反比例函数与一次函数图像比较.ppt

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反比例函数图像和性质ppt课件

反比例函数的定义域和值域
定义域
反比例函数的定义域是 x ≠ 0 的所有实数，即 x 可以取任何实数值，除了 0。
值域
反比例函数的值域是除了 y = 0 以外的所有实数，即 y 可以取任何实数值，但永远不会等于 0。
02
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
总结词
反比例函数在其定义域内并非单调，但在各自象限内具有单调性。
表达式形式
反比例函数的一般形式为 y = k/x (k ≠ 0)，其中 x 和 y 是自变量和因变量，k 是常数。
反比例函数图像的绘制
图像绘制方法
反比例函数的图像通常在二维坐标系中绘制，通过选择不同的 k 值，可以绘制出不同的反比例函数图像。
图像特性
反比例函数的图像位于 x 轴和 y 轴的有限区域，呈现出双曲线的形状，随着 x 的增大或减小，y 的值会无限接近于 0 但永远不会等于 0。
积分是数学中计算面积和体积的方法，分为定积分和不定积分。
反比例函数的不定积分
反比例函数y=1/x的不定积分为ln|x|+C（C为常数），这表明反比例函数可以通过对ln|x|进行不定积分得到。
反比例函数与复数的关系
复数的概念
复数是实数和虚数的组合，形式为a+bi（a,b为实数）。
反比例函数在复数域的表现
投资回报
投资回报与投资风险成反比，即投资风险越大，投资回报越小；反之亦然。
反比例函数在日常生活中的应用
药物剂量
在药物治疗过程中，药物剂量与药效成反比关系，即当药物剂量增加时，药效可能会减弱。
体育训练
在体育训练中，训练强度与训练效果成反比关系，即当训练强度增加时，训练效果可能会减弱。

关于反比例函数的ppt课件

05
反比例函数的学习方法
理解概念和定义
总结词：掌握基础
详细描述：首先需要理解反比例函数的基本概念和定义，包括反比例函数的表达式、自变量和因变量的关系等。
学习图像和性质
总结词：深入理解
详细描述：通过学习反比例函数的图像和性质，可以更好地理解函数的特性，包括函数的单调性、奇偶性等。
掌握应用和比较
图像特性
正比例函数图像是一条通过原点的直线，而反比例函数的图像则位于第一象限和第三象限，且在 x轴和y轴上分别存在一个无穷远
点。
增减性
正比例函数随着x的增大而增大或减小，而反比例函数在x增大时y减小，在x减小时y增大。
与一次函数的比较
01
定义
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k和b为常数且k≠0；反比例函数
题目2
已知反比例函数$y = frac{k}{x}$的图象经过第一、三象限，且与直线$y = mx + b$相交于两点，求证：这两点的横坐标互为相反数。
题目1
已知点$(m,n)$和$(p,q)$在反比例函数$y = frac{k}{x}$的图象上，且$m times n = p times q$，求证：$k = 0$。
双曲余切函数
01
02
03
定义
双曲余切函数是双曲函数的一种，定义为 (e^x + e^-x) / (e^x - e^-x)。
性质
双曲余切函数在实数范围内是连续且可导的，具有类似于余切函数的周期性和奇偶性。
应用
双曲余切函数在解决某些数学问题、优化算法和工程计算中有应用。
双曲反正切函数
定义
关于反比例函数的 ppt课件

一次函数与反比例函数探究与规律PPT课件

②求P2的坐标. ③求Pn的坐标.
-
11
4.已知:在矩形ABCD中,OB=4,OA=3.分别以OB、 OA所在直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.F是边BC上的一个动点（不与B、C重合）,过F 点的反比例函数y=k/x(k>0)的图像与边AC交于点E. （1）求证:△AOE与△BOF的面积相等；（23）记请探S=索S:△是OE否F-S存△在EC这F,求样当的k点为F何,使值得时将,s△有CE最F大沿值EF, 对最折大后值,C为点多恰少好?落在AB上?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
-
5
变式1:如图,已知一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y 4 2m (x＞0)的图象于点A、B，
x
交x轴于点C.若点A的坐标是（2,-4）. （1）求m的值；（2）若BC：AB=1：3,求一次函数的解析式及点C的坐标.
-
6
变式2：(广东)已知反比例函数y＝(m-8)/x的图象经过点A（－1，6）．
.
E
G
-
F H9
变式2:如图,△P1OA1、△P2A1A2是等腰直角三
角形,点P1、P2在函数y=4/x(x＞0)的图象上,斜
4 2 边
是
(OA1、A,01A) 2都. 在x轴上,则点则A点2的An坐的标坐标
-
10
变 P△Pn式(1xO3nA:，如1y,图△nP),,P2…A1在(1xA函12，,数△yP1y3)A、2x3AP(3x＞2,△(0xP) 2的n，A图ny-2象1)A，上n都，是等边三角形,边OA1、A1A2、A2A3、…An-1An都在x轴上.则P1的坐标为 .
题型一：代数类型
1.（2010•襄阳）已知正一比次例函函数数y=y2=x2+xk的图象与反比例函数y=k/x的图象有一个交点的纵坐标是2，（1）求反比例函数的解析式；（2）当-3≤x≤-11时,求反比例函数y的取值范围.

反比例函数的图像和性质ppt课件

7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 y = - 1 0 0 的图象上，则（
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3 D、y3>y2>y1
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
已知点A(2,y1)， B（5,y2)C是（反-3比,y例3)函是数y 象上的两点．请比较y1,y2的,y大3的小大．小．
4 x
图
y
⑴代入求值
y1 A B
-3 y2 O2 5
C y3
⑵利用增减性
⑶根据图象判断
x
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D ）
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
2、我校食堂有5吨煤，用y表示可以用的天数
，用x表示每天的烧煤量，则y关于x的函数的
10
１、这几个函数图象有 8 什么共同点？
２、函数图象分别位于 6 哪几个象限？
4
３、y随的x变化有怎

反比例函数与一次函数的综合-完整版课件

下节课预习提示和作业布置
预习提示
下节课将学习反比例函数与二次函数的综合应用，请学生提前预习相关内容，了解基本概念和性质
作业布置
布置与反比例函数与一次函数综合应用相关的练习题和思考题，要求学生认真完成并提交作业
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
行程问题
结合反比例函数和一次函数，可以解决与行程相关的问题，如根据速度和时间的关系计算路程等。
经济问题
反比例函数和一次函数也可以应用于经济领域，如分析成本、收益和利润之间的关系等。
两者结合的综合题型分析
函数图像分析通过观察和分析反比例函数和一次函数的图像，可以判断它们的增减性、对称性等性质，进而解决相关问题。
反比例函数的图像关于原点对称，即满足奇函数的性质 $f(-x) = -f(x)$。
反比例函数在其定义域内具有单调性：在第一、三象限内单调递减，在第二、四象限内单调递增。
反比例函数在其定义域内没有极值点，也没有拐点。
CHAPTER 03
一次函数基本概念与性质
一次函数定义及表达式
一次函数定义
反比例函数与一次函数的综合-完整版课件
汇报人：XXX 2024-01-22
contents
目录
• 引言 • 反比例函数基本概念与性质 • 一次函数基本概念与性质 • 反比例函数与一次函数综合应用 • 典型例题解析与讨论 • 课堂小结与作业布置
CHAPTER 01
引言
目的和背景
帮助学生理解反比例函数和一次函数的基本概念、性质和应用。
学生2
对于例题2，我首先根据点 M、N 的坐标和距离关系列出方程组，然后利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式。最后通过解方程组求出两个函数的交点坐标。

一次函数与反比例函数的综合复习 ppt课件

（B）x＞2
（C）－1＜x＜0，或x＞2
（D）x＜－1，或0＜x＜2
一次函数与反比例函数的综合复习
12
2:
已知一次函数 y k1xb与反比例函数
y
k2 x
的图象交于点P（-2,1)和
Q
（
1 , m )。
求：
①求反比例函数与一次函数的解析式；
②求△OPQ的面积。
y
x
一次函数与反比例函数的综合复习
13
bxxkk??210122???kxkbx一次函数与反比例函数的综合复习一次函数与反比例函数的大小比较两交点的分成四段来考虑两交点的x值和y轴把x轴分成四段一次函数与反比例函数的综合复习一交点的分成三段来考虑交点的x值和y轴把x轴分成三段无交点的分成两段来考虑y轴把x轴分成两段分x0和x0两段一次函数与反比例函数的综合复习一次函数与反比例函数所围成的三角形面积计算a关键是求出两个函数公共交点ab的坐标k值同号
（B）k值异号。（可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点）
y C
A
Bx
O
S△AOB=S△OBC—S△OAC
一次函数与反比例函数的综合复习
11
想一想议一议
1、如图1，一次函数与反比例函数的图像
相交于A、B两点，则图中使反比例函数的
值小于一次函数的值的x的取值范围是（ D ）
（A）x＜－1
（2）K值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点！
从计算上看，一次函数与反比例的交点主要取决于两函数
所组成的方程：
在解的过程中，代入消元得：
k1
x
k2
x b
，
去分母得： k2x2bxk10这个一元二次方程的△的值决

反比例函数、一次函数及二次函数性质及图像

反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以为对称中心的中心对称的反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与相交（K≠0）。

2、性质：1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、，同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

为x≠0；为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4. 在一个反比例上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的，与坐标轴围成的面积为S1，S2则S1＝S2=|K|5. 反比例函数的图象既是，又是，它有两条y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），是坐标原点。

6.若设y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于。

7.设在内有反比例函数y=k/x和y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。

8.反比例函数y=k/x的：x轴与y轴。

9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x,并且关于原点中心对称.10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的越远。

13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

反比例函数一次函数二次函数性质及图像

工程设计和优化
在工程学中，反比例函数、一次函数和二次函数可以用来描述各种工程问题的数学模型，如结构优化、路径规划等。利用这些函数的性质和图像，可以进行工程设计和优化，提高工程质量和效率。
感谢您的观看
THANKS
顶点
二次函数的顶点坐标为 $left(frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
04
图像特征
01
02
03
04
形状
二次函数的图像是一条抛物线。
位置
根据 $a$、$b$、$c$ 的取值，抛物线的位置会有所不同。
与坐标轴的交点
令 $y = 0$ 可求得与 $x$ 轴的交点，令 $x = 0$ 可求得
05
函数图像比较
图像的平移与伸缩
平移
函数图像在平面直角坐标系中的位置可以通过平移来改变。对于一次函数和二次函数，图像可以沿x轴或y轴进行平移，而对于反比例函数，图像可以沿原点进行平移。
伸缩
函数图像的形状可以通过伸缩来改变。对于一次函数，图像的伸缩表现为斜率的改变；对于二次函数，图像的伸缩表现为开口大小或方向的改变；对于反比例函数，图像的伸缩表现为离原点的远近。
单调性
反比例函数
反比例函数的单调性取决于其定义域。在每个象限内，反比例函数都是单调的，但在整个定义域内不是单调的。
一次函数
一次函数的单调性取决于其斜率。当斜率大于0时，函数在整个定义域内单调递增；当斜率小于0时，函数在整个定义域内单调递减。
二次函数
二次函数的单调性取决于其二次项系数的正负和对称轴的位置。当二次项系数为正时，函数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；当二次项系数为负时，函数在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减。

《反比例函数的图象和性质》反比例函数PPT教学课件(第2课时)

x
（2）设B点坐标为（a，b），如图，作AD⊥BC于D，则D（2，b）
∵反比例函数
y6 x
的图象经过点B（a，b），
∴
b
巩固练习
如图，直线y=k1x+b与双曲线
y k2 x
交于A、B两点，
其横坐标分别为1和5，则不等式
k1x
b
k2 x
的解集
是__1_＜__x_＜__5_．
探究新知
考点 3 利用函数的交点解答问题
已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).
试求出它们的解析式，并画出图象.
解：设 y=k1x 和
S1的值
4
S2的值
4
S1与S2 的关系
S1=S2
猜想 S1，S1=S2=k S2 与 k 的关系
探究新知
若在反比例函数 y 4 中也用
x
同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：
y
P Q
SS21
y 4 x
O
x
S1的值 S2的值
S1与S2 的关系
猜想与k 的关系
P (－1，4) Q (－2，2)
巩固练习
反比例函数
y 12的图象与正比例函数
x
y = 3x 的图象的
交点坐标为 (2，6)，(－2，－6) ．
解析：联立两个函数解析式解方程得：
解得：
x1 y1
2 6
y 12 x y 3x
x2 2
y2
6
链接中考
1.如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数 y kx（x＞0）的图象上 S矩形OABC ＝6，则k＝ 6 ．
探究新知知识点 3
反比例函数中k的几何意义

反比例函数与一次函数的综合专题PPT课件

第5页/共12页
变式：直线y=kx与反比例函数y=－的图象相交于点A、B，过点A作AC 垂直于y轴于点C，求S△ABC．
第6页/共12页
7．如图所示，已知直线y1=x+m与x轴、 y•轴分别交于点A、B，与双曲线y2= （k<0）分别交于点C、D，且C点坐标为（-1，2）．
（1）分别求直线AB与双曲线的解析式；
abx轴于bcdy轴于d如图则四边形abcd的面积为5如图直线y2x2与双曲线分别交于点bcadx轴于点d如果cdb那么直线yx与反比例函数y的图象相交于点ab过点a作ac垂直于y轴于点c求sabc直线ykx与反比例函数y的图象相交于点ab过点a作ac垂直于y轴于点c求sabck0分别交于点cd且c点坐标为12
2、正比例函数y=x的图象与反比例函数 y= 的图象有一个交点的纵坐标是2，求（1）x=-3时反比例函数y的值；（2）当-3<x<-1时，反比例函数y的取值范围．
第1页/共12页
y C
B A OD
x 第2页/共12页
4、正比例函数y=x与反比例函数y= 的图象相交于A、C两点.AB⊥x轴于B,CD⊥y 轴于D(如图),则四边形ABCD的面积为( )
（3）若点C坐标是（–4，0）.
请求△BOC的面积。
C
（4）试着在坐标轴上找
点D,使△AOD≌△BOC。
（4，D 0）
第8页/共12页
第9页/共12页
y A
D
BO
x
C
（2005年中考·湖州）两个反比例函数
，
在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，
P2005在反比例函数y= 图象上，它们的横坐标分别是
第10页/共12页

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B k3>k2>k1 D k3>k1>k2
理一理
函数表达式
图象及象限
正比例函数
反比例函数
y=kx(k≠0)( 特殊的一次函数)
y
k x
或y
k x1或x yΒιβλιοθήκη k(k0)yy
y
y
ox k>0
ox k<0
0x k>0
0x k<0
性质
当k>0时，y随x的增大而增大; 在每一个象限内: 当k>0时，y随x的增大而减小;
当k<0时，y随x的增大而减小. 当k<0时，y随x的增大而增大.
4.(1999年哈尔滨)
如图能表示y k(1 x)和y k (k 0) x
在同一坐标系中的大致图象的是 __D__ .
y
Ox
y
O
x
y
Ox
y
x o
A
B
C
D
练习二：图像与性质
• 1、如图是三个反比例函数在x轴上
方的图像，y1 察得到( )
k1 x
,
y2
k2 x
,
y3
k3 x
由此观
• A k1>k2>k3 • C k2>k1>k3
三、思前想后
1﹑已知 k<0, 函数 y1=kx, y2=
同一坐标系中的图象大致是 ( D
k
x
)
在
y
y
(A)
(B)
x
0
x
y
y
(C)
(D)
0
x
0
x
2 函数y=kx-k 与 y k k 0 在同一条直角坐
标系中的图象可能是 D x:
y ox (A)
y ox (B)
y ox (C)
y ox (D)