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嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的优化模型一、本文概述随着航天技术的飞速发展，人类对月球的探索和利用进入了全新的阶段。
嫦娥三号作为我国探月工程的重要组成部分，其成功软着陆于月球表面，不仅标志着我国航天技术的重大突破，也为后续深空探测任务奠定了坚实的基础。
然而，软着陆过程作为探月任务中的关键环节，其轨道设计与控制策略的优化问题一直是航天领域的研究热点和难点。
本文旨在探讨嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的优化模型，通过对现有研究成果的综述和深入分析，以期为我国未来探月工程及深空探测任务的轨道设计与控制提供理论支持和实践指导。
本文将对嫦娥三号软着陆任务进行简要介绍，包括任务背景、软着陆过程的关键技术难点以及面临的挑战。
在此基础上，重点阐述轨道设计与控制策略在软着陆过程中的重要性，以及优化模型建立的必要性。
文章将综述国内外在月球软着陆轨道设计与控制策略方面的研究成果，包括轨道优化方法、制导与控制策略、以及着陆精度与稳定性等方面的研究现状。
通过对比分析，总结现有研究成果的优点和不足，为后续的优化模型建立提供理论依据。
本文将提出一种针对嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的优化模型。
该模型将综合考虑轨道动力学特性、制导与控制算法、着陆环境等多因素，通过数学建模和仿真分析，实现对轨道设计与控制策略的优化。
还将对优化模型进行验证和评估，以确保其在实际应用中的可行性和有效性。
本文的研究不仅有助于提升我国探月工程及深空探测任务的技术水平，还可为其他航天器在复杂环境下的轨道设计与控制提供有益的借鉴和参考。
二、月球环境及轨道特性分析在进行嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的优化之前，首先需要对月球的环境和轨道特性进行深入的分析。
月球，作为地球的唯一天然卫星，其表面环境复杂多变，重力场分布不均，且没有大气层保护，这些特点对嫦娥三号的软着陆轨道设计和控制策略提出了更高的要求。
月球的重力场分布对轨道设计有着直接的影响。
由于月球内部质量分布不均，其重力场呈现出复杂的特性，尤其是月球表面附近的重力梯度变化较大。
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略引言嫦娥三号是中国国家航天局于2013年发射的一颗月球探测器，是继嫦娥一号和嫦娥二号之后的一次新的月球探测任务。
嫦娥三号的软着陆任务是该探测器的主要任务之一，为了成功完成软着陆，需要设计合理的轨道和采取适当的控制策略。
本文将介绍嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的相关内容。
轨道设计软着陆任务的轨道设计是非常关键的一部分，主要目标是使探测器能够安全地降落在预定的着陆点附近。
以下是嫦娥三号软着陆轨道设计的几个关键要点：初始轨道嫦娥三号在发射后进入地月转移轨道，然后通过月球捕获进入月球轨道。
根据探测器的设计和任务需求，在进入月球轨道后，会通过一系列轨道调整来使探测器逐渐接近预定的着陆点。
着陆区域选择着陆区域的选择是轨道设计的关键一步。
根据对月球表面的地形和气象条件的分析，选择了一个相对平坦且没有大型障碍物的区域作为着陆点的候选区。
在进一步的分析和评估后，最终确定了嫦娥三号的着陆点。
轨道调整为了使探测器能够准确着陆在预定的着陆点附近，需要进行轨道调整。
根据着陆点与当前轨道的相对位置和速度，通过发动机喷射和航天器姿态调整，逐渐调整探测器的轨道，使其进一步接近预定的着陆点。
着陆点验证在探测器接近着陆点之前，需要进行着陆点验证。
这一步骤涉及探测器的高度、速度、姿态等多个参数的实时监测和控制。
通过与地面的通信和数据传输，控制中心可以对探测器的状态进行监测，并根据实时数据对轨道进行微调，以确保探测器能够准确着陆在预定的着陆点附近。
控制策略为了使嫦娥三号能够实现软着陆，需要采取适当的控制策略。
以下是嫦娥三号软着陆的主要控制策略：六自由度控制嫦娥三号在整个软着陆过程中，需要进行六自由度控制，即控制飞行器在三个方向上的平移运动和三个方向上的旋转姿态。
通过控制发动机的推力和调整航天器的姿态，可以实现对飞行器的六自由度运动的控制。
引力偏航在探测器接近月球表面时，月球的引力将会对探测器产生摄动。
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要随着人类的进步和科技的发展，人类对太空和月球的探索已经取得了很大的进步。
我国的探月工程项目也一直走在世界前列。
嫦娥三号是我国首次实行外天体软着陆任务的飞行器，在世界上首先实现了地外天体软着陆自主避障。
对于嫦娥三号软着陆过程虽然有很多的研究成果，但这仍然是一个永远值得我们研究的问题。
本文首先分析了嫦娥三号运行轨道的近月点和远月点的速度，然后确定了近月点和远月点的位置。
在这基础上，对嫦娥三号软着陆轨道进行拟合确定，通过制导技术分析六个阶段最优控制策略。
最后，对确定的轨道和最优控制策略进行误差分析和敏感性分析。
在对问题一近月点和远月点位置确定和速度分析时，本文建立了动力学模型，通过万有引力定律求得在近月点的飞行速度为1.67km/s，在远月点的速度为1.63km/s，然后用微元迭代的方法，解得近月点的位置19.51W,32.67N,15km，远月点的位置160.49E,32.67S，100km。
在轨道的确定过程中，为了便于研究，将嫦娥三号软着陆的轨道划分为三个阶段。
第一个阶段是从近月点到距月球表面2400米的高空，在这一阶段的研究中，本文建立了基于软着陆二维动力学模型，然后根据所得到的数据确定轨道，进而用MATLAB拟合出轨道。
第二阶段是从距月球表面2400米到4米，考虑到要避开月球表面障碍物，所以，用MATLAB将附件 3中的图像进行平面和三维作图，从而根据所做出的图像确定出此阶段的运行轨道。
在第三阶段的划分是嫦娥三号从4米处开始做自由落体运动，这个阶段的轨迹是一条直线。
在六个阶段运动过程的最优控制策略研究中，首先运用显示制导法进行六个阶段燃料的最优控制，约束条件是嫦娥三号在每个阶段燃料的使用尽量少。
然后用模拟退火遗传算法对六个阶段的轨道最优化进行设计，得出嫦娥三号着陆过程每个阶段最优轨道控制，通过避障制导技术得出嫦娥三号软着陆六个阶段的最优控制策略。
关键词：二维动力学模型最优控制策略显示制导法一. 问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
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嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略一、本文概述Overview of this article随着人类对太空探索的日益深入，月球作为地球的近邻，已成为空间科学研究的热点。
嫦娥三号作为我国月球探测工程的重要组成部分，其成功实施软着陆任务，标志着我国成为世界上少数几个掌握月球软着陆技术的国家之一。
本文旨在探讨嫦娥三号软着陆轨道的设计与控制策略，以期为未来的月球探测任务提供有益的参考和借鉴。
With the increasing depth of human space exploration, the moon, as a close neighbor of the Earth, has become a hot topic in space science research. As an important component of China's lunar exploration project, Chang'e-3 successfully implemented a soft landing mission, marking China as one of the few countries in the world to master lunar soft landing technology. This article aims to explore the design and control strategies of the Chang'e-3 soft landing orbit, in order to provide useful reference and inspiration for future lunar exploration missions.本文将对嫦娥三号软着陆任务进行简要介绍，包括任务目标、着陆环境分析以及技术难点等方面。
接着，文章将详细阐述软着陆轨道的设计原则与优化方法，包括轨道参数的确定、轨道稳定性分析以及轨道优化算法的应用等。
嫦娥三号自主避障软着陆控制技术一、概述《嫦娥三号自主避障软着陆控制技术》一文旨在深度剖析中国嫦娥三号月球探测器在实现月面自主避障软着陆过程中所采用的一系列关键技术和创新策略。
作为中国探月工程二期的标志性任务，嫦娥三号的成功着陆不仅标志着中国成为世界上第三个实现月面软着陆的国家，更因其前所未有的自主避障能力，展现了我国在深空探测领域卓越的自主导航、控制与决策技术水平。
软着陆控制技术是确保嫦娥三号在月球复杂地形环境下安全降落的核心环节。
面对月球表面未知的岩石、陨石坑、陡坡等潜在威胁，嫦娥三号采用了先进的自主避障系统，该系统集成了高精度传感器、高速数据处理单元、智能规划算法以及精密执行机构，能够在实时飞行条件下自主识别潜在障碍，动态规划出安全的下降路径，并精准控制探测器的姿态和推进力，以确保在最后阶段实现厘米级的精确着陆。
文章首先回顾了嫦娥三号软着陆任务的整体架构与技术需求，阐述了软着陆过程中的各个关键阶段，包括主减速段、快速调整段、接近段、悬停段、避障段以及缓速段，详细解析了每个阶段的技术难点与应对策略。
特别强调的是，嫦娥三号在距离月面约100米高度时启动的精避障段，利用搭载的光学相机获取高分辨率图像，构建三维数字高程图，通过复杂的图像处理与地形分析算法，迅速识别出可能影响着陆安全的障碍物，并据此制定出最优的避障策略。
文章进一步深入探讨了嫦娥三号自主避障系统的组成与工作原理，揭示了其如何通过多源信息融合、实时障碍检测、避障路径规划与重规划、以及高精度姿态控制等先进技术手段，实现在复杂光照条件和极端温度变化下的稳定、高效运行。
还介绍了嫦娥三号在软着陆过程中所采用的故障诊断与容错控制机制，确保在面临异常情况时能够及时采取应急措施，保证任务的顺利完成。
《嫦娥三号自主避障软着陆控制技术》一文旨在全方位展现嫦娥三号在软着陆控制领域的技术创新与实践成就，通过对关键技术细节的剖析与案例解读，为后续深空探测任务的着陆控制技术发展提供宝贵的参考经验与技术启示。
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略主要包括以下几个方面：
1. 软着陆轨道设计：软着陆轨道的设计需要考虑月球表面
地形、重力场和空间作业的要求。
首先，设计轨道需要确
保探测器能够顺利进入月球附近的轨道，进而实施软着陆。
其次，为了使探测器能够顺利降落，轨道还需要考虑月球
引力和空气动力学效应对探测器轨道的影响。
最后，软着
陆轨道的设计还需要考虑将来返回地球的任务，包括能量
消耗和轨道调整等问题。
2. 控制策略：软着陆任务中的控制策略主要包括推力控制、轨道调整和姿态控制等方面。
推力控制主要用于改变探测
器的速度和轨道。
轨道调整主要用于修正轨道的偏差，使
探测器能够精确地着陆。
姿态控制主要用于控制探测器在
着陆过程中的姿态，使其保持稳定并能够准确降落。
3. 轨道测控技术：嫦娥三号软着陆任务需要使用测控技术
对探测器进行实时监测和控制。
测控技术包括测量探测器
的位置、速度和姿态等参数，同时还需要进行数据处理和
指令传输等操作。
通过轨道测控技术，可以及时对软着陆
过程进行监测和调整，确保探测器能够准确地实施软着陆。
总的来说，嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略需要综合
考虑轨道动力学、月球引力和地形、轨道调整和姿态控制
等因素，通过合理的设计和控制策略，使探测器能够准确
地着陆并顺利完成任务。
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略引言嫦娥三号（Chang'e-3）是中国国家航天局（CNSA）于2013年发射的探月任务。
作为中国首个实现月面软着陆的任务，嫦娥三号的轨道设计与控制策略至关重要。
本文将探讨嫦娥三号的软着陆轨道设计以及相应的控制策略。
一、轨道设计1.1 软着陆的定义软着陆是指在着陆过程中，飞船的速度和加速度较小，从而减小着陆冲击力，降低着陆事故的风险。
嫦娥三号软着陆的主要目标是保证飞船及上面搭载的月球车的安全着陆。
1.2 轨道选择嫦娥三号选择了椭圆轨道进行软着陆。
这是因为椭圆轨道在进入月球表面前可以实现速度和加速度的逐渐减小，从而使得软着陆更加稳定和可控。
1.3 轨道参数设计在确定椭圆轨道之后，嫦娥三号需要确定相应的轨道参数。
这些参数包括轨道离心率、轨道倾角和轨道高度等。
通过科学计算和仿真分析，嫦娥三号确定了具体的轨道参数，以便使得软着陆能够满足任务要求。
二、控制策略2.1 控制模式嫦娥三号软着陆的控制策略采取了主动控制模式。
这意味着在着陆过程中，飞船将根据实时数据进行主动调整，以保证软着陆的稳定和安全。
2.2 触发条件在软着陆的控制策略中，触发条件是十分重要的。
嫦娥三号采取了多个触发条件，包括高度、速度和倾斜度等。
当这些条件满足一定的阈值时，控制系统将自动开始软着陆程序。
2.3 控制手段嫦娥三号软着陆采用了多种控制手段，以确保着陆过程的精确控制。
其中包括推力控制、姿态控制和舵控制等。
这些控制手段能够对飞船的速度、姿态和角度进行实时调整，以实现软着陆的最佳效果。
2.4 控制算法为了实现软着陆的精确控制，嫦娥三号采用了高级的控制算法。
这些算法包括PID控制、模糊控制和神经网络控制等。
通过这些算法，嫦娥三号能够根据实时数据进行精确的控制，并及时作出调整，以确保软着陆的成功。
结论嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略在实现月面软着陆任务中起到了重要的作用。
通过适当的轨道设计和精确的控制策略，嫦娥三号成功实现了月球表面的软着陆，并为未来的探月任务提供了宝贵的经验。
月球软着陆自主导航、制导与控制问题研究共3篇月球软着陆自主导航、制导与控制问题研究1月球软着陆自主导航、制导与控制问题研究随着人类探索宇宙的步伐不断加快，月球作为我们最近的天体之一，成为了人类深入了解太阳系和宇宙的一个窗口。
而在月球科学考察中，如何实现月球软着陆成为了一个重要问题。
针对月球自主导航、制导与控制问题的研究，可以为未来月球探测任务提供重要的技术支撑。
月球的自主导航主要是针对月球探测器在起飞、降落以及控制等方面进行研究。
在月球起飞时，需要掌握发动机的运行情况以及控制即将起飞的探测器的角度和速度。
因此，对于发动机性能的准确掌握以及准确定位是关键。
在降落阶段，导航控制系统需要根据探测器与月球地面的实时距离和速度来进行自主导航和控制。
同时，还需要考虑地形高差的变化、喷气推力方向的变化、气动阻力的变化等多种因素，并进行反馈控制来保证安全着陆。
针对月球的自主制导问题，需要从月球表面环境的特点出发进行考虑。
由于月球环境对探测器的影响，比如重力、气压、温度等因素与地球截然不同，因此需要对控制系统有更高的要求。
在控制系统里，要把握好制导精度和控制周期两个指标。
对于制导精度，可通过制导传感器实时获取距离和角度等相关信息，来快速、准确地反馈给控制器，从而改变探测器的飞行轨迹和朝向。
同时，必须使用快速响应的推进器，确保探测器的运动能够及时地跟随制导信号。
在控制周期上，需要尽量减少探测器与月球地面失去联系的时间，确保各个控制环节的协调配合，使得控制系统能够对探测器进行有效的导航和控制。
月球软着陆的控制是整个探测任务中最关键的一个环节。
由于月球表面环境影响较大，如月球表面的粗糙度、地形的高差等，软着陆的难度比较大。
需要在控制系统中通过对摩擦力抵消和推力信号控制等动力学控制策略的运用，实现探测器从空中到柔软着陆的顺畅过渡。
此外，还需要考虑到增量控制、反馈控制以及模型预测控制等多种质量控制策略，以帮助探测器实现更稳定、可靠的控制。
月球软着陆控制系统综合仿真及分析摘要：月球探测特别是着陆探测已成为航天任务中的热门话题，本文针对月球软着陆的控制系统问题进行讨论分析，并利用仿真软件进行仿真验证。
首先建立了月球软着陆的动力学模型，然后采用多项式制导律确定径向最优轨迹和燃耗次优控制方向角，最后利用MATLAB，Simulink验证方法的可行性。
通过改变初始状态，讨论了参数偏差对最终着陆状态的影响。
分析表明除着陆平面外法线方向的速度w偏差可能导致状态发散外，多项式制导律可以较好的应对其他参数造成的偏差，保证探测器实现软着陆。
关键词：软着陆，最优轨迹，多项式制导律，燃耗次优1. 引言在月球探测带来巨大利益的驱使下，世界各国纷纷出台了自己的探月计划，再一次掀起了新一轮探月高潮。
在月球上着陆分为两种，一种称为硬着陆，顾名思义，就是探测器在接近月球时不利用制动发动机减速而直接撞击月球。
另一种称为软着陆，这种着陆方式要求探测器在距月面一定高度时开启制动系统，把探测器的速度抵消至零，然后利用小推力发动机把探测器对月速度控制在很小的范围内，从而使其在着陆时的速度具有几米每秒的数量级。
显然，对于科学研究，对探测器实施月球软着陆的科学价值要大于硬着陆。
图1 月球软着陆过程示意图在月球表面成功实施软着陆是进行月球探测的关键性技术，更是进行航天员登月、建立月球基地必不可少的一个环节，深入地研究和掌握月球软着陆技术、方法也正是为了达到这个目的。
软着陆是相对于硬着陆来说的。
硬着陆就是飞行器在重力作用下不采取任何减速措施，相当于“掉下来”。
这是一种破坏性的着陆方式，一般用在一次性的飞行器上，比如月球探测卫星，完成任务后就扔到月球上去，不用管了。
软着陆就是在落地之前通过一定的手段减小垂直速度，使之以一个可以接受的速度落地，以保护飞行器和航天员。
目前月球软着陆方式主要有以下两种方式：第一种就是直接着陆的方式。
探测器沿着击中轨道飞向月球，然后在适当的月面高度实施制动减速，最终使探测器软着陆于月球表面。
采用该方案时，探测器需要在距离目标点很远时就选定着陆点，并进行轨道修正。
不难发现，该方法所选的着陆点只限于月球表面上接近轨道能够击中的区域，所以能够选择的月面着陆点的区域是相当有限的。
第二种方法就是先经过一条绕月停泊轨道，然后再伺机制动下降到月球表面，如图1所示。
探测器首先沿着飞月轨道飞向月球，在距月球表面一定高度时，动力系统给探测器施加一制动脉冲，使其进入一条绕月运行的停泊轨道；然后根据事先选好的着陆点，选择霍曼变轨起始点，给探测器施加一制动脉冲，使其进入一条椭圆形的下降轨道，最后在近月点实施制动减速以实现软着陆。
与第一种方法相比，第二种方法有以下几个方面较大的优越性：1. 探测器可以不受事先选定着陆点的约束，可以在停泊轨道上选择最佳的着陆点，具有很大的选择余地。
2. 在停泊轨道上，可以对探测器上的设备进行全面的检查、修正，为下一步的霍曼变轨段做好准备。
如果是载人登月，停泊轨道还可以给航天员以充足的准备时间，做好心理等方面的准备。
3. 由于可以把轨道舱停留在停泊轨道上，而只控制着陆舱(包括下降发动机、推进剂、GNC 系统和在月面上作业的有效载荷等)降到月球表面，故可以减少探测器着陆部分的质量，从而减少着陆过程推进剂的消耗。
4. 在载人登月时，如果发生紧急情况，飞船可以从停泊轨道转入返回地球的过渡轨道。
本课程设计以第二种着陆方式为基础，将对主制动段的制导与控制进行建模仿真与分析。
下面将对主制动段作一简要说明，在停泊轨道上，探测器在脉冲制动的作用下，经霍曼变轨，下降到距月面大约 15公里的近月点，该近月点就是主制动段的初始制动点。
主制动段以下是障碍检测与规避和最终着陆段。
在主制动段，由于探测器的初始速度很大 (1.692km/s)，所以主制动段制导律设计的主要目的就是高效抵消此速度，将探测器导引到期望的末端状态。
图2 探测器软着陆过程示意图在软着陆过程中，主制动段的制导至关重要，关系着探测器软着陆的成功与否。
通过主制动段的制导，探测器被导引到距月面很近的高度 (2公里左右)，速度近似为零，姿态尽可能垂直于月球表面。
其次，考虑到探测器所带燃料的有限性，主制动段的制导还要实现燃耗的最优性。
为了保证机载设备完好，制导律规划的最优或次优轨迹还要尽可能地平缓，以减小对机载设备的过载冲击。
此外，为了有效的实现月球软着陆，所设计的制导律还应对常见误差具有一定的鲁棒性。
2. 月球软着陆动力学模型首先定义两个月球软着陆坐标系。
第一个是月心惯性坐标系I I I I O x y z ：原点I O 选在月心，I I O x 轴指向动力下降段起始点，I I O y 轴垂直于I I O x 轴指向着陆点方向，I I O z 轴按右手法则确定。
探测器在空间的位置可由r ，α，β表示成球坐标的形式，r 为从月心到探测器的距离，α，β表示月球经度和纬度。
第二个就是探测器轨道坐标系o o o Ox y z ：原点O 选在探测器质心，o Ox 轴与从月心到探测器质心的矢径方向重合，背离月心方向为正，o Oy 轴垂直于o Ox 指向运动方向为正，o Oz 按右手法则确定。
制动推力T 的方向与探测器本体轴重合，ψ，ϕ为在轨道坐标系中表示的推力方向角，如图。
假设制动发动机为常推力液体发动机，忽略月球自转，则月球软着陆动力学方程可表示为：3m r δμ=-F rr （1） 其中， ()'''2=+⨯+⨯⨯⨯r r r r +r ωωωωr 是探测器月心距矢径，r ，r 分别表示径向加速度和速度，ω为轨道坐标系相对惯性系的角速度矢量，δ为制动推力开关函数，μ为月球引力常数，m 为探测器质量。
用u 、v 、w 表示上述动力学方程可得：()2222/(sin )cos sin cos tan sin sin tan r uvr w r v w F u m r r F uv w v m r r F uw vw w m r r F m C βαβδψμδψϕβδψϕβ⎧⎪⎪=⎪⎪=⎪⎪+=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎪⎪=--⎪⎪⎪=-⎪⎩=（2） 其中，F 为常推力发动机推力大小，ψ、ϕ为轨道坐标系下推力矢量的方向角，sp E C I g =，sp I 为发动机比冲，E g 为地表重力加速度常数。
3. 月球软着陆制导控制方案在月球软着陆任务中，主制动段制导律设计是整个着陆任务中最重要的一环之一。
首先，本节对探测器在轨道坐标系下建立动力学模型，根据简化的动力学方程，提出探测器径向最优轨迹模型，然后根据该模型设计多项式显示制导方法。
在设计过程中，对探测器各速度矢量和加速度矢量之间的几何关系进行分析。
1 径向最优轨迹模型研究由式2可以看出，月球软着陆动力学模型为一非线性系统，为求得显示制导律，有必要在不影响着陆目标的前提下对上述模型再做更进一步的简化。
对于径向运动，假设在软着陆过程中月球引力场是均匀的，且引力加速度为一常值2LR μ，这里L R 为月球平均半径，则由图3可直接列写出径向运动方程为：2cos Lr u F u m R μψ==- (3) 其中，r 和u 分别表示垂直方向的位置和速度。
对于探测器，有0Ftm m C=-（0m 为探测器初始质量），当0Ftm C<<时，可对推力加速度做一阶Taylor 展开： 001F F Ft m m m C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(4) 最优控制方向角可以分为两部分：一部分是用于满足目标点速度矢量所产生的控制角，一部分是用于满足目标点位置矢量所产生的附加控制角，且该部分为小量。
由此，可设最优控制角ψ为012p p t ψψ=++ (5)其中0ψ为满足目标点速度矢量部分，1p 和2p 为满足目标点位置矢量所产生的附加控制角量值参数，那么：01020cos cos sin sin p p t ψψψψ=--（6）将式5和式6带入式3可得：()2220010202000001020sin cos sin sin cos sin LF F F Fu p t p p tm C m m C m C F p m R ψψψψμψψ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭+-- （7）由前人工作可知，在径向的最优着陆轨迹可由一关于时间t 的四次多项式来完全表示：23401234r k k t k t k t k t =++++（8）其中，()0,1...4i k i =为多项式的系数，可通过系统边值条件来确定。
在动力下降段，制动推力主要用来满足探测器终端速度约束，因此用于满足终端位置约束的控制推力仅占一小部分，也就是说10p →。
此外，此推力控制推力的设计要求高效率的抵消初始速度，因此制动推力角0ψ近似等于90度，则式7可近似表示为：22222200LF F u p t p t m C m R μ=---（9）对式8求二阶导数可得：22342612r k k t k t =++ （10）由式9、式10两式可得：4302k Fk m C=（11） 而0Ftm C<<，所以可以忽略4k 。
由此，可以分别用一个三次多项式和二次多项式来近似表示探测器径向距离和径向速度。
2 燃耗次优控制方向角确定 现在，根据上一节的推导，分别用一个关于局部时间τ的三次多项式和二次多项式来近似表示月心到探测器质心之间的距离r 和径向速度u ：23012312323r k k k k u k k k τττττ=+++=++（12）这里的τ为局部时间，它以当前时刻t 为初始时刻，其取值范围为0,go t ⎡⎤⎣⎦，go t 为剩余时间，定义为探测器从当前时刻开始到达目标点所用的时间。
式12中个系数可以由以下初始条件和终端条件确定：()()()0,;0,()go f go f r r r t r u u u t u ====其中， f r 表示径向距离终端约束，f u 表示径向速度终端约束。
由此可以求出式12各系数，得：()()223f go f gogor r ut u u t k t----=（13）对式12中的u 求导可得当前时刻的径向加速度：()()22622f go f gogor r ut u u t a k t ----==（14）下面来分析探测器各瞬时加速度矢量和速度矢量之间的几何关系。
图4和图5分别为探测器在轨道坐标系下垂直平面内的加速度矢量几何关系示意图和水平面内的速度矢量几何关系示意图。
其中，a 为径向加速度，F a 为推力加速度，H a 为加速度水平分量；V 为速度矢量在水平面内的投影，F V 为水平终端约束速度，C V 为由V 变到F V 所需的速度增量。
由动力学方程式2中第4式可以看出，径向加速度a 是由月球引力加速度、向心加速度和推力加速度径向分量组成的，根据图4各加速度之间的几何关系即可写出推力角ψ的三角函数关系。
