数学(文)一轮复习：第六章 不等式 第讲不等关系与不等式

学必求其心得，业必贵于专精

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不等关系与不等式 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1。会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．

2．了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组．

3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

基本不等式错误!≤错误!(a≥0，b≥0） 1。了解基本不等式的证明过程．

2．会用基本不等式解决简单的最大（小)值问题．

学必求其心得，业必贵于专精

第1讲 不等关系与不等式

，

）

1．实数大小顺序与运算性质之间的关系

a－b〉0⇔a〉b;a－b＝0⇔a＝b；a－b〈0⇔a

2．不等式的基本性质

（1)对称性:a＞b⇔b＜a；

（2）传递性：a＞b,b＞c⇒a＞c;

(3）可加性:a＞b⇒a＋c＞b＋c;a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；

(4）可乘性:a＞b，c＞0⇒ac＞bc，

a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；

（5)可乘方:a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2）;

(6）可开方：a＞b＞0⇒na＞错误!（n∈N，n≥2)．

1．辨明两个易误点

(1）在应用传递性时,注意等号是否传递下去，如a≤b，b〈c⇒a学必求其心得，业必贵于专精

〈c；

(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a〉b⇒ac2〉bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2〉bc2就是错误结论(当c＝0时,取“＝”)．

2．不等式中的倒数性质

（1)a〉b，ab>0⇒错误!

(2)a〈0

(3)a〉b〉0，0错误!；

（4)0〈a〈x〈b或a

3．不等式恒成立的条件

(1）不等式ax2＋bx＋c〉0对任意实数x恒成立⇔错误!或错误!

(2)不等式ax2＋bx＋c〈0对任意实数x恒成立⇔错误!或错误!

1。错误! 若a

A．错误!〉错误! B．错误!〉错误!

C．｜a｜>|b| D．a2>b2

A 由a

取a＝－2,b＝－1，则错误!〉错误!不成立．

2.错误! 设A＝（x－3）2，B＝(x－2）(x－4)，则A与B的大小为学必求其心得，业必贵于专精

( ）

A．A≥B B．A〉B

C．A≤B D．A〈B

B A－B＝（x2－6x＋9）－(x2－6x＋8）＝1〉0，所以A〉B.故选B.

3.错误! 若a〉b，则下列不等式一定成立的是( ）

A．ac2>bc2 B．错误!

C．ac2≥bc2 D．错误!≤错误!

C 当c＝0时,A、B错误;当a〉0,b<0时,D错误,故选C.

4.错误! 下列四个结论，正确的是（ )

①a〉b，c〈d⇒a－c>b－d；

②a>b〉0，cbd；

③a〉b〉0⇒错误!>错误!;

④a〉b>0⇒错误!>错误!.

A．①② B．②③

C．①④ D．①③

D 对于①,因为a〉b,c－d，

所以a－c>b－d。 学必求其心得，业必贵于专精

对于③，a〉b〉0，则3a〉错误!>0.

5。错误! 若不等式－x2＋2x＋m>0的解集是∅，则实数m的取值范围为（ ）

A．m≤－1 B．m≥－1

C．m≤1 D．m≥1

A －x2＋2x＋m>0，

即为x2－2x－m〈0.

由题意得Δ＝（－2)2－4×1×(－m）≤0，

即4＋4m≤0，

所以m≤－1.故选A.

不等式的性质

(1)已知a,b，c，d为实数，则“a〉b且c〉d”是“ac＋bd>bc＋ad”的（ )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

（2）若错误!〈错误!<0，则下列不等式：①a＋b〈ab;②|a｜>|b｜；学必求其心得，业必贵于专精

③a

A．①② B．②③

C．①④ D．③④

【解析】 (1）因为c>d，所以c－d〉0。又a>b,所以两边同时乘以(c－d），得a(c－d）>b(c－d)，即ac＋bd>bc＋ad.若ac＋bd〉bc＋ad，则a(c－d）〉b(c－d），也可能ab且c〉d”是“ac＋bd〉bc＋ad"的充分不必要条件．

(2）因为错误!

【答案】 (1)A （2）C

错误!

(1）判断不等式命题真假的方法

①判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式性质．

②在判断一个关于不等式的命题真假时,先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假．

(2）充要条件的判断方法 学必求其心得，业必贵于专精

利用两命题间的关系，看p能否推出q,再看q能否推出p,充分利用不等式性质或特值求解．

1．已知a〈b

A．a2〈b2

C．ba

D 因为a〈b〈c且a＋b＋c＝0,所以a<0，c>0，b的符号不定，对于b>a，两边同时乘以正数c，不等号方向不变．

2．若a〉0〉b〉－a,cbc；②错误!＋错误!<0；③a－c>b－d;④a(d－c）>b（d－c)中,成立 的个数是( ）

A．1 B．2

C．3 D．4

C 因为a〉0>b,c

所以ad<0，bc〉0，

所以ad

因为a>0〉b〉－a，

所以a〉－b>0，

因为c

所以－c>－d>0， 学必求其心得，业必贵于专精

所以a(－c）>(－b）(－d)，

所以ac＋bd〈0，

所以错误!＋错误!＝错误!<0，故②正确．

因为c－d，

因为a〉b，所以a＋（－c)〉b＋(－d)，

a－c>b－d，故③正确．

因为a〉b，d－c〉0,所以a（d－c）>b（d－c），

故④正确，故选C。

比较两个数（式)的大小

(1)已知a1，a2∈(0，1),记M＝a1a2,N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( ）

A．MN

C．M＝N D．不确定

(2）若a＝ln 22，b＝错误!，则a________b(填“>”或“<”）．

【解析】 （1）M－N＝a1a2－(a1＋a2－1）

＝a1a2－a1－a2＋1＝（a1－1）（a2－1)， 学必求其心得，业必贵于专精

又因为a1∈(0,1),a2∈(0,1）,

所以a1－1〈0，a2－1〈0.

所以（a1－1）（a2－1）>0,

即M－N>0。所以M〉N.

(2)易知a,b都是正数，错误!＝错误!＝log89>1，所以b〉a.

【答案】 （1）B (2）<

比较两个数(式）大小的两种方法

1．对于0〈a〈1，给出下列四个不等式：

①loga(1＋a)〈loga错误!；

②loga（1＋a)>loga错误!；

③a1＋a

④a1＋a>a1＋错误!.

其中成立的是（ ）

A．①与③ B．①与④

C．②与③ D．②与④ 学必求其心得，业必贵于专精

D 当0〈a〈1时，（1＋a）－错误!＝错误!<0,则1＋a〈1＋错误!,因此②④成立，故选D。

2．设a〉b〉0，m>0。试比较错误!与错误!的大小．

因为错误!－错误!＝错误!，a>b>0，m>0.

所以a（a＋m)〉0，(b－a)m〈0。

所以错误!〈0,即错误!－错误!〈0，所以错误!

不等式的恒成立问题(高频考点)

不等式的恒成立问题是每年高考的热点，题型多为选择题或填空题，有时也出现在解答题中，属中档题．

高考对不等式的恒成立问题的考查主要有以下三个命题角度:

(1）由f(x）≥0(x∈R）恒成立，求参数的取值范围；

（2）由f（x)≥0(x∈）恒成立,求参数的取值范围；

（3)由f（x)≥0（m∈)恒成立，求x的取值范围．

(1）若不等式mx2＋2mx－4〈2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是( ）

A．（－2，2］ B．(－2，2）

C．(－∞，－2)∪

（2）设f(x)＝mx2－mx－1,若f(x）〈－m＋5，对于x∈上恒成立，学必求其心得，业必贵于专精

则实数m的取值范围为________．

【解析】 （1)原不等式等价于（m－2）x2＋2（m－2）x－4<0，

①当m＝2时，对任意x不等式都成立；

②当m－2<0时,Δ＝4（m－2)2＋16（m－2)〈0,

所以－2〈m<2，

综合①②,得m∈（－2，2］．选A.

（2)法一：要使f（x)〈－m＋5在x∈上恒成立，即m错误!错误!＋错误!m－6<0在x∈上恒成立．

令g(x)＝m错误!错误!＋错误!m－6，x∈．

当m〉0时，g(x)在上是增函数，所以g（x)max＝g(3)＝7m－6〈0,所以m

当m＝0时，－6〈0恒成立;

当m<0时，g(x)在上是减函数，所以g（x）max＝g（1)＝m－6〈0，所以m<6,所以m<0。

综上所述，m的取值范围是｛m｜m<67}．

法二：要使f(x)<－m＋5在x∈上恒成立，即m（x2－x＋1）－6<0在上恒成立．

因为x2－x＋1＝错误!错误!＋错误!>0，