中考数学：函数与方程、不等式关系

知识总结,关于不等式的性质,以及函数方程不等式之间的联系本文分析了不等式的定义、性质及函数方程不等式之间的联系。

首先，我们讨论了不等式概念的基本概念，包括不等式的类型和不等式组；其次，我们探讨了不等式的性质，比如非负性、可加性和对称性等；最后，我们研究了不等式方程与函数不等式之间的联系。

一、不等式的定义不等式是数学中最基本的概念之一，它表示两个数的大小关系。

它的具体定义可以表达为：如果a、b是数，且a≠b，那么根据其大小关系，存在如下不等式：a>b（a大于b）、a≥b（a大于等于b）、a<b（a小于b）、a≤b（a小于等于b）。

不等式组指的是由多个不等式组成的集合，它是一种非常有用的数学工具，可以被用来描述更多有趣且复杂的结果。

不等式组可以根据其形式来分类，常见的不等式组有：单不等式、多个不等式连续构成的多个不等式组、范围不等式组等。

二、不等式的性质不等式性质指的是不等式具有的一系列普遍性质，它们可以帮助我们协助理解不等式的表达和运用。

常见的不等式性质有：1.负性：我们知道大于号的符号表示结果大于零，而小于号的符号表示结果小于零，这就限定了不等式的结果一定是大于或小于零。

2.加性：任何两个不等式可以加在一起，等价于将两个不等式结合起来，例如a<b 与 c<d，把它们加在一起可以得到a+c < b+d。

3.称性：一个不等式的符号可以和相反的符号交换形成新的不等式，例如a<b 与 b>a，它们是等价的。

4.合性：一个不等式可以和多个不等式结合，并可以生成更大的不等式，例如a<b 与 c<d以构成a+c<b+d。

三、函数方程与不等式之间的联系在很多数学问题中，不等式和函数方程经常会被混合使用，因为它们之间有一定的联系。

函数方程与不等式之间的联系可以表示为：函数方程是一个数学表达式，它可以定义函数的输入和输出值之间的关系，例如 y=f(x)，表示y是x的函数；而不等式可以表示两个值之间的大小关系，例如y>f(x)，表示y大于x的函数。

中考数学复习：函数与方程、不等式的关系1．函数与方程的关系（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值．2．函数与不等式的关系（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．例题讲解例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．例2已知y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围．解：因为抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A（1，－1）和点B（－1，1），代入得a＋b＋c＝－1，a－b＋c＝1，所以a＋c＝0，b＝－1，则抛物线y＝ax²－x－a，对称轴为x＝12a．①当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝12a＜0，如图可知，当12a≤－1时符合题意，所以－12≤a＜0．当－1＜12a＜0时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．②当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝12a＞0．如图可知，当12a≥1时符合题意，所以0＜a≤12．当0＜12a＜1时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．综上所述，a的取值范围是－12≤a＜0或0＜a≤12．例3在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，'b）给出如下定义：1 '1b abb a ≥⎧=⎨-<⎩，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．（1）若点P在函数y＝﹣x＋3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2，求k的取值范围；（2）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx＋t2＋t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．解：（1）依题意，y＝﹣x＋3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点必在函数y＝313-21x xx x-+≥⎧⎨-≤<⎩的图象上．∴b′≤2，即当x＝1时，b′取最大值2．当b′＝﹣2时，﹣2＝﹣x＋3．∴x＝5．当b′＝﹣5时，﹣5＝x﹣3或﹣5＝﹣x＋3．∴x＝﹣2或x＝8．∵﹣5≤b′≤2，由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．（2）∵y＝x2﹣2tx＋t2＋t＝（x﹣t）2＋t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2＋t]，即n＝﹣[（1﹣t）2＋t]．∴s＝m﹣n＝t＋（1﹣t）2＋t＝t2＋1．∴s关于t的函数解析式为s＝t2＋1（t≥1），当t＝1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．1）；点B；5≤k≤8；s≥2．进阶训练1．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个不同的实数根m ，n （m ＜n ），方程x 2＋ax＋b ＝1有两个不同的实数根p ，q （p ＜q ），则m ，n ，p ，q 的大小关系为（ ）A ．m ＜p ＜q ＜nB ．p ＜m ＜n ＜qC ．m ＜p ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜nB【提示】 函数y ＝x 2＋ax ＋b 和函数y ＝x 2＋ax ＋b －1的图像如图所示，从而得到p ＜m ＜n＜q解：函数y ＝x 2＋ax ＋b 如图所示： xq n m p O2．在平面直角坐标系xOy 中，p （n ，0）是x 轴上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线，交一次函数y ＝kx ＋b 的图像于点M ，交二次函数y ＝x ²－2x －3的图像于点N ，若只有当－2＜n ＜2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的表达式．y ＝－2x ＋1【提示】 依据题意并结合图像可知，一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2－（2m＋1）x＋m－5的图像与x轴有两个公共点，若m取满足条件的最小整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值n的值为－2【提示】根据已知可得m＝1．图像的对称轴为直线x＝32．当n≤x≤1＜32时，函数值y随自变量x的增大而减小，所以当x＝1时，函数的值为－6，当x＝n时，函数值为4－n．所以n2－3n－4＝4－n，解得n＝－2或n＝4（不符合题意，舍去），则n的值为－2。

2023年中考数学一轮复习专题提优练习函数与方程、不等式的关系一、选择题1．如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＞4的解集为（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．x＜42．如图，一次函数y＝k1x+b1的图象l1与y＝k2x+b2的图象l2交于点P，则方程组的解是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线y ＝（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（）A．﹣12 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣44．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4第1题第2题第3题第4题5．二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n 的x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜0 B．x＜﹣3或x＞0C．x＜﹣3 D．0＜x＜3第5题第6题6．如图，直线y＝kx+b与直线y＝mx相交于点A（﹣1，2），与x轴相交于点B（﹣3，0），则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（）A．x＞﹣3 B．﹣3＜x＜﹣1 C．﹣1＜x＜0 D．﹣3＜x＜07．根据关于x的一元二次方程x2+px+q＝0，可列表如下：则方程x2+px+q＝0的正数解满足（）x0 0.5 1 1.1 1.2 1.3x2+px+q﹣15 ﹣8.75 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是28．二次函数y1＝x2+bx+c与一次函数y2＝kx﹣9的图象交于点A（2，5）和点B（3，m），要使y1＜y2，则x的取值范围是（）A．2＜x＜3 B．x＞2 C．x＜3 D．x＜2或x＞3二、填空题9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝．10．如图，在抛物线y1＝ax2（a＞0）和和y2＝mx2+nx（m＜0）中，抛物线y2的顶点在抛物线y1上，且与x轴的交点分别为（0，0）（4，0），则不等式（a﹣m）x2﹣nx＜0的解集是．第9题第10题第11题11．如图，二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx的图象交于点A和原点O，点A的横坐标为﹣4，点A和点B关于抛物线的对称轴对称，点B的横坐标为1，则满足0＜y1＜y2的x的取值范围是．12. 如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解是．13. 如图所示，函数y＝ax+b和y＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是．14. 若函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集为第12题第13题第14题15.已知抛物线y＝ax2+bx+c与双曲线y＝有三个交点A（﹣3，m），B（﹣1，n），C（2，p），则不等式ax3+bx2+cx﹣k2＞0的解集为．三、解答题16．在平面直角坐标xOy中，直线y＝kx+2（k≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），与曲线y＝x3交于点B（m，3.52）．（1）求k和m的值；（2）根据函数图象直接写出x3＞kx+2的解集．17.如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象相交于A，B两点，且与坐标轴的交点为（﹣6，0），（0，6），点B的横坐标为﹣4．（1）试确定反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出不等式的解．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（﹣3，﹣12）．（1）求此二次函数的表达式；（2）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，若锐角∠PCO＝∠ACO，写出此时点P的坐标；（3）若直线l：y＝kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由．19.2020年中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）（0≤x≤11）的变化情况，数据如下表：时间x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11（分钟）人数y0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 800 770（人）（1）根据这11分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？20.如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线对应的函数关系式；（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．。

一元二次函数、方程和不等式一、定义1、等式的定义等式是数学中表示两个量或两个表达式之间相等关系的式子。

它由等号（=）连接，等号两边的数值或表达式在特定条件下是相等的。

换句话说，如果两个量或两个表达式用等号连接，那么这两个量或表达式就构成了等式。

2、不等式的定义不等式是数学中表示两个量或两个表达式之间大小关系的式子。

它不使用等号（=）连接，而是使用大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）或不等号（≠）这样的关系符号来连接两边的数值或表达式。

二、性质1、等式的性质：性质1：如果a=b ，那么b=a性质2：如果a=b ，b=c ，那么a=c性质3：如果a=b ，那么a±c=b±c性质4：如果a=b ，那么ac=bc 。

性质5：如果a=b ，c ≠0，那么c b c a =2、不等式的性质：性质1：如果a ＞b ，那么b ＜a;如果b ＜a ，那么a ＞b ．即：a ＞b ⇔b ＜a 。

性质2：如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c 。

即：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ．性质3：如果a ＞b ，那么cb c a ++＞性质4：如果a ＞b ，c>0，那么ac ＞bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc性质5：如果d c b a ＞，＞，那么db c a ++＞性质6：如果0d c 0b a ＞＞，＞＞，那么bdac >性质7：如果a ＞b ＞0，那么），（＞2n n b a nn ≥∈N三、基本不等式对于∀a ＞0，b ＞0，ab 2b a ≥+变形为2b a ab +≤①当且仅当a=b 时，等号成立．通常我们称不等式①为基本不等式。

其中2b a +叫做正数a ，b 的算术平方根，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、用分析法证明基本不等式分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止要证明2b a ab +≤，只要证明b a ab 2+≤，要证明b a ab 2+≤，只要证明0b a ab 2≤--，要证明0b a ab 2≤--，只要证明0b a 2≤--）（，要证明0b a 2≤--）（，只要证明0b a 2≥-）（，很显然，平方恒大于等于0，0b a 2≥-）（成立，当且仅当a=b 时，0b a 2≥-）（中的等号成立。

二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系在数学领域中，二次函数与二元一次方程、不等式的解之间存在着密切的对应关系。

本文将从简单到复杂的角度，全面评估这一主题，并据此撰写一篇有价值的文章，以便读者更深入地理解这一关系。

一、二次函数的基本形式我们首先来了解二次函数的基本形式。

二次函数通常具有以下标准形式：f(x) = ax^2 + bx + c。

其中，a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。

1. 二次函数图像的特点二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。

当a > 0时，图像开口向上；当a < 0时，图像开口向下。

二次函数的顶点坐标为：(-b/2a, f(-b/2a))。

2. 二次函数的零点二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，也就是函数图像与x轴的交点。

要求出二次函数的零点，可以使用求根公式或配方法，进而得到对应的解。

二、二元一次方程、不等式的基本形式接下来，我们将了解二元一次方程和不等式的基本形式，以及它们与二次函数解之间的联系。

1. 二元一次方程的一般形式二元一次方程一般可表示为：ax + by = c。

在解二元一次方程时，通常采用代入、相消、加减消元法等方法，最终得到方程的解。

2. 二元一次不等式的一般形式二元一次不等式的一般形式为：ax + by > c或ax + by < c。

解二元一次不等式时，同样可以通过代入法等方式，最终得到不等式的解集合。

三、二次函数与二元一次方程、不等式解的对应关系了解了二次函数和二元一次方程、不等式的基本形式后，接下来我们来探讨它们之间的对应关系。

1. 二次函数的解与二元一次方程的关系对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其解即为方程f(x) = 0的解。

而方程f(x) = 0可以化为ax^2 + bx + c = 0的形式，与一元二次方程的形式一致。

浅谈方程、函数、不等式三者之间的关系作者：谢文芳来源：《学校教育研究》2014年第24期在初中阶段，方程、函数、不等式都是比较重要的知识点。

在初中数学教学中占重要地位。

对于它们之间的关系应该如何理解和认识，在这里笔者谈一点粗浅看法。

第一，函数、方程和不等式是初中数学学习的主要内容之一。

这三部分内部之间有着很密切的联系，知识点体系主要采用以函数为主线，将函数图像、性质和方乘及不等式的相关知识，进行综合运用，用函数观点看方程（组）与不等式数形结合思想的又一体现，它交给我们从另一个方位来思考方程（组）与不等式的问题，让人耳目一新，让我们领略了数学思维的多元性，进一步体验了数形结合的重要性。

在学习方程和不等式的时候加入与函数的联系，在学习中让学生比较好的理解它们之间的内在的联系是十分重要的内容，这也是初中阶段数学最为重要的内容之一。

而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。

因此，应该重视这部分的教学。

第二，在教学中，这部分内容应该抓好两个要点：第一个要点是各个内容之间相关概念之间的联系、第二个要点是各个内容之间相关性质之间的联系。

例如，方程与函数之间相对应问题？实际上，想对应的问题就是求函数的零点，即函数图像与横轴交点的横坐标的值。

在不等式中，方程的根又是如何体现的？方程的根就是不等式解集中的特殊值。

反之，函数的零点从方程的角度看，就是方程的根，从不等式的角度看，就是解集中的特殊的解。

不等式的解集从函数的角度看，就是图像在横轴的上方或下方，从方程的角度看，就是先解方程，求出方程的根，以两根为端点写出不等式的解集。

这三个不同内容之间，一些概念是相通的，但是名称又不完全一样。

但本质上是一致的。

1.一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（1 ，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立;•直线y=ax+b 在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解;在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解。

函数、方程与不等式的关系在数学中，函数、方程和不等式是常见的数学概念。

它们在数学问题的建模和解决中起着重要的作用。

本文将介绍函数、方程和不等式之间的关系，包括它们的定义、特点以及它们之间的相互转换等方面。

一、函数的定义与方程不等式的关系函数是指自变量与因变量之间的一种关系。

函数可以通过方程或不等式来表示和描述。

在代数中，函数通常由一个公式、图表或图形来表示，其中自变量和因变量的关系可以通过一个方程或不等式来表示。

方程是指一个等式，其中包含一个或多个变量，并且通过一个或多个数值来满足等式。

方程可以是一元的或多元的。

一元方程中只有一个未知量，例如：x + 2 = 5多元方程中有两个或更多的未知量，例如：2x + 3y = 7不等式是指一个不等式关系，其中包含一个或多个变量，并且不等号可以是小于、大于、小于等于或大于等于等不等关系。

不等式可以是一元的或多元的。

一元不等式的例子包括：x + 3 > 7多元不等式的例子包括：2x + 3y ≤ 10二、函数、方程与不等式之间相互转换函数、方程和不等式之间存在一定的相互转化关系。

在某些情况下，函数可以通过方程或不等式来表示，而方程和不等式也可以通过函数来表示。

1. 方程转化为函数：当给定一个方程时，我们可以根据方程中的变量和其他已知的数值，构造出一个函数。

例如，对于方程y = 2x + 3，我们可以构造一个函数f(x) = 2x + 3，其中x为自变量，y为因变量。

这样，方程就转化为了函数的表示形式。

2. 函数转化为方程：对于一个给定的函数，我们可以根据函数的定义和性质，得到相应的方程。

例如，对于函数f(x) = 2x + 3，我们可以得到方程y = 2x + 3。

这样，函数就转化为了方程的形式。

3. 方程转化为不等式：在某些情况下，一个方程可以转化为一个不等式。

例如，对于方程2x + 3 ≤ 10，我们可以得到不等式2x + 3 < 10或2x + 3 ≤ 10。