9.4 多元复合函数求导法则

分线相加
同理可得
z z u z v y u y v y
返回
一、多元复合函数求导法则 —链锁规则
设下列各公式中所出现的函数均满足所需条件， 且有相应的导数或偏导数。 1、全导数 情形1 链锁规则公式
u z x
全导数
v
dz z du z dv dx u dx v dx
dh h dV w dr dt V dt r dt 3 6V r 2 4 3 e r r
返回
dh 6 V r 2 (2 e ) dt r r
设t0时刻沙丘体积为60立方米、底面半径为6米，则
dh 6 60 6 2 (2 e ) dt t t0 6 6
3
dz ,求 . dt
〖解〗由多元复合函数求导法则得全导数为：
x z y
2
t
dz z dx z dy dt x dt y dt 2 cos t f x 3t f y
部分抽象函数
□
设f具有二阶连续偏导数，如何求二阶导数？
d z d dz 2 dt dt dt d 2 (cos t f x 3t f y ) dt
返回
视y为常数
视u,v为常数
【例8】设 u f ( x, y, z ), z g ( x, y), y h( x, t ), t ( x),
du 求 . dx
〖解〗方法1(链锁规则公式)
x u y z
x y
x
x
du f dx x
f h h d y x t dx
情形5
x z u v
x y
z f f u f v x x u x v x z f u y u y

所以
例1 . z eu sin v, u x y, v x y, 求 z , z . x y
例6
由方程 f,F均具有一阶连续偏导数. 证明: 证:
确定,
两边求微分得，
两边求微分得， 并解出
⑴
(2)
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
“连线相乘, 分线相加, 单路求导, 叉路偏导” 例如, u
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
z f
u v w
t t t
z f (u, v) , u ( x, y) , v ( x, y)
z z u z v f11 f 2 1 x u x v x z z u z v f1 2 f 2 2 y u y v y
二、多元复合函数的全微分
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为 z z dz dx d y x y z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx d y ) ( dx d y ) x y x y
2
x2 y2 z 2
2 x sin y
u f ( x, y , z )
2 x (1 2 x sin y ) e
2
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
x y z
u f f z y y z y
x
y
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
t
注意：1.非抽象复合函数的求导,可先带入中间变量再求导.
2.多元抽象复合函数求导, 必须用锁链法则。

f2(u, v)
f2,
表示 f 对第二个变量的偏导数.
等等.
其他情况
“连线相乘，分线相加”
u (x, y) z f (u,v, w) v (x, y)
三元套两元
w (x, y)
z f ((x, y), (x, y),(x, y)) z(x, y)
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y
z f (u) u (x, y) 一元套多元 z f ((x, y)) z(x, y)
z ? x z ? y
一、链式法则 定理（多元函数与一元函数的复合）
如果函数u (t) 及v (t)都在点 t 可导，
函数 z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，
则复合函数z f [(t), (t)] 在对应点 t 可导，
t
例2 设
而 x sint, y (t)
其中 (t)可导，求 dz .
dt
解 dz z dx z dy z
dt x dt y dt
x
y
t
z dx z dy x dt y dt
推广
1.上定理的结论可推广到
中间变量多于两个的情况: z f ((t), (t),(t))
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
x y
解: 此例与上两例有区别. 这里函数 f 的表达
式未给出, 只能用链式法则求偏导.
引进中间变量( 引进几个中间变量? ) 记 u = x2 – y2, v = xy. 从而 z = f (u, v), 由链式法则, 得
z = f (u, v), u = x2 – y2, v = xy.

z
z f u f = + . 区别类似 y u y y
把 z = f ( u, x , y ) 中的 u 及 y 看作不 变而对 x 的偏导数
u x y
x y
两者的区别
把复合函数 z = f [ ( x , y ), x , y ] 中的
y 看作不变而对 x 的偏导数
例 3 设 z = uv + sin t ，而 u = e t ， v = cos t ，
dz z du z dv = + dt u dt v dt
z
u v
t
则 证 设 t 有增量 t， u = ( t + t ) ( t ), v = ψ ( t + t ) ψ ( t ); 由于函数 z = f ( u, v ) 在点
z z z = u + v + o( ρ ), ( ρ = (u)2 + (v)2 ) u v z z u z v o( ρ ) 当 t → 0时， = + + t u t v t t
例5 设 z = e cos v , 而 u = xy , v = x + y ,
u
z z , . 求 x y
解 dz = d ( e cos v ) = e cos vdu + e ( sin v )dv
u
u u
du = d( xy) = ydx + xdy,dv = d( x + y) = dx + dy,
例1 设
而 x = sin t , y = ( t )
z
x
y
t
推广
1.上定理的结论可推广到 1.上定理的结论可推广到 中间变量多于两个的情况: 中间变量多于两个的情况: z = f ( ( t ),ψ ( t ), ω ( t ))