1 x(0) + −1[(sI − A)−1 BU (s)]
由拉氏变换卷积定理
−1[F1(s)F2 (s)] =
t
0 f1 (t − ) f2 ( )d
=
t
0 f1 ( ) f2 (t − )d
在此将(sI − A)−1 视为F1 (s)，将BU (s) 视为 F2 (s) ，则有
x(t) = eA(t) x(0) + t eA(t− )Bu( )d 0 t = (t)x(0) + 0 (t − )Bu( )d
结果与式（9－43）相同。上式又可表示为

现代控制理论第二章

现代控制理论第二章
（2）在e At 定义中，用（1 ）的方法可以消去 A的n及n以上的幂次项，即 e At = I + At + 1 2 2 1 1 A t +⋯+ An −1t n −1 + An t n + ⋯ 2! ( n − 1)! n!
= α n −1 (t ) An −1 + α n − 2 (t ) An − 2 + ⋯ + α1 (t ) A + α 0 (t ) I
【例2-5】见板书
（3）α i (t )的计算公式 A的特征值互异时 α 0 (t ) 1 λ1 α1 (t ) 1 λ2 ⋮ = ⋮ ⋮ α (t ) 1 λ n −1 n
λ λ λ
பைடு நூலகம்
2 1 2 2
⋮
2 n
⋯ λ e λ1t λ2 t ⋯ λ e ⋮ ⋮ λn t n −1 ⋯ λn e
At
2.变换A为约旦标准型 （1）A特征根互异 Λ = T −1 AT 有
例2-2 ，同例2-1
e At = Te ΛtT −1
（2）A特征值有重根
J = T AT e At = Te JtT −1
0 1 0 [例2 - 3]已知A = 0 0 1 , 求e At 2 - 5 4
若
σ ω A= −ω σ
则
cos ωt sin ωt σt e = Φ(t ) = e − sin ωt cos ωt
At
2.2.4 计算
1.根据 e At 或 Φ (t ) 的定义直接计算
1 2 2 1 33 1 n n e = I + At + A t + A t ⋯ A t + ⋯ 2! 3! k! 1 0 [例2 - 1]已知A = , 求e At − 2 − 3

[东北大学][现代控制理论][03][状态方程的解]PPT课件

[东北大学][现代控制理论][03][状态方程的解]PPT课件

A t n
n!
x
t0
A
n0
At
n!
n
x
t
0
Axt;
级数
n0
At n
n!
x
t0
绝对一致收敛
矩阵级数 eAt At n 称为矩阵指数
n0 n!
3
2005-11-5
第三章 状态方程的解
例3．1．1 已知 A 解：
0 1 , 求 e At. 10
e A t 1 01 0 0 t 0 t 2 1 ! 0 t2 0 t2 3 1 ! t0 3 0 t3
2005-11-5
第三章 状态方程的解
则有：
eAt
L1
21 s1 s2
11 s1 s2
s21s22 s11s22
2et e2t
et
15
2005-11-5
第三章 状态方程的解 (3) 标准型法：
a . 设 A 具有n 个互异的特征值 1,2,
n, 则有
e1t
e2t
eAt P
0
0 P1
ent
其中 P 满足 P1APdiag[,, ,n].
16
2005-11-5
第三章 状态方程的解
例3.2.2 已知矩阵
0 1 1
A
6
-11
6
-6 -11 5
试计算矩阵指数 e A t .
解: 1) 特征值
1 1
IA6 -11 61230
eAt IAt1A2t2 2!
1
=
1
0
0 1
2
1
12
1 2!
22
0
0
t2

控制系统状态方程求解

第三章控制系统状态方程求解3－1 线性连续定常齐次方程求解所谓齐次方程解，也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，其状态方程为：………………………………………………………(3－1)上式中，X是n×1维的状态向量，A是n×n的常数矩阵。

我们知道，标量定常微分方程的解为： (3)2〕与〔3－2〕式类似，我们假设〔3－1〕的解X(t)为时间t的幂级数形式，即：………………………………(3－3) 其中为与X〔t〕同维的矢量。

将〔3－3〕两边对t求导，并代入〔3－1〕式，得：上式对任意时间t都应该成立，所以变量t的各阶幂的系数都应该相等，即：即:……………………………………………〔3－4〕将系统初始条件代入〔3－3〕，可得。

代入〔3－4〕式可得：…………………………………………………………………〔3－5〕代入〔3－3〕式可得〔3－1〕式的解为： (3)6)我们记： (3)7〕其中为一矩阵指数函数，它是一个n×n的方阵。

所以〔3－6〕变为：……………………………………………………………………〔3－8〕当〔3－1〕式给定的是时刻的状态值时，不难证明：………………………………………………………………〔3－9〕从〔3－9〕可看出，形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元素随时间t变化的n×n矩阵。

但本质上，它的作用是将时刻的系统状态矢量转移到t时刻的状态矢量，也就是说它起到了系统状态转移的作用，所以我们称之为状态转移矩阵(The State Transition Matrix)，并记：……………………………………………………………〔3－10〕所以：【例3－1】，求解：根据〔3－7〕式，3－2 的性质及其求法性质1：【证】根据的定义式〔3－7〕，【证毕】性质2：①②③【证】：①：根据(3－7)式，即有：②：由性质1及其关系①，③:由②式两边同时左乘，注意本身是一个n×n的方阵，，所以：即：从上式可知，矩阵指数函数的逆矩阵始终存在，且等于。

第2章 控制系统状态空间表达式的解

k 0
其必满足方程（2－1），将上式代入方程（2－1）可得 比较可得：
b1 2b2 t 3b3t 2 A( b0 b1t b2 t 2 )
1 1 2 1 1 3 1 k b1 Ab0，b2 Ab1 A b0，b3 Ab2 A b0， ，bk A b0， 2 2 3 3! k!

1 k k 1 t 1 k k k! e1t 1 t k 0 k! 1 T 1 1 T T T T ( )T k 0 1 k k ent 1 k k k! nt nt k 0 k!
1 2 2 1 3 3 At x( t ) ( I At A t A t )x0 e x0 2! 3!
线性定常系统零输入响应的几点说明： l如果t取某个固定值，零输入响应就是状态空间中由初始状态 x0 经线性 变换阵 e At 所导出的一个变换点。系统的自由运动就是由初始状态 x0 出 发，并由各个时刻的变换点 x0 所组成的一条轨线。
§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
而
e J it
1 k 1 J1 t k 1 k 0 k! k 0 k! i

i 1
tk
k
1 0 it e 0 0
1 2 1 t t t i 1 2! ( i 1)! 1 1 t t i 2 ( i 2)! 0 0 t 0 0 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 a 0 ( t ) a ( t ) 1 1 2 2 n 1 a n1 ( t ) 1 n n n

状态空间表达式解

2.1 线性定常连续系统齐次状态方程的解
2.1.1 齐次状态方程的解 u=0
X·=AX
1、直接求解 设 n=1
X(t0) =X0
x·=ax 解为x(t)=eatx0
t0=0 且eat=1+at+a2t2/2！+…
对于 n阶， 解为X(t)=eAtX0 eAt=I+At+A2t2/2！+…
证明：设X(t)解的形式为
=(I+At1+A2t12/2！+…) (I+At2+A2t22/2！+…) = (t1) (t2)
1、状态转移矩阵的性质：设t0=0 （4）[(t)]–1= (–t)
证明：由 （1）(0)=I （3） (t1+t2)= (t1) (t2) 得 (t–t)= (t) (–t)=I
(–t +t)= (–t) (t) =I 所以 [(t)]–1= (–t) （5） (t2– t1) (t1– t0) = (t2– t0)
0 0 0… 0 0 0…
e1t tm–1/(m–1)！ e1t tm–2/(m–2)！
Q–1 te1t e1t
以A有三重特征值为例进行证明
1 1 0 J= Q–1AQ= 0 1 1
0 0 1
证明 eAt=I+At+A2t2/2！+… 则 Q–1eAtQ=Q–1IQ+ Q–1 AtQ+ Q–1 A2t2/2！Q+… =I+ Jt+ J2t2/2！+… eAt=Q(I+ Jt+ J2t2/2！+…) Q–1
1 k!
Akb0
2.1.1 齐次状态方程的解

现代控制理论(第二章)讲解


sI

A 1

s 2
s3
1 1 s 3

(s
1)(s 2

2)
(s 1)(s 2)
1

(s
1)(s s

2)

(s 1)(s 2)
s3
e At

L1

(s

1)( s 2

2)
(s 1)(s 2)
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
第二章 控制系统状态空间表达式的解
2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解) 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.3 线性定常系统非齐次方程的解 2.4 * 线性时变系统的解 2.5 * 离散时间系统状态方程的解 2.6* 连续时间状态空间表达式的离散化


(s

1)( s 2

2)
(s 1)(s 2)
1
(s

1)( s s

2)

(s 1)(s 2)
eAt L1
sI A 1
2et e2t 2et 2e2t
et e2t

et

2e2t

et

2e2t

例2-6，利用凯莱-哈密顿定理— -----------------自学！ 例2-3与例2-7也请注意自学！
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
2.3 线性定常系统非齐次方程的解
现在讨论线性定常系统在控制作用 方程为非齐次矩阵微分方程：
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