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证明函数F(x)0xxtf(t)dt在(0, )内为单调增 0 f(t)dt
加函数.
证
dx
dx0
tf
(t)dt
xf(x)
dx
dx0
f (t)dt
f(x),
F(x)x(fx)0xf(tx )d tf(x2)0xtf(t)dt 0 f(t)dt x
F(x)f(x)0x(xt)f2(t)dt,
若上限不是 x 而是 x 的函数 a(x)，
则求导时必须按复合函数的求导法则进行
d[a(x)f(t)d]tf[a(x)a](x)
dxa
一般情况 如 果 f(t)连 续 ， a (x )、 b (x )可 导 ，
则 F (x )b (x )f(t)d的 导 t数 F (x )为 a (x )
F(x)d b(x)f(t)dt f b ( x ) b ( x ) f a ( x ) a ( x )
所 以 F ( x ) 0 即 原 方 程 在 [ 0 , 1 ] 上 只 有 一 个 解 .
定理2（原函数存在定理）
如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
数(x)ax f(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一个
原函数. 定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
dxa(x)
证
0 b (x )
F (x ) f( t) dt
a (x ) 0
b(x)
a(x)
0 f(t)dt0 f(t)d,t
F ( x ) f b ( x ) b ( x ) f a ( x ) a ( x )
1 e t 2 dt
例1 求 lim x0 [分析]：这是
三、Newton-Leibniz公式
前述变速直线运动的路程问题表明： 定积分的值等于被积函数的一个原函数 在时间区间上的增量，这个事实启发我 们去考察一般的情况，得到肯定的回答。 这就是微积分基本公式。
定理 3（微积分基本公式）
如果F(x)是连续函数f (x)在区间[a,b]上
的一个原函数，则ab f(x)dxF(b)F(a).
数(x)ax f(t)dt在[a,b]上具有导数，且它的导
数是(x)ddxax f(t)dt f(x)
y
证 (x x)a x xf(t)dt
(axb)
( x x ) ( x )
(x)
x x
x
a
f(t)d t f(t)dt a
o
a
x xxb x
a xf( t) d t x x xf( t) d a txf( t) dt
证 已 知 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
又 (x)a xf(t)d也 t是 f(x)的 一 个 原 函 数 ,
F (x ) (x ) C x[a,b]
令 xa F ( a ) ( a ) C ,
(a)a af(t)d t0 F (a)C ,
F (x)a xf(t)d tC ,
微积分基本公式
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设 某 物 体 作 直 线 运 动 ， 已 知 速 度 vv(t)是 时
间 间 隔 [T 1,T 2]上 t的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t)0，
求 物 体 在 这 段 时 间 内 所 经 过 的 路 程 .
变速直线运动中路程为
2 x 0 xf(t)d t1 在 [0 ,1 ]上 只 有 一 个 解 .
证
令
x
F (x)2x0f(t)d t1 ,
f(x ) 1 , F ( x ) 2 f( x ) 0 ,
F ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上 为 单 调 增 加 函 数 .
F (0 ) 10 ,
F(1)101f(t)dt01[1f(t)d] t0
0cos型xx 2不定. 式，应用洛必达法则.
0
解 d 1 et2dt d coxset2d,t
dx cosx
dx1
eco2xs(cox)s sixneco2xs,
1 et2ห้องสมุดไป่ตู้t
lim
x0
cosx
x2
sinxeco2sx
lim
x0
2x
1. 2e
例2 设f(x)在( , )内连续，且f(x)0.
x
af(t)d tF (x )F (a ),
令
b
xb af(x )d x F (b )F (a ).
牛顿—莱布尼茨公式
a bf(x )d x F (b )F (a )F(x)ba
注 微积分基本公式表明：
(1) 一 个 连 续 函 数 在 区 间 [a,b]上 的 定 积 分 等 于 它 在 该 区 间 上 的 任 意 一 个 原 函 数 在 区 间 [a,b]上 的
T2 v(t)dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T 2)s(T 1)
T T 12v(t)d ts(T 2)s(T 1). 其s中 (t)v(t).
二、积分上限函数及其导数
设 函 数 f(x)在 区 间 [a,b]上 连 续 ， 并 且 设 x
为 [a,b]上 的 一 点 ， 考察定积分
x
a f (x)dx
xx
y
f(t)dt, x
由积分中值定理得
(x)
oa
f() x [x ,x x ],
x xxb x
f (), lim lim f()
x
x 0x x 0
x 0, x (x )f(x ).
注 此定理表明连续函数取变上限定积分再对
上限自变量 x 求导，其结果就等于被积 函数在上限自变量 x 处的函数值
x
f (t)dt a
如 果 上 限 x在 区 间 [a,b]上 任 意 变 动 ， 则 对 于 每 一 个 取 定 的 x值 ， 定 积 分 有 一 个 对 应 值 ， 所 以 它 在 [a,b]上 定 义 了 一 个 函 数 ，
记
x
(x)a f(t)d.t
积分上限函数
积分上限函数的性质
定理１如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
0 f(t)dt f ( x ) 0 ,( x 0 )0x f(t)dt0, ( x t ) f ( t ) 0 , 0x(xt)f(t)d t0,
F (x ) 0(x 0 ).
故 F ( x ) 在 ( 0 , ) 内 为 单 调 增 加 函 数 .
例 3 设 f(x )在 [0 ,1 ]上 连 续 ， 且 f(x ) 1.证 明
