人教版八年级数学上册第十五章《分式》教案

1 / 42 第十五章 分式

15.1 分式

15.1.1 从分数到分式

1.理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围或字母之间的相互关系.

2.在经历探索、思考、类比的过程中，体会分式的意义，感受分式是刻画现实问题中数量关系的一种模型.

3.进一步增强从特殊到一般的认知过程，发展学生的数学思维能力.

【教学重点】

理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围的判别方法.

【教学难点】

在分式有意义的条件下，分式值为0的字母的取值情况.

一、情境导入，初步认识

问题 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/小时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

【教学说明】章前画面和上述问题可用多媒体展示，让学生感受生活，感受数学.对所提出的问题让学生相互交流，探索解决问题的过程、方法，教师巡视，适时参与学生的讨论，最后选取学生代表展示成果，教师及时提出新问题.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.

二、思考探究，获取新知

问题1刚才大家通过探讨，获得到100602020vv， 这样的式子，它们是整式吗？如果不是，区别在哪里？

思考1（1）长方形的面积为10cm2，长为7cm，宽为 ；若长方形的面积为S，长为a，则宽应为 ；

（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱的容器中，水面高度2 / 42 为

cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度应为 .

思考2 式子S/a、V/S与10/7，200/33有什么区别？它们与100602020vv，有什么共同点？谈谈你的看法.

【教学说明】教师应引导学生对上述三个问题进行积极思考，感受整式与分式、分式与分数之间的联系和区别，初步形成对分式的概念的理解.教师在学生交流过程中，巡视全场，引导学生关注所给式子的分子，分母的特征，此时可类比分数分子、分母进行描述.

分式：一般地如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.

问题2（1）使分式11x 有意义，则x的取值有什么要求？

（2）使分式A/B有意义，所需要的条件是什么？

【教学说明】让学生自主探究，获得结论，然后相互交流，教师再予以总结.

【归纳结论】使分式A/B有意义时，必有B≠0.

三、典例精析，掌握新知

例1指出下列各式中的整式与分式：

【教学说明】教师总结判断分式的依据：看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.然后让学生自主探索，获得结论，这里要注意：π不是字母，是常数，所以x/π是整式.

例2填空：

（1）当x 时，分式23x有意义？

（2）当b 时，分式153b有意义？ 3 / 42 （3）当x，y满足关系 时，分式xyxy有意义？

（4）当x 时，分式231xx 有意义？

解：（1）由题意有：3x≠0，故x≠0，所以当x≠0时，分式23x有意义；（2）由题意有：5-3b≠0，故b≠5/3,所以当b≠5/3时，分式153b有意义；（3）由题意有x-y≠0，故x≠y，所以当x≠y时，分式xyxy有意义；（4）由题意有x2+1≠0，因为x2≥0，x2+1≥1，故x为任何数时，分式231xx有意义.

【教学说明】让学生自主探索，获得结论，选取一、两名同学汇报自己的结论，师生共同评论.评析时，教师应注意引导学生对（3）、（4）小题进行反思，巩固对分式有意义的条件和认识.

例3什么条件下，下列分式的值为0？

（1）1xx ；（2）23mnmn ；（3）236xxxx .

解：（1）由题意有：x-1=0，∴x=1.当x=1时，分母x≠0，所以当x=1时，分式1xx的值为0；

（2）由题意有：2m-3n=0，∴m=32n，∴m+n=52n，又m+n≠0，即52n≠0，∴n≠0，从而在m=32n≠0时，分式23mnmn的值为0；

（3）由题意有：x(x-3)=0，∴x=0或x=3，当x=0时，分母x2-x-6=-6≠0，当x=3时，x2-x-6=9-3-6=0，故使分式236xxxx的值为0时，x的值为x=0.

【教学说明】教学时，教师应讲清楚使分式=0时所必须的条件是：分子=0且分母≠0，这样让学生自己通过探讨三个问题的结论时，感知分式有意义是确定分式的值的前提条件，然后给一定时间让学生自己尝试解决所提出的问题，再由老师给予完整解答，让学生在比较、分析与反思中巩固所学知识.在完成上述例题后，教师可引导学生做教材P4练习，以巩固知识. 4 / 42 四、师生互动，课堂小结

1.这节课你有哪些收获？

2.通过这节课的学习，你还有哪些疑问？与同伴交流.

【教学说明】问题都可由学生自己总结，选取代表发表自己的看法，从而系统地对本节知识进行回顾与思考，针对学生的疑问，可当堂予以解释，帮助学生掌握所学的知识.

1.布置作业：从教材“习题15.1”中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

这节课的内容较少，比较贴近实际生活，要求学生知道什么是分式，能区分整式与分式，对保证分式有意义、分子分母要同时满足什么条件能很准确地指出来.此外，分式的值为0时分子分母也要满足一定的条件.教学中可以多出具一些实例，让学生在实际问题中去感知. 5 / 42 15.1.2分式的基本性质

1.掌握分式的基本性质，能依据分式的性质进行约分和通分运算.

2.通过归纳、类比等方法得出分式的基本性质，通过观察、实验、推理等活动，发现并总结出运用分式基本性质进行分式的约分和通分.

3.进一步增强学生的创新思维能力.

【教学重点】

理解并掌握分式的基本性质，能用分式的性质进行分式的约分和通分.

【教学难点】

在分式通分时找几个分母的公分母是关键，在分式的约分时应注意将分子、分母中的多项式进行分解因式.

一、情境导入，初步认识

分数的基本性质：一个分数的分子、分母同乘以（或除以）一个不为0的数，分数的值不变.

思考 下列从左到右的变形成立吗？为什么？

【教学说明】教师应引导学生用类比分数的基本性质来解决上述问题，加深对分式性质的初步认识.教学时，让学生相互交流，感受新知.

二、思考探究，获取新知

（一）分式的基本性质

分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.

即··AACAACBBCBBC， （A、B、C均为整式，且C≠0） 6 / 42 试一试

【教学说明】让学生自主探究，教师巡视，针对学生可能出现的问题及时给予指导，最后师生共同分析，完善答案.教学重点在于让学生明白通过分子（或分母）的变化特征，来获得分母（或分子）的变化思路，为后面的分式约分和通分作好铺垫.

2.不改变分式的值，使下列分式的分子或分母都不含有“-”号：

3.不改变分式的值，将下列分式中分子或分母的系数化为整数：

【教学说明】2、3两道小题均由学生自主完成，相互交流.教师在学生处理第2题时应引导学生运用分数除法法则得到商的符号来完成分式中分子（或分母）的符号的处理办法，第3题应引导学生运用分式性质在分子、分母同乘以一个合适倍数来达到目的，边巡视，边指导，让学生在练习过程中加深对性质的理解和运用.

（二）分式的约分

分式的约分：把分式的分子、分母中的公因式约去的过程叫做分式的约分，如由2122xxxx，就是分式的约分.

最简分式：分子与分母中没有公因式的分式叫做最简分式. 7 / 42 分式的约分，一般要约去分子和分母中所有公因式，使所得结果成为最简分式或整式.

【教学说明】上述定义或结论，在教学时，教师可结合分数的约分和前面的1（1）小题进行说明，让学生通过感性认识获得理性思考，体验由特殊到一般的辨证思维方法.

试一试

4.约分：

【教学说明】在学生自主探究，探索问题结论过程中，教师应关注学生以下几个方面：（1）找分式的分子、分母中的公因式是否彻底，是否考虑了分子、分母中各项的系数；（2）是否注意到分式的符号的变化；（3）约分是否彻底等，对所出现的问题一定要做好个别指导，最后师生共同讨论，给出正确答案，让学生对比自己的解答，进行必要的反思.

（三）分式的通分

思考：联想分数的约分，如何进行分式的通分呢？

试一试

5.将下列分式通分：

【分析】（1）把分式化成分母相同的分式的过程叫做分式的通分；（2）通分的关键是确定几个分式的最简公分母，而确定最简公分母通常按以下三个步骤进行：①取各分母系数的最小公倍数作为公分母系数；②各个分母中所有不同的因式均作为公分母中的一个因式；③所有因式的指数以它的最高次幂作为公因式中该因式的指数.

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【教学说明】教学时，给几分钟时间先让学生尝试着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程中，逐渐形成对分式通分的认识.

三、师生互动，课堂小结

1.通过本节课的学习，你有哪些收获？

2.通过这节课的学习，你觉得有哪些知识是难以把握的？你有何想法？

【教学说明】通过对问题的思考，让学生回顾本节学过的知识点有哪些，怎样利用分式的性质来化简分式中分子（或分母）的符号，怎样将分子、分母中的系数化成整数，如何进行分式的约分和通分，在约分和通分时最关键的问题有哪些，如何解决等等，进一步深化对本节知识的理解.在这里，教师可引导学生做教材P8练习以及习题14.1中的题，以帮助学生进一步掌握.

1.布置作业：从教材“习题15.1”中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

“分式的基本性质”在分式教学中占有重要的地位，它是约分、通分的依据.这部分知识比较容易理解，教师在设计这节课时，可利用“猜想和验证”的方法，留给学生足够的探索时间和广阔的思维空间，让学生得到的不仅是数学知识，更主要的是数学学习的方法，从而激励学生进一步地主动学习，产生我会学的成就感.

教师应注重提高在验证、交流环节中学生的参与率，尤其是一些后进生可能普遍会感觉无从下手，在交流时不主动，从而停留在一知半解的状态.在巩固练习环节上，教师要注意学生的练习密度，最好给每位学生准备一份练习纸，这样能确保达到一定的练习量.