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第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。
图P2.1解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。
也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。
这里采样机理分析法。
设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则212221c c c du u C R u u dt++= (1) 112121c c c du u duC C dt R dt+= (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：1121121121212111c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为：12111211212121212122222221111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +⎧=--+⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪==-⎪⎩即: 12121121211112222222211111R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]11210x y u x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。
1图P2.2解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。
令()f t 为输入量，即u f =，1M ，2M 的位移量1y ，2y 为输出量， 选择状态变量1x =1y ，2x = 2y ，3x =1dy dt，24dyx dt =。
求状态方程的时域解状态方程（State Equation）是描述动态系统的数学模型，它能够描述系统的状态如何随时间变化。
在控制论中，求解状态方程的时域解在设计和分析控制系统中具有重要意义。
本文将介绍状态方程的定义、求解方法以及时域解的计算过程。
状态方程的定义状态方程是用微分方程的形式表示的动态系统。
一般形式的状态方程可以表示为：dx(t)/dt = A(t) * x(t) + B(t) * u(t)其中，x(t)是状态向量，表示系统在时间t的状态，u(t)是输入向量，表示在时间t的输入，A(t)和B(t)是矩阵，它们表示系统的动态特性。
该方程描述了系统状态的变化率以及输入对状态的影响。
解法求解状态方程的时域解需要通过求解微分方程来获取。
具体的解法主要有两种：利用拉普拉斯变换求解和利用差分方程求解。
1. 利用拉普拉斯变换求解在连续时间域中，可以利用拉普拉斯变换来求解状态方程的时域解。
具体步骤如下：1.将状态方程中的微分方程用拉普拉斯变换转换为代数方程。
2.根据已知的初始条件，建立方程的初始条件。
3.根据所求解的变量进行移项整理，求解出未知变量的表达式。
4.对拉普拉斯域变换的结果进行逆变换，得到时域解。
2. 利用差分方程求解在离散时间域中，可以利用差分方程来求解状态方程的时域解。
具体步骤如下：1.将状态方程中的微分方程用差分方程转换为代数方程。
2.根据已知的初始条件，建立方程的初始条件。
3.根据差分方程的表达形式，利用递推关系计算出未知变量的取值。
4.得到差分方程的解，并将其转换为时域解。
时域解的计算过程下面将以连续时间域为例，介绍求解状态方程的时域解的计算过程。
1. 利用拉普拉斯变换求解假设我们有一个一阶线性连续时间不变系统，状态方程为：dx(t)/dt = A * x(t) + B * u(t)其中x(t)是一个列向量，u(t)是输入的标量，A和B是常数矩阵。
首先，我们将方程两边进行拉普拉斯变换，得到：sX(s) - x(0) = A * X(s) + B * U(s)其中X(s)和U(s)是x(t)和u(t)的拉普拉斯变换，s是拉普拉斯变换的复变量。
Chapter2状态方程的解我们要解决的问题是：在系统初始时刻0t t =时，初始状态为00)(x t x =的条件下，对该系统施加控制)(t u ，求出系统状态)(t x 的变化，即求解非齐次方程（0)(≠t u ）初值问题的解： 000)()()()()()(t t x t x t u t B t x t A t x≥=+=&或者在系统不加控制)(t u ，（0)(=t u 称为自由系统）的条件下，求出初值)(0t x 对系统状态)(t x 的影响，即求解齐次方程初值问题的解：000)(),()()(t t x t x t x t A t x ≥==&⇒⎩⎨⎧离散连续线性定常⇒⎩⎨⎧离散连续线性时变⎩⎨⎧⨯∆⇒⎩⎨⎧⨯∆数值解解析解非齐次数值解解析解齐次 2.1 线性定常系统状态方程的解2.1.1 n 阶、线性、定常（无关与时间t A ）连续系统齐次状态方程的解我们知道：常系数线性微分方程（标量方程）)()(t ax t x=&，0)0(x x =，0≥t 其解为 000!)(x k t a x e t x k kk at∑∞===对齐次状态方程（矩阵方程） )()(t Ax t x=&，0)0(x x =，0≥t 很自然，仿照常系数线性微分方程，可得到n 阶线性、定常、连续系统齐次（0)(=t u ）状态方程的解 000!)(x k t A x e t x k kk At∑∞=== 定义矩阵指数：k k k k k Att A k t A At I k t A e!121!220++++=≡∑∞=Λ，它仍是一个矩阵。
若初始时间为0t ，则状态方程的解为 0000)(!)()(0x k t t A x et x k kk t t A ∑∞=--==∑∞=--=00)(!)(0k kk t t A k t t A e称为定常（连续）系统的状态转移矩阵。
)(0t t A e -物理意义：将系统从初始状态)(0t x 转移到（时刻t 的）状态)(t x 。
2.1.2 矩阵指数At e 的性质（1）])[(11---=AsILe At称为频域求法或叫Laplace变换法；（2）Ie=0；（3）)(ττ+=⋅t AAAt eee；（4）AtAt ee--=1)(；（5）若矩阵BA、满足交换律BAAB=，则有t BABtAt eee)(+=（A、B可交换的充要条件是AB为反称矩阵，AA='称为对称矩阵，AA-='称为反称矩阵）对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==nnnnjiijaaaaaaΛMOMΛ1111；反称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=nnnnjiijaaaaaaΛMOMΛ1111（6）kAtkAt ee=)(；（7）AeAeedtdAtAtAt==；（8）设P是与A同阶的非奇异矩阵，则有PePe AtAPtP11-=-；图2-1 状态的传递性P31（9）传递性：对任意满足12ttt>>，有)()()(02112ttAttAttA eee---=⋅。
这表明状态轨线由t时刻的)(t x转移到2t时刻的)(2t x等于由t时刻的)(t x转移到1t时刻的)(1t x，再由1t时刻的)(1t x转移到2t时刻的)(2t x(参见图2-1)，故称)(0ttAe-为状态转移矩阵。
这意味着，状态方程的解可以任意分段求取，这就有可能避开对初始条件的处理，这是动态系统用状态空间法的又一优点。
而在经典控制理论中，用高阶微分方程描述的系统，求解时对初始条件的处理是非常麻烦的，一般都假设0)0()(==xt x去计算系统的响应。
2.1.3 矩阵指数At e的计算方法（1）定义法求Ate k kkkkAt tAktAAtIktAe!121!22++++==∑∞=Λ这种方法很适合计算机求（级数）数值解，由于!1k 的存在，可以取到任意精度，但不易求解析解，只有在A 是“幂零矩阵”的情况下才可求得解析解。
幂零矩阵：存在某一正整数k ，使得0=k A 称为k 次“幂零矩阵”。
A 为幂零矩阵的“充要条件”是A 的所有特征值为零：A AX λ=，0=i λ n i ,,2,1Λ=特例：A 为数字矩阵，即I A λλλ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O31P 例2-1：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000100010A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000001002A ，03=A ，3次“幂零矩阵”⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++=100102/1!21222t t t t A At I e At（2） Laplace 法求At e])[(11---=A sI L e At ，但当阶数较高时，求解1)(--A sI 较困难。
下面介绍法捷耶夫算法，给出递推公式。
nn n n nn n n b a s a s a s B s B s B s B A sI A sI A sI ++++++++=--=-------111122111)()(ΛΛ 03221)(11111=⎪⎩⎪⎨⎧=+==-=⇒=+--n k k k k k B nk Ia AB B nk AB tr ka I B 此时必有，，，，ΛΛ 计算顺序是：I B =1 trA a -=⇒1I a A B 12+=⇒ )(21)(211222A a A tr AB tr a +-=-=⇒I a A a A I a AB B 212223++=+=⇒ )(31)(31221333A a A a A tr AB tr a ++-=-=⇒01=⇒+n B Λ注意：tr 为矩阵之迹，即矩阵对角线元素之和；当01≠+n B 时，计算必有误。
例2-2 (32P )已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000100010A ，求])[(11---=A sI L e At 。
解：用法捷耶夫法计算nn n n nn n n a s a s a s B s B s B s B A sI ++++++++=-------111122111)(ΛΛ取I B =1，0)()(11=-=-=A tr AB tr aA I a AB B =+=112，000000010021)(2122=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=tr AB tr a⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=000000100223I a AB B ，0)(3133=-=AB tr a ; 0334=+=I a AB B⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--s s s s s ss s s A sI 1001101110000001000001000101000100011)(232231⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=---10010211100110111])[(2232111t t t s ss s s sL A sI L e At ，结果相同。
（3） Hamilton Cayley —（凯莱—哈密尔顿）法求At e将At e 展开成矩阵A 的多项式，然后根据A 的特征值情况求出展开系数。
11101)()()()(---=+++==∑n n k n k k AtA t A t I t A t eββββΛ)(t k β——110-=n i ，，，Λ是待定系数，问题的关键是求出待定系数)(t k β。
（3a ）先求出A 的特征值，当A 有n 个不同特征值n λλλ，，，Λ21情况下，可以用如下方法求展开系数)(t k β n i t ekin k k ti ，，，Λ21)(1==∑-=λβλ写成分列式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++==+++==+++=------ni t t t e i t t t ei t t t e n n n n t n n t n n t n )()()(2)()()(1)()()(111011212011111021βλβλββλβλββλβλβλλλΛMΛΛ这里共有n 个方程，可以唯一确定n 个待定系数)(t k β。
（3b ）先求出A 的特征值，当A 有p 个单特征值p λλ，，...1，r 个重特征值，1+p λr p +λ，...，重数分别为r m m m ，，，...21情况下，可用如下方法求系数)(t k β48476p p λλ...1，4484476111...m p p ++λλ，┅，4484476rm r p r p ++λλ... ，n m m m p r =+++ (21)对单根情况，按（3a ）方法求解待定系数)(t k β。
但在重根情况下，我们不能得到相应个数的独立方程，不能求出待定系数)(t k β。
先固定一个j m 重特征值j λ，j λ满足的方程kj n k k tt ej λβλ∑-==1)(有一个，再对j λ求1-j m 次导数得到1-j m 个方程，这样一共得到j m 个独立的方程，（必须先求对j λ求导，再代入j λ的值）这样又可以唯一的求出待定系数)(t k β。
例2-3 (37P ) Ate A ，求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2110 解：先求A 的特征值 0)1(1221122=+=++=+-=-λλλλλλA I ，121-=，λtt t tt t te t te t t t d dd de e t t e t t t t e ---=⇒=⇒+=+=⇒=-⇒+=)()()]()([)1()()()()()(1111011010110111βββλβλλββββλβλλλ t t t Ate t t t t e t t t e t t A t I t e ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=11201001)()(10ββ （4） 特征值与特征向量法求At e （略，自己看书）2.1.4 线性、定常、连续、非齐次（0)(≠t u ）状态方程的解前面已经求出齐次方程)()(t x A t x⋅=&，00)(x t x =，0t t ≥的解为 0000)(!)()(0x k t t A x et x k kk t t A ∑∞=--==对非齐次状态方程：000)()()()(t t x t x t Bu t Ax t x ≥=+=，&将上述状态方程左乘At e - )()()(t Bu e t Ax e t xe At At At ---+=& 移项得 )]([)()()()()(t x e dtd t x dt de dt t dx et x A et x et Bu eAt At AtAtAtAt------=⋅+⋅=-=& 积分、移项并左乘At e ，得非齐次状态方程的解为⎰--+=tt A t t A d Bu e x et x 0)(0)()()(0τττ物理意义： 自由系统（只有初条件作用）的解+强迫项)(t u 作用的解。
