上海市行知中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试卷 含答案

上海市2021-2021年高二数学上学期10月月考试题（含解析）(3,1)-和点(2,2)-的直线的点方向式方程是________.【答案】3153x y +-=- 【解析】 【分析】先设直线上任一点坐标为(,)x y ，由直线上点的坐标，得到直线方向向量，进而可得出结果. 【详解】设直线上任一点坐标为(,)x y ，因为直线经过点(3,1)-和点(2,2)-， 所以直线的方向向量为(2,2)(3,1)(5,3)=---=-a ， 因此，直线的点方向式方程是：3153x y +-=-. 故答案为：3153x y +-=- 【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线方程的几种形式即可，属于常考题型.220x y +-=和10mx y -+=的夹角为4π，那么m 的值为________. 【答案】3或13- 【解析】 【分析】先由题意，分别得到两直线的斜率，再由直线的夹角公式，即可求出结果. 【详解】记直线220x y +-=和10mx y -+=的斜率分别为1k ，2k ， 则12k =-，2=k m ，又两直线夹角为4π，所以1212tan41-π=+k k k k ，即2112--=-m m ，解得3m =或13m =-. 故答案为：3或13-【点睛】本题主要考查由直线的夹角求参数的问题，熟记直线的夹角公式即可，属于常考题型.1l 的斜率为2，2l 的倾斜角为1l 的倾斜角的2倍，则2l 的斜率为________.【答案】43- 【解析】 【分析】记直线1l 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为β，根据题意求出tan β，即可得出结果. 【详解】记直线1l 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为β， 因为直线1l 的斜率为2，所以tan 2α=， 又2l 的倾斜角为1l 的倾斜角的2倍， 所以22tan 44tan tan 21tan 143αβαα====---， 即2l 的斜率为43-. 故答案为：43-【点睛】本题主要考查求直线的斜率，熟记斜率的定义，以及二倍角公式即可，属于基础题型.(3,2)P 与点(1,4)Q 最新直线l 对称，则直线l 的一般式方程为________.【答案】10x y -+= 【解析】 【分析】先由题意求出P 、Q 两点的中点坐标，以及直线PQ 的斜率，得到所求直线的斜率，从而可求出结果.【详解】因为点(3,2)P 与点(1,4)Q 的中点坐标为(2,3)， 直线PQ斜率为42113-==--PQ k ， 又点(3,2)P 与点(1,4)Q 最新直线l 对称， 所以直线l 过点(2,3)，且PQ l ⊥，因此直线l 的斜率为11PQkk ，所以，直线l 的方程为32y x -=-，整理得：10x y -+=. 故答案：10x y -+=【点睛】本题主要考查由两定点求其对称直线的方程，熟记直线的点斜式方程以及一般式方程即可，属于常考题型.(1,2)A -，(1,4)B ，若直线l 过点(2,3)M --，且A 、B 到直线l 的距离相等，则直线l 的一般式方程为________.【答案】10x y --=或330x y -+= 【解析】 【分析】根据题意，分A 、B 两点在直线l 的同侧和不同侧，两种情况，分别求出直线斜率，即可求出结果.【详解】设直线l 的斜率为k ，因为点(1,2)A -，(1,4)B 到直线l 的距离相等，直线l 过点(2,3)M --， 若A 、B 两点在直线l 的同侧，则//AB l ，即42111ABkk ，所以直线l 的方程为：32+=+y x ，即10x y --=；若A 、B 两点在直线l 的不同侧，则直线l 必过AB 中点(0,3)，即33302k ，所以直线l 的方程为：33y x =+，即330x y -+=. 故答案为：10x y --=或330x y -+=【点睛】本题主要考查求直线的一般式方程，熟记直线方程的几种形式即可，属于常考题型.a 、b 、c 满足230a b c ++=，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅，则b 与c 的夹角为____.【答案】34π 【解析】【分析】先由230a b c ++=得到23=--a b c ，分别代入a b b c ⋅=⋅和⋅=⋅b c c a ，求出2=-⋅b b c ，=-⋅c b c ，再由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】因为230a b c ++=，所以23=--a b c ， 代入a b b c ⋅=⋅得：(23)--⋅=⋅b c b b c ，即2=-⋅b b c ； 代入⋅=⋅b c c a 得：()23⋅=⋅--b c c b c ，即=-⋅c b c ， 所以12cos ,22⋅⋅<>===-=-⋅⋅-⋅b c b c b c b cb c b c，因此b 与c 的夹角为34π.故答案为：34π 【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量的数量积运算，以及向量的夹角公式即可，属于常考题型.ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2PC PB BC ⋅+的最小值是________. 【答案】43【解析】 【分析】先由题意，得到122∆∆==PBC ABC S S ，推出4sin ⋅=∠PB PC BPC，由向量数量积得到4cos sin ∠=⋅∠BPC B P PC C PB ，再由余弦定理得到288cos sin -∠≥∠BC BPC BPC ，令=∠x BPC ，84cos ()sin -=x f x x，用导数的方法求函数的最小值，即可得出结果.【详解】因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点， 所以EF 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离的一半， 所以2∆∆=ABC PBC S S ，又4ABC S ∆=，所以12sin 2∆==⋅⋅∠PBC S PB PC BPC ， 因此4sin ⋅=∠PB PC BPC，所以4cos cos sin ∠⋅⋅∠=∠⋅=BPCPB PC BP PC P C P B B C ；又由余弦定理可得：2222cos =+-⋅⋅∠BC PB PC PB PC BPC22co 88cos sin s ≥⋅-⋅∠-∠∠=PB PC PB PC BP BPCC BPC，当且仅当PB PC =时，取等号；所以24cos 88cos 84cos sin sin sin sin ⋅∠+≥∠-∠+-=∠∠∠∠BPC BPC BPCBP PC PB C BPC BPC BP BC C ，令=∠x BPC ，84cos ()sin -=xf x x，()0,x π∈；又2224sin (84cos )cos 48cos ()sin sin ---'==x x x xf x x x， 由()0f x '>得1cos 2x <，所以3x ππ<<；由()0f x '<得1cos 2x >，所以03x π<< 所以()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；所以min 82()4332-==f x ， 因此243⋅+≥PC PB BC . 故答案：43【点睛】本题主要考查求向量数量积的最值问题，熟记余弦定理，向量数量积的运算，基本不等式，以及导数的方法求最值即可，属于常考题型.8.如图，设AB a =，AC b =，AD c =是平面上两两不平行的三个非零向量，x ∈R ，有下列命题：① 最新x 的方程20ax bx c ++=可能有两个不同的实数解；② 最新x 的方程20ax bx c ++=一定没有实数解； ③ 最新x 的方程20ax bx +=的实数解为0x =或b x a=-；④ 最新x 的方程20ax bx +=没有非零实数解； 其中真命题是_______ . 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据题意，结合平面向量基本定理，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为AB a =，AC b =，AD c =是平面上两两不平行的三个非零向量， 对于①，方程20ax bx c ++=可化为，2=--c x a xb ，由平面向量基本定理分析可得：20ax bx c ++=最多有一个解，故①错；对于②，a ，b ，c 都是非零向量，方程20ax bx c ++=是最新向量的方程，因此方程在实数集内一定无解，故②正确；对于③，因为a ，b 都是不平行的非零向量，因此，由20ax bx +=得到()0+=ax b x ，所以0+≠ax b ，只能0x =，即实数解为0x =，故③错，④正确；故答案为：②④【点睛】本题主要考查命题真假的判断，以及平面向量基本定理的应用，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型. 9.“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先由两直线垂直求出m 的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】因为直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直， 则(2)(2)3(2)0+-++=m m m m ，即(2)(42)0+-=m m ，解得2m =-或12m =； 因此由“12m =”能推出“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”，反之不能推出， 所以“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的充分非必要条件. 故选：B【点睛】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型.210x my --=（0m <）的倾斜角为（ ）A. 2arctanm B. 2arctanm- C. 2arctanmπ+ D.2arctan mπ-【答案】C 【解析】 【分析】记直线的倾斜角为α，根据斜率的定义，得到2tan α=m，从而可求出结果. 【详解】记直线的倾斜角为α，因为直线方程为：210x my --=，0m <， 所以2tan α=m ，因此2arctan απ=+m. 故选：C【点睛】本题主要考查由直线方程求直线倾斜角，熟记斜率定义，以及反三角函数的表示即可，属于常考题型.11.将一圆的六个等分点分成两组相同的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点O ，其中x 、y 分别为点O 到两个顶点的向量，若将点O 到正六角星12个顶点的向量，都写出ax by +的形式，则+a b 的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，作出图形，分别用x 、y 表示出相邻的6个顶点的向量，即可求出结果. 【详解】要求+a b 的最大值，只需考虑图中6个顶点的向量即可，讨论如下： （1）因为=OA x ，所以(,)(1,0)=a b ；（2）因为3=+=+OB OF FB y x ，所以(,)(3,1)=a b ； （3）因为2=+=+OC OF FC y x ，则(,)(2,1)=a b ； （4）因32=++=++=+OD OF FE ED y x OC x y ，则(,)(3,2)=a b ；（5）因为=+=+OE OF FE y x ，则(,)(1,1)=a b ； （6）因为=OF y ，则(,)(0,1)=a b ； 因此，+a b 的最大值为325+=. 故选：C【点睛】本题主要考查由用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2(1)相交；(2)平行；(3)重合？【答案】见解析. 【解析】 【分析】()1当两条直线不平行，即斜率不同时相交，()2当两条直线k 相同，b 不同时平行 ()3当两条直线k 相同，b 也相同时重合【详解】当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2. 当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0，∴l 1与l 2相交． 当m≠0且m≠2时，由＝得m ＝－1或m ＝3，由＝，得m ＝3.故(1)当m≠－1且m≠3且m≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．【点睛】本题属于中档题，考查了两条直线的相交，平行，重合的条件，要求学生会利用代数的方法研究图象的位置关系，做此类题的时候应采用分类讨论的方法分情况得到所求的范围。

上海市行知中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知向量(4,1),(1,5)OA OB ==，则与向量AB 同向的单位向量是________． 2．若三点(2,2),(,0),(0,4)A B a C ，若存在实数λ，使得AB BC λ=，则实数a =________．3．已知向量()()2,1,1,1m n =-=.若()()2m n am n -⊥+,则实数a =_______. 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则12lim (32)nn n nS n S →+∞+=+5．已知数列{}n a 满足10a =，1)n a n *+=∈N ，则10a 的值为________．6．求值：1123(12)2114⎡--⎤⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎣⎦________．7．已知2a b ==，a 与b 的夹角为3π，则a b +在a 上的投影为________． 8．各项都为正数的无穷等比数列{}n a ，满足24,a m a t ==，且x my t =⎧⎨=⎩是增广矩阵为3122012-⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组1112112222a x a y c a x a y c +=⎧⎨+=⎩的解，则无穷等比数列{}n a 各项和的数值是________．9．函数2sin(2)y x =的图像按a 平移后得到的图像解析式是2sin(2)13y x π=++，则当||a 取得最小时，a =________．10．已知数列{}n a 的通项公式是23()n a n n *=+∈N ，数列{}n b 满足1()n n b b a n *+=∈N 且11b a =，则数列{}n b 的通项公式为________．11．如图，在同一个平面内，向量,,OA OBOC 的模分别为1，OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OA 与OB 的夹角为135°.若(),R OC mOA nOB m n =+∈，则m n +=__________．12．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2132n n S S n n -+=≥若对任意1,n n n N a a *+∈<恒成立，则a 的取值范围是_________.二、单选题13．用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2n n n n *+++++++=∈N 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是( ) A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++14．有命题：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；（2）三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和； （3）如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，其中所有正确命题的序号是（ ）． A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）15．当向量(2,2)a c ==-，(1,0)b =时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）．A ．5B ．4C ．3D ．216．已知数列{}n a 中，12a =， 点列(1,2,)n P n =在ABC 内部，且n P AB △与n P AC △的面积比为2:1，若对n *∈N 都存在数列{}n b 满足11(32)02n n n n n n b P A a P B a P C ++++=，则4a 的值为（ ）．A ．54B ．68C ．76D ．80三、解答题17．已知(1,2),(2,1),(3,2),(2,3)A B C D --． （1）求23AD BD BC +-；（2）若非零向量AM 满足：AM BC ⊥且22AM =M 的坐标． 18．用矩阵行列式的知识解关于x ，y 的方程组()12mx y m m R x my m+=+⎧∈⎨+=⎩.19．如图，ABCD 中，234,3,,,,34AB AD AB a AD b BM BC AN AB ======．（1）试用,a b 来表示,DN AM ；（2）若60DAB ∠=︒，求AD DN DN NA ⋅+⋅的值； （3）若0AD DB ⋅=，求DN AB ⋅．20．已知数列{}n a 和{}n b 满足：111a b ==，且124,2,4a a a 成等比数列，2344,2,b b b 成等差数列．（1）行列式21111213234234()111n n n a a a M M M n *++-=-++∈N ，且1113M M =，求证：数列{}n a 是等差数列；（2）在（1）的条件下，若{}n a 不是常数列，{}n b 是等比数列， ①求{}n a 和{}n b 的通项公式；②设,m n 是正整数，若存在正整数,,()i j k i j k <<，使得,,m j m n i n k a b a a b a b ⋅⋅⋅⋅成等差数列，求m n +的最小值． 21．设函数()()23232kkf x x k x k =-++⋅，x ∈R .（1）若()10f ≤，求实数k 的取值范围；（2）若k 为正整数，设()0f x ≤的解集为[]212,k k a a -，求1234a a a a +++及数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（3）对于（2）中的数列{}n a ，设()2121nn n nb a a --=，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值.参考答案1．34(,)55- 【分析】先求出AB ，再求出||AB ，然后代入||ABAB 即可求出答案。

上海市宝山区行知中学2020-2021学年高二上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.用数学归纳法证明：111131224n n n n ++⋯+>+++ (*2,n n N ≥∈)的过程中，从“k 到1k +”左端需增加的代数式为 （ ）A.121k + B.122k +C.112122k k +++ D.112122k k -++ 2.已知3,4,()(3)33a b a b a b ==+⋅+=，则a 与b 的夹角为（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 3.已知n S 是实数等比数列{}n a 前n 项和，则在数列{}n S 中（ ） A.必有一项为零 B.可能有无穷多项为零 C.至多一项为零 D.任何一项均不为零4.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =.若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，下列判断正确的是（ ）A.满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点.B.满足1λμ+=的点P 有且只有一个.C.λμ+的最大值为3.D.λμ+的最小值不存在.第II 卷（非选择题）二、填空题_________.6.行列式123456789中，6的代数余子式的值是______． 7.已知向量()1,0AB =，()0,2BC =，则与向量AC 相等的位置向量的坐标为_________. 8.过点(1,3)A -，且与向量(1,2)n =垂直的直线方程是_________.(用一般式表示) 9.关于x ､y 的二元线性方程组2532x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫ ⎪⎝⎭，则m n +=_________. 10.已知变量x 、y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为___________．11.已知直线:l y =，过点(0,3)A 的直线m 与直线l 夹角为6π，则直线m 的直线方程是_________.12.不等式2x y +≤表示的平面区域面积是_________.13.已知点(2,3)A -，点(3,1)B ，直线：10ax y ++=与线段AB 有一个公共点，则实数a 的取值范围是_________.14.已知点(3,1)A -，点M ､N 分别是x 轴和直线250x y +-=上的两个动点，则AM MN +的最小值等于_________.15.如图，等边ABC 是半径为2的圆O 的内接三角形，M 是边BC 的中点，P 是圆外一点，且4OP =，当ABC 绕圆心O 旋转时，则OB PM ⋅的取值范围为_________.16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2a a =(1a >)，211n n n n a a a a d +++-=-+(0d >，*n ∈N ).且{}2n a ､{}21n a -均为等差数列，则2n S =_________.三、解答题17.已知()2,1a =，()11b =-,，()5,6c =，且满足()//a kb c +. （1）求实数k 的值；（2）求与a 垂直的单位向量的坐标. 18.已知直线2:(24)30l a a x ay -+--=.（1）若直线l 过点(1,0)A ，试写出直线l 的一个方向向量； （2）若实数0a ≠，求直线的倾斜角α的取值范围.19.2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长0500．记 2016 年为第 1 年， ()f n 为第 1 年至此后第 ()*n n N ∈年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 ()f n 为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 ()f n 的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20.数列{}n a ，*111,21,n n a a a n N +==+∈，数列{}n b 前n 项和为n S ，9n b n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若nb n t a =(a 为非零实数)，求121lim 2nn n t t t t →∞+++++；（3）若对任意的n *∈N ，都存在m N *∈，使得32nn m a S t -+-≥成立，求实数t 的最大值.21.设q 为不等于1的正常数，{}n a 各项均为正，首项为1，且{}n a 前n 项和为n S ，已知对任意的正整数,n m ，当时n m >，mn m n m S S q S --=恒成立.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n t 是首项为1，公差为3的等差数列，存在一列数12,,,,n k k k ：恰好使得1212,,,,,n k k k n t a t a t a ===且121,2k k ==，求数列{}n k 的通项公式；（3）当3q =时，设n nnb a =，问数列{}n b 中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由参考答案1.D【解析】1.分别写出n k =时和1n k =+时的表达式，由此判断出增加的代数式. 当n k =时，左端为11112k k k k++⋯++++，当1n k =+时，左端为11112312k k k k k k ++⋯++++++++()1111232121k k k k ++⋯+++=+++，故增加的代数式为()11111212112122k k k k k +-=-+++++.故选D. 2.C【解析】2.利用数量积公式，直接计算结果.()()2234333a b a b aa b b +⋅+=+⋅+=224cos 333a a b b θ=+⨯+=9434cos 4833θ=+⨯⨯+=，解得：1cos 2θ=-， []0,θπ∈，23πθ∴=. 故选：C 3.B【解析】3.设等比数列{}n a 的公比为q ，分1q =-、0q >两种情况讨论，结合等比数列的求和公式可验证各选项的正误. 设等比数列{}n a 的公比为q .对于A 选项，当0q >时，则()21110n n S a q q q -=++++≠，A 选项错误； 对于B 选项，当1q =-时，()212101nna q S q-==-，即在数列{}nS 中可能存在无穷多项为零，B 选项正确；对于C 选项，由B 选项可知，C 选项错误； 对于D 选项，由B 选项可知，D 选项错误. 故选：B. 4.C【解析】4.建立坐标系，讨论P AB ∈，P BC ∈，P CD ∈，P AD ∈四种情况，出λμ+的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果.如图建系，取1AB =，∵AE AD DE AD AB =+=-，∴()()()()()1,00,1,AP AB AE AB AD λμλμμλμμλμμ=+=-+=-+=-， 动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点， 当P AB ∈时，有01λμ≤-≤且0μ=，∴01λ≤≤，∴01λμ≤+≤，当P BC ∈时，有1λμ-=且01μ≤≤，则1λμ=+，∴12λ≤≤，∴13λμ≤+≤， 当P CD ∈时，有01λμ≤-≤且1μ=，则1μλμ≤≤+，∴12λ≤≤，∴23λμ≤+≤，当P AD ∈时，有0λμ-=且01μ≤≤，则λμ=，∴01λ≤≤，∴02λμ≤+≤， 综上，03λμ≤+≤，选项A ，取1λμ==，满足2λμ+=，此时AP AB AE AD =+=，因此点P 不一定是BC 的中点，故A 错误；选项B ，当点P 取B 点或AD 的中点时，均满足1λμ+=，此时点P 不唯一，故B 错误； 选项C ，当点P 取C 点时，1λμ-=且1μ=，解得2λ=，λμ+取得最大值为3，故C 正确；选项D ，当P 取点A 时，λμ+取得最小值0，故D 错误； 故选：C.5.【解析】5.直接利用等比中项求解. 设1和3的等比中项为x ， 则2133x =⨯=，解得x =，故答案为：6.6【解析】6.根据代数余子式的定义得到6的代数余子式2312A 78=，利用行列式的展开，即可求得答案．由题意，可得6的代数余子式2312(1827)678A =-=-⨯-⨯=．故答案为：6． 7.(1,2)【解析】7.根据向量线性运算的坐标表示，即可直接得出结果. 因为向量()1,0AB =，()0,2BC =， 所以()1,2AC AB BC =+=，即与向量AC 相等的位置向量的坐标为(1,2). 故答案为：(1,2). 8.250x y +-=【解析】8.根据直线与向量(1,2)n =垂直，求得直线的斜率，再根据直线过点(1,3)A -，利用点斜式求解.因为直线与向量(1,2)n =垂直, 所以直线的斜率为：12k =-，又过点(1,3)A -，所以所求直线方程为13(1)2y x -=-+，即250x y +-=. 故答案为：250x y +-= 9.23【解析】9. 设变换矩阵为a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭，由增广矩阵写出利用变换，最后求出m n +的值． 设变换矩阵为a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭，则21053,30121a b m a b c d n c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴153m n -⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则23m n +=故答案为：2310.-5【解析】10.作出可行域，作出直线:20l x y +=，平移直线l 得最优解。

2021年上海行知实验中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在双曲线的右支上过右焦点F2有一条弦PQ，|PQ|=7，F1是左焦点，那么△F1PQ 的周长为( )．(A) 28 (B) 8(C) 14-8 (D) 14+8参考答案：D2. 函数f（x）是定义域为R的可导函数，且对任意实数x都有f（x）=f（2﹣x）成立．若当x≠1时，不等式（x﹣1）?f′（x）＜0成立，设a=f（0.5），，c=f（3），则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b参考答案：A【考点】不等关系与不等式；导数的运算．【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，f（x）在（1，+∞）上是减函数，在（﹣∞，1）上是增函数．再由|3﹣1|＞|0.5﹣1|＞|﹣1|，故 f（）＞f（0.5）＞f（3），由此得出结论．【解答】解：由f（x）=f（2﹣x）可得，函数f（x）的图象关于直线x=1对称．再由（x﹣1）?f′（x）＜0成立可得，当x＞1，f′（x）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上是减函数；当x＜1，f′（x）＞0，故函数f（x）在（﹣∞，1）上是增函数．由于|3﹣1|＞|0.5﹣1|＞|﹣1|，故 f（）＞f（0.5）＞f（3），即 b＞a＞c，故选：A．3. 已知i为虚数单位，则复数（）A. B. C. D.参考答案：C4. 设x,y满足约束条件,则的最大值为（）A．-1 B．0 C. 2 D．3参考答案：D5. 已知方程和(其中,)，它们所表示的曲线可能是（）参考答案：B略6. 双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．1 C．D．参考答案：A略7. 复数1＋cosα＋i sinα(π＜α＜2π)的模为()A．2cos B．－2cos C．2sin D．－2sin参考答案：B略8. 映射f：A→B，如果满足集合B中的任意一个元素在A中都有原象，则称为“满射”. 已知集合A中有4个元素，集合B中有3个元素，那么从A到B的不同满射的个数为（）A．24 B．6 C．36 D．72参考答案：解析：C 集合A中必须有两个元素和B中的一个元素对应，A中剩下的两个元素和B中的其余元素相对应，故应为9. 在A，B两个袋中都有6张分别写有数字0，1，2，3，4， 5的卡片，现从每个袋中任取一张卡片，则两张卡片上数字之和为7的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A10. 在中，分别为角所对边，若，则此三角形一定是A．等腰直角三角形B．等腰三角形 C．直角三角形D．等腰或直角三角形参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如下图，在三角形中，，分别为，的中点，为上的点，且. 若，则实数，实数.参考答案：2, 112. 把“五进制”数转化为“八进制”数参考答案：302略13. 已知是不相等的正数，，则的大小关系是▲．参考答案：略14. 在△ABC中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则|-|＝________.参考答案：715. 若三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为，表面积为参考答案：16. 已知函数与直线相切于点，若对任意，不等式恒成立，则所有满足条件的实数t组成的集合为________参考答案：{4}【详解】函数与直线相切于点，可得方程，，可得方程，联立方程组解得，，所以，由得，则，化简可得，由此可得,所有满足条件的实数组成的集合为.所以本题答案为. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，注意运用分离参数的方法，属于中档题.17. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。

2020-2021学年上海市宝山区行知中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．用数学归纳法证明：111131224n n n n ++⋯+>+++ (*2,n n N ≥∈)的过程中，从“k 到1k +”左端需增加的代数式为 （ ）A ．121k + B ．122k + C ．112122k k +++ D ．112122k k -++ 【答案】D【分析】分别写出n k =时和1n k =+时的表达式，由此判断出增加的代数式. 【详解】当n k =时，左端为11112k k k k++⋯++++，当1n k =+时，左端为11112312k k k k k k ++⋯++++++++()1111232121k k k k ++⋯+++=+++，故增加的代数式为()11111212112122k k k k k +-=-+++++.故选D. 【点睛】本小题主要考查数学归纳法，考查表达式的比较，属于基础题. 2．已知3,4,()(3)33a b a b a b ==+⋅+=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【分析】利用数量积公式，直接计算结果.【详解】()()2234333a b a b a a b b +⋅+=+⋅+=224cos 333a a b b θ=+⨯+=9434cos 4833θ=+⨯⨯+=，解得：1cos 2θ=-， []0,θπ∈，23πθ∴=.故选：C3．已知n S 是实数等比数列{}n a 前n 项和，则在数列{}n S 中（ ） A ．必有一项为零 B ．可能有无穷多项为零 C ．至多一项为零 D ．任何一项均不为零 【答案】B【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，分1q =-、0q >两种情况讨论，结合等比数列的求和公式可验证各选项的正误. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q .对于A 选项，当0q >时，则()21110n n S a q q q -=++++≠，A 选项错误；对于B 选项，当1q =-时，()212101n n a q S q-==-，即在数列{}n S 中可能存在无穷多项为零，B 选项正确；对于C 选项，由B 选项可知，C 选项错误； 对于D 选项，由B 选项可知，D 选项错误. 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列前n 项和的取值情况，解题的关键就是对等比数列的公比q 分类讨论，注意分1q =-、0q >、0q <且1q ≠-讨论，结合等比数列求和公式进行分析.4．如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =.若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，下列判断正确的是（ ）A ．满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点.B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个.C ．λμ+的最大值为3.D ．λμ+的最小值不存在. 【答案】C【分析】建立坐标系，讨论P AB ∈，P BC ∈，P CD ∈，P AD ∈四种情况，出λμ+的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果.【详解】如图建系，取1AB =，∵AE AD DE AD AB =+=-，∴()()()()()1,00,1,AP AB AE AB AD λμλμμλμμλμμ=+=-+=-+=-， 动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点， 当P AB ∈时，有01λμ≤-≤且0μ=，∴01λ≤≤，∴01λμ≤+≤，当P BC ∈时，有1λμ-=且01μ≤≤，则1λμ=+，∴12λ≤≤，∴13λμ≤+≤， 当P CD ∈时，有01λμ≤-≤且1μ=，则1μλμ≤≤+，∴12λ≤≤，∴23λμ≤+≤，当P AD ∈时，有0λμ-=且01μ≤≤，则λμ=，∴01λ≤≤，∴02λμ≤+≤， 综上，03λμ≤+≤，选项A ，取1λμ==，满足2λμ+=，此时AP AB AE AD =+=，因此点P 不一定是BC 的中点，故A 错误；选项B ，当点P 取B 点或AD 的中点时，均满足1λμ+=，此时点P 不唯一，故B 错误；选项C ，当点P 取C 点时，1λμ-=且1μ=，解得2λ=，λμ+取得最大值为3，故C 正确；选项D ，当P 取点A 时，λμ+取得最小值0，故D 错误； 故选：C.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据题中所给条件，利用建系的方法，讨论P 的位置，根据AP AB AE λμ=+，确定λμ+的范围，即可求解.（向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化）二、填空题5．1和3的等比中项等于_________.【答案】【分析】直接利用等比中项求解. 【详解】设1和3的等比中项为x ， 则2133x =⨯=，解得x =故答案为：6．行列式123456789中，6的代数余子式的值是______． 【答案】6【分析】根据代数余子式的定义得到6的代数余子式2312A 78=，利用行列式的展开，即可求得答案．【详解】由题意，可得6的代数余子式2312(1827)678A =-=-⨯-⨯=．故答案为6．【点睛】本题主要考查了三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题．7．已知向量()1,0AB =，()0,2BC =，则与向量AC 相等的位置向量的坐标为_________. 【答案】(1,2)【分析】根据向量线性运算的坐标表示，即可直接得出结果. 【详解】因为向量()1,0AB =，()0,2BC =，所以()1,2AC AB BC =+=，即与向量AC 相等的位置向量的坐标为(1,2). 故答案为：(1,2).8．过点(1,3)A -，且与向量(1,2)n =垂直的直线方程是_________.(用一般式表示) 【答案】250x y +-=【分析】根据直线与向量(1,2)n =垂直，求得直线的斜率，再根据直线过点(1,3)A -，利用点斜式求解.【详解】因为直线与向量(1,2)n =垂直,所以直线的斜率为：12k =-，又过点(1,3)A -， 所以所求直线方程为13(1)2y x -=-+，即250x y +-=.故答案为：250x y +-= 9．关于x ､y 的二元线性方程组2532x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫ ⎪⎝⎭，则m n +=_________.【答案】23【分析】设变换矩阵为a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭，由增广矩阵写出利用变换，最后求出m n +的值． 【详解】设变换矩阵为a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭，则21053,30121a b m a b c d n c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴153m n -⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则23m n +=故答案为：2310．已知变量x 、y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为___________．【答案】-5【分析】作出可行域，作出直线:20l x y +=，平移直线l 得最优解。

2021年高二上学期10月月考数学试题含答案[试题说明]本试题共4页,其中第Ⅰ卷共2页,50分,第Ⅱ卷共2页，100分.满分150分,考试时间120分钟.一、选择题（本题共10小题，每题5分，共50分.每题只有一个正确答案）1.在中，若，则等于（）2. 在中，若，则形状（）3. 已知成等差数列，成等比数列，则的值为（）4.根据下列条件，确定有两解的是（）5. 已知等差数列中，，公差，则使前项和取最小值的正整数的值是（）6.等比数列的前项和为,则（）7. 等差数列的前项和为,则（）8. 设为等比数列的前项和，已知,则（）9. 在中，若，则等于（ ）10.已知整数的数对如下：（1,1）,(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3)(3,2)(4,1),(1,5),(2,4)……，则第60个数对是（ ）第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，共25分）11.在中，若，则12.在中，，则13.在等差数列中，n S a a a a a a n n n n 则，已知,420,1081824531==++=++--=14. 数列1111,,......,......12123123n +++++++的前n 项和为15. 数列的前项和为，则三、解答题（解答应写出必要的文字说明和演算步骤）16.设数列满足=1，⑴求的通项公式及前n 项和；⑵已知是等差数列，为其前n 项和，且，，求.17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a,b,c 成等差数列，且；⑴求cosA 的值；⑵若，求b的值.18.若数列的前n项和,且满足，；⑴求证：为等差数列；⑵求数列的通项公式.19.在公差为d的等差数列中，已知，且成等比数列；⑴求公差d和数列的通项公式；⑵若，求.20、在△ABC中，内角A、B、C对边分别为a、b、c，已知A=，；⑴求tanC；⑵若△ABC的面积为3求b的值.21.已知正项数列的前n项和为且是与2的等差中项，数列中，，点P 在直线上；⑴求数列、的通项公式；⑵设，求的前项和.高二10月份阶段性模块检测数学试题答案一、选择题1---5：CDADC 6---10：CBBDD二、 填空题11、 12、13、20 14、 15、16.⑴由题意知的首项为=1，公比为3的等比数列所以，⑵因为，=13，所以所以17.解：⑴因为a,b,c 成等差数列，所以又，所以所以2222222941432422c c c b c a cos A bc c +-+-===-⨯ ⑵由⑴知，又角A ，所以又113222ABC S bc sin A c c ==⨯⨯=△ 所以18.⑴证明：当时 ，由得所以，又，所以是首项为2 公差为2的等差数列. ⑵由⑴可得，所以，所以当时，()()111122121n n n a S S n n n n -=-=-=--- 经验证不适合上式.所以19.解：⑴由已知得即，又所以，解得或者当时，当时，⑵设为的前n 项和，由得，①当时, ==②当时，==所以=20、解：⑴由得，又A=，所以B+C=所以-cos2B=sin2C=2sinCcosC.所以，所以=2.⑵由=2，得，又())4210sin B sin A+C =sin C sinC+cosC π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭又所以又21.解：⑴是与2的等差中项，是公比为2的等比数列；由得得点P 在直线上，是公差为2的等差数列又⑵由⑴得=()()2312123222212n n+n T +n-3n =⨯+⨯++-… ()()2312222212n n n -T +++2n +=+--…24906 614A 慊IJL30795 784B 硋VX34813 87FD 蟽21334 5356 卖z28647 6FE7 濧 H 26861 68ED 棭。

2021年高二上学期十月月考数学（文）试题含答案本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分.共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知是等比数列，，则公比=( )A． B． C．2 D．2. 在中，已知，则( )A． B． C． D．3. 等比数列中，,,,则( )A.6B.7C. 8D.94. 设是等差数列的前n项和，已知，，则等于（）A．13 B．35 C．49 D． 635.公差不为0的等差数列的第二、三、六项构成等比数列，则公比为（）A．1 B.2 C.3 D.46. 在中,,则此三角形解的情况是( )A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解7. 已知分别是三个内角的对边，且，则一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形8．某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行45km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( )A．15km B．30km C．15 km D．15 km9. 两个等差数列和,其前项和分别为,且则等于( )A. B. C. D.10.已知等比数列满足，且，则当时，( )A. B. C. D.第Ⅱ卷 (非选择题共100分)二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把各题答案填写在答题纸相应位置．）11.已知数列的前n项和为，且，则12.在中，已知，则．13. 在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且a=1，等于.14. 设等差数列的前项和为，且，则 .15. 在数列{a n}中，其前n项和S n＝，若数列{a n}是等比数列，则常数a的值为．三、解答题（本大题共6小题，共75分.将每题答案写在答题纸相应位置，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．(本小题满分12分)等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列.（Ⅰ）求{}的公比q；（Ⅱ）若－＝3，求.17．(本小题满分12分)在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且.(Ⅰ)确定角C的大小；（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值.18.（本小题满分12分）已知等差数列中，公差又.（I）求数列的通项公式；（II）记数列，数列的前项和记为，求.19．(本小题满分12分)如图，海中小岛A周围40海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险?20. (本小题满分13分)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，C=2A,，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求b 的值.21．(本小题满分14分)已知点（1，2）是函数的图象上一点，数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．17.解：（Ⅰ）由及正弦定理得，，，是锐角三角形，.（Ⅱ）由面积公式得，1sin 623ab ab π==即 ①由余弦定理得，22222cos7,73a b ab a b ab π+-=+-=即 ②由②变形得.18．19. 解: 在△ABC 中,BC =30,∠B =30°,∠C =135°,所以∠A =15°. ．．．．．．．．．．．．．2分由正弦定理知 即所以．．．．．．．．．．７分 于是，A 到BC 边所在直线的距离为：(海里)，．．．．．．．．．．．．．10分由于它大于40海里，所以船继续向南航行没有触礁的危险. ．．．．．．．．．． ．．．11分 答：此船不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险.．．．．．．．．．． ．．．12分30sin 3060cos1560cos(45-30)sin1560(cos 45cos30sin 45sin 30)62).AC ︒==︒=︒︒︒=︒︒+︒︒=2sin 4515(62)31)40.982AC ︒=⨯=≈20.解：（Ⅰ）.（Ⅱ）由及可解得a=4,c=6.由化简得，.解得b=4或b=5.经检验知b=4不合题意，舍去.所以b=5.21.2。

2019-2020年行知中学高三上10月月考一:填空题。

1.若集合{|22}A x x =∈-≤≤Z ，2{|1,}B y y x x A ==+∈，则用列举法表示集合B =________【答案】{5,2,1} 【解析】 【分析】根据题意，分析集合A 可得A 中的元素，将其元素代入y ＝x 2+1中，计算可得y 的值，即可得B 的元素，用列举法表示即可得答案．【详解】根据题意，A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，对于集合B ＝{y |y ＝x 2+1，x ∈A }，当x ＝±2时，y ＝5， 当x ＝±1时，y ＝2， 当x ＝0时，y ＝1； 故答案为：{5,2,1}【点睛】本题考查集合的表示方法，注意集合B 中x 所取的值为A 中的元素且必须用列举法表示． 2.命题“如果2x >且2y >，那么4x y +>”的否命题是________命题（填真或假） 【答案】假 【解析】 【分析】判断逆命题的真假，再判断否命题即可．【详解】“如果x ＞2且y ＞2，那么x +y ＞4”的逆命题是：“如果4x y +>那么2x >且2y >”是假命题，例如4,1x y ==，又命题的否命题与逆命题同真假，则否命题为假命题 故答案为：假【点睛】本题考查四种命题的形式及真假，注意否命题与逆命题真假相同的应用，属于基础题． 3.不等式2log 2x ≤的解集为________ 【答案】(0,4] 【解析】利用对数函数的定义与性质，化简不等式，即可求出不等式的解集． 【详解】由题22log log 404x x ≤∴<≤ 故答案为：(0,4]【点睛】本题考查了利用对数函数的定义与性质求解不等式的应用问题，是基础题目．4.已知一元二次函数()f x 满足(0)(2)f f =，若()f x 在区间[,1]2aa +上不单调，则a 的取值范围是________ 【答案】(0,2) 【解析】 【分析】由f （x ）在区间[,1]2a a +上不单调可知对称轴x ＝1∈,12a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭且a +1＞2a，解不等式可求a 的范围 【详解】由f （x ）在区间[,1]2aa +上不单调可知对称轴x ＝1∈,12a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭且a +1＞2a ，解不等式可得a取值范围是(0,2) 故答案为：(0,2)【点睛】本题主要考查了二次函数在闭区间上的单调性问题，是基础题 5.关于x 的不等式1mx <的解集为(,)m +∞，则实数m 为________ 【答案】1- 【解析】 【分析】利用一次不等式解集确定端点值即为所对方程根求解即可 详解】由题知m <0,且1x m>，故1m m =，解得m=1-故答案为：1-【点睛】本题考查一次不等式解集，是基础题，注意m符号判断6.已知幂函数()nf x x =为偶函数，且在(0,)+∞上递减，若111{2,1,,,,1,2,3}232n ∈----，则n 可能的值为________ 【答案】2-的【分析】先判断偶函数的幂函数，然后判断函数在（0，+∞）上递减的幂函数即可．【详解】111{2,1,,,,1,2,3}232n ∈----幂函数y ＝x n为偶函数，所{2,2}n ∈-，即y ＝x ﹣2，y ＝x 2， 在（0，+∞）上递减，有y ＝x ﹣2， 所以n 的可能值为：﹣2，． 故答案为：﹣2，．【点睛】本题考查幂函数的基本性质，函数必须满足两个条件，是解题的关键．7.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x，则f (log 49)＝______.【答案】-13【解析】f x （） 是定义在R 上的奇函数，则有f x f x -=-（）（），则()()4293,f log f log = 当0x ＜ 时，2x f x =（）， 则当当0x > 时，0,x -＜22xxf x f x ---=∴=-（），（），故()()221334219322.3log log f log f log -==-=-=-故答案为：13． 8.函数2()lg(1)f x x =-，集合{|()}A x y f x ==，{|()}B y y f x ==，则图中阴影部分表示的集合为________【答案】(,1](0,1)-∞-U 【解析】 【分析】首先根据对数函数的定义域和值域化简集合A ，B ；由图知阴影部分表示的集合为将A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合，然后即可借助数轴求出结果【详解】∵f （x ）＝lg （1﹣x 2），集合A ＝{x |y ＝f （x ）}，B ＝{y |y ＝f （x ）}，∴A ＝{x |y ＝lg （1﹣x 2）}＝{x |1﹣x 2＞0}＝{x |﹣1＜x ＜1}B ＝{y |y ＝lg （1﹣x 2）}＝{y |y ≤0} ∴A ∪B ＝{x |x ＜1} A ∩B ＝{x |﹣1＜x ≤0}根据题意，图中阴影部分表示的区域为A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合为：（﹣∞，﹣1]∪（0，1）故答案为：(,1](0,1)-∞-U【点睛】本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确定． 9.若关于x 的不等式|2|1x a x -+>在[0,2]上恒成立，则正实数a 的取值范围为________ 【答案】2a > 【解析】 【分析】由题得|2x-a|>-x+1,再分1＜x≤2和0≤x≤1两种情况讨论恒成立问题，即得解. 【详解】由题得|2x-a|>-x+1,当1＜x≤2时，-x+1<0,所以不等式|21x a x -+恒成立. 当0≤x≤1时，-x+1≥0，所以2x-a ＞-x+1或2x-a ＜x-1， 所以a ＜3x-1或a ＞x+1在[0,1]上恒成立， 所以a<-1或a>2,因为a>0, 综合得a>2. 故答案为：a>2【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 10.如果，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数13log a y x =，22log a y x =和log (1)a y x a =>的图像上，则实数a 的值为________【解析】 【分析】设B （x ，2log a x ），利用BC 平行于x 轴得出C （x 2，2log a x ），利用AB 垂直于x 轴 得出 A （x ，3log a x ），则正方形ABCD 的边长从横纵两个角度表示为log a x ＝x 2﹣x ＝2，求出x ，再求a 即可．【详解】设B （x ，2log a x ），∵BC 平行于x 轴，∴C （x ′，2log a x ）即log a x ′＝2log a x ，∴x ′＝x 2，∴正方形ABCD 边长＝|BC |＝x 2﹣x ＝2，解得x ＝2．由已知，AB 垂直于x 轴，∴A （x ，3log a x ），正方形ABCD 边长＝|AB |＝3log a x ﹣2log a x ＝log a x ＝2，即log a 2＝2，∴a =【点睛】本题考查对数函数的性质、对数的运算，是平面几何与函数知识的结合，体现出了数形结合的思想．11.设A 、B 是R 的两个子集，对任意x ∈R ，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩，01x Bn x B∉⎧=⎨∈⎩，若A B ⊆，则对任意x ∈R ，(1)m n -=________ 【答案】0 【解析】 【分析】由A ⊆B ．由x ∉A 时，m ＝0，可得m （1﹣n ）．x ∈A 时，必有x ∈B ，可得m ＝n ＝1． 【详解】∵A ⊆B ．则x ∉A 时，m ＝0，m （1﹣n ）＝0． x ∈A 时，必有x ∈B ，∴m ＝n ＝1，m （1﹣n ）＝0． 综上可得：m （1﹣n ）＝0． 故答案为：0【点睛】本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是【答案】(,1)-∞ 【解析】【详解】分别作(),y f x y x a ==+图象，由图象可得实数a 的取值范围是(,1)-∞二.选择题13.下列各式中，正确的个数是（ ）（1）{0}∅=，（2）{0}∅⊆，（3）{0}∅∈；（4）0{0}=；（5）0{0}∈； （6）{1}{1,2,3}∈；（7）{1,2}{1,2,3}⊆；（8）{,}{,}a b b a ⊆. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的相关定义逐个判断。

上海市2020年高二上学期数学10月月考试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·中山期中) 如图是2012年在某大学自主招生考试的面试中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）7984464793A . 84，4.84B . 84，1.6C . 85，1.6D . 85，42. （2分） (2017高二下·邯郸期末) 盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·常宁模拟) 我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的S的值为（）A . 4B . ﹣5C . 14D . ﹣234. （2分）在2010年3月15日那天，哈市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是；y=﹣3.2x+a，（参考公式：回归方程；y=bx+a，a=﹣b），则a=（）A . ﹣24B . 35.6C . 40.5D . 405. （2分）(2017·龙岩模拟) 下列关于命题的说法错误的是（）A . 命题“若x2﹣3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x≠2，则x2﹣3x+2≠0”B . “a=2”是“函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件C . 若命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p：∀n∈N，2n＞1000D . 命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”是假命题6. （2分）在中，“”是“”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充分必要条件D . 既非充分也非必要条件7. （2分） (2017高一下·新余期末) 在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A .B .C .D .8. （2分）方程x（x2+y2﹣4）=0与x2+（x2+y2﹣4）2=0表示的曲线是（）A . 都表示一条直线和一个圆B . 都表示两个点C . 前者是两个点，后者是一直线和一个圆D . 前者是一条直线和一个圆，后者是两个点9. （2分） (2016高一上·西安期末) 已知0＜k＜4直线L：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线M：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则这个四边形面积最小值时k值为（）A . 2B .C .D .10. （2分）(2018·河北模拟) 如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据.若从这12个月份中任意选3个月的数据进行分析，则这3个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）(2016·海口模拟) 当双曲线：的焦距取得最小值时，其渐近线的斜率为（）A . ±1B .C .D .12. （2分）(2017·来宾模拟) 下列说法正确的是（）A . 命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2 ＜0”B . 命题“若sinx=siny，则x=y”的逆否命题为真命题C . 若命题p，￢q都是真命题，则命题“p∧q”为真命题D . 命题“若△ABC为锐角三角形，则有sinA＞cosB”是真命题二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·南京模拟) 下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：不喜欢戏剧喜欢戏剧男性青年观众4010女性青年观众4060现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为________．14. （1分） (2018高三上·大连期末) 已知双曲线的两个焦点为、，渐近线为，则双曲线的标准方程为________．15. （1分） (2017高一下·鞍山期末) 已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数据的方差为________．16. （1分）若点M是以椭圆+=1的短轴为直径的圆在第一象限内的一点，过点M作该圆的切线交椭圆E 于P，Q两点，椭圆E的右焦点为F2 ，则△P F2Q的周长是________ ．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高二上·南宁月考) 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通;T∈[2，4)基本畅通;T∈[4，6）轻度拥堵;T∈[6，8)中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵，晚高峰时段(T≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的部分直方图如图所示．（1）请补全直方图，并求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有多少个？（2）用分层抽样的方法从交通指数在[4，6），[6，8），[8，l0]的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（3）从(2)中抽出的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．18. （10分）已知命题p：关于x的不等式x2+（a﹣1）+a2＜0有实数解，命题q：“y=（2a2﹣a）x为增函数．若“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．19. （10分）小明同学在寒假社会实践活动中，对白天平均气温与某家奶茶店的A品牌饮料销量之间的关系进行了分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天气温x（°C）与该奶茶店的A品牌饮料销量y（杯），得到如下表数据：日期1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日平均气温x（℃）91012118销量y（杯）2325302621（Ⅰ）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组书记恰好是相邻2天数据的概率；（Ⅱ）请根据所给五组书记，求出y关于x的线性回归方程式．（Ⅲ）根据（Ⅱ）所得的线性回归方程，若天气预报1月16号的白天平均气温为7（℃），请预测该奶茶店这种饮料的销量．（参考公式： = = ， = ﹣ x）20. （15分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图；（2）通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）．21. （5分）(2019·南平模拟) 已知平面上动点到点距离比它到直线距离少1．（1）求动点的轨迹方程；（2）记动点的轨迹为曲线，过点作直线与曲线交于两点，点，延长，，与曲线交于，两点，若直线，的斜率分别为，，试探究是否为定值？若为定值，请求出定值，若不为定值，请说明理由．22. （10分）(2017·南京模拟) 已知椭圆E：（a＞b＞0）的右准线的方程为x= ，左、右两个焦点分别为F1（），F2（）．（1）求椭圆E的方程；（2）过F1，F2两点分别作两条平行直线F1C和F2B交椭圆E于C，B两点（C，B均在x轴上方），且F1C+F2B 等于椭圆E的短轴的长，求直线F1C的方程．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、第11 页共13 页20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、第12 页共13 页22-2、第13 页共13 页。

2021学年上海市某校高二（上）10月月考数学试卷一.填空题1. 已知OA →=(2014,2017)，OB →=(2015,2016)，则|AB →|＝________．2. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则lim n→+∞2nS n(n+32)S n+1=________．3. 已知正△ABC 的面积是4√3，则AB →⋅BC →=________4. 已知a →=(1,k)，b →=(−2,2)(k >0)，若(a →+b →)⊥(a →−b →)，则正数k ＝________．5. 已知Rt △ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若A 、B 、C 依次成等差数列，且A <B <C ，则a:b:c ＝________．6. 设等比数列{a n }的公比q =2，前n 项和为S n ，则S 4a 4=________．7. 若三点A(2, 2)，B(a, 0)，C(0, 4)，若存在实数λ，使得AB →=λBC →，则实数a ＝________．8. 已知a n ={n2,1≤n ≤8(12)n−8,n ≥9(n ∈N ∗)，则lim n→∞(a 1+a 2+⋯+a n )=________．9. 已知等差数列{a n }的公差不为零，且a 5+a n ＝a 10+a 20−m (m, n ∈N ∗)，则mn 的最大值是________10. 设向量e 1→，e 2→满足|e 1→|=2，|e 2→|=1且e 1→，e 2→的夹角为π3，若向量2te 1→+7e 2→与e 1→+te 2→的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是________．c →)，则关于x 的方程(a →+c →)x =b →的解x ＝________．12. 给定平面上四点O ，A ，B ，C 满足OA ＝4，OB ＝3，OC ＝2，OB →⋅OC →=3，则△ABC 面积的最大值为________． 二.选择题已知−1、a 、x 、b 、−9依次成等比数列，则实数x 的值为（ ） A.3 B.−3 C.3或−3 D.不确定下列等式中不恒成立的是（ ） A.a →⋅b →=b →⋅a →B.λa →⋅b →=a →⋅(λb →) C.(a →⋅b →)2=a →2⋅b →2D.|a →|2−|b →|2=(a →+b →)⋅(a →−b →)在数列{a n }中每相邻两项间插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第41项（ ） A.不是原数列的项 B.是原数列的第10项 C.是原数列的第11项 D.是原数列的第12项已知数列{a n }满足a n+1＝pa n +2(p ≠0)，a 1∈R ，则下列命题中的真命题是（ ） A.p ＝−2，则数列{a n +2}一定是等比数列 B.p >1，a 1≠0，数列{a n }不存在极限 C.p ≠1，数列{a n +2p−1}一定是等比数列 D.0<|p|<1，则数列{a n }的极限为21−p 三.解答题已知向量a →和b →的夹角为60∘，且|a →|＝3，|b →|=4，（2）若|ka →−b →|≥√13，求实数k 的取值范围．已知|a →|=2，|b →|=1，且向量a →、b →不平行，c →=a →+(t −3)b →，d →=ka →+(t +5)b →，其中k 、t 是正实数．（1）若|e →|=2，且a →+b →+e →=0→，求向量a →、b →的夹角；（2）若c → // d →，试求k +2t 的最小值．我们要计算由抛物线y ＝x 2，x 轴以及直线x ＝1所围成的区域的面积S ，可用x 轴上的分点0、1n 、2n 、…、n−1n、1将区间[0, 1]分成n 个小区间，在每个小区间上做一个小矩形，使矩形的左端点在抛物线y ＝x 2上，这些矩形的高分别为0、(1n )2、(2n )2、…、(n−1n)2，矩形的底边长都是1n，设所有这些矩形面积的总和为S n ，为求S ，只须令分割的份数n 无限增大，S n 就无限趋近于S ，即S =lim n→∞S n ．（1）求数列S n 的通项公式，并求出S ；（2）利用相同的思想方法，探求由函数y ＝x 2(1≤x ≤2)的图象，x 轴以及直线x ＝1和x ＝2所围成的区域的面积T ．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N ∗，点(n,Sn n )都在f(x)=x +a n 2x的图象上．（1）证明：当n ≥2，n ∈N ∗时，a n +a n−1＝2(2n −1)；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）设T n 为数列{a n −1a n}前n 项积，若不等式T n √a n +1<f(a)−a n +32a对一切n ∈N ∗恒成立，求实数a 的取值范围．定义向量OM →=(a, b)的“相伴函数”为f(x)＝a sin x +b cos x ，函数f(x)＝a sin x +b cos x的“相伴向量”为OM →=(a, b)（其中O 为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．（1）设g(x)＝3sin (x +π2)+4sin x ，求证：g(x)∈S ；（2）已知ℎ(x)＝cos (x +α)+2cos x ，且ℎ(x)∈S ，求其“相伴向量”的模；（3）已知M(a, b)(b ≠0)为圆C ：(x −2)2+y 2＝1上一点，向量OM →的“相伴函数”f(x)在x ＝x 0处取得最大值．当点M 在圆C 上运动时，求tan 2x 0的取值范围．参考答案与试题解析2021学年上海市某校高二（上）10月月考数学试卷一.填空题 1.【答案】√2【考点】平面向量的坐标运算平面向量的正交分解及坐标表示 【解析】直接利用向量的坐标运算求解|AB|即可． 【解答】OA →=(2014,2017)，OB →=(2015,2016)，则|AB →|=√(2015−2014)2+(2016−2017)2=√2． 2.【答案】 2【考点】 数列的求和 【解析】先求出S n =n(d2n +a 1−d2)，再由“∞∞”型极限的计算公式能求出lim n→∞2nS n(n+32)S n+1的值．【解答】 ∵ S n =na 1+n(n−1)2d =n(d 2n +a 1−d2)，∴ limn→∞2nS n(n+32)S n+1=lim n→∞2n ∗n(d 2n +a 1−d2)(n +32)(n +1)(d 2+a 1)=lim n→∞2(d2+a 1−d 2n )(1+32n )(1+1n )(d 2+a 1n )=2．3.【答案】 −8【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据三角形的面积公式求出边长，结合向量数量积的公式进行求解即可．∵ 正△ABC 的面积是4√3，设边长为a ， ∴ S =12a ⋅a ×sin 60∘=√34a 2＝4√3， 得a 2＝16，得a ＝4，向量AB →⋅BC →=|AB →|⋅|BC →|cos <AB →，BC →>=4×4cos 120∘＝16×(−12)＝−8， 4. 【答案】√7【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】根据(a →+b →)⊥(a →−b →)即可得出(a →+b →)⋅(a →−b →)=0，进行数量积的运算即可求出k 的值． 【解答】∵ (a →+b →)⊥(a →−b →)；∴ (a →+b →)⋅(a →−b →)=a →2−b →2=k 2+1−8＝0； 又k >0； ∴ k =√7． 5. 【答案】1:√3:2 【考点】 正弦定理 【解析】根据A 、B 、C 依次成等差数列，以及三角形是直角三角形求出，A ，B ，C 的大小，结合正弦定理进行求解即可． 【解答】∵ A 、B 、C 依次成等差数列，且A <B <C ， ∴ A +C ＝2B ，即A +B +C ＝3B ＝π，即B =π3，∵ 三角形是Rt △ABC ， ∴ C =π2，A =π6，则a:b:c ＝sin A:sin B:sin C ＝sin π6:sin π3:sin π2=12:√32:1＝1:√3:2， 6. 【答案】 158【考点】等比数列的性质根据等比数列的通项公式与前n 项和的公式表示出S 4与a 4，进行比值计算再结合q 的数值即可得到答案． 【解答】解：因为数列{a n }是等比数列，所以由等比数列的前n 项和公式与通项公式可得S 4=a 1(1−q 4)1−q，a 4=a 1q 3，所以S 4a 4=a 1(1−q 4)1−q a 1q 3=1−q 4q 3(1−q)．又因为q =2， 所以S 4a 4=158．故答案为158． 7.【答案】 4【考点】向量数乘的运算及其几何意义 向量的线性运算性质及几何意义 【解析】求出AB →,BC →的坐标，列方程组求出a 的值． 【解答】AB →=(a −2, −2)，BC →=(−a, 4)， ∵ AB →=λBC →，∴ {a −2=−aλ−2=4λ ，解得a ＝4．8.【答案】 19【考点】 极限及其运算 【解析】根据a n 的解析式可知，数列{a n }的前8项是首项为12，公差为12的等差数列，后n −8项是首项为12，公比为12的等比数列，从而根据等差数列和等比数列的前n 项和公式即可得出：lim n→∞(a 1+a 2+⋯+a n )=8(12+4)2+limn→∞12[1−(12)n−8]1−12=19．【解答】lim n→∞(a 1+a 2+⋯+a n )=8(12+4)2+limn→∞12[1−(12)n−8]1−12=18+1＝19．9.156【考点】等差数列的性质 【解析】等差数列{a n }的公差d ≠0，由a 5+a n ＝a 10+a 20−m (m, n ∈N ∗)，利用通项公式可得：m +n ＝25．再利用二次函数的单调性即可得出． 【解答】等差数列{a n }的公差d ≠0，∵ a 5+a n ＝a 10+a 20−m (m, n ∈N ∗)， ∴ 2a 1+(n +3)d ＝2a 1+(28−m)d ， 化为：m +n ＝25． 则mn ＝n(25−n)=−(n −252)2+6254，当n ＝12或13时，mn 取得最大值＝12×13＝156．10. 【答案】(−7, −√142)∪(−√142, −12) 【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】 由题意可得 e 1→⋅e 2→=1，(2te 1→+7e 2→)⋅(e 1→+te 2→)<0，且向量2te 1→+7e 2→与e 1→+te 2→不共线．由(2te 1→+7e 2→)⋅(e 1→+te 2→)<0 求得t 的范围；由2t1≠7t ，解得t 的范围，再把这2个t 的范围取交集，即得所求． 【解答】解：由题意可得 e 1→⋅e 2→=2×1×cos π3=1，由于向量2te 1→+7e 2→与e 1→+te 2→的夹角为钝角，可得(2te 1→+7e 2→)⋅(e 1→+te 2→)<0， 且向量2te 1→+7e 2→与e 1→+te 2→不共线．由(2te 1→+7e 2→)⋅(e 1→+te 2→)<0 可得 2t 2+15t +7<0，解得−7<t <−12． 再由向量2te 1→+7e 2→与e 1→+te 2→不共线，可得2t1≠7t ，解得 t ≠±√142． 综上可得，实数t 的取值范围是 (−7, −√142)∪(−√142, −12)， 故答案为：(−7, −√142)∪(−√142, −12)． 11.【答案】 −1【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示根据(a →+b →) // c →，a → // (b →+c →)即可得出，存在实数s ，t ，使得a →+b →=sc →,b →+c →=ta →，①-②即可得出a →−c →=sc →−ta →，从而可求出s ＝t ＝−1，这样即可得出{a →+b →=−c →b →+c →=ta→ ，③-④即可得出a →+c →=−b →，带入(a →+c →)x =b →即可得出−xb →=b →，从而求出x ＝−1． 【解答】∵ (a →+b →)∥c →,a →∥(b →+c →)，且a →、b →、c →都是非零向量，其中任意两个都不平行； ∴ 根据共线向量基本定理得，存在实数s ，t ，使：a →+b →=sc →,b →+c →=ta →； ∴ ①-②得：a →−c →=sc →−ta →；∴ 根据平面向量基本定理得，t ＝−1，s ＝−1； ∴ a →+b →=−c →③，b →+c →=−a →④； ∴ ③+④得：a →+c →+2b →=−a →−c →； ∴ a →+c →=−b →；∴ 由(a →+c →)x =b →得：−xb →=b →； ∴ −x ＝1； ∴ x ＝−1． 12. 【答案】2√7+3√32【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】先利用向量的数量积公式，求出∠BOC ＝60∘，利用余弦定理求出BC ，由等面积可得O 到BC 的距离，即可求出△ABC 面积的最大值． 【解答】 ∵ OB ＝3，OC ＝2，OB →⋅OC →=3， ∴ ∠BOC ＝60∘，∴ BC =√9+4−2×3×2×12=√7，设O 到BC 的距离为ℎ，则由等面积可得12⋅√7⋅ℎ=12⋅3⋅2⋅√32， ∴ ℎ=3√217， ∴ △ABC 面积的最大值为12⋅√7⋅(3√217+4)=2√7+3√32．二.选择题【答案】 B【考点】等比数列的通项公式 【解析】由−1、a 、x 、b 、−9依次成等比数列，奇数项的符合相同，即可得出． 【解答】−1、a 、x 、b 、−9依次成等比数列，奇数项的符合相同， 则x =−√(−1)×(−9)=−3． 【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】利用平面向量数量积的运算律进行判断． 【解答】根据数量积的满足的交换律，可知A 项恒成立；由数量积与实数运算的结合律可知B 项恒成立；对于C 项，(a →⋅b →)2=(|a →||b →|cos <a →,b →>)2，只有cos <a →,b →>=±1时，C 项才能成立，即C 项不恒成立；对于D 项，由平方差公式可知，D 项恒成立； 【答案】 C【考点】数列的概念及简单表示法 【解析】根据题意，把新数列，每隔4个作为一组，据此分析可得新数列的第41项为第11组的第一个数，即a 11，即可得答案． 【解答】根据题意，在数列{a n }中每相邻两项间插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，设新数列为{b n }，则有b 1＝a 1，b 5＝a 2，……将数列{b n }从b 1开始的连续4项作为1组，则a n 为第n 组的第一个数， 又由41＝4×10+1，则新数列的第41项为第11组的第一个数，即a 11， 新数列的第41项是原数列的第11项； 【答案】 C【考点】 数列递推式 【解析】利用数列的关系式的变换和极限的应用分别对每一个选项进行分析，进一步求出结果． 【解答】①对于选项A ：当p ＝2时，2(a n+1+2)a n +2=2，故：选项A 错误． ②对于选项：B当q >1或q <−1时，数列{a n }不存在极限． 故选项B 错误③当对于选项C ：由已知数列{a n }满足a n+1＝pa n +2(p ≠0)， 可得a n+1+2p−1=p(a n +2p−1)，即a n+1+2p−1a n +2p−1=p （常数），所以p ≠1，数列{a n +2p−1}一定是等比数列，④对于选项：D ，当0<|p|<1， 则数列{a n }的极限为a 1+2p−11−p，故选项D 错误． 故选：C ． 三.解答题 【答案】向量b →在a →方向上的投影为|b →|cos <a →,b →>=4×12=2． 若|ka →−b →|≥√13，则平方得ka →2−2ka →⋅b →+b →2≥13， 即9k 2−2k ×3×4×12+16≥13，即9k 2−12k +3≥0，即3k 2−4k +1≥0，得k ≤13或k ≥1．【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】（1）根据向量投影的定义进行求解即可．（2）练习向量模长公式与向量数量积的关系，利用平方法进行求解即可． 【解答】向量b →在a →方向上的投影为|b →|cos <a →,b →>=4×12=2． 若|ka →−b →|≥√13，则平方得ka →2−2ka →⋅b →+b →2≥13， 即9k 2−2k ×3×4×12+16≥13， 即9k 2−12k +3≥0，即3k 2−4k +1≥0，得k ≤13或k ≥1．【答案】∵ |e →|=2，且a →+b →+e →=0→， ∴ e →=−(a →+b →)， 则|e →|＝|−(a →+b →)|＝2， 即a →2+b →2+2a →⋅b →=4， 即2a →⋅b →+4+1＝4， 则a →⋅b →=−12，即cos <a →，b →>=a →⋅b→|a →||b →|=−122×1=−14，∵ <a →，b →>∈[0, π]，∴ <a →，b →>=arccos (−14)=π−arccos 14；若c → // d →，设c →=xd →，即{1=kx t −3=(t +5)x ，消去x 得1k =t−3t+5，k ，t 都是正实数， 则k =t+5t−3=1+8t−3，且t >3，2t >6，则k +2t ＝1+8t−3+2t =8t−3+2(t −3)+7≥7+2√8t−3⋅2(t −3)=7+2√16=7+8＝15， 当且仅当8t−3=2(t −3)，即t ＝5时，取等号，即k +2t 的最小值是15．【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】（1）根据向量数量积以及向量模长与数量积的关系进行求解即可．（2）根据向量关系，建立系数之间的关系，利用基本不等式的性质进行求解． 【解答】∵ |e →|=2，且a →+b →+e →=0→， ∴ e →=−(a →+b →)， 则|e →|＝|−(a →+b →)|＝2， 即a →2+b →2+2a →⋅b →=4，即2a →⋅b →+4+1＝4， 则a →⋅b →=−12，即cos <a →，b →>=a →⋅b→|a →||b →|=−122×1=−14，∵ <a →，b →>∈[0, π]，∴ <a →，b →>=arccos (−14)=π−arccos 14； 若c → // d →，设c →=xd →，即{1=kx t −3=(t +5)x ，消去x 得1k =t−3t+5，k ，t 都是正实数，则k =t+5t−3=1+8t−3，且t >3，2t >6，则k +2t ＝1+8t−3+2t =8t−3+2(t −3)+7≥7+2√8t−3⋅2(t −3)=7+2√16=7+8＝15，当且仅当8t−3=2(t −3)，即t ＝5时，取等号， 即k +2t 的最小值是15． 【答案】由题意，可知： S n =1n ⋅[0+(1n )2+(2n )2+⋯+(n −1n)2] =1n ⋅12+22+⋯+(n −1)2n 2 =1n 3⋅[12+22+⋯+(n −1)2] =1n 3⋅(n −1)⋅n ⋅[2(n −1)+1]6=2n 2−3n+16n 2．∴ S =lim n→∞S n =limn→∞2n 2−3n+16n 2=13．仿照题干中思想，可用x 轴上的分点1、1+1n 、1+2n 、 (1)n−1n、2将区间[1, 2]分成n 个小区间，在每个小区间上做一个小矩形，使矩形的左端点在抛物线y ＝x 2(1≤x ≤2)上． ∴ 矩形的底边长都是1n ．这些矩形的高分别为1，(1+1n )2,(1+2n )2,⋯,(1+n−1n)2． 可设所有这些矩形面积的总和为T n ．则T n ．=1n ⋅[1+(1+1n )2+(1+2n )2+⋯+(1+n−1n)2]=1n +1n ⋅[(n +1)2n 2+(n +2)2n 2+⋯+(2n −1)2n 2] =1n +1n 3⋅[(n +1)2+(n +2)2+⋯+(2n −1)2] =1n +1n3⋅[∑ 2n−1i=1i 2−∑ ni=1i 2] =1n +1n 3⋅[(2n −1)⋅2n ⋅(4n −1)6−n(n +1)(2n +1)6] =1n +1n 3⋅n(14n 2−15n +1)6 =14n 2−9n+16n 2．∴ T =lim n→∞T n =limn→∞14n 2−9n+16n 2=73．【考点】 极限及其运算 【解析】本题第（1）题要在理解题意的基础上列出S n 的表达式然后进行计算，这里要用到公式12+22+32+...+n 2＝n(n +1)(2n +1)/6，计算出S n 之后就很容易得到S ；第（2）题先根据题干中分割区间[0, 1]一样的分割法去分割区间[1, 2]，得到各个矩形的底边长和高，列出T n 的表达式，这里也要用到公式12+22+32+...+n 2＝n(n +1)(2n +1)/6，计算出T n 之后就很容易得到T ． 【解答】由题意，可知： S n =1n ⋅[0+(1n )2+(2n )2+⋯+(n −1n)2] =1n ⋅12+22+⋯+(n −1)2n 2 =1n 3⋅[12+22+⋯+(n −1)2] =1n 3⋅(n −1)⋅n ⋅[2(n −1)+1]6=2n 2−3n+16n 2．∴ S =lim n→∞S n =limn→∞2n 2−3n+16n 2=13．仿照题干中思想，可用x 轴上的分点1、1+1n、1+2n、 (1)n−1n、2将区间[1, 2]分成n 个小区间，在每个小区间上做一个小矩形，使矩形的左端点在抛物线y ＝x 2(1≤x ≤2)上． ∴ 矩形的底边长都是1n ．这些矩形的高分别为1，(1+1n )2,(1+2n )2,⋯,(1+n−1n)2． 可设所有这些矩形面积的总和为T n ．则T n ．=1n⋅[1+(1+1n)2+(1+2n)2+⋯+(1+n−1n)2] =1n +1n ⋅[(n +1)2n 2+(n +2)2n 2+⋯+(2n −1)2n 2] =1n +1n 3⋅[(n +1)2+(n +2)2+⋯+(2n −1)2] =1n +1n3⋅[∑ 2n−1i=1i 2−∑ ni=1i 2] =1n +1n 3⋅[(2n −1)⋅2n ⋅(4n −1)6−n(n +1)(2n +1)6] =1n +1n 3⋅n(14n 2−15n +1)6 =14n 2−9n+16n 2．∴ T =lim n→∞T n =limn→∞14n 2−9n+16n 2=73．【答案】证明：对一切n ∈N ∗，点(n,S n n )都在f(x)=x +an 2x 的图象上． ∴ S n n =n +a n 2n ，化为：S n ＝n 2+12a n ．当n ≥2，n ∈N ∗时，S n ＝(n −1)2+12a n−1． 相减可得：a n ＝2n −1+12a n −12a n−1．∴ a n +a n−1＝2(2n −1)．由（1）可得a n+1+a n ＝4n +2，a n+2+a n+1＝4n +6， 相减可得a n+2−a n ＝4， 又a 1＝2，a 2＝4，则{a n }奇数项与偶数项分别成等差数列，当n 取奇数时，a n ＝2n ，当n 取偶数时，a n ＝2n ， 故a n ＝2n ； 因为a n −1a n=1−1a n，故T n =(1−1a 1)(1−1a 2)⋯(1−1a n)，所以T n √a n +1=(1−1a 1)(1−1a 2)⋯(1−1a n)√2n +1，又f(a)−a n +32a=a +an2a −a n +32a=a −32a >(1−1a 1)(1−1a 2)⋯(1−1a n)√2n +1对一切n ∈N ∗都成立．设g(n)=(1−1a 1)(1−1a 2)⋯(1−1a n)√2n +1，则只需|g(n)|max <a −32a ，由于g(n+1)g(n)=(1−1a n+1)√2n+3√2n+1=2n+12n+2√2n+3√2n+1=√4n2+8n+3√4n2+8n+4<1，所以g(n+1)<g(n)，故g(n)是单调减函数，于是|g(n)|max=g(1)=√32．令√32<a−32a，即(a−√3)(2a+√3)a>0，解得a>√3．【考点】数列递推式【解析】（1）利用数列的通项公式和求和公式的关系可以证明；（2）利用等差数列的通项公式可得结果；（3）化简不等式得a−32a >(1−1a1)(1−1a2)⋯(1−1a n)√2n+1对一切n∈N∗都成立．设g(n)=(1−1a1)(1−1a2)⋯(1−1a n)√2n+1，则只需|g(n)|max<a−32a，判断g(n)的单调性，即可得到最大值，再解不等式，即可得到a的范围．【解答】证明：对一切n∈N∗，点(n,S nn )都在f(x)=x+a n2x的图象上．∴S nn =n+a n2n，化为：S n＝n2+12a n．当n≥2，n∈N∗时，S n＝(n−1)2+12a n−1．相减可得：a n＝2n−1+12a n−12a n−1．∴a n+a n−1＝2(2n−1)．由（1）可得a n+1+a n＝4n+2，a n+2+a n+1＝4n+6，相减可得a n+2−a n＝4，又a1＝2，a2＝4，则{a n}奇数项与偶数项分别成等差数列，当n取奇数时，a n＝2n，当n取偶数时，a n＝2n，故a n＝2n；因为a n−1a n =1−1a n，故T n=(1−1a1)(1−1a2)⋯(1−1a n)，所以T n√a n+1=(1−1a1)(1−1a2)⋯(1−1a n)√2n+1，又f(a)−a n+32a =a+a n2a−a n+32a=a−32a>(1−1a1)(1−1a2)⋯(1−1a n)√2n+1对一切n∈N∗都成立．设g(n)=(1−1a1)(1−1a2)⋯(1−1a n)√2n+1，则只需|g(n)|max <a −32a，由于g(n+1)g(n)=(1−1an+1)√2n+3√2n+1=2n+12n+2√2n+3√2n+1=√4n 2+8n+3√4n 2+8n+4<1，所以g(n +1)<g(n)， 故g(n)是单调减函数， 于是|g(n)|max =g(1)=√32． 令√32<a −32a，即(a−√3)(2a+√3)a>0，解得a >√3． 【答案】g(x)＝3sin (x +π2)+4sin x ＝4sin x +3cos x ，其‘相伴向量’OM →=(4, 3)，g(x)∈S ． ℎ(x)＝cos (x +α)+2cos x＝(cos x cos α−sin x sin α)+2cos x ＝−sin αsin x +(cos α+2)cos x∴ 函数ℎ(x)的‘相伴向量’OM →=(−sin α, cos α+2)． 则|OM →|=√(−sin α)2+(cos α+2)2=√5+4cos α．OM →的‘相伴函数’f(x)＝a sin x +b cos x =√a 2+b 2sin (x +φ)， 其中cos φ=√a 2+b2，sin φ=√a 2+b 2．当x +φ＝2kπ+π2，k ∈Z 时，f(x)取到最大值，故x 0＝2kπ+π2−φ，k ∈Z ． ∴ tan x 0＝tan (2kπ+π2−φ)＝cot φ=ab ， tan 2x 0=2tan x 01−tan 2x 0=2×ab 1−(a b)2=2b a −a b．b a为直线OM 的斜率，由几何意义知：ba∈[−√33, 0)∪(0, √33]．令m =ba，则tan 2x 0=2m−1m，m ∈[−√33, 0)∪(0，√33}．当−√33≤m <0时，函数tan 2x 0=2m−1m单调递减，∴ 0<tan 2x 0≤√3；当0<m ≤√33时，函数tan 2x 0=2m−1m单调递减，∴ −√3≤tan 2x 0<0．综上所述，tan 2x 0∈[−√3, 0)∪(0, √3]． 【考点】平面向量的综合题 复合三角函数的单调性 【解析】（1）先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明； （2）先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；（3）先根据定义得到函数f(x)取得最大值时对应的自变量x 0；再结合几何意义求出b a的范围，最后利用二倍角的正切公式即可得到结论． 【解答】g(x)＝3sin (x +π2)+4sin x ＝4sin x +3cos x ， 其‘相伴向量’OM →=(4, 3)，g(x)∈S ． ℎ(x)＝cos (x +α)+2cos x＝(cos x cos α−sin x sin α)+2cos x ＝−sin αsin x +(cos α+2)cos x∴ 函数ℎ(x)的‘相伴向量’OM →=(−sin α, cos α+2)． 则|OM →|=√(−sin α)2+(cos α+2)2=√5+4cos α．OM →的‘相伴函数’f(x)＝a sin x +b cos x =√a 2+b 2sin (x +φ)， 其中cos φ=√a 2+b 2，sin φ=√a 2+b 2．当x +φ＝2kπ+π2，k ∈Z 时，f(x)取到最大值，故x 0＝2kπ+π2−φ，k ∈Z ． ∴ tan x 0＝tan (2kπ+π2−φ)＝cot φ=ab ， tan 2x 0=2tan x 01−tan 2x 0=2×a b 1−(a b)2=2b a −a b．ba为直线OM 的斜率，由几何意义知：ba ∈[−√33, 0)∪(0, √33]．令m =ba ，则tan 2x 0=2m−1m，m ∈[−√33, 0)∪(0，√33}．当−√33≤m <0时，函数tan 2x 0=2m−1m单调递减，∴ 0<tan 2x 0≤√3；当0<m ≤√33时，函数tan 2x 0=2m−1m单调递减，∴ −√3≤tan 2x 0<0．综上所述，tan 2x 0∈[−√3, 0)∪(0, √3]．。

2020年上海行知职业高级中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在复平面内，复数对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：B【分析】运用复数乘法的运算法则，化简复数，最后确定复数所对应的点所在的象限.【详解】，因此复数对应点的坐标为，在第二象限，故本题选B.【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，以及复数对应点复平面的位置.2. 已知（），其中为虚数单位，则（）A. B. 1 C.2 D. 3参考答案：B3. 如图，程序框图的输出值（）A．10 B．11 C．12 D．13参考答案：C略4. 若在区间上递减，则范围为（）A． B．C．D．参考答案：A 解析：令是的递减区间，得而须恒成立，∴，即，∴；5. 在下列各对双曲线中，既有相同的离心率又有相同的渐近线的是( )A.－y2＝1和－＝1B. －y2＝1和x2－＝1C．y2－＝1和x2－＝1 D. －y2＝1和－＝1参考答案：A6. 焦点分别为（﹣2，0），（2，0）且经过点（2，3）的双曲线的标准方程为( )A．x2﹣=1 B．C．y2﹣=1 D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据双曲线上的点和焦点坐标，分别求得点到两焦点的距离二者相减求得a，进而根据焦点坐标求得c，进而求得b，则双曲线方程可得．【解答】解：2a=﹣3=2∴a=1∵c=2∴b=∴双曲线方程为x2﹣=1．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生对双曲线基础知识的理解和灵活把握．7. 底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是A、一定是正三棱锥B、一定是正四面体C、不是斜三棱锥D、可能是斜三棱锥参考答案：D8. 已知点P(1,2)是曲线y=2x2上一点，则P处的瞬时变化率为（）A．2 B．4 C．6 D．参考答案：B9. 已知△ABC中，b=2，c=，三角形面积S=，则A等于（）A．30°B．60°C．60°或150°D．60°或120°参考答案：D【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】利用三角形的面积公式可求得sinA，从而可求得答案．【解答】解：∵△ABC中，b=2，c=，三角形面积S=，∴S=bcsinA=，即×2×sinA=，∴sinA=，A∈（0°，180°），∴A=60°或120°．故选D．【点评】本题考查三角形的面积公式，考查正弦函数的性质，属于中档题．10. 随机变量的分布列为0 1 2 3 45 P,则( )A．B．C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知命题，命题，若命题是真命题，则实数a 的取值范围是__________.参考答案：12. 根据表格中的数据，可以判定方程的一个解所在的区间为（N），则的值为．参考答案：略13. 设A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x|x2－ax<x－a}，若A是B的必要不充分条件，则实数a的取值范围是.参考答案：[1，3]略14. 函数的定义域为.参考答案：15. 在区间中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是______________参考答案：略16. 数列的前ｎ项的和S n =3n2＋n＋1，则此数列的通项公式a n=_______________．参考答案：17. 用反证法证明命题“a，b∈R，a+b=0，那么a，b中至少有一个不小于0”，反设的内容是．参考答案：假设a，b都小于0【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而要证明题的否定为：“假设a，b都小于0”，从而得出结论．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题：“a，b∈R，a+b=0，那么a，b中至少有一个不小于0”的否定为“假设a，b都小于0”，故答案为：假设a，b都小于0三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年上海市某校高二（上）月考数学试卷（10月份）一.填空题1. 若直线了l经过点P(2, −3)，且与向量＝(2, −3)垂直，则l的点方向式方程为________．2. 两条平行直线3x−4y−1＝0和mx−2y+5＝0之间的距离是________．3. 已知点A(2, −1)，B(−3, −2)，若直线l:x+2ay+1＝0与线段AB相交，则a的取值范围是________．4. 方程(2x+3y−1)（−1)＝0表示的曲线是________．5. 平面上到两定点(4, 0)与(−4, 0)的距离之和为8的动点的轨迹方程为________．6. 设m∈R，则直线(m2−1)x+y−m＝0的倾斜角α的取值范围是________．7. 如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合，将矩形折叠，使点A落在线段DC上，若折痕所在直线的斜率为k，则折痕所在的直线方程为________＝或________＝________++（-2≤________<0）．8. 已知点A(4, 5)，点B在x轴上，点C在2x−y+2＝0上，则△ABC的周长最小值为________，此时点C的坐标为________．9. 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．定义P(x1, y1)，Q(x2, y2)两点之间的“直角距离”为d(P, Q)=|x1−x2|+|y1−y2|．已知B(1, 1)，点M为直线x−y+4=0上的动点，则d(B, M)的最小值为________．10. 已知点P(−2, 2)，直线l ：(λ+2)x −(λ+1)y −4λ−6＝0，则点P 到直线l 的距离的取值范围为________．11. 已知实数x ，y 满足{x −y +6≥0x +y ≥0x ≤3，z =ax +y 的最大值为3a +9，最小值为3a −3，则实数a 的取值范围为________．12. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:x 2+y 2＝4+|x|y 就是其中之一．曲线C 对应的图象如图所示，下列结论：①直线AB 的方程为：x +y +2＝0；②曲线C 与圆x 2+y 2＝8有2个交点；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于12；④曲线C 恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．其中正确的是：________．（填写所有正确结论的编号）二.选择题定义点P(x 0, y 0)到直线l:ax +by +c ＝0(a 2+b 2≠0)的有向距离为d ＝，已知点P 1、P 2到直线l 的有向距离分别是d 1、d 2，以下命题正确的有（ ）①若d 1−d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 平行；②若d 1+d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 平行；③若d 1+d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直；④若d 1d 2<0，则直线P 1P 2与直线l 相交．A.1B.2C.3D.4若abc ≠0，a +b +c ≠0，且＝＝＝k ，则直线kx −y +k ＝0必不过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限三.解答题已知定点A(2, 4)，抛物线y 2=2x 上有一动点B ，点P 为线段AB 的中点，求点P 的轨迹方程．△ABC 的顶点A(4, 3)，AC 边上的中线所在的直线为4x +13y −10＝0，∠ABC 的平分线所在直线方程为x +2y −5＝0，求：AC 边所在直线的方程．对于曲线C:f(x, y)=0，若存在非负实数M 和m ，使得曲线C 上任意一点P(x, y)，m ≤|OP|≤M 恒成立（其中O 为坐标原点），则称曲线C 为有界曲线，且称M 的最小值M 0为曲线C 的外确界，m 的最大值m 0为曲线C 的内确界．（1）写出曲线x +y =1(0<x <4)的外确界M 0与内确界m 0；（2）曲线y 2=4x 与曲线(x −1)2+y 2=4是否为有界曲线？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（3）已知曲线C 上任意一点P(x, y)到定点F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)的距离之积为常数a(a >0)，求曲线C 的外确界与内确界．二、附加题：已知平面直角坐标系内定点A(1, 1)，动点B 满足|AB →|＝2，动点C 满足|CB →|＝3，则点C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为________．参考答案与试题解析2020-2021学年上海市某校高二（上）月考数学试卷（10月份）一.填空题1.【答案】＝【考点】直线的点斜式方程【解析】先设直线上任一点的坐标M(x, y)，根据法向量的概念，易得⊥，根据向量垂直的条件得点法向式直线方程．【解答】设直线上任一点的坐标M(x, y)．直线l过点P(2, −3)，且与向量＝(2, −3)垂直，根据法向量的概念，易得：得⊥，根据向量垂直的条件得：•＝0，即＝，2.【答案】【考点】两条平行直线间的距离【解析】由题意利用两条直线平行的性质，求得m的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．【解答】根据两条平行直线3x−4y−1＝0和mx−2y+5＝0，可得＝≠，求得m＝，∴mx−2y+5＝0，即3x−4y+10＝0，∴两条平行直线3x−4y−1＝0和mx−2y+5＝0之间的距离是＝，3.【答案】[-，]【考点】直线的斜率两条直线的交点坐标【解析】直线l:x+2ay+1＝0与线段AB相交，说明A，B在直线的两侧（或其中一点在直线上），由此可得关于a的不等式求解．【解答】直线l:x+2ay+1＝0过定点P(−1, 0)，点A(2, −1)，B(−3, −2)，如图：要使直线l:x+2ay+1＝0与线段AB相交，则(2−2a+1)(−3−4a+1)≤0，解得．∴a的取值范围是[-，]．4.【答案】一条直线和一条射线【考点】曲线与方程【解析】利用曲线方程判断x的范围，然后转化求解即可．【解答】方程(2x+3y−1)（−1)＝0，可知x≥3，所以曲线为：或，前者表示一条射线，后者表示x＝4是直线，所以方程(2x+3y−1)（−1)＝0表示的曲线是：一条直线和一条射线．5.【答案】y＝0，(x∈[−4, 4])【考点】轨迹方程【解析】利用椭圆的定义：平面上到两个定点的距离之和为常数，且大于两定点的距离的动点的轨迹．只要判断两定点的距离与距离之和之间的关系即可得出．【解答】设动点为M，由于|MF1|+|MF2|＝8＝|F1F2|，故动点M为线段F1F2上任意一点，即动点M的轨迹是线段F1F2．轨迹方程为：y＝0，(x∈[−4, 4])6.【答案】[0，]∪（，π)【考点】直线的倾斜角【解析】由倾斜角的范围可得0≤α<π，进而可得l的斜率为k＝1−m2，进而可得K的范围，由倾斜角与斜率的关系，可得tanα≤1，进而由正切函数的图象分析可得答案．【解答】由倾斜角的范围可得0≤α<π，根据斜率的计算公式，可得l的斜率为k＝1−m2，由二次函数的性质易得k≤1，由倾斜角与斜率的关系，可得tanα≤1，由正切函数的图象，可得α的范围是0∘≤α≤45∘或90∘<α<180∘，7.【答案】y,y,kx,k【考点】直线的一般式方程与直线的性质【解析】因为折叠过程中，A点落在线段DC上，特别的如果折叠后AD重合，这时候折痕所在直线的斜率为0，若AD不重合，这时候折痕所在直线的斜率不为0，然后根据A点和对折后的对应点关于直线折痕对称，可以求出直线方程．【解答】当k＝0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y＝．当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a, 1)(0<a≤2)，所以A与G关于折痕所在的直线对称，有k OG⋅k＝−1，k＝−1⇒a＝−k．故G点坐标为G(−k, 1)(−2≤k<0)．从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为M(−，）．折痕所在的直线方程y−＝k(x+），即y＝kx++(−2≤k<0)．∴折痕所在的直线方程为：k＝0时，y＝；k≠0时，y＝kx++(−2≤k<0)．8.【答案】4,(1, 4)【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】利用对称知识求出C关于直线y＝x的对称点，利用点到直线的距离说明最小值的位置，求解即可．【解答】按题意画图设B点的坐标(m, 0)，A点关于2x−y+2＝0直线的对称点D的坐标为(a, b)，则AD的中点E（，），则满足，即，解得，即D(0, 7)，A关于x轴对称的坐标为P(4, −5)，则当D，B，C，P四点共线时，△ABC的周长最小为|DP|＝＝4，直线DP为＝，即3x−y+7＝0，联立，解得C(1, 4)，9.【答案】4【考点】两点间的距离公式【解析】由直角距离的定义d(P, Q)=|x1−x2|+|y1−y2|求出d(B, M)的值，由绝对值的意义求出d(B, M)的最小值即可．【解答】解：∵B(1, 1)，点M为直线x−y+4=0上动点，设M(x, y)，则d(B, M)=|x1−x2|+|y1−y2|=|x−1|+|(x+4)−1|=|x−1|+|x+3|，而|x −1|+|x +3|表示数轴上的x 到−3和1的距离之和，其最小值为4．故答案为：4．10.【答案】[0，4]【考点】点到直线的距离公式【解析】先求出直线经过定点M ，当点P(−2, 2)在直线上，点P 到直线l 的距离最小为0；PM 和直线l 垂直时，点P 到直线l 的距离最大为PM ，由此求出点P 到直线l 的距离的取值范围．【解答】直线l ：(λ+2)x −(λ+1)y −4λ−6＝0，即 λ⋅(x −y −4)+2x −y −6＝0， 该直线经过x −y −4＝0 和2x −y −6＝0的交点M( 2, −2)，当点P(−2, 2)在直线l ：(λ+2)x −(λ+1)y −4λ−6＝0上，点P 到直线l 的距离最小为0；当PM 和直线l 垂直时，点P 到直线l 的距离最大为PM ＝＝4，故点P 到直线l 的距离的取值范围为[0，4]， 11.【答案】[−1, 1]【考点】简单线性规划【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再根据题意建立关于a 的不等式组，解之即可得出实数a 的取值范围．【解答】 解：作出不等式组{x −y +6≥0x +y ≥0x ≤3表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A(3, −3)，B(3, 9)，C(−3, 3)，设z =F(x, y)=2x −y ，把A 、B 、C 坐标分别代入得F(3, −3)=3a −3，F(3, 9)=3a +9，F(−3, 3)=−3a +3结合题意，可得{3a +9≥−3a +3−3a +3≥3a −3，解之得−1≤a ≤1． ∴ 实数a 的取值范围为[−1, 1]故答案为：[−1, 1]12.【答案】①②③【考点】命题的真假判断与应用【解析】①由曲线方程求出A，B两点坐标，求得直线AB的方程即可判断；②曲线C:x2+y2＝4+|x|y与圆x2+y2＝8联立，求出交点坐标即可判断；③采用放缩的思维，先算出规则图形五边形ACDEF的面积，再结合图形即可判断．④结合曲线C的方程，求出所有的整点数，即可判断．【解答】对于①，曲线C:x2+y2＝4+|x|y，令x＝0，则y＝±2，令y＝0，则x＝±2，由图象可知A(2, 0)，B(0, 2)，所以直线AB的方程为x/2+y/2＝1，即x+y−2＝0，故①正确；对于②，曲线C:x2+y2＝4+|x|y与圆x2+y2＝8联立，解得x＝2，y＝2，x＝−2，y＝2，即曲线C与圆x2+y2＝8的交点为(2, 2)，(−2, 2)，有2个，故②正确；对于③，如图所示，图中五边形ACDEF的面积为4×2+×4×2＝12，显然“心形”区域的面积大于五边形ACDEF的面积，故③正确；对于④，曲线C经过的整点有(±2, 0)，(0, ±2)，(±2, 2)，恰有6个，故④错误．二.选择题【答案】A【考点】点到直线的距离公式进行简单的合情推理【解析】根据题意，依次分析4个命题，即可得答案．【解答】根据题意，设P1(x1, y1)，P2(x2, y2)，依次分析4个命题：对于①，若d1−d2＝0，即d1＝d2，若d1＝d2＝0时，P1、P2在直线l上，此时直线P1P2与直线l重合，①错误，对于②，当d1＝d2＝0时，满足d1+d2＝0，P1、P2在直线l上，此时直线P1P2与直线l 重合，②错误，对于③，当d1＝d2＝0时，满足d1+d2＝0，P1、P2在直线l上，此时直线P1P2与直线l 重合，③错误，对于④，若d1⋅d2<0，即(ax1+by1+C)(ax2+by2+c)<0，此时点P1，P2分别位于直线l的两侧，直线P1P2与直线l相交，④正确．4个命题中，只有④正确，【答案】D【考点】确定直线位置的几何要素【解析】把所给的等式变形，求得k＝2，直线即y＝2x+2，从而得出结论．【解答】∵abc≠0，a+b+c≠0，且＝＝＝k，∴a+b＝ck，b+c＝ak，a+c＝bk，∴2(a+b+c)＝(a+b+c)k，∴a+b+c＝k，k＝2，则直线kx−y+k＝0，即2x−y+2＝0，即y＝2x+2，故直线不经过第四象限，三.解答题【答案】(y−2)2=x−1．【考点】轨迹方程【解析】设B(m, n)，即有n2=2m，AB的中点P为(x, y)，运用中点坐标公式，以及代入法，即可得到所求轨迹方程．【解答】解：设B(m, n)，即有n2=2m，AB的中点P为(x, y)，即有2x=2+m，2y=4+n，即m=2x−2，n=2y−4，即有(2y−4)2=4x−4，即(y−2)2=x−1．【答案】∵△ABC的顶点A(4, 3)，AC边上的中线所在的直线为4x+13y−10＝0，∠ABC的平分线所在直线方程为x+2y−5＝0，故由求得，可得点B(9, −2)．设点A(4, 3)关于∠ABC的平分线所在直线x+2y−5＝0的对称点A′( a, b)，由，求得，可得A′( 2, −1)，再根据A′( 2, −1)在直线BC上：y+1＝(x−2)上，直线BC即：x+7y+5＝0．设点C(m, n)，则AC的中点H（，）在AC边上的中线所在的直线为4x+13y−10＝0上，由，求得，可得点C(−12, 1)．故AC边所在直线的方程为＝，即x−8y+20＝0．【考点】两直线的夹角【解析】由题意先求出B的坐标，求出点A(4, 3)关于∠ABC的平分线的对称点A′的坐标，根据A′在BC直线上，求出BC直线的方程．设出C的坐标，则AC的中点H在AC边上的中线所在的直线上．联立方程组求出C的坐标，再用两点式求出直线AC的方程．【解答】∵△ABC的顶点A(4, 3)，AC边上的中线所在的直线为4x+13y−10＝0，∠ABC的平分线所在直线方程为x+2y−5＝0，故由求得，可得点B(9, −2)．设点A(4, 3)关于∠ABC的平分线所在直线x+2y−5＝0的对称点A′( a, b)，由，求得，可得A′( 2, −1)，再根据A′( 2, −1)在直线BC上：y+1＝(x−2)上，直线BC即：x+7y+5＝0．设点C(m, n)，则AC的中点H（，）在AC边上的中线所在的直线为4x+13y−10＝0上，由，求得，可得点C(−12, 1)．故AC边所在直线的方程为＝，即x−8y+20＝0．【答案】解．（1）曲线x+y=1(0<x<4)的外确界M0=5与内确界m0=√2．2（2）对于曲线y2=4x，设P(x, y)为曲线上任意一点|OP|=√x2+y2=√x2+4x=√(x+2)2−4(x≥0)，∴|OP|∈[0, +∞)，∴曲线y2=4x不是有界曲线．对于曲线(x−1)2+y2=4|OP|=√x2+y2=√x2+4−(x−1)2=√2x+3(−1≤x≤3)，∴|OP|∈[1, 3]，∴曲线(x−1)2+y2=4是有界曲线，外确界M0=3与内确界m0=1．（3）由已知得：√(x−1)2+y2×√(x+1)2+y2=a√x2−2x+1+y2×√x2+2x+1+y2=√(x2+y2+1)2−4x2=a，∴(x2+y2+1)2−4x2=a2，∴y2=√4x2+a2−(x2+1)，∵y2≥0，∴√4x2+a2≥x2+1，∴(x2+1)2≤4x2+a2，∴(x2−1)2≤a2，∴1−a≤x2≤a+1，∵|OP|=√x2+y2=√√4x2+a2−1若0<a<1，则√1−a≤√√4x2+a2−1≤√a+1，外确界M0=√a+1，内确界m0=√1−a若a≥1，0≤x2≤a+1，则√a−1≤√√4x2+a2−1≤√a+1，外确界M0=√a+1，内确界m0=√a−1综合得：外确界M0=√a+1，内确界m0=√|a−1|．【考点】函数的最值及其几何意义【解析】（1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，即可求出答案．（2）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，即可求出答案．（2）由题意求出曲线C的方程，进一步得到x的范围，把x2+y2转化为含有x的代数式，分类讨论得答案．【解答】．解．（1）曲线x+y=1(0<x<4)的外确界M0=5与内确界m0=√22（2）对于曲线y2=4x，设P(x, y)为曲线上任意一点|OP|=√x2+y2=√x2+4x=√(x+2)2−4(x≥0)，∴|OP|∈[0, +∞)，∴曲线y2=4x不是有界曲线．对于曲线(x−1)2+y2=4|OP|=√x2+y2=√x2+4−(x−1)2=√2x+3(−1≤x≤3)，∴|OP|∈[1, 3]，∴曲线(x−1)2+y2=4是有界曲线，外确界M0=3与内确界m0=1．（3）由已知得：√(x−1)2+y2×√(x+1)2+y2=a√x2−2x+1+y2×√x2+2x+1+y2=√(x2+y2+1)2−4x2=a，∴(x2+y2+1)2−4x2=a2，∴y2=√4x2+a2−(x2+1)，∵y2≥0，∴√4x2+a2≥x2+1，∴(x2+1)2≤4x2+a2，∴(x2−1)2≤a2，∴1−a≤x2≤a+1，∵|OP|=√x2+y2=√√4x2+a2−1若0<a<1，则√1−a≤√√4x2+a2−1≤√a+1，外确界M0=√a+1，内确界m0=√1−a若a≥1，0≤x2≤a+1，则√a−1≤√√4x2+a2−1≤√a+1，外确界M0=√a+1，内确界m0=√a−1综合得：外确界M0=√a+1，内确界m0=√|a−1|．二、附加题：【答案】24π【考点】轨迹方程【解析】本题先将B 固定，得到C 的轨迹，C 的轨迹随着B 的动点而运动从而形成一个圆环，即C 在平面直角坐标系内覆盖的图形．【解答】因为动点B 满足|AB →|＝2，所以B 点的轨迹是以A 为圆心，2为半径的一个圆， 又因为动点C 满足|CB →|＝3，所以C 点轨迹是以B 为圆心，3为半径的一个圆， 当B 点在圆上运动时，C 点在平面直角坐标系内覆盖的图形如下图所示即C 在平面直角坐标系内覆盖的图形为一个圆环，其中大圆的半径为5，小圆的半径是1，所以C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为52π−12π＝24π．。

2021年高二上学期10月月考数学试题 Word 版含答案一、填空题：共14小题，每题5分，共70分，请将正确答案填写在答题纸对应部分。

1．用符号表示“点在直线上，在平面外”为 ▲ ． 2．四面体共有 ▲ 条棱．3．下列四个条件中，能确定一个平面的是 ▲ （填写序号）。

①空间中的三点； ②空间中两条直线； ③一条直线和一个点；④两条平行直线4．下列叙述中正确命题的个数是 ▲ ．①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线与另一个平面平行．5．如图，在长方体中，直线与直线的位置关系是 ▲ 。

6．,αβαγβγ⊥⊥若平面平面平面平面，则平面与平面的位置关系是▲(填序号)。

①平行 ②相交 ③平行或相交7．设为两条直线, 为两个平面,给出下列命题: ①若 ②若 ③若 ④若其中真命题是 ▲ .（写出所有真命题的序号）8．已知一个圆台的上、下底面半径分别为1cm,2cm ，高为3cm ，则该圆台的母线长为 ▲ cm ． 9. 已知命题：，在“ ”处补上一个条件使其构成真命题（其中是直线，是平面），这个条件是 ▲ 。

10．已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题：①若则 ②若则③若则 ④若则其中真命题是 ▲ ．（填序号）11．设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）若与内的两条直线垂直，则直线与垂直.上面命题中，其中错误的个数是▲．12．如图，A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心（说明:三角形的重心是该三角形的三条中线的交点且重心到顶点的长度与其到对边中点的长度的比是2:1），若BD＝6，则MN＝▲．（第12题）（第13题）13．已知长方体的长、宽、高分别为，则该长方体的外接球的半径是▲14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD。