八年级数学上册第15章《分式》全章教案(人教版)

15．1 分 式

15．1.1 从分数到分式

1．了解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式，会求分式的值．(重点)

2．理解当分母不为零时分式才有意义；在分式有意义的条件下，会求分式的分母中所含字母的取值范围；会确定分式的值为零的条件．(难点)

一、情境导入

多媒体展示，学生欣赏一组图片(长江三峡)．

长江三峡自古以来就是四川通往中原的重要水路，也是秀美壮丽、享誉中外的世界旅游胜地．

早在1500多年前的魏晋时期，地理学家郦道元就在他的著作《水经注》中留下一段生动的描述：“有时朝发白帝城，暮至江陵，期间千二里，虽乘龙御风，不以疾也．”

多媒体出示以下问题：

(1)如果客船早6时从白帝城启航，顺水而下，傍晚6时到达江陵，航程600千米，客船航行的平均速度约为多少千米/小时？

(2)如果客船8小时航行了s千米，该船航行的平均速度是多少？

(3)如果客船在静水中的航行速度为v千米/小时，江水流动的平均速度为20千米/小时．那么客船顺水而下，航行600千米需多少时间？如果客船逆水航行s千米，需要多少时间？

你能解答情境导入中的问题吗？与同学交流．

二、合作探究

探究点一：分式的概念

【类型一】

判断代数式是否为分式

在式子1a、2xyπ、3a2b3c4、56＋x、x7＋y8、9x＋10y中，分式的个数有( )

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

解析：1a、56＋x、9x＋10y这3个式子的分母中含有字母，因此是分式．其他式子分母中

均不含有字母，是整式，而不是分式．故选B.

方法总结：分母中含有字母的式子就是分式，注意π不是字母，是常数．

【类型二】

探究分式的规律

观察下面一列分式：x3y，－x5y2，x7y3，－x9y4，…(其中x≠0)．

(1)根据上述分式的规律写出第6个分式；

(2)根据你发现的规律，试写出第n(n为正整数)个分式，并简单说明理由．

解析：(1)根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系得出答案；(2)利用(1)中数据的变化规律得出答案．

解：(1)观察各分式的规律可得：第6个分式为－x13y6；(2)由已知可得：第n(n为正整数)个分式为(－1)n＋1×x2n＋1yn，理由：∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子底数是x，次数是连续的奇数，且偶数个为负，∴第n(n为正整数)个分式为(－1)n＋1×x2n＋1yn.

方法总结：此题主要考查了分式的定义以及数字变化规律，得出分子与分母的变化规律是解题关键．

【类型三】

根据实际问题列分式

每千克m元的糖果x千克与每千克n元的糖果y千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为( )

A.nx＋myx＋y元 B.mx＋nyx＋y元

C.m＋nx＋y元 D.12(xm＋yn)元

解析：由题意可得杂拌糖每千克的价格为mx＋nyx＋y元．故选B.

方法总结：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，列出代数式．

探究点二：分式有意义或无意义的条件

【类型一】

分式有意义的条件

分式x－1（x－1）（x－2）有意义，则x应满足的条件是( )

A．x≠1 B．x≠2

C．x≠1且x≠2 D．以上结果都不对

解析：∵分式有意义，∴(x－1)(x－2)≠0，∴x－1≠0且x－2≠0，∴x≠1且x≠2.故选C.

方法总结：分式有意义的条件是分母不等于零．

【类型二】 分式无意义的条件

使分式x3x－1无意义的x的值是( )

A．x＝0 B．x≠0 C．x＝13 D．x≠13

解析：由分式有意义的条件得3x－1≠0，解得x≠13.则分式无意义的条件是x＝13，故选C.

方法总结：分式无意义的条件是分母等于0.

探究点三：分式的值为零、为正或为负的条件

若使分式x2－1x＋1的值为零，则x的值为( )

A．－1 B．1或－1

C．1 D．以上都不对

解析：由题意得x2－1＝0且x＋1≠0，解得x＝1，故选C.

方法总结：分式的值为零的条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．

三、板书设计

从分数到分式

1．分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．

2．分式AB有无意义的条件：当B≠0时，分式有意义；当B＝0时，分式无意义．

3．分式AB值为0的条件：当A＝0，B≠0时，分式的值为0.

本节采取的教学方法是引导学生独立思考、小组合作，完成对分式概念及意义的自主探索；通过“课后练习应用拓展”这一环节发展了学生思维，巩固了课堂知识，增强了学生实践应用能力．提出问题让学生解决，问题由易到难，层层深入，既复习了旧知识又在类比过程中获得了解决新知识的途径．在这一环节提问应注意循序性，先易后难、由简到繁、层层递进，台阶式的提问使问题解决水到渠成．

15．1.2 分式的基本性质

1．通过类比分数的基本性质，说出分式的基本性质，并能用字母表示．(重点)

2．理解并掌握分式的基本性质和符号法则．(难点)

3．理解分式的约分、通分的意义，明确分式约分、通分的理论依据．(重点)

4．能正确、熟练地运用分式的基本性质，对分式进行约分和通分．(难点)

一、情境导入

中国古代的数学论著中就有对“约分”的记载，如《九章算术》中就曾记载“约分术”，并给出了详细的约分方法，这节课我们就来学习分式化简的相关知识，下面先来探索分式的基本性质．

二、合作探究

探究点一：分式的基本性质

【类型一】

利用分式的基本性质对分式进行变形

下列式子从左到右的变形一定正确的是( )

A.a＋3b＋3＝ab B.ab＝acbc

C.3a3b＝ab D.ab＝a2b2

解析：A中在分式的分子与分母上同时加上3不符合分式的基本性质，故A错误；B中当c＝0时不成立，故B错误；C中分式的分子与分母同时除以3，分式的值不变，故C正确；D中分式的分子与分母分别乘方，不符合分式的基本性质，故D错误；故选C.

方法总结：考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．

【类型二】

不改变分式的值，将分式的分子、分母中各项系数化为整数

不改变分式0.2x＋12＋0.5x的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为( )

A.2x＋12＋5x B.x＋54＋x

C.2x＋1020＋5x D.2x＋12＋x

解析：利用分式的基本性质，把0.2x＋12＋0.5x的分子、分母都乘以10得2x＋1020＋5x.故选C.

方法总结：观察分式的分子和分母，要使分子与分母中各项系数都化为整数，只需根据分式的基本性质让分子和分母同乘以某一个数即可．

【类型三】

分式的符号法则

不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号．

(1)－3b2a；(2)5y－7x2；(3)－a－2b2a＋b.

解析：在分子的符号，分母的符号，分式本身的符号三者当中同时改变其中的两个，分式的值不变．

解：(1)原式＝－3b2a；(2)原式＝－5y7x2；(3)原式＝－a＋2b2a＋b.

方法总结：这类题目容易出现的错误是把分子的符号，分母的项的符号，特别是首项的符号当成分子或分母的符号．

探究点二：最简分式、分式的约分和通分

【类型一】

判定分式是否是最简分式

下列分式是最简分式的是( )

A.2a2＋aab B.6xy3a

C.x2－1x＋1 D.x2＋1x＋1

解析：A中该分式的分子、分母含有公因式a，则它不是最简分式．错误；B中该分式的分子、分母含有公因数3，则它不是最简分式．错误；C中分子为(x＋1)(x－1)，所以该分式的分子、分母含有公因式(x＋1)，则它不是最简分式．错误；D中该分式符合最简分式的定义．正确．故选D.

方法总结：最简分式的标准是分子，分母中不含公因式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．

【类型二】

分式的约分

约分：(1)－5a5bc325a3bc4；(2)x2－2xyx3－4x2y＋4xy2.

解析：先找分子、分母的公因式，然后根据分式的基本性质把公因式约去．

解：(1)－5a5bc325a3bc4＝5a3bc3（－a2）5a3bc3·5c＝－a25c；

(2)x2－2xyx3－4x2y＋4xy2＝x（x－2y）x（x－2y）2＝1x－2y.

方法总结：约分的步骤：(1)找公因式．当分子、分母是多项式时应先分解因式；(2)约去分子、分母的公因式．

【类型三】

分式的通分

通分：

(1)b3a2c2，c－2ab，a5cb3；

(2)1a2－2a，aa＋2，1a2－4.

解析：确定最简公分母再通分．

解：(1)最简公分母为30a2b2c2，b3a2c2＝10b430a2b3c2，c－2ab＝－15ab3c330a2b3c2，a5cb3＝6a3c30a2b3c2；

(2)最简公分母为a(a＋2)(a－2)，1a2－2a＝a2＋2aa（a＋2）（a－2），aa＋2＝a3－2a2a（a＋2）（a－2），1a2－4＝aa（a＋2）（a－2）.

方法总结：通分的一般步骤：(1)确定分母的最简公分母．(2)用最简公分母分别除以各分母求商．(3)用所得到的商分别乘以分式的分子、分母，化成同分母的分式．

三、板书设计

分式的基本性质

1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．

2．符号法则：分式的分子、分母及分式本身，任意改变其中两个符号，分式的值不变；若只改变其中一个的符号或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数．

本节课的流程比较顺畅，先探究分式的基本性质，然后顺势探究分式变号法则．在每个活动中，都设计了具有启发性的问题，对各个知识点进行分析、归纳总结、例题示范、方法指导和变式练习．一步一步的来完成既定目标．整个学习过程轻松、愉快、和谐、高效．

15．2 分式的运算

15．2.1 分式的乘除

第1课时 分式的乘除

1．经历探索分式的乘除法运算法则，通过类比分数的乘除法法则，提高联想能力和推理能力．(重点)

2．熟练地进行分式的乘除运算，并能利用它解决实际问题．(难点)

一、情境导入

观察下列运算：

23×45＝2×43×5

57×29＝5×27×9，