2019版数学(文)培优增分一轮全国经典版培优讲义：第6章 不等式 第1讲不等关系与不等式 含答案

学必求其心得，业必贵于专精

第1讲 不等关系与不等式

板块一 知识梳理·自主学习

［必备知识]

考点1 比较两个实数的大小

两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b>0⇔a〉b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a0,则有错误!>1⇔a>b；错误!＝1⇔a＝b；错误!<1⇔a〈b。

考点2 不等式的性质

1．对称性:a>b⇔b〈a；

2．传递性：a>b，b>c⇒a〉c；

3．可加性：a>b⇔a＋c〉b＋c;a>b，c〉d⇒a＋c〉b＋d；

4．可乘性：a>b,c>0⇒ac>bc；a〉b，c<0⇒ac0，c>d>0⇒ac>bd；

5．可乘方性：a〉b>0⇒an〉bn(n∈N,n≥2）;

6．可开方性：a〉b>0⇒错误!>错误!（n∈N，n≥2）．

[必会结论］

1．a>b,ab〉0⇒错误!〈错误!.

2．a<0〈b⇒错误!

3．a>b>0,0〈c错误!.

4．0

5．若a〉b〉0，m>0，则错误!〈错误!；错误!>错误!(b－m>0)；错误!〉错误!；错误!0)．

［考点自测］

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”,错误的打“×”)

(1）两个实数a，b之间，有且只有a〉b,a＝b,a〈b三种关系中的一种．（ )

(2)若错误!〉1,则a>b。( )

（3）一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( )

（4）一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )

（5)a>b>0，c〉d〉0⇒错误!>错误!.( ）

（6）若ab〉0，则a>b⇔错误!

答案 （1）√ (2）× （3)× （4)× (5）√ (6）√

2．[课本改编]设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( ）

A．M〉N B．M＝N C．M

答案 A

解析 M－N＝x2＋x＋1＝错误!2＋错误!>0,所以M〉N。

3．［课本改编]若a>b>0，c〈d<0，则一定有( )

A.错误!>错误! B.错误!

C.错误!〉错误! D。错误!〈错误!

答案 D 学必求其心得，业必贵于专精

解析 由c－错误!>0,又a>b>0,故由不等式性质，得－ad〉－错误!〉0,所以错误!

4．[课本改编］若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( ）

A．a＋c〉b－c B．(a－b)c2〉0

C．a3>b3 D．a2〉b2

答案 C

解析 对于A，由于不知道c的正负,故无法判断a＋c与b－c的大小关系,所以错误；对于B，当c＝0时，（a－b）c2>0不成立,所以错误；对于D，需要保证a〉b>0，才能得到a2>b2，所以错误．故选C。

5．[2018·浙江模拟]设a，b是实数,则“a＋b>0"是“ab>0”的( ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 D

解析 若a＋b>0,取a＝3，b＝－2，则ab〉0不成立；反之,若a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b〉0"是“ab〉0”的既不充分也不必要条件．选D。

6．已知－1

答案 (－4,2) （1,18)

解析 ∵－1

∴－4〈x－y〈2. 学必求其心得，业必贵于专精

由－1〈x〈4,2〈y〈3，得－3<3x<12,4〈2y<6，

∴1<3x＋2y〈18.

板块二 典例探究·考向突破

考向 不等式的性质

例 1 （1)对于任意实数a，b,c，d,下列命题中正确的是( ）

A．若a>b，c≠0，则ac〉bc

B．若a〉b，则ac2>bc2

C．若ac2>bc2，则a>b

D．若a〉b，则错误!〈错误!

答案 C

解析 对于选项A，当c〈0时，不正确;

对于选项B，当c＝0时,不正确；

对于选项C，∵ac2〉bc2，∴c≠0,∴c2〉0，∴一定有a〉b。故选项C正确;

对于选项D,当a〉0,b<0时，不正确．

(2）已知四个条件:①b〉0>a；②0>a〉b；③a>0>b;④a>b〉0,能推出错误!

答案 ①②④

解析 运用倒数法则，a>b，ab〉0⇒错误!〈错误!，②④正确．又正数大于负数，所以①正确．

触类旁通

利用不等式性质进行命题的判断

（1）判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说学必求其心得，业必贵于专精

明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．

(2）在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．

【变式训练1】 （1)已知a，b，c满足c

A．ab〉ac B．c（b－a)〈0

C．cb2〈ab2 D．ac（a－c）〉0

答案 A

解析 由c

由b〉c得ab〉ac一定成立．

(2）若错误!〈错误!<0，则下列不等式：

①a＋b〈ab；②｜a｜〉|b｜；③a〈b；④ab〈b2中，正确的不等式有________．

答案 ①④

解析 因为错误!

所以b0,

所以a＋b

因为b〈0,所以ab

学必求其心得，业必贵于专精

考向 比较代数式的大小

命题角度1

作差法

例 2 （1)[2018·上海徐汇区模拟］若a<0,b<0，则p＝b2a＋错误!与q＝a＋b的大小关系为（ )

A．pq D．p≥q

答案 B

解析 (作差法）p－q＝错误!＋错误!－a－b

＝错误!＋错误!＝（b2－a2)·错误!

＝错误!＝错误!，

因为a〈0，b<0,所以a＋b<0，ab>0。

若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b,则p－q〈0，故p

综上,p≤q，故选B.

（2）已知a〈0，－1〈b<0，则a,ab，ab2的大小关系是________．

答案 a

解析 ∵a－ab＝a(1－b)<0，∴a0，∴ab〉ab2.∵a－ab2＝a（1－b2）〈0，∴a

命题角度2 作商法

例 3 已知a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与（ab） 错误!的大小．

解 ∵a〉0，b>0，

∴错误!＝a错误!b错误!＝a错误!b错误!＝错误!错误!，

若a〉b〉0,则错误!>1，a－b〉0. 学必求其心得，业必贵于专精

由指数函数的性质错误!错误!>1；

若b>a>0，则0

由指数函数的性质错误!错误!〉1.

∴错误!〉1,∴aabb〉(ab） 错误!。

命题角度3 放缩法

例 4 （1）[2018·九江模拟]已知a＝3错误!,b＝log错误!错误!,c＝log2错误!，则( )

A．a〉b>c B．b>c〉a

C．c〉b>a D．b>a〉c

答案 A

解析 ∵a＝3错误!〉1,0

c＝log213〈0，∴a〉b>c。故选A。

(2)设x〉0，P＝2x＋2－x，Q＝(sinx＋cosx）2，则( ）

A．P〉Q B．P〈Q C．P≤Q D．P≥Q

答案 A

解析 因为2x＋2－x≥2错误!＝2（当且仅当x＝0时等号成立），而x>0,所以P〉2；又（sinx＋cosx）2＝1＋sin2x，而sin2x≤1，所以Q≤2。于是P〉Q.故选A。

触类旁通

比较大小的常用方法

（1)作差法；

（2)作商法； 学必求其心得，业必贵于专精

（3）放缩法：在代数式的比较大小问题中，一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式(或数)，其放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等．有时，等号成立的条件是比较大小的关键所在．

考向 不等式性质的应用

例 5 已知－1〈x＋y<4且2〈x－y<3，则z＝2x－3y的取值范围是________．（答案用区间表示)

答案 （3,8)

解析 解法一：设2x－3y＝λ（x＋y）＋μ(x－y）＝（λ＋μ)x＋（λ－μ)y，

对应系数相等,则错误!⇒错误!

∴2x－3y＝－错误!（x＋y)＋错误!(x－y）∈(3,8)．

解法二：令错误!∴错误!

∴2x－3y＝2错误!－3错误!＝－错误!＋错误!b∈（3,8)．

解法三：由错误!

确定的平面区域如图阴影部分．

目标函数z＝2x－3y可化为y＝错误!x－错误!，由线性规划知识可求出2x－3y∈(3,8)． 学必求其心得，业必贵于专精

触类旁通

利用不等式性质求代数式的取值范围

由a〈f（x，y)

【变式训练2】 若实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤错误!≤9，则错误!的最大值是________．

答案 27

解析 解法一：由3≤xy2≤8，4≤错误!≤9,可知x〉0，y〉0，且错误!≤错误!≤错误!,16≤错误!≤81，由性质6，得2≤错误!≤27,故错误!的最大值是27.

解法二：设错误!＝错误!m(xy2)n,

则x3y－4＝x2m＋ny2n－m，

所以错误!即错误!

又∵16 ≤错误!2≤81,错误!≤（xy2)－1≤错误!，

∴2≤错误!≤27，故错误!的最大值为27.

核心规律

1.用同向不等式求差的范围．

错误!⇒错误!⇒a－d〈x－y〈b－c.

这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．

2。比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主