高中数学高考复习：第六章第1讲 不等关系与不等式

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不等关系与不等式 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．

二元一次不等式(组)与

简单的线性规划问题 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．

2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．

3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

基本不等式

a＋b2≥ab(a≥0，b≥0) 1.了解基本不等式的证明过程．

2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

第1讲 不等关系与不等式

1．实数大小顺序与运算性质之间的关系

a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a

2．不等式的基本性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a；

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；

(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc，

a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；

(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)．

1．辨明两个易误点

(1)在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b

(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．

2．不等式中的倒数性质

(1)a>b，ab>0⇒1a<1b；

(2)a<0

(3)a>b>0，0bd；

(4)0

1.教材习题改编 设A＝(x－3)2，B＝(x－2)·(x－4)，则A与B的大小关系为( )

A．A≥B B．A＞B

C．A≤B D．A＜B

B [解析] A－B＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1＞0，所以A＞B.故选B.

2．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

C [解析] a>0，b>0⇒a＋b>0，ab>0.又当ab>0时，a与b同号，由a＋b>0知a>0，且b>0.

3.教材习题改编 下列四个结论，正确的是( )

①a>b，cb－d；

②a>b>0，cbd；

③a>b>0⇒3a>3b；

④a>b>0⇒1a2>1b2.

A．①② B．②③ C．①④ D．①③

D [解析] 对于①，因为a>b，c－d，

所以a－c>b－d.

对于③，a>b>0，则3a>3b>0.

4.12－1 ________3＋1(填“>”或“<”)．

[解析] 12－1＝2＋1<3＋1.

[答案] <

5．下列不等式中恒成立的是__________．

①m－3＞m－5；②5－m＞3－m；③5m＞3m；④5＋m＞5－m.

[解析] m－3－m＋5＝2＞0，故①恒成立；

5－m－3＋m＝2＞0，故②恒成立；

5m－3m＝2m，无法判断其符号，故③不恒成立；

5＋m－5＋m＝2m，无法判断其符号，故④不恒成立．

[答案] ①②

比较两个数(式)的大小[学生用书P117]

[典例引领]

(1)(2016·高考浙江卷节选)设函数f(x)＝x3＋11＋x，x∈[0，1]．证明：f(x)≥1－x＋x2.

(2)若a＝ln 33，b＝ln 22，比较a与b的大小．

【解】 (1)证明：因为1－x＋x2－x3＝1－（－x）41－（－x）＝1－x41＋x，

由于x∈[0，1]，有1－x41＋x≤1x＋1，

即1－x＋x2－x3≤1x＋1，

所以f(x)≥1－x＋x2.

(2)因为a＝ln 33＞0，b＝ln 22＞0， 所以ab＝ln 33·2ln 2

＝2ln 33ln 2＝ln 9ln 8＝log8 9＞1，

所以a＞b.

比较下列各组中两个代数式的大小．

(1)3m2－m＋1与2m2＋m－3；

(2)a2b＋b2a与a＋b(a＞0，b＞0)．

[解] (1)因为(3m2－m＋1)－(2m2＋m－3)

＝m2－2m＋4＝(m－1)2＋3＞0，

所以3m2－m＋1＞2m2＋m－3.

(2)因为a2b＋b2a－(a＋b)＝a3＋b3－a2b－ab2ab

＝a2（a－b）＋b2（b－a）ab＝（a－b）（a2－b2）ab

＝（a－b）2（a＋b）ab.

又因为a＞0，b＞0，所以（a－b）2（a＋b）ab≥0，

故a2b＋b2a≥a＋b.

不等式的性质[学生用书P117]

[典例引领]

(1)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

(2)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②ad＋bc＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是( )

A．1 B．2

C．3 D．4

【解析】 (1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；

当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；

当b>0时，由a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.

综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C.

(2)因为a＞0＞b，c＜d＜0，

所以ad＜0，bc＞0，

所以ad＜bc，故①错误．

因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，

因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，

所以a(－c)＞(－b)(－d)，

所以ac＋bd＜0，所以ad＋bc＝ac＋bdcd＜0，故②正确．

因为c＜d，所以－c＞－d，

因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)，

即a－c＞b－d，故③正确．

因为a＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)，

故④正确，故选C.

【答案】 (1)C

(2)C

(1)判断不等式命题真假的方法

①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式性质．

②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假．

(2)充要条件的判断方法

利用两命题间的关系，看p能否推出q，再看q能否推出p，充分利用不等式性质或特值求解． [通关练习]

1．(2017·贵阳监测考试)下列命题中，正确的是( )

A．若a>b，c>d，则ac>bd

B．若ac>bc，则a>b

C．若ac2

D．若a>b，c>d，则a－c>b－d

C [解析] 取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；B：当c<0时，ac>bc⇒a0，所以a

2．若1

[解析] 因为－4

所以－4<－|β|≤0.所以－3

[答案] (－3，3)

一元二次不等式恒成立问题(高频考点)[学生用书P118]

一元二次不等式恒成立问题是每年高考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．

高考对一元二次不等式恒成立问题的考查有以下三个命题角度：

(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围；

(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围；

(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围．

[典例引领]

(1)若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是( )

A．(－2，2] B．(－2，2)

C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2]

(2)不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．

【解析】 (1)原不等式等价于(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0， ①当m＝2时，对任意x不等式都成立；

②当m－2<0时，Δ＝4(m－2)2＋16(m－2)<0，

所以－2

综合①②，得m∈(－2，2]．选A.

(2)因为a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，

所以a2＋8b2－λb(a＋b)≥0对于任意的a，b∈R恒成立，即a2－λba＋(8－λ)b2≥0恒成立，

由二次不等式的性质可得，

Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0，

所以(λ＋8)(λ－4)≤0，

解得－8≤λ≤4.

【答案】 (1)A (2)[－8，4]

不等式恒成立问题的求解方法

(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．

(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])的不等式确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围．

(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．

[题点通关]

角度一 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定

参数的范围

1．已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

[解] 要使不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立，

即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．

当m＝0时，1－2x＜0，则x＞12，不满足题意；

当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，