2017届高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：6.1 不等关系与不等式 Word版含答案
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第一节 不等关系与不等式
不等式的概念和性质
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．
知识点一 实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b⇔a－b>0；
(2)a＝b⇔a－b＝0；
(3)a
必备方法 比较大小的常用方法：
(1)作差法
一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
(2)作商法
一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论(注意所比较的两个数的符号)．
[自测练习]
1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．MN
C．M＝N D．不确定
解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，
又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.
∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.
答案：B
知识点二 不等式性质
性质 性质内容 注意
对称性 a>b⇔b
传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒
可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔
可乘性 a>bc>0⇒ac>bc
c的符号 a>bc<0⇒ac
同向可加性 a>bc>d⇒a＋c>b＋d ⇒
同向同正
可乘性 a>b>0c>d>0⇒ac>bd ⇒
可乘方性 a>b>0⇒an>bn
(n∈N，n≥1)
同正
可开方性 a>b>0⇒na>nb
(n∈N，n≥2)
易误提醒
1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b
2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．
[自测练习]
2．设a，b，c∈R，且a>b，则( )
A．ac>bc B.1a<1b
C．a2>b2 D．a3>b3 解析：当c<0时，ac>bc不成立，故A不正确，当a＝1，b＝－3时，B、C均不正确，故选D.
答案：D
3．若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是( )
A.ba>b＋1a＋1 B．a＋1a>b＋1b
C．a＋1b>b＋1a D.2a＋ba＋2b>ab
解析：由a>b>0⇒0<1a<1b⇒a＋1b>b＋1a，故选C.
答案：C
4．已知a<0，－1
解析： －1
又ab>0，∴ab>ab2>a.
答案：ab>ab2>a
考点一 利用不等式(组)表示不等关系|
1．将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x应满足的不等关系．
解：由题意知 5－x>0，5－x＋12－x>13－x，5－x2＋12－x2<13－x2.
2．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两台设备上加工，在A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式． 解：设甲、乙两种产品的产量分别为x件，y件，由题意可知， x＋2y≤400，2x＋y≤500，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.
利用不等式(组)表示不等关系的一个注意点及一个关键点：
关键点：准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言．
注意点：要注意“不超过”，“至少”，“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．
考点二 不等式性质及应用|
1．(2016·大庆质检)若a
A.1a－b>1a
B.1a>1b
C．|a|>|b| D．a2>b2
解析：由a1a不成立，选A.
答案：A
2．(2016·武汉调研)若实数a，b∈(0,1)，且满足(1－a)b>14，则a，b的大小关系是(
)
A．a
C．a>b
D．a≥b
解析：∵a，b∈(0,1)，∴1－a>0，又(1－a)b>14，
∴14<1－a＋b22，12<1－a＋b2，即b－a>0，故选A.
答案：A
3．设a，b是实数，则“a>b>1”是“a＋1a>b＋1b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：法一：因为a＋1a－b＋1b＝a－bab－1ab，所以若a>b>1，显然a＋1a－b＋1b＝a－bab－1ab>0，则充分性成立；当a＝12，b＝23时，显然不等式a＋1a>b＋1b成立，但a>b>1不成立，所以必要性不成立，故选A.
法二：令函数f(x)＝x＋1x，则f′(x)＝1－1x2＝x2－1x2，可知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，所以“a>b>1”是“a＋1a>b＋1b”的充分不必要条件，选A.
答案：A
运用不等式性质求解问题的两个注意点
1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误．
2．对于不等式的常用性质，要注意弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据．
考点三 比较大小|
(1)若实数a≠1，比较a＋2与31－a的大小；
(2)比较aabb与abba(a>0且a≠1，b>0且b≠1)的大小．
[解] (1)a＋2－31－a＝－a2＋a＋11－a，
∵a2＋a＋1＝a＋122＋34>0，∴－(a2＋a＋1)<0，
∴当1－a>0，即a<1时，－a2＋a＋11－a<0，则有a＋2<31－a.
当1－a<0即a>1时，－a2＋a＋11－a>0，则有a＋2>31－a.综上知，当a<1时，a＋2<31－a， 当a>1时，a＋2>31－a.
(2)aabbabba＝aa－bbb－a＝aba－b，
当a>b>0时，ab>1，a－b>0，
则aba－b>1，∴aabb>abba；
当b>a>0时，0
则aba－b>1，∴aabb>abba；
当a＝b>0时，aba－b＝1，∴aabb＝abba，
综上知aabb≥abba(当且仅当a＝b时取等号)．
比较两个数(式)大小的两种方法
(1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．
(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小．
已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c≥b>a B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
解析：c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，
∴c≥b.将题中两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2.
∵1＋a2－a＝a－122＋34>0，∴1＋a2>a，
∴b＝1＋a2>a.∴c≥b>a.
答案：A 10.不等式变形中不等价致误
【典例】 设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．
[解析] 法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，
于是得 m＋n＝4，n－m＝－2，解得 m＝3，n＝1.
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10.
法二：由 f－1＝a－b，f1＝a＋b得 a＝12[f－1＋f1]，b＝12[f1－f－1].
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
法三：由 1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，
确定的平面区域如图阴影部分，当f(－2)＝4a－2b过点A32，12时，
取得最小值4×32－2×12＝5，
当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，
取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.
[答案] [5,10] [易误点评] 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a，b的范围，再求f(－2)＝4a－2b的范围，导致变量范围扩大．
[防范措施] (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．
[跟踪练习] 若α，β满足 －1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．
解：设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.
则 x＋y＝1，x＋2y＝3，解得 x＝－1，y＝2.
∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，
两式相加，得1≤α＋3β≤7.
∴α＋3β的取值范围为[1,7]．
A组 考点能力演练
1．已知1a<1b<0，则下列结论错误的是( )
A．a22
C．ab>b2 D．lg a2
解析：∵1a<1b<0，∴1b－1a＝a－bab>0，∴a－b>0，
∴ab－b2＝(a－b)b<0，∴ab
答案：C
2．已知实数a，b∈(0,1)，且满足cos πa
A．ln a
C.1a<1b D．a3
解析：因为a，b∈(0,1)，则πa，πb∈(0，π)，而函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，又
