高职高等数学 第二章 导数与微分第三节 隐函数及参数方程确定的函数的求导法则

沈
阳
工
程
学
院
解
dx dy a sin t , b cos t dt dt dy dy dt b cos t b cot t dx dx a sin t a dt Q
t x 2e 例 8 求曲线 在点 2,1 处的切线方程和法线方程。 t y e
如果函数 x y 在某区间 I y 内单调 、可导且 y 0 ， 那 么它的反函数
y f x 在对应区间 I x 内也可导，且有 f x
课堂练习：
求下列隐函数的导数 y x
1. y cos x y
小结：
1、隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 2、对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 3、参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则。
解
对应于点 2,1 的参数 t 0
t
yt e 1 1 所以 k y x t xt 2e t 0 2
故切线方程为 即 法线方程为 即
y 1
1 x 2 2
x 2y 4 0
y 1 2 x 2
2x y 3 0
再设函数 x (t ), y (t )都可导, 且 (t ) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得 dy dy dy dt dy 1 (t ) dy dt ，即 dx dx dt dx dt (t ) dx dx dt dt x a cos t 例 7 求由参数方程 确定的函数的导数 y b sin t
解 将等式两边取对数得 1 ln y ln x ln x 1 ln x 2 ln x 3 4 两边对 x 求导得
y x
所以
例 4 设 y x sin x ( x 0), 求y. 解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x 1 1 y cos x ln x sin x y x
1 1 x2
如果函数 x y 在某区间 I y 内单调 、可导且 y 0 ， 那么它的反函数
y f x 在对应区间 I x 内也可导，且有 f x
y
1
即
反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
二、参数方程确定的函数的求导法则 x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系, 称此为 y (t ) 由参数方程所确定的函数. x 2t , x 例如 t 消去参数 t 2 2 y t ,
类似可证明
沈
即
阳
1 1 x2
工
1 1 x2
程
学
院
1 cos y y x
y x
1 1 1 cos y 1 sin 2 y 1 x2
arccos x arctan x
1 1 x2
arc cot x
★ 可得反函数的求导法则：
(arcsin x)
1 x2 1 (arctan x) 1 x2
沈
1
阳
(cot x) csc 2 x (csc x) csc x cot x
(e x ) e x 1 (ln x) x
工
1
程
学
院
(arccos x)
1 x2 1 (arc cot x) 1 x2
2x 2 y
dy 0 dx
解得
dy x dx y
例 2 求由方程 y sin x ln y 1 所确定的隐函数的导数 y x 解 将方程两边同时对 x 求导，得 y x sin x y cos x 1 0 yx y
解得
y x
y 2 cos x 1 y sin x
第三节 隐函数及参数方程确定的函数求导法则（Rule of Finding Derivative for Implicit Function and Function Defined by Parametric Equations） 教学目的：掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法 内 容：1.隐函数的求导法则 2.参数方程确定的函数的求导法则 3.初等函数的导数 教学重点：隐函数求导 教学难点: 幂指函数的求导方法 教 具：多媒体课件
3.复合函数的求导法则
设y f (u ), 而u ( x)则复合函数 y f [ ( x)]的导数为 dy dy du 或 dx du dx y ( x) f (u ) ( x).
4．参数方程确定的函数的求导法则
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数,其中 (t ), (t )都可导，且 (t ) 0, y (t ) t为参数，则 dy dy dt dx dx dt 5．反函数的求导法则
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
dy dx 解 将方程的两边同时对 x 求导，根据复合函数求导法则得
例 1 求由方程 x 2 y 2 R 2 所确定的隐函数的导数
沈
2
阳
2
工
程
学
院
x y R
2
沈
阳

1 11 1 1 1 y x y 4 x x 1 x 2 x 3
工
程
的情形.
学
院
y1 1 1 1 4 x x 1 x 2 x 3
x x 1 1 14 1 1 1 4 x 2 x 3 x x 1 x 2 x 3
三、初等函数的导数
1.常数和基本初等函数的导数公式 (C ) 0 ( x ) x 1 (sin x) cos x (cos x) sin x (tan x) sec 2 x (sec x) sec x tan x
(a x ) a x ln a 1 (log a x) x ln a
上式两边对x求导得
1 sin x y y (cos x ln x sin x ) x sin x (cos x ln x ) x x
一般地 f ( x) u ( x) v ( x ) (u ( x) 0)
ln f ( x) v( x) ln u ( x)
★对数求导法
x x 1 观察函数 y , x 2 x 3
4
yx
sin x
.
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数. --------对数求导法 适用范围: 多个函数相乘和幂指函数 u ( x) 例 3 求函数 y
4
v( x)
x x 1 的导数 x 2 x 3
2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 u u x , v v x 可导，则
(1)(u v) ' u ' v ' ,
(3) (uv) ' u ' v uv '
(2) (cu ) ' cu '
c 是常数 v0
u u ' v uv ' (4) ( ) ' v v2
沈
阳
工
程
y
1学Βιβλιοθήκη 院2.x y arctan y
课后作业：P44:2(1)(3),3(1),4(1)
沈
阳
工
程
学
院
教学方法：精讲多练 教学过程： 1.引入新课：
类如 e y xy 的函数的导数如何来计算，本节介绍这类函数的求导法则 2.教学内容： 一、隐函数的求导法则
定义: 由方程F ( x, y ) 0所确定的函 数 y y x 称为隐函数。
y f ( x) 形式称为显函数.
F ( x, y ) 0 y f ( x) 隐函数的显化
x log a y
1 1 y x y ln a
x y x y ln a a ln a
即
当 a e 时， e
x
a a
x
x
ln a
e
x
例 6 证明
arcsin x
证明 设 y arcsin x ，则 x sin y ，两边对 x 求导得
x x2 1 y t 2 ( )2 y x 2 4 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
x (t ) 在方程 中, 设函数x (t )具有单调连续的反函数 t 1 ( x), y (t ) y [ 1 ( x)]
又
d 1 d ln f ( x) f ( x) dx f ( x) dx
d ln f ( x) dx
f ( x) f ( x)
f ( x) u ( x) v ( x ) [v( x) ln u ( x)
v( x)u( x) ] u ( x)
例 5 求指数函数 y a x a 0, 且a 1 的导数 解 把 y a x 改写成 x log a y ，两边对 x 求导得