2015唐山三模 河北省唐山市2015届高三第三次模拟考试数学(理)试题 扫描版含答案

河北省唐山市2015届高三摸底考试数学〔理〕试题说明：1．本试卷分为第1卷和第2卷，第1卷为选择题，第2卷为非选择题，分为必考和选考两个局部.2．答题前请仔细阅读答题卡上的“须知事项〞，按照“须知事项〞的规定答题.3．做选择题时，每一小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的项目符号涂黑，如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案.4．考试完毕后，将本试卷与原答题卡一并交回.第1卷一、选择题(本大题共12小题，每一小题5分，共60分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1、集合M ＝{x |x ≥－1}，N ＝{x |2－x 2≥0}，如此M ∪N ＝( )A .[－1，＋∞)B .[－1]C .[，＋∞)D .(]∪[－1，＋∞)2、复数z ＝1312i i-+，如此( )A .|z |＝2B .z 的实部为1C .z 的虚部为－iD .z 的共轭复数为－1＋i3、函数f (x )＝222x x--是( )A .偶函数，在(0，＋∞)是增函数B .奇函数，在(0，＋∞)是增函数C .偶函数，在(0，＋∞)是减函数D .奇函数，在(0，＋∞)是减函数4、抛物线y ＝2ax 2(a ≠0)的焦点是( )A .(2a ，0)B .(2a ，0)或(－2a ，0)C .(0，18a)D .(0，18a)或(0，－18a)5、1sin()44x π-=，如此sin 2x 的值为( )A .78B .916C .1516D .1516±6、高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，甲乙相邻，如此甲丙相邻的概率为( )A .13B .23C .12D .167、设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，如此|a －tb |(t ∈R )的最小值为( )A .32B .12C .1D .28、a ＞0，x ，y 王满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，且z ＝2x ＋y 的最小值为1，如此a ＝( )A .1B .2C .14D .129、执行如下列图的程序框图，如此输出的a ＝( )A .5B .54C .14-D .4510、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移2π个单位长度，所得图象关于6x π=对称，如此ω的最小值是( )A .6B .23C .94D .3411、a ＞0，且a ≠1，如此函数f (x )＝a x ＋(x －1)2－2a 的零点个数为( )A .1B .2C .3D .与a 有关12、某几何体的三视图如下列图，如此该几何体的外接球的球面面积为( )A .5πB .12πC .20πD .8π第2卷二、填空题：本大题共4小题，每一小题5分，共20分 13、8(2)x y -的展开式中62x y 的系数是___________.14、实数x ，y 满足x ＋2y ＝2，如此3x＋9y的最小值是________________.15、双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线l ：30x y +=垂直，C 的一个焦点到l 的距离为1，如此C 的方程为__________________. 16、在△ABC 中，2AB =，点D 在边BC 上，2BD DC =，310cos 10DAC ∠=，25cos 5C ∠=，如此AC ＋BC ＝_________________.三、解答题：本大题共70分，其中(17)－(21)题为必考题，(22)，(23)，(24)题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

唐山市2014—2015学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：CABAB BDCACDC B 卷：CABCC BDCABDA 二、填空题：（13）5；（14）6； （15）16π； （16）[4，12]． 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）当n ＝1时，由(1－q )S 1＋qa 1＝1，a 1＝1．当n ≥2时，由(1－q )S n ＋qa n ＝1，得(1－q )S n －1＋qa n －1＝1，两式相减得 a n ＝qa n －1，又q (q －1)≠0，所以{a n }是以1为首项，q 为公比的等比数列，故a n ＝q n －1． …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S n ＝1－a n q 1－q ，又S 3＋S 6＝2S 9，得1－a 3q 1－q ＋1－a 6q 1－q ＝2(1－a 9q )1－q， 化简得a 3＋a 6＝2a 9，两边同除以q 得a 2＋a 5＝2a 8．故a 2，a 8，a 5成等差数列． …12分（18）解：（Ⅰ）设“甲恰得一个红包”为事件A ，P (A )＝C 12× 1 3× 2 3＝ 4 9． …4分（Ⅱ）X 的所有可能值为0，5，10，15，20． P (X ＝0)＝ ( 2 3)2× 2 3＝827， P (X ＝5)＝C 12× 1 3×( 2 3)2＝827， P (X ＝10)＝( 1 3)2× 2 3＋( 2 3)2× 1 3＝627， P (X ＝15)＝C 12×( 1 3)2× 2 3＝427， P (X ＝20)＝( 1 3)3＝127． …10分 X 的分布列： E (X )＝0×827＋5×827＋10×627＋15×427＋20×127＝203． …12分（19）解：（Ⅰ）证明：连AC 1，CB 1，则△ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形．取CC 1中点O ，连OA ，OB 1，则CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1，则CC 1⊥平面OAB 1，则CC 1⊥AB 1． …4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA ＝OB 1＝3，又AB 1＝6，所以OA ⊥OB 1．如图所示，分别以OB 1，OC 1，OA 为正方向建立空间直角坐标系， 则C (0，－1，0)，B 1(3，0，0)，A (0，0，3)， …6分 设平面CAB 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 因为AB 1→＝(3，0，－3)，AC →＝(0，－1，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3×x 1＋0×y 1－3×z 1＝0，0×x 1－1×y 1－3×z 1＝0，取m ＝(1，－3，1)． …8分 设平面A 1AB 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 因为AB 1→＝(3，0，－3)，AA 1→＝ (0，2，0)，所以⎩⎨⎧3×x 2＋0×y 2－3×z 2＝0，0×x 1＋2×y 1＋0×z 1＝0，取n ＝(1，0，1)． …10分 则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝25×2＝105，因为二面角C -AB 1-A 1为钝角， 所以二面角C -AB 1-A 1的余弦值为－105． …12分 （20）解：（Ⅰ）设AB 的中点为M ，切点为N ，连OM ，MN ，则|OM |＋|MN |＝|ON |＝2，取A 关于y 轴的对称点A '，连A 'B ，故|A 'B |＋|AB |＝2(|OM |＋|MN |)＝4．所以点B 的轨迹是以A '，A 为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1，则曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1． …5分 （Ⅱ）因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ，则OB →⊥AB →．设B (x 0，y 0)，则x 0(x 0－3)＋y 02＝0． …7分又x 024＋y 02＝1 解得x 0＝23，y 0＝±23． 则k OB ＝±22，k AB ＝错误！未找到引用源。

河北省唐山市2015届中考数学三模试卷一、选择题（本大题共16个小题，1-6小题，每题2分，7-16小题，每题3分，共42分）1．（2分）某市一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）A．﹣10℃B．﹣6℃C．10℃D．6℃2．（2分）计算﹣（﹣3a2b3）4的结果是（）A．81a8b12B．12a6b7C．﹣12a6b7D．﹣81a8b123．（2分）如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG=2，则CF的长为（）A．4B．4.5 C．5D．64．（2分）在平面直角坐标系中，已知点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称，那么（m+n）2015的值为（）A．﹣1 B．1C．﹣72015D．720155．（2分）下列四个点中，有三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个函数图象上的点是（）A．（5，1）B．（﹣1，5）C．（，3）D．（﹣3，﹣）6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的纵坐标是﹣1，则顶点A的坐标是（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，1）7．（3分）用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．三棱柱D．正方体8．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，ax2+bx+c=m有实数根的条件是（）A．m≥﹣2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞49．（3分）小新抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果他第四次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为（）A．B．C．1D．10．（3分）下列说法中，完全正确是（）A．从1，2，3，4，5这五个数字中任取一个数，取到奇数的可能性较大B．抛掷一枚均匀的硬币，正面一定朝上C．三条任意长的线段都可以组成一个三角形D．打开电视机，正在转播足球比赛11．（3分）如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若AB=4，AE=1，则BH的长为（）A．1B．2C．3D．312．（3分）十堰市五堰商场为了增加销售额，推出“五月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡五月份在该商场一次性购物超过50元以上者，超过50元的部分按9折优惠”．在大酬宾活动中，李明到该商场为单位购买单价为30元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（）A．y=27x（x＞2）B．y=27x+5（x＞2）C．y=27x+50（x＞2）D．y=27x+45（x＞2）13．（3分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（）A．90°B．180°C．210°D．270°14．（3分）已知有一根长为10的铁丝，折成了一个矩形框．则这个矩形相邻两边a，b之间函数的图象大致为（）A．B．C．D．15．（3分）如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使A 点落在A1处，D点落在D1处，若∠1=40°，则∠BMC=（）A．135°B．120°C．100°D．110°16．（3分）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．36二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）17．（3分）计算（+1）（）=．18．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标O（0，0）、A（3，4）、B（5，2）．将△OAB绕原点O按逆时针方向旋转90°后得到△OA1B1，则点A1的坐标是．19．（3分）如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A（1，0）与点A′（﹣2，0）是对应点，△ABC的面积是，则△A′B′C′的面积是．20．（3分）如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置．若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为cm．河北省唐山市2015届中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共16个小题，1-6小题，每题2分，7-16小题，每题3分，共42分）1．（2分）某市一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）A．﹣10℃B．﹣6℃C．10℃D．6℃考点：有理数的减法．分析：用最高温度减去最低温度，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．解答：解：2﹣（﹣8）=2+8=10℃．故选C．点评：本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．2．（2分）计算﹣（﹣3a2b3）4的结果是（）A．81a8b12B．12a6b7C．﹣12a6b7D．﹣81a8b12考点：幂的乘方与积的乘方．分析：根据积的乘方的性质：积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算后直接选取答案．解答：解：﹣（﹣3a2b3）4=﹣34a8b12=﹣81a8b12．故选D．点评：本题考查了积的乘方和幂的乘方的运算法则，应注意运算过程中的符号．3．（2分）如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG=2，则CF的长为（）A．4B．4.5 C．5D．6考点：三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：根据已知利用相似三角形的判定可得到△EFG∽△BCG，根据相似比可求得CG的长，从而不难求得CF的长．解答：解：∵点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点∴EF=BC，EF∥BC∴△EFG∽△BCG，且相似比为1：2∴CG=2FG=4∴CF=FG+CG=2+4=6．故选D．点评：此题主要考查三角形的中位线的定理和相似三角形的判定方法的掌握．4．（2分）在平面直角坐标系中，已知点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称，那么（m+n）2015的值为（）A．﹣1 B．1C．﹣72015D．72015考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．解答：解：由点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称，得n=3，m=﹣4．（m+n）2015=（3﹣4）2015=﹣1，故选：A．点评：本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．5．（2分）下列四个点中，有三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个函数图象上的点是（）A．（5，1）B．（﹣1，5）C．（，3）D．（﹣3，﹣）考点：反比例函数图象上点的坐标特征．专题：压轴题．分析：由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，所以判断点是否在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与k相等就可以了．解答：解：A、k=5×1=5，故在函数图象上；B、k=﹣1×5=﹣5≠5，故不在函数图象上；C、k=×3=5，故在函数图象上；D、k=﹣3×（﹣）=5，故在函数图象上．故选B．点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的纵坐标是﹣1，则顶点A的坐标是（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，1）考点：菱形的性质；坐标与图形性质．分析：点A的横坐等于OC的长的一半，点A的纵坐标与点B的纵坐标互为相反数．解答：解：∵点C的坐标为（4，0），∴OC=4，∴点B的纵坐标是﹣1，∴A（2，1）．故选D．点评：本题综合考查了菱形的性质和坐标的确定，综合性较强．7．（3分）用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．三棱柱D．正方体考点：截一个几何体．分析：看所给选项的截面能否得到三角形即可．解答：解：A、圆柱的截面可能是圆，长方形，符合题意；B、圆锥的截面可能是圆，三角形，不符合题意；C、三棱柱的截面可能是三角形，长方形，不符合题意；D、正方体的截面可能是三角形，或四边形，或五边形，或六边形，不符合题意；故选A．点评：本题考查常见几何体的截面的形状，注意正方体的截面经过几个面就可得到几边形．8．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，ax2+bx+c=m有实数根的条件是（）A．m≥﹣2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞4考点：抛物线与x轴的交点．专题：数形结合．分析：根据题意利用图象直接得出m的取值范围即可．解答：解：一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根，可以理解为y=ax2+bx+c和y=m有交点，可见，m≥﹣2，故选：A．点评：此题主要考查了利用图象观察方程的解，正确利用数形结合得出是解题关键．9．（3分）小新抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果他第四次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为（）A．B．C．1D．考点：概率公式．专题：应用题．分析：本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．解答：解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是．故选A．点评：明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10．（3分）下列说法中，完全正确是（）A．从1，2，3，4，5这五个数字中任取一个数，取到奇数的可能性较大B．抛掷一枚均匀的硬币，正面一定朝上C．三条任意长的线段都可以组成一个三角形D．打开电视机，正在转播足球比赛考点：随机事件．分析：根据概率的意义，可判断A，根据随机事件，可判断B、D，根据三角形三边的关系，可判断C．解答：解：A、从1，2，3，4，5这五个数字中任取一个数，取到奇数的可能性是，故A正确；B、抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件，故B错误；C、三角形任意两边之和大于第三边，故C错误；D、打开电视机，正在转播足球比赛是随机事件，故D错误；故选：A．点评：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．11．（3分）如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若AB=4，AE=1，则BH的长为（）A．1B．2C．3D．3考点：正方形的性质；等腰直角三角形．专题：几何图形问题．分析：求出BE的长，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形求出四边形EFCH 平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得EF=CH，再根据正方形的性质可得AB=BC，AE=EF，然后求出BH=BE即可得解．解答：解：∵AB=4，AE=1，∴BE=AB﹣AE=4﹣1=3，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴AD∥EF∥BC，又∵EH∥FC，∴四边形EFCH平行四边形，∴EF=CH，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴AB=BC，AE=EF，∴AB﹣AE=BC﹣CH，∴BE=BH=3．故选：C．点评：本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记性质并求出四边形EFCH平行四边形是解题的关键，也是本题的难点．12．（3分）十堰市五堰商场为了增加销售额，推出“五月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡五月份在该商场一次性购物超过50元以上者，超过50元的部分按9折优惠”．在大酬宾活动中，李明到该商场为单位购买单价为30元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（）A．y=27x（x＞2）B．y=27x+5（x＞2）C．y=27x+50（x＞2）D．y=27x+45（x＞2）考点：根据实际问题列一次函数关系式．专题：应用题．分析：容易知道y大于50，所以应付货款分成两部分，一部分原价付款，一部分按9折优惠．应付货款y（元）=50+超过50的部分．解答：解：∵x＞2，∴销售价超过50元，超过部分为30x﹣50，∴y=50+（30x﹣50）×0.9=27x+5（x＞2），故选B．点评：此题主要考查利用一次函数解决实际问题，找到所求的量的等量关系是解决问题的关键．13．（3分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（）A．90°B．180°C．210°D．270°考点：平行线的性质．分析：根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B+∠C=180°，从而得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．解答：解：∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∴∠4+∠5=180°，根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，∴∠1+∠2+∠3=360°﹣180°=180°．故选B．点评：本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．14．（3分）已知有一根长为10的铁丝，折成了一个矩形框．则这个矩形相邻两边a，b之间函数的图象大致为（）A．B．C．D．考点：反比例函数的应用．专题：压轴题．分析：写出a，b的函数关系式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可求解．解答：解：根据题意有：a+b=5；故a与b之间的函数图象为一次函数，且根据实际意义a、b应大于0．其图象在第一象限；故选B．点评：根据数学意义，确定变量间的关系式及函数关系，再根据实际意义，确定其图象应在的象限．15．（3分）如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使A 点落在A1处，D点落在D1处，若∠1=40°，则∠BMC=（）A．135°B．120°C．100°D．110°考点：翻折变换（折叠问题）；角平分线的性质；矩形的性质．专题：计算题；压轴题．分析：利用折叠的性质，相重合的角相等，然后利用平角定理求出角的度数．解答：解：若∠1=40°，∴∠AMA1+∠DMD1=180﹣40=140°．∴∠BMA1+∠CMD1=70°．∴∠BMC=∴∠BMA1+∠CMD1+∠1=110°．故选D．点评：解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．16．（3分）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．36考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，再根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．解答：解：∵直线M为∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠CBP．∵直线L为BC的中垂线，∴BP=CP，∴∠CBP=∠BCP，∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，即3∠ABP+60°+24°=180°，解得∠ABP=32°．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）17．（3分）计算（+1）（）=2．考点：二次根式的混合运算．分析：根据平方差公式求解．解答：解：原式=3﹣1=2．故答案为：2．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握平方差公式．18．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标O（0，0）、A（3，4）、B（5，2）．将△OAB绕原点O按逆时针方向旋转90°后得到△OA1B1，则点A1的坐标是（﹣4，3）．考点：坐标与图形变化-旋转．分析：根据旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状，因此所得图形与原图形全等．解答：解：做A1M⊥x轴于点M，AN⊥x轴于点N，易得△A1MO≌△ONA，∵A（3，4），∴A1的坐标是（﹣4，3）．点评：此题考查了中心对称的两点的坐标之间的关系：（a，b）绕原点旋转逆时针90°后的点的坐标为（﹣b，a）．19．（3分）如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A（1，0）与点A′（﹣2，0）是对应点，△ABC的面积是，则△A′B′C′的面积是6．考点：位似变换．专题：压轴题．分析：根据△ABC和△A′B′C′的位似比是1：2，可利用相似三角形面积比等于相似比的平方求得△A′B′C′的面积是6．解答：解：∵点A（1，0）与点A′（﹣2，0）是对应点，原点O是位似中心∴△ABC和△A′B′C′的位似比是1：2∴△ABC和△A′B′C′的面积的比是1：4又∵△ABC的面积是，∴△A′B′C′的面积是6．点评：本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．20．（3分）如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置．若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为4πcm．考点：正多边形和圆；弧长的计算；旋转的性质．分析：每次滚动正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转60°，然后计算出弧长，最后乘以六即可得到答案．解答：解：根据题意得：每次滚动正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转60°，正六边形的中心O运动的路程∵正六边形的边长为2cm，∴运动的路径为：=；∵从图1运动到图2共重复进行了六次上述的移动，∴正六边形的中心O运动的路程6×=4πcm故答案为：4π．点评：本题考查了正多边形和圆的、弧长的计算及旋转的性质，解题的关键是弄清正六边形的中心运动的路径．。

河北省唐山市2015届高三理综第三次模拟考试试题（扫描版）唐山市2014—2015学年度高三年级第三次模拟考试 理科综合能力测试参考答案及评分参考 物理部分（共110分） ．（1）ACD(3（2）错误!未找到引用源。

(3分)23．(2) R2=15.0Ω U=1.10V (3) E=1.4V r=（0.70～0.80）Ω (4) W=0.25～0.34W ((2)(3)小题每空2分，（4）1分)24．解析：设窗户的高度为x1，如图可知错误!未找到引用源。

…………….. 2分设棒到三层窗户上檐时速度为v ，由运动学公式可得：错误!未找到引用源。

………… 2分 v=11.5m/s …………….. 2分设棒从楼顶运动到三层窗户上檐的位移为x2，由运动学公式可得：错误!未找到引用源。

………2分三层以上楼房高度为x3=x2-H1…………….. 2分整栋楼房的高度为H=3（H1+H2+x1）+x3…………….. 2分 H=15.1m …………….. 2分 25．解：(1)设粒子在磁场B2中做圆周运动的半径为r2由牛顿第二定律 qvB2 = 错误!未找到引用源。

…………….1分 ∴ r2 = 错误!未找到引用源。

…………….1分粒子在磁场B2中运动半周后竖直向上进入磁场B1中，当运动轨道与y 轴相切时刚好能返回磁场B2中，此时圆周运动的半径r1恰等于r2…………….1分 由牛顿第二定律 qvB1 = 错误!未找到引用源。

…………….1分 ∴ r1 = 错误!未找到引用源。

…………….1分 ∴ B1 = B2即磁场B1需满足B1 ≥ B2，粒子才能再次返回磁场B2中。

…………….1分 (2)粒子在两个磁场中周期相同T = 错误!未找到引用源。

= 错误!未找到引用源。

…………….1分 第一次在磁场B2中，圆心角θ3=π…………….1分在磁场B1中，∠O ′CD 为等腰三角形，∠O ′CD =θ1 = ，则圆心角θ4 = ….….1分 粒子再次返回磁场B2中，又做圆周运动，弦切角为30º，则圆心角θ5 = ……….1分 粒子再次离开磁场B2后，速度方向与op 平行，不再进入磁场中，则运动总时间为 t = T = 错误!未找到引用源。

唐山市2013—2014学年度高三年级第三次模拟考试 理科数学 一、选择题： BDAACBCBADB B卷：BCDAABCDBAAD 二、填空题： y－2＝0（14）x2＋(y－2)2＝3 （15）＝ta（16） 三、解答题： （Ⅰ）在△BDE中，＝， ADF中，F＝＝…4分 由taDEF＝＝tanθ＝， 所以θ60(．…6分 （Ⅱ）SDE·DF＝＝ ＝＝…10分 当θ45(时，S取最小值＝…12分 （Ⅰ）因为平面1ACC1⊥平面BC，C⊥BC，所以⊥平面1ACC1， 所以1A⊥BC． 因为A1B⊥C1C，1A∥C1C，A1A⊥A1B， A1A⊥平面A1BC，所以1A⊥A1C．…5分 （Ⅱ）建立如图所示的坐标系-xyz． 设AC＝＝因为1A＝ 则A(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(1，0，1)，C(0，0，0) ＝(0，2，0)，＝(1，0，1)，＝＝－2，2，0) 设n1＝a，b，c)为面1C的一个法向量，则n1·＝1·＝ 则取1＝1，0，－1) 同理，面1CB1的一个法向量为n2＝1，1，－1)…9分 所以cos(n1，2(＝＝， 故-A1C-B1的余弦值为．…12分 （19）解： （Ⅰ）记事件：“一顾客购买一件饮品获得i等奖”为Ai，i＝1，2，则 P(A1)＝＝P(A2)＝＝ 则 P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝．…4分 故一顾客一次购买两件饮品，至少有一件获得奖励的概率 p＝1－(1－2＝．…6分 （Ⅱ）设一顾客每购买一件饮品所得奖金额为X元，则X的可能取值为x，，0P(X＝x)＝，PX＝＝E(x)＝＋＝…9分 该商场每天销售这种饮品所得平均利润 Y＝y[(36－20)－E(x)]＝(＋24(16－)＝－(x－48)2＋32． 当＝8时，最大…12分 （20）解： （Ⅰ）抛物线C的准线x＝－，依题意M4－4)， 则42＝2p(4－，4． 故抛物线C的方程为y2＝8x，点M的坐标为(2，4…3分 （Ⅱ）设A(，y1B(，y2 直线MA的斜率k1＝＝，同理直线2＝ 由题设有＋＝0，整理得y1＋y2＝－8 直线AB的斜率k＝＝＝－1…6分 设直线AB的方程为y＝－x＋b 由点M在直线AB的上方得＞－2＋b，则＜6得2＋8y－8b＝0． 由Δ0，得2．于是b＜6．…9分 |y1－y2|＝＝4， 于是AB|＝y1－y2|＝8． 点M到直线＝，则MAB的面积S＝AB|·d＝2f(b)＝(b＋2)(6－b)2b)＝6－b)2－3b) 当b∈(－)时，＞0；∈(，6)时，＜0 当b＝时，f(b)最大，从而S取得最大值…12分 （21）解： （Ⅰ）h(x)＝f(x)－g(x)＝x－1－x，h＝x－ 当x∈(－∞，0)时，h＜0，h(x)单调递减； ∈(0，＋∞)时，h＞0，h(x)单调递 当＝0时，h(x)取最小值h(0)＝0…4分 （Ⅱ）f()g(－]k＞1－即[(1－]k＞1－① 由f()－g)≥0，即≥1＋ 又1－＞0，则(1－＞1＋1－＝1－＞0 所以[e(1－]k＞1－k．②…7分 设φ(t)＝1－tk－1＋kt∈[0，1] 由k＞1知，∈(0，1)时，φ＝－k(1－t)k－1＋k＝k[1－(1－t)k]＞0， φ(t)在[0，1]单调递增，当∈(0，1)时，φ(t)＞φ(0)＝0 因为∈(0，1)，所以φ)＝1－k－1＋k＞0， 因此不等式②成立，从而不等式…12分 （22）解： （Ⅰ）连结OA，则OA＝OD，所以∠OAD＝ODA， 又∠ODA＝DE，所以∠ADE＝OAD，所以OA∥即CE． 因为AE⊥CE，所以OA⊥AE． 所以O的切线…5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE∽△BDA， 所以＝，即＝，则＝ 所以ABD＝30(，从而∠DAE＝30(， 所DE＝AEtan30(＝． 由切割线定理，得2＝ED·EC， 所以4(＋CD，所以．…10分 （23）解： （Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1，即＋sin2θ＝ 在极坐标系中，设M(ρ，θ)，P(ρ1，α)，则 ，ρ1，α．① 因为点P在曲线C1＋sin2α＝② 由①②得曲线C2的极坐标方程为＝＋…6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ＝(1＋3sin2 因为的取值范围是[，]OM|的取值范围是[2，4]…10分 （24）解： （Ⅰ）记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝ 由－＜－2x－1＜－＜＜＝－，…3分 所以|a＋b|a|＋b|＜＋＝…6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得a2＜，b2． 因为1－4ab|2－4|a－b|2＝1－8ab＋2b2)－4(a2－2ab＋b2) ＝4a2－1(4b2－1)＞0，…9分 1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|．…10分 ： ：。

2015年河北省唐山市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．集合{}1,0,1,2,3,A =-，{}2,1,0,1B =--，则图中阴影部分表示的集合为_____. IBA A ．{}1,0,1-B ．{}2,3C ．{}2,2,3-D ．{}1,0,1,2,3-考点：Veen 图表达集合的关系及运算．菁优网版权所有分析：由图象可知阴影部分对应的集合为()A C B ，然后根据集合的基本运算求解即可．解答：解：由Veen 图可知阴影部分对应的集合为()A C B ，{}1,0,1,2,3A =- ，{}2,1,0,1B =--，{}2,1,0,1C B x x x x x ∴=≠-≠-≠≠ ，即(){}2,3A C B = ，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，根据图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础． 2．i 为虚数单位，()()21i 1i z =- +，则z =______.答案：DA ．1B ．2CD ．考点： 复数求模．菁优网版权所有专题： 数系的扩充和复数． 分析： 通过设i z a b =+，可得i z a b =- ，利用()()21i 1i z =- +，可得1i z =-- ，进而可得结论．解答： 解：设i z a b =+，则i z a b =- ， ()()21i 1i z =- +，()()()()22221i 2i 1i 12i i 2i 2i 2i 22i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 11z --------∴=======---- ++++++， 1i z ∴=-+，∴=，故选：C ．点评： 本题考查求复数的模，注意解题方法的积累，属于基础题．3．已知随机变量ξ服从正态分布()2,1N ，若()30.023P ξ>=，则()13P ξ<=≤______.A ．0.046B ．0.623C ．0.977D ．0.954答案：D考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有专题：计算题；概率与统计．分析：随机变量ξ服从正态分布()2,1N ，得到曲线关于2x =对称，根据曲线的对称性得到()()13123P P ξξ<=->≤，从而得到所求．解答：解：随机变量ξ服从正态分布()2,3N ，∴曲线关于2x =对称，()()131230.954P P ξξ∴=->=≤≤，故选：D ．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．4..执行如图所示的程序框图，结果是_____.A ．6581B ．1927C ．59D ．13答案：A考点：程序框图．菁优网版权所有专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，a ，S 的值，当i 4=时满足条件i 3>，退出循环，输出S 的值为6581． 解答：解：模拟执行程序框图，可得 0S =，i 0=i 1=13a =，13S =， 不满足条件i 3>，i 2=，29a =，59S =不满足条件i 3>，i 3=，427a =，1927S = 不满足条件i 3>，i 4=，881a =，6581S = 满足条件i 3>，退出循环，输出S 的值为6581． 故选：A ．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i ，a ，S 的值是解题的关键，属于基础题．5．等差数列{}n a 中，35a =，4822a a =+，则的前20项和为____.A ．400B ．410C ．420D ．430答案：A考点：等差数列的前n 项和．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质结合4822a a =+求得6a ，再结合35a =求得公差，进一步求得首项，代入等差数列的前n 项和公式得答案．解答：解：在等差数列{}n a 中，由4822a a =+，得6222a =，611a ∴=，又35a =，则631152633a a d --===-， 1325221a a d ∴=-=-⨯=． 则20201922014002S ⨯⨯=⨯=+． 故选：A ．点评：本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础的计算题．6．M 为抛物线28y x =上一点，F 为抛物线的焦点，120MFO ∠=︒（O 为坐标原点），()2,0N -，则直线MN 的斜率为______.A ．13±B ．12± C ． D ． 答案：C考点：抛物线的简单性质．菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用cos120FM FO FM FO ⋅∴︒= 计算可得(6,M ±，进而可得结论． 解答： 解：设21,8M y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题可知()2,0F ， 21,8FM y y ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，()2,0FO =- ，221414cos120=12228y FM FO FM FO y -⋅∴︒==-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭+，解得y =±(6,M ∴±，又()2,0N - ，MN k ∴== 故选：C ．点评：本题考查抛物线中直线的斜率，注意解题方法的积累，属于中档题．7．已知函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()sin2g x x =，将函数()f x 的图象经过下列哪种可以与()g x 的图象重合______. A ．向左平移π12个单位 B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π12个单位 D ．向右平移π6个单位 答案：C考点：函数()sin y A x ωφ=+的图象变换．菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，可得结论．解答：解：把函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移π12个单位， 可得函数()πππcos 2cos 2sin 21232y x x x g x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 故选：C ．点评：本题主要考查()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，属于基础题．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.俯视图侧视图正视图A ．()2π13+B ．()4π13+C ．41π32⎛⎫ ⎪⎝⎭+ D ．21π32⎛⎫ ⎪⎝⎭+ 答案：A考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体为半球与四棱锥的组合体，利用体积公式，即可求出几何体的体积．解：几何体为半球与四棱锥的组合体，由题意，体积为()214112π12211=π123323⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++． 故选：A ．点评：本题考查几何体的体积，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键．9．实数x ，y 满足10330390x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪-⎩+≥+≥+≤，若z ax y =+的最大值为23a +，则a 的取值范围是______.A ．[]3,1-B ．[]1,3-C ．(],1-∞D ．[)3,∞+答案：B考点：简单线性规划．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由10390x y x y -=⎧⎨-=⎩++，解得23x y =⎧⎨=⎩， 即()2,3A ，若z ax y =+的最大值为23a +，即A 是函数取得最大值的最优解，由z ax y =+得y ax z =-+，即目标函数的斜率k a =-，要使是函数取得最大值的最优解，若0a =，y z =，满足条件，若0a ->，则满足1a -≤，即0a <，且1a -≤，此时10a -<≤，若0a ->，则满足3a --≥，即0a <，且3a ≤，此时03a <≤，综上13a -≤≤，故选：B ．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．异面直线l 与m 所成的角为π3，异面直线l 与n 所成的角为π4，则异面直线m 与n 所成角的范围是_____. A ．ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π7π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：B异面直线及其所成的角．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，把直线m ，n 分别平移，可得异面直线m 与n 所成角的范围．解答：解：如图所示，把直线m ，n 分别平移，可得异面直线m 与n 所成角的范围是：ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 故选：B ．点评：本题考查了异面直线的夹角、平移法，考查了空间想象能力与推理能力，属于中档题．11．函数()e x f x a -=+，()ln g x x =，若1x ，2x 都满足()()f x g x =，则_____.A ．12e x x ⋅>B ．121e x x <⋅<C ．1120e x x -<⋅<D ．112e 1x x -<⋅<答案：D考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：画出图象得出()()11f x g x =，()()22f x g x =，11x >，201x <<，利用图象得出范围12121e e ln 0x x x x ---<-=<，求解即可得出112e 1x x -<<．解答：解： 函数()e x f x a -=+，()ln g x x =，()()11f x g x = ，()()22f x g x =，11x >，201x <<11e ln x a x -∴=+，22e ln x a x -=-+，即12121e e ln 0x x x x ---<-=<，112e 1x x -<<，故选：D ．点评：本题考查了函数的性质，函数的零点的求解，学生运用函数图象解决问题的能力，观察变化的能力，属于中档题．12．关于曲线2233:1C x y =+，给出下列四个命题：A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 有且只有两条对称轴C ．曲线C 的周长1满足1≥．曲线C 上的点到原点的距离的最小值为12上述命题中，真命题的个数是______..A ．1 B ．2 C ．3 D ．4考点：曲线与方程．菁优网版权所有专题：综合题；函数的性质及应用；推理和证明．分析：利用曲线方程的特点结合曲线的图象分别进行判断即可．解答：解：把曲线C 中的(),x y 同时换成(),x y --，方程不变，∴曲线C 关于原点对称，即A 正确； 曲线方程为22331x y =+，交换x ，y 的位置后曲线方程不变，∴曲线C 关于直线y x =对称，同理，y x =-，x ，y 轴是曲线的对称轴，即B 不正确；在第一象限内，因为点,⎝⎭在曲线上，由图象可知曲线在直线1y x =-+的下方，且为凹函数如图： 由以上分析可知曲线C 周长1满足1≥ 曲线C上的点到原点的距离的最小值为,⎝⎭到原点的距离，为，即D 不正确． 故选：B ．点评：本题主要考查曲线方程的性质的判断和推理，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性较强难度较大．二、填空题13．设*n ∈N ，()3nx +展开式的所有项系数和为256，则其二项式系数的最大值为_____．（用数字作答） 答案：6考点：二项式系数的性质．菁优网版权所有专题：二项式定理．分析：由题意求得n ，再由二项式系数的性质求得其二项式系数的最大值．解答：解：由()3nx +展开式的所有项系数和为256，得4256n =，即4n =． ()()433n x x ∴=++，其展开式中有5项，其中二项式系数最大的是第3项，二项式系数的最大值为246C =．故答案为：6．点评：本题考查二项式系数的性质，考查了二项展开式的二项式系数和项的系数，是基础题． 14．向量a ，b 满足21a a b a b === ++，则b = ______.考点：平面向量数量积的运算．菁优网版权所有专题：平面向量及应用．分析： 将已知等式平方，展开变形得到32a b ⋅=- ，22b a b =-⋅ ． 解答： 解：因为21a a b a b === ++，所以22221a a b a b === ++，展开整理得到32a b ⋅=- ，22b a b =-⋅ ，所以b点评：本题考查了平面向量的数量积公式的运用以及向量模的求法；属于基础题．15．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，145m S -=，93m S =，1189m S -=，则m =_______．答案：5考点：等比数列的前n 项和．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和1m m m a S S -=-求出公比q ，利用等比数列的通项公式、前n 项和公式列出方程组，求出m 的值． 解答：解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比是q ，因为145m S -=,93m S =,1189m S =+，所以148m m m a S S -=-=，1196m m m a S S =-=++， 则12m ma q a ==+， 所以()1111248124512m m a a --⎧⋅=⎪⎨-=⎪⎩-，解得5m =， 故答案为：5．点评：本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式的应用，以及方程思想，属于基础题．16．F 是双曲线22:14y x Γ-=的右焦点，Γ的右支上一点P 到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点Q 满足FP PQ λ= ，则λ=______．答案：4 考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设(),P m n ，0m >，代入双曲线方程，再由点到直线的距离公式，解方程可得P 的坐标，再设Q 的坐标，由三点共线斜率相等，可得Q 的坐标，再由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求．解答：解：设(),P m n ，0m >， 则2214n m -=， 双曲线的渐近线方程为2y x =±，设P 到直线2y x =的距离为2，2=， 由于P 在直线的下方，则2m n -=解得m =，n =即P ⎝⎭， 设(),2Q s s -，由)0F， 由于F ，P ，Q 共线，可得则FP FQ k k =，解得s =，即有,Q ⎝，,FP ⎛= ⎝⎭，PQ ⎛= ⎝⎭ ， 由于FP PQ λ= ，则=4λ．故答案为：4．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的运用，同时考查向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：17．在ABC △中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，22222c a b -=．（I ）证明2cos 2cosC A a b -=（Ⅱ）若1a =,1tan 3A =，求ABC △的面积s ． 考点：余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用余弦定理把cos A 和cos C 的表达式代入等号左边整理，结合已知条件证明出结论．（Ⅱ）利用正弦定理把（Ⅰ）中的结论中边转化成角的正弦整理可求得tan C ，进而求得C ，再利用正弦定理求得c ，利用余弦定理求得b ，最后利用三角形面积公式求得三角形的面积．解答：（Ⅰ）证明：因为22222c a b -=， 所以2222222222cos 2cosC 2c 22222b c a a b c a b c c A A a a bc ab ab----=⋅-⋅-⋅+++ 2222222222=b c a a b c c a b b b b----==++． （Ⅱ）由（Ⅰ）和正弦定理以及()sin sin B A C =+得2sin cos 2sinAcosC sinAcosC C A -=，即sin cos =3sin cos C A A C ，又sin cosC 0A ≠，所以tan 3tan 1C A ==，故45C =︒．再由正弦定理及sin A =sin sin a C c A= 于是()22228b c a =-=，b =， 从而1sin 12S ab C ==．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．熟练综合运用正弦定理和余弦定理公式是解决三角形问题的关键．18．某项比赛规则是：先进行个人赛，每支参赛队的成绩前三名队员再代表本队进行团体赛，团体赛是在两队名次相同队员之间进行且三场比赛同时进行．根据以往比赛统计：两名队员中个人赛成绩高的队员在各场获胜的概率为23，负的概率为13，且各场比赛互不影响．已知甲乙队各5名队员，这10名队员的个人赛成绩如图所示：（I ）计算两队在个人赛中成绩的均值和方差；（Ⅱ）求甲队在团体赛中至少2名队员获胜的概率．332906488635乙对甲对考点：众数、中位数、平均数；茎叶图；相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据平均数和方差的公式计算即可；（Ⅱ）根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率得到结果．解答：解：（Ⅰ）由茎叶图可知， 8583869690==885x 甲++++，8884839293==885x 乙++++；()()()()()2222221=8588838886889688908821.25S ⎡⎤-----=⎣⎦甲++++， ()()()()()2222221=8888848883889288938816.45S ⎡⎤-----=⎣⎦乙++++． （Ⅱ）设甲队参加个人能力比赛成绩前三名在对抗赛的获胜的事件分别为A 、B 、C ，由题意可知()23P A =，()()13P B P C ==，且A 、B 、C 相互独立， 设甲队至少2名队员获胜的事件为E ，则()()()()E ABC ABC ABC ABC = ． ()21121121211111113333333333327P E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯--⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭++． 点评：本题茎叶图，平均数，方差，互斥事件、相互独立事件的概率计算，互斥事件一般涉及分类讨论，注意要全面分析，做到不重不漏，属于中档题．19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 是矩形，截面1A BC 是等边三角形．（I ）求证：AB=AC ；（Ⅱ）若AB AC ⊥，平面1A BC ⊥底面ABC ，求二面角11B B C A --的余弦值．C'CB'B A'A考点：二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征．菁优网版权所有专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I ）取BC 中点O ，连OA ，1OA ．证明：BC ⊥平面1AOA ，可得BC OA ⊥，即可证明AB AC =； （Ⅱ）分别以OA ，OB ，1OA 为正方向建立空间直角坐标系O xOy -，求出平面1BB C 的法向量、平面11A B C 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角11B B C A --的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：取BC 中点O ，连OA ，1OA ．因为侧面11BCC B 是矩形，所以1BC BB ⊥，1BC AA ⊥，因为截面1A BC 是等边三角形，所以1BC OA ⊥，于是BC ⊥平面1AOA ，BC OA ⊥，因此：AB AC =．… （Ⅱ）解：设2BC =，则1OA AB AC ⊥，AB AC =得1OA =．因为平面1A BC ⊥底面ABC ，1OA BC ⊥，所以1OA ⊥底面ABC ．如图，分别以OA ，OB ，1OA 为正方向建立空间直角坐标系O xOy -． ()1,0,0A ，()0,1,0B，(10,0,A ，()0,1,0C -，()0,2,0CB =，(111,0,BB AA ==-，(10,1,CA = ，()111,1,0A B AB ==- ．设平面1BB C 的法向量()π,,x y z = ，则200y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，取)π=0,1 ．同理可得平面111A B C的法向量()1n =- ．cos π,n ∴= 11B B C A --的余弦值为． …C'点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查二面角的余弦值，考查向量法的运用，正确运用向量法是关键． 20．已知椭圆 ()2222:10y x C a b a b=>>+，直线l 与椭圆C 有唯一公共点M ，为坐标原点），当点M坐标为12⎫⎪⎭时，l240y -=+． （I ）求椭圆C 方程；（Ⅱ）设直线l 的斜率为K ，M 在椭圆C 上移动时，作OH l ⊥于H （O 为坐标原点），求HOM ∠最大时k 的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）将M 点坐标代入椭圆方程，同时联立直线l 与椭圆方程，计算即得结论；（ II ）通过设直线l 并与椭圆方程联立，利用=0△，进而可得2OM 、2OH 的表达式，化简即得结论． 解答：解：（Ⅰ）由题意可得：223114a b =+，（*）240y -=+代入椭圆C ，有：()2222222341640a b x x a a b --=++，令=0△得：223416a b =+，（**）联立（*）、（**），解得：24a =，21b =，∴椭圆C 的方程为：2214x y =+； （ II ）设直线:l y kx m =+，()00,M x y ．将直线l 的方程代入椭圆C 得：()222148440k x kmx m -=+++，令=0△，得2241m k =+，且22024414m x k -=+， 22211614k OM k∴=++， 又222221411m k OH k k ==+++，()()()()2222214cos 1161k HOM k k ⎛⎫ ⎪∴∠= ⎪⎝⎭+++， ()()()()22222252025141164444k k k k = ++++≤， ()()()22221416251161k k ∴+≥++，等号当且仅当214k =时成立， HOM ∴∠取最大时12k =±． 点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知()2e x f x x b =-+，曲线()y f x =与直线1y ax =+相切于点()()1,1f（I ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当0x >时，()()e 2e 13cos 4sin 0x x x x ⎡⎤--->⎣⎦++．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出()f x 的导数，求得切线的斜率和切点坐标，解方程可得a ，b 的值；（ II ）由（Ⅰ）得，()2e x f x x =-，首先证明：当0x >时，()()e 2f x x -≥+1．运用导数和单调性可证；因0x >，则()e 2e 1x x x x --+≥（当且仅当1x =时等号成立）．再证明：当0x >时，4sin 3cos x x x>+．通过令()4sin 3cos x p x x x=-+，求出导数，判断单调性，即可得证． 解答：解：（Ⅰ）()'e 2x f x x =-．由题设得()'1e 2a f ==-，()11e a f a b ==-++．故e 2a =-，0b =．（ II ）由（Ⅰ）得，()2e x f x x =-，下面证明：当0x >时，()()e 21f x x -≥+．设()()()e 21g x f x x =---，0x >．则()()'e 2e 2x g x x =---，设()()'h x g x =，则()'e 2x h x =-，当()0,ln2x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减，当()ln2,x ∈∞+时，()'0h x >，()h x 单调递增．又()03e 0h =->，()10h =，0ln 21<<，()ln20h <，所以()00,1x ∃∈,()00h x =，所以当()00,x x ∈或()1,x ∈∞+时，()g'0x >；当()0,1x x ∈时，()'0g x <，故()g x 在()00,x 和()1,∞+单调递增，在()0,1x 单调递减，又()()010g g ==，所以()()2e e 210x g x x x =----≥．因0x >，则()e 2e 1x x x x--+≥（当且仅当1x =时等号成立）．①，以下证明：当0x >时，4sin 3cos x x x>+． 令()4sin 3cos x p x x x =-+，则()()()()()()43cos 1cos 1cos 5'103cos 23cos 2x x x p x x x --=-=+≥++， （当且仅当2πx k =,Z k ∈时等号成立）．所以()p x 在()0,∞+单调递增，当0x >时，()()4sin 003cos x p x x p x =->=+ =0， 即4sin 3cos x x x>+．② 由①②得当0x >时，()e 2e 14sin 3cos x x x x x-->++， 又()3cos 0x x >+，故()()e 2e 13cos 4sin 0x x x x x ⎡⎤--->⎣⎦++．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，主要考查单调性的运用，同时考查不等式的证明，注意运用构造函数的方法，属于中档题．22．如图，C 是圆O 的直径AB 上一点，CD AB ⊥，与圆O 相交于点D ，与弦AF 交于点E ，与BF 的延长线相交于点G ．GT 与圆相切于点T ．（I ）证明：2CD CE CG =⋅；（Ⅱ）若1AC CO ==，3CD CE =，求GT ．G考点：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有专题：综合题；推理和证明．分析：（I ）延长DC 与圆O 交于点M ，利用相交弦定理，三角形相似的性质，即可证明：2CD CE CG =⋅； （Ⅱ）由（Ⅰ）得3CG CD =，利用切割线定理求GT ．解答：（Ⅰ）证明：延长DC 与圆O 交于点M ，因为CD AB ⊥，所以2CD CD CM AC BC =⋅=⋅， 因为Rt Rt ACE GBC △∽△，所以AC CG CE BC=， 即AC BC CE CG ⋅=⋅，故2CD CE CG =⋅．…（Ⅱ）解：因为1AC CO ==，所以23CD AC BC =⋅=，又3CD CE =，由（Ⅰ）得3CG CD =，()()()()2222824GT GM GD CG CM CG CD CG CD CG CD CG CD CD =⋅=⋅-=⋅-=-==++ ，故GT =…SGBA点评：本题考查相交弦定理，三角形相似的性质，考查切割线定理，考查相似分析解决问题的能力，属于中档题．23．已知半圆()()22:24C x y y 0-=+≥，直线:220l x y --=．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（I ）写出C 与l 的极坐标方程；（Ⅱ）记A 为C 直径的右端点，C 与l 交于点M ，且M 为圆弧AB 的中点，求OB ．考点：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有专题：三角函数的求值；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）将x xos ρθ=,sin y ρθ=分别代入半圆C 与直线l 的方程中，整理得出它们的极坐标方程； （Ⅱ）由题意求出点B 的极角α的正切值tan α，利用三角函数的关系求出cos α，即可计算OB 的值． 解答：解：（Ⅰ）将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入半圆()()22:240C x y y -=+≥中， ()()22cos 2sin 4ρθρθ-=+，化简得C 的极坐标方程为π:4cos 02C x θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤； 将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入直线l :220x y --=中，得l 的极坐标方程为l :cos 2sin 20ρθρθ--=；…（Ⅱ）根据题意，1经过半圆C 的圆心()2,0C ，设点B 的极角为α，则1tan 2α=， sin 1cos 2αα∴=， 即1sin cos 2αα=， 2221215sin cos cos cos cos 144ααααα∴===++， 24cos 5α∴=； 又π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos α∴ ∴由C 的极坐标方程得4cos 4OB ρα==== … 点评：本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程的互化和应用问题，也考查了三角函数的求值问题，是综合性题目．24．设()12f x ax x =-++,()0a >． （I ）若1a =，时，解不等式()5f x ≤；（Ⅱ）若()2f x ≥，求a 的最小值．考点：绝对值三角不等式．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）分类讨论化简()f x 的解析式，由()f x 的单调性及()()325f f -==，得()5f x ≤ 的解集．（Ⅱ）由()()()()11,2113,2111,a x x f x a x x a a x x a ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪⎪⎩+≤+++≤的单调性，以及()f x 的图象连续不断，可得要是()2f x ≥，当且仅当()22f -≥，且12f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥，由此求得a 的最小值． 解答：解：（Ⅰ）若1a =，()21,23,2121,1x x f x x x x ---⎧⎪=-<⎨⎪>⎩≤≤+，由()f x 的单调性及()()325f f -==，得()5f x ≤ 的解集为{}32x x -≤≤．（Ⅱ）()()()()11,2113,2111,a x x f x a x x a a x x a ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪⎪⎩+≤+++≤， 当(],2x ∈-∞-时，()f x 单调递减；当1,x a ⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭+时，()f x 单调递增， 又()f x 的图象连续不断，所以()2f x ≥，当且仅当()2212f a -=+≥，且1122f a a⎛⎫= ⎪⎝⎭+≥， 求得12a ≥，故a 的最小值为12． 点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的单调性的应用，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

唐山市2014—2015学年度高三年级第三次模拟考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：BCCAB DCBBA DCB 卷：ACDAB CDABB DC二、填空题：（13）6；（14）3； （15）5； （16）4． 三、解答题：（17）（Ⅰ）证明：因为2c 2－2a 2＝b 2，所以2c cos A －2a cos C ＝2c ·b 2＋c 2－a 22bc －2a ·a 2＋b 2－c 22ab＝b 2＋c 2－a 2b －a 2＋b 2－c 2b ＝2c 2－2a 2b＝b ． …4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）和正弦定理以及sin B ＝sin(A ＋C )得2sin C cos A －2sin A cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即sin C cos A ＝3sin A cos C ，又cos A cos C ≠0，所以tan C ＝3tan A ＝1，故C ＝45°．…8分 再由正弦定理及sin A ＝1010得c ＝a sin C sin A＝5， 于是b 2＝2(c 2－a 2)＝8，b ＝22，从而S ＝ 1 2ab sin C ＝1． …12分（18）解：（Ⅰ）由题中数据可知，－x 甲＝85＋83＋86＋96＋905＝88，－x 乙＝88＋84＋83＋92＋935＝88； S 2甲＝ 1 5＝21.2， S 2乙＝ 1 5＝16.4． …6分（Ⅱ）设甲队参加个人能力比赛成绩前三名在对抗赛的获胜的事件分别为A 、B 、C ，由题意可知P (A )＝ 2 3，P (B )＝P (C )＝ 1 3，且A 、B 、C 相互独立， 设甲队至少2名队员获胜的事件为E ，则E ＝(ABC)∪(AB －C )∪(A －B C)∪(－A BC)． …9分P (E )＝ 2 3× 1 3× 1 3＋ 2 3× 1 3×(1－ 1 3)＋ 2 3×(1－ 1 3)× 1 3＋(1－ 2 3)× 1 3× 1 3＝ 11 27． …12分（19）（Ⅰ）证明：取BC 中点O ，连OA ，OA 1．因为侧面BCC 1B 1是矩形，所以BC ⊥BB 1，BC ⊥AA 1，因为截面A 1BC 是等边三角形，所以BC ⊥OA 1，于是BC ⊥平面A 1OA ，BC ⊥OA ，因此：AB ＝AC ．…4分1（Ⅱ）解：设BC ＝2，则OA 1＝3，由AB ⊥AC ， AB ＝AC 得OA ＝1．因为平面A 1BC ⊥底面ABC ，OA 1⊥BC ，所以OA 1⊥底面ABC ．如图，分别以OA ，OB ，OA 1为正方向建立空间直角坐标系O -xyz ．…6分A (1，0，0)，B (0，1，0)，A 1 (0，0，3)，C (0，－1，0)， CB →＝(0，2，0)，BB 1→＝AA 1→＝(－1，0，3)，CA 1→＝(0，1，3)，A 1B 1→＝AB →＝(－1，1，0)．设平面BB 1C 的法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧0×x 1＋2×y 1＋0×z 1＝0，－1×x 1＋0×y 1＋3×z 1＝0，取m ＝(3，0，1)． 设平面A 1B 1C 的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧0×x 2＋1×y 2＋3×z 2＝0，－1×x 2＋1×y 2＋0×z 2＝0，取n ＝(－3，－3，1)． cos m ，n ＝m ·n |m ||n |＝－77，则二面角B －B 1C －A 1的余弦值为－77． …12分（20）解：（Ⅰ）由题意可得：3a 2＋14b2＝1， …1分 将3x ＋2y －4＝0代入椭圆C ： (3a 2＋4b 2)x 2－83a 2x ＋16a 2－4a 2b 2＝0由Δ＝0得3a 2＋4b 2＝16， …3分 联立解得：a 2＝4，b 2＝1．于是椭圆C 的方程为：x 24＋y 2＝1． …5分 （II ）设直线l ：y ＝kx ＋m ，M (x 0，y 0)．将直线l 的方程代入椭圆C 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，令Δ＝0，得m 2＝4k 2＋1，且x 20＝4m 2－4 1＋4k 2，所以|OM |2＝1＋16k 2 1＋4k 2． …7分 又|OH |2＝m 21＋k 2＝1＋4k 2 1＋k 2，所以(cos ∠HOM )2＝(1＋4k 2)2 (1＋16k 2) (1＋k 2)． …9分因为(1＋16k 2)(4＋4k 2)≤(5＋20k 2)2 4＝25(1＋4k 2)2 4， 所以(1＋4k 2)2 (1＋16k 2) (1＋k 2)≥ 16 25，等号当且仅当k 2＝ 1 4时成立． 故k ＝± 1 2．…12分 （21）解：（Ⅰ）f (x )＝e x －2x ． 由题设得a ＝f (1)＝e －2，a ＋1＝f (1)＝e －1＋b ． 故a ＝e －2，b ＝0． …4分（II ）由（Ⅰ）得，f (x )＝e x －x 2，下面证明：当x ＞0时，f (x )≥(e －2)x ＋1．设g (x )＝f (x )－(e －2)x －1，x ＞0．则g '(x )＝e x －2x －(e －2)，设h (x )＝g (x )，则h (x )＝e x －2，当x ∈(0，ln 2)时，h (x )＜0，h (x )单调递减，当x ∈(ln 2，＋∞)时，h (x )＞0，h (x )单调递增．又h (0)＝3－e ＞0，h (1)＝0，0＜ln2＜1，h(ln2)＜0，所以∃x 0∈(0，1)，h (x 0)＝0， 所以当x ∈(0，x 0)或x ∈(1，＋∞)时，g (x )＞0；当x ∈(x 0，1)时，g (x )＜0， 故g (x )在(0，x 0)和(1，＋∞)单调递增，在(x 0，1)单调递减，又g (0)＝g (1)＝0，所以g (x )＝e x －x 2－(e －2)x －1≥0．因x ＞0，则e x ＋(2－e)x －1 x≥x （当且仅当x ＝1时等号成立）． ① …8分 以下证明：当x ＞0时，x ＞4sin x 3＋cos x． 令p (x )＝x －4sin x 3＋cos x ，则p (x )＝1－4(3cos x ＋1) (3＋cos x )2＝(cos x －1)(cos x －5)(3＋cos x )2≥0， （当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时等号成立）．所以p (x )在(0，＋∞)单调递增，当x ＞0时，p (x )＝x －4sin x 3＋cos x＞p (0)＝0， 即x ＞4sin x 3＋cos x． ② 由①②得当x ＞0时，e x ＋(2－e)x －1 x ＞4sin x 3＋cos x， 又x (3＋cos x )＞0，故(3＋cos x )－4x sin x ＞0． …12分（22）解：（Ⅰ）证明： 延长DC 与圆O 交于点M ，因为CD ⊥AB ，所以CD 2＝CD ·CM ＝AC ·BC ，因为Rt △ACE ∽Rt △GBC ，所以AC CE ＝CG BC， 即AC ·BC ＝CE ·CG ，故CD 2＝CE ·CG ．…5分（Ⅱ） 因为AC ＝CO ＝1，所以CD 2＝AC ·BC ＝3， 又CD ＝3CE ，由（Ⅰ）得CG ＝3CD ，GT 2＝GM ·GD ＝(CG ＋CM )·(CG －CD )＝(CG ＋CD )·(CG －CD )＝CG 2－CD 2＝8CD 2＝24，故GT ＝26． …10分 （23）解：（Ⅰ）将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入已知，分别得C 和l 的极坐标方程为C ：ρ＝4cos θ（0≤θ≤ π 2)，l ：ρcos θ－2ρsin θ－2＝0． …4分 （Ⅱ）依题意，l 经过半圆C 的圆心C (2，0)．设点B 的极角为α，则tan α＝ 1 2，进而求得cos α＝255…6分 由C 的极坐标方程得|OB |＝4cos α＝855． …10分 （24）解：（Ⅰ）若a ＝1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ＜－2，3，－2≤x ≤1，2x ＋1，x ＞1．由f (x )的单调性及f (－3)＝f (2)＝5，得f (x )≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}．…5分（Ⅱ）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)x －1，x ≤－2，(1－a )x ＋3，－2＜x ＜ 1 a ，(a ＋1)x ＋1，x ≥ 1 a． 当x ∈(－∞，－2]时，f (x )单调递减；当x ∈[ 1 a，＋∞)时，f (x )单调递增， 又f (x )的图象连续不断，所以f (x )≥2当且仅当f (－1)＝2a ＋1≥2，且f ( 1 a )＝ 1 a＋2≥2，得a ≥ 1 2，故a 的最小值为 1 2．。

河北省唐山市2015届高三年级摸底考试理科数学试卷（带解析）1．已知集合M ＝{x|x ≥－1}，N ＝{x|2－x 2≥0}，则M ∪N ＝( )A.[－1，＋∞)B.[－1]C.[，＋∞)D.(]∪[－1，＋∞) 【答案】C【解析】试题分析：由已知，M ＝{x|x ≥－1}，N ＝{x|≤x故M ∪N ＝{x|x }，选C 考点:集合运算，简单一元二次不等式 2．复数z ＝1312i i -+，则( )A.|z|＝ －－1＋i 【答案】D【解析】试题分析：z ＝(13)(12)1(12)(12)i i i i i --=--+-故|z|，A 错；z 的实部为－1，B 错；z 的虚部为－1，C 错，z 的共轭复数为－1－i ，D 正确考点:复数的基本概念及代数运算3．函数f(x)＝222x x--是( )A.偶函数，在(0，＋∞)是增函数B.奇函数，在(0，＋∞)是增函数C.偶函数，在(0，＋∞)是减函数D.奇函数，在(0，＋∞)是减函数 【答案】B【解析】试题分析：因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数又因为y ＝2x是增函数，y ＝2－x为减函数，故22()2x xf x --=为增函数，选B考点:函数的奇偶性和单调性.4．抛物线y ＝2ax 2(a ≠0)的焦点是( ) A.(2a ，0) B.(2a ，0)或(－2a ，0)C.(0，18a )D.(0，18a )或(0，－18a ) 【答案】C【解析】试题分析：将方程改写为22y x a =，可知2p ＝1||2a ，当a ＞0时，焦点为(0，1||8a)，即(0，18a)； 当a ＜0时，焦点为(0，－1||8a )，即(0，18a )；综合得，焦点为(0，18a)，选C 考点:抛物线的基本概念5．已知1sin()44x π-=，则sin2x 的值为( )A.78B.916C.1516D.1516±【答案】A【解析】试题分析：2217sin 2cos(2)12sin ()12()2448x x x ππ=-=--=-⨯=.选A 考点:三角函数恒等变换，二倍角公式6．高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为( )A.13B.23C.12D.16 【答案】A【解析】试题分析：4人排成一排，其中甲乙相邻的情况有：(甲乙丙丁)、(甲乙丁丙)、(丙甲乙丁)、(丁甲乙丙)、(丙丁甲乙)、(丁丙甲乙)、(乙甲丙丁)、(乙甲丁丙)、(丙乙甲丁)、(丁乙甲丙)、(丙丁乙甲)、(丁丙乙甲)，共计12种，其中同时甲丙相邻的只有4种，故概率为P ＝41123= 考点:条件概率7．设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|＝1，则|a －tb|(t ∈R)的最小值为( )B.12【答案】A【解析】试题分析：由于|a|＝|b|＝|a ＋b|＝1，于是|a ＋b|2＝1，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝1，即a ·b ＝－12|a －tb|2＝a 2－2ta ·b ＋t 2b 2＝(1＋t 2)－2ta ·b ＝t 2＋t ＋1≥34，故|a －tb|的最小值为2.选A考点:平面向量基本运算8．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，且z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )14 D.12【答案】D【解析】试题分析：画出可行域，由于z ＝2x ＋y 与x 均正相关， 因此直线2x ＋y ＝z 在x 轴上截距最小时，z 取得最小值为1，此时，直线2x ＋y ＝1应经过x ＝1与y ＝a(x －3)的公共点A 该点坐标为A(1，－1)，故a ＝12.选D考点:线性规划9．执行如图所示的程序框图，则输出的a ＝( )54 C.14- D.45【答案】C【解析】试题分析：该程序每循环一次，n 增加1，当n ＝10时跳出循环，故需要循环9次，每一次循环将1－1a 的值赋予新的a ，因此，9次运算的a 值依次为：5，45，－14，5，45，－14，5，45，－14，因此最后输出的a 值为－14.选C 考点:程序框图10．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω＞0)的图象向右平移2π个单位长度，所得图象关于6x π=对称，则ω的最小值是( ) 23 C.94 D.34【答案】D【解析】试题分析：将f(x)＝sin ωx 的图象向左平移2π个单位，所得图象关于x ＝6π，说明原图象关于x ＝－23π对称，于是f(－23π)＝sin(－23ωπ)＝±1，故232k ωπππ=+(k ∈Z)，ω＝3k ＋34(k ∈Z)，由于ω＞0，故当k ＝0时取得最小值34.选D考点:三角函数的图象与性质11．已知a ＞0，且a ≠1，则函数f(x)＝a x ＋(x －1)2－2a 的零点个数为( ) 【答案】B【解析】试题分析：设g(x)＝2a －a x ，h(x)＝(x －1)2， 注意到g(x)的图象恒过定点(1，a)，画出他们的图象无论a ＞1还是0＜a ＜1，g(x)与h(x)的图象都必定有两个公共点2x考点:函数图象及其性质，零点的个数12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为( ) ππππ 【答案】A【解析】试题分析：原几何体是一个侧放的四棱锥，四棱锥的底面为侧视图，即边长为1，其外接圆的直径平方为高与底面对角线的平方和，即222(2)R =+，即R245S R ππ==.选A考点:三视图，球面的面积13．8()x 的展开式中62x y 的系数是___________. 【答案】56【解析】试题分析：原二项式展开式的通项公式为818()r rr r T C x -+= 令r ＝2，得2626238256T C x y x y =⋅=，系数为56.考点:二项式定理14．实数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则3x ＋9y的最小值是________________. 【答案】6【解析】试题分析：3x＋9y＝3x＋32y≥6===考点:基本不等式15．已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线l：0x +=垂直，C的一个焦点到l 的距离为1，则C 的方程为__________________.【答案】x 2－23y ＝10y -=，即b =1=，故c ＝2，即a 2＋b 2＝4，解得a ＝1，b ＝3双曲线方程为x2－23y＝1考点:双曲线的渐近线，直线与直线的垂直关系，点到直线距离公式16．在△ABC中，AB=，点D在边BC上，2BD DC=，cos DAC∠=，cos C∠=，则AC＋BC＝_________________.【答案】3【解析】试题分析：△ADC中，由cos∠DAC，得sin∠DAC，同理，由cos∠Csin∠C于是，sin∠ADC＝sin(∠DAC＋∠C)＝1051052+=由正弦定理：sin sinAC DCADC DAC=∠∠，由此得：AC=，又BC＝3DC于是，在△ABC中，由余弦定理，得由AB=，得DC＝1从而BC＝3，AC即AC＋BC＝3考点:三角形中的三角函数，正弦定理，余弦定理17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S n＝kn(n＋1)－n(k∈R)，公差d为2.(1)求a n与k；(2)若数列{b n}满足12b=，12n an nb b n--=⋅(n≥2)，求b n.【答案】(1)a n＝2n－1，k＝1；(2)b n＝()231419nn⎡⎤-⋅+⎣⎦【解析】试题分析：(1)先直接写出a1，a2，由d＝2求出k，再利用数列中a n与S n之间的关系求出a n；(2)先利用叠加法求出b n满足的关系式，再利用错位相减法求出b n.试题解析：(Ⅰ)由题设得a1＝S1＝2k－1，a 2＝S 2－S 1＝4k －1， 由a 2－a 1＝2得k ＝1，则a 1＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. 4分 (Ⅱ)b n ＝b n －1＋n·2n a＝b n －2＋(n －1)·12n a -＋n·2n a＝b 1＋2×22a ＋3×32a＋ ＋(n －1)·12n a -＋n·2n a由(Ⅰ)知2n a＝22n －1，又因为b 1＝2，所以b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋ ＋(b 2－b 1)＋b 1＝1×21＋2×23＋3×25＋ ＋(n －1)×22n －3＋n×22n －1，4b n ＝1×23＋2×25＋3×27＋ ＋(n －1)×22n －1＋n×22n ＋1， 7分 所以－3b n ＝21＋23＋25＋ ＋22n －1－n·22n ＋1＝()21414n --－2n·⋅4n，所以b n ＝()21414n --＋23n ⋅4n ＝()231419n n ⎡⎤-⋅+⎣⎦. 11分 明显，n ＝1时，也成立． 综上所述，b n ＝()231419nn ⎡⎤-⋅+⎣⎦． 12分考点:等差数列与等比数列的通项公式与前n 项和18．某大学外语系有5名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目(每名大学生只参加一个项目的服务)。