2022年人教版八年级上第15章《分式》全章教案

第十五章分式

15．1分式

15．从分数到分式

1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念．

2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件．

重点

理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件．

难点

能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．

一、复习引入

1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？

2．判断以下各式中，哪些是整式？哪些不是整式？

①8m＋n3；②1＋x＋y2；③a2b＋ab23；④a＋b2；⑤2x2＋2x＋1；⑥3a2＋b2；⑦3x2－42x.

二、探究新知

1．分式的定义

(1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？

分析：设江水的流速为v千米/时．

轮船顺流航行90千米所用的时间为9030＋v小时，逆流航行60千米所用时间为6030－v小时，所以9030＋v＝6030－v.

(2)学生完成教材第127页“思考〞中的题．

观察：以上的式子9030＋v，6030－v，Sa，Vs，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？

可以发现，这些式子都像分数一样都是AB(即A÷B)的形式．分数的分子A与分母B都是整数，而这些式子中的A，B都是整式，并且B中都含有字母．

归纳：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．

稳固练习：教材第129页练习第2题．

2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？

分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义．

学生自学例1.

例1以下分式中的字母满足什么条件时分式有意义？

(1)23x；(2)xx－1；(3)15－3b；(4)x＋yx－y. 解：(1)要使分式23x有意义，那么分母3x≠0，即x≠0；

(2)要使分式xx－1有意义，那么分母x－1≠0，即x≠1；

(3)要使分式15－3b有意义，那么分母5－3b≠0，即b≠53；

(4)要使分式x＋yx－y有意义，那么分母x－y≠0，即x≠y.

思考：如果题目为：当x为何值时，分式无意义．你知道怎么解题吗？

稳固练习：教材第129页练习第3题．

3．补充例题：当m为何值时，分式的值为0

(1)mm－1；(2)m－2m＋3；(3)m2－1m＋1.

思考：当分式为0时，分式的分子、分母各满足什么条件？

分析：分式的值为0时，必须同时满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零．

答案：(1)m＝0；(2)m＝2；(3)m＝1.

三、归纳总结

1．分式的概念．

2．分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时，分式无意义．

3．分式的值为零的条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零．

四、布置作业

，3题．

在引入分式这个概念之前先复习分数的概念，通过类比来自主探究分式的概念，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力．

15．分式的根本性质(2课时)

第1课时分式的根本性质

1．了解分式的根本性质，灵活运用分式的根本性质进行分式的变形．

2．会用分式的根本性质求分式变形中的符号法那么．

重点

理解并掌握分式的根本性质．

难点

灵活运用分式的根本性质进行分式变形．

一、类比引新

1．计算：

(1)56×215；(2)45÷815.

思考：在运算过程中运用了什么性质？

教师出示问题．学生独立计算后答复：运用了分数的根本性质．

2．你能说出分数的根本性质吗？

分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的数，分数的值不变．

3．尝试用字母表示分数的根本性质：

小组讨论交流如何用字母表示分数的根本性质，然后写出分数的根本性质的字母表达式． ab＝a·cb·c，ab＝a÷cb÷c.(其中a，b，c是实数，且c≠0)

二、探究新知

1．分式与分数也有类似的性质，你能说出分式的根本性质吗？

分式的根本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．

你能用式子表示这个性质吗？

AB＝A·CB·C，AB＝A÷CB÷C.(其中A，B，C是整式，且C≠0)

如x2x＝12，ba＝aba2，你还能举几个例子吗？

回忆分数的根本性质，让学生类比写出分式的根本性质，这是从具体到抽象的过程．

学生尝试着用式子表示分式的性质，加强对学生的抽象表达能力的培养．

2．想一想

以下等式成立吗？为什么？

－a－b＝ab；－ab＝a－b＝－ab.

教师出示问题．学生小组讨论、交流、总结．

例1不改变分式的值，使以下分式的分子与分母都不含“－〞号：

(1)－2a－3a；(2)－3x2y；(3)－－x2y.

例2不改变分式的值，使以下分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：

(1)x＋1－2x－1；(2)2－x－x2＋3；(3)－x－1x＋1.

引导学生在完成习题的根底上进行归纳，使学生掌握分式的变号法那么．

例3填空：

(1)x3xy＝〔〕y，3x2＋3xy6x2＝x＋y〔〕；

(2)1ab＝〔〕a2b，2a－ba2＝〔〕a2b.(b≠0)

解：(1)因为x3xy的分母xy除以x才能化为y，为保证分式的值不变，根据分式的根本性质，分子也需除以x，即

x3xy＝x3÷xxy÷x＝x2y.

同样地，因为3x2＋3xy6x2的分子3x2＋3xy除以3x才能化为x＋y，所以分母也需除以3x，即

3x2＋3xy6x2＝〔3x2＋3xy〕÷〔3x〕6x2÷〔3x〕＝x＋y2x.

所以，括号中应分别填入x2和2x.

(2)因为1ab的分母ab乘a才能化为a2b，为保证分式的值不变，根据分式的根本性质，分子也需乘a，即 1ab＝1·aab·a＝aa2b.

同样地，因为2a－ba2的分母a2乘b才能化为a2b，所以分子也需乘b，即

2a－ba2＝〔2a－b〕·ba2·b＝2ab－b2a2b.

所以，括号中应分别填a和2ab－b2.

在解决例题1，2的第(2)小题时，教师可以引导学生观察等式两边的分母发生的变化，再思考分式的分子如何变化；在解决例2的第(1)小题时，教师引导学生观察等式两边的分子发生的变化，再思考分式的分母随之应该如何变化．

三、课堂小结

1．分式的根本性质是什么？

2．分式的变号法那么是什么？

3．如何利用分式的根本性质进行分式的变形？

学生在教师的引导下整理知识、理顺思维．

四、布置作业

，5题．

通过算数中分数的根本性质，用类比的方法给出分式的根本性质，学生接受起来并不感到困难，但要重点强调分子分母同乘(或除)的整式不能为零，让学生养成严谨的态度和习惯．

第2课时分式的约分、通分

1．类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的概念．

2．类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤．

重点

运用分式的根本性质正确地进行分式的约分与通分．

难点

通分时最简分分母确实定；运用通分法那么将分式进行变形．

一、类比引新

1．在计算56×215时，我们采用了“约分〞的方法，分数的约分约去的是什么？分式a2＋aba2b，a＋bab相等吗？为什么？

利用分式的根本性质，分式a2＋aba2b约去分子与分母的公因式a，并不改变分式的值，可以得到a＋bab.

教师点拨：分式a2＋aba2b可以化为a＋bab，我们把这样的分式变形叫做__分式的约分__．

2．怎样计算45＋67？怎样把45，67通分？

类似的，你能把分式ab，cd变成同分母的分式吗？

利用分式的根本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，我们把这样的分式变形叫做__分式的通分__．

二、探究新知 1．约分：(1)－25a2bc315ab2c；(2)x2－9x2＋6x＋9；

(3)6x2－12xy＋6y23x－3y.

分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式．

解：(1)－25a2bc315ab2c＝－5abc·5ac25abc·3b＝－5ac23b；

(2)x2－9x2＋6x＋9＝〔x＋3〕〔x－3〕〔x＋3〕2＝x－3x＋3；

(3)6x2－12xy＋6y23x－3y＝6〔x－y〕23〔x－y〕＝2(x－y)．

假设分子和分母都是多项式，那么往往需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式)，然后才能进行约分．约分后，分子与分母没有公因式，我们把这样的分式称为__最简分式__．(不能再化简的分式)

2．练习：

约分：2ax2y3axy2；－2a〔a＋b〕3b〔a＋b〕；〔a－x〕2〔x－a〕3；x2－4xy＋2y；m2－3m9－m2；992－198.

学生先独立完成，再小组交流，集体订正．

3．讨论：分式12x3y2z，14x2y3，16xy4的最简公分母是什么？

提出最简公分母概念．

一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．

学生讨论、小组交流、总结得出求最简公分母的步骤：

(1)系数取各分式的分母中系数最小公倍数；

(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；

(3)相同字母(或因式)的幂取指数最大的；

(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)即为最简公分母．

4．通分：(1)32a2b与a－bab2c；(2)2xx－5与3xx＋5.

分析：为通分，要先确定各分式的公分母．

解：(1)最简公分母是2a2b2c.

32a2b＝3·bc2a2b·bc＝3bc2a2b2c，

a－bab2c＝〔a－b〕·2aab2c·2a＝2a2－2ab2a2b2c.

(2)最简公分母是(x－5)(x＋5)．

2xx－5＝2x〔x＋5〕〔x－5〕〔x＋5〕＝2x2＋10xx2－25，

3xx＋5＝3x〔x－5〕〔x＋5〕〔x－5〕＝3x2－15xx2－25.

5．练习：

通分：(1)13x2与512xy；(2)1x2＋x与1x2－x；(3)1〔2－x〕2与xx2－4.