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第四节 数理统计的基本概念

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第四节 数理统计的基本概念

数理统计是以概率论为理论基础的应用非常广泛的一个数学分支。它是运用概率论的的知识，研究如何从试验资料出发，对随机变量的概率分布或某些特征（如数字特征）作出推断的一门学科。数理统计的这种通过从局部观察去推断整体的方法具有普遍的意义，因此应用数理统计的方法，可以研究大量的自然现象和社会现象的规律性。目前已应用于教育科学、工程技术、管理科学、自然科学以及社会科学等领域。例如，教育科学中的教学质量的评估、预测以及试卷质量的评价、工业生产中的产品质量的控制与抽样检查、气象党的天气预报、地震学中的地震预报、医学中的疾病分析、药品疗效检验、农业生产中的产品估计与种子优选、人口学中的优生学和人口控制等等都渗透了数理统计的方法。

4.1总体与样本

1.总体与个体

在数理统计中，把研究对象的全体称为总体。而把总体中的每一个对象称为个体。例如，某厂生产一批电子元件共5000只，每只元件使用的寿命是一个随机变量X，故总体是指5000只电子元件的使用寿命，而个体则是每一只电子元件的使用寿命。又如研究某市中学生身高时,该市中学生身高的全体就是总体，而个体就是每个学生的身高。一般来说，对总体的研究，就是对相应的随机变量X的研究，因此，今后我们将总体与随机变量X等同起来，用随机变量X表示总体。

2．样本与样本值

在数理统计学中，总是通过观测或试验以取得信息。为了进行观测或试验，可以从客观存在的总体中按机会均等的原则随机地抽取一些个体，然后对这些个体进行观测或测试某一指标X的数值。这样按机会均等的原则选取一些个体进行观测或测试的过程称为随机抽样。

用随机抽样的方法从总体X中随机抽取一个个体，就是对总体进行一次试验或观察，其结果是个随机变量，并且与总体X有相同的分布。在相同的条件下，对总体X进行n次重复的、独立的试或观察，即从总体中随机地抽取n个个体，将n次试验或观察得到的结果按次序记为nXXX,,,21，它们都是随机变量，并且由于各次试验或观察是在相同的条件下进行的，所以有理由认为nXXX,,,21相互独立，并且都与总体X具有相同的分布。这样的nXXX,,,21称为总体X的一个容量为n的简单随机样本，简称样本，样本中个体的数目n称为样本容量。当具体进行n次试验或观察后，得到一组实数nxxx,,,21，分别是nXXX,,,21的观察值，称为样本观察值。

3．统计量

样本是进行统计推断的依据，但在应用中往往不是直接利用样本本身，而是针对样本进行“加工”和“提炼”，把样本中值得关心的有关信息集中起来构成关于样本的适当函数，利用这些样本的函数进行统计推断。这种样本函数称为统计量，其定义为：

定义４.１ 设nXXX,,,21是来自总体X的一个样本，12(,,,)ngXXX是关于nXXX,,,21的函数，若g是连续函数且g中不含任何未知参数，则称12(,,,)ngXXX是一个统计量。若nxxx,,,21为样本nXXX,,,21的观察值，则称12(,,,)ngxxx是12(,,,)ngXXX的观察值。

例1 若12,XX是从正态总体2(,)N中抽取的样本，其中2,是未知参数，由统计量的定义可知，121()2XX，2212XX都是统计量，而121()4XX和12XX都不是统计量。

下面介绍几种常用的统计量。 设nXXX,,,21是来自总体X的一个样本，nxxx,,,21为样本nXXX,,,21的观察值，则可以定义以下统计量。

（1）样本均值

11niiXXn

其观察值为

11niixxn

（2）样本方差

22221111()()11nniiiiSXXXnXnn

其观察值为

22221111()11nniiiisxxxnxnn

（3）样本标准差

2211()1niiSSXXn

其观察值为

211()1niisxxn

4.2抽样分布

1. 抽样分布

统计量是个随机变量，如何求出它的概率分布呢？统计量是总体X的样本nXXX,,,21这n个随机变量的函数。一般，如果总体X的分布已知，又由于nXXX,,,21和X有着相同的分布，因此统计量的分布是可以求得的。统计量的分布称为抽样分布。确定抽样分布是数理统计中的一个基本问题，但需要指出，确定抽样分布一般是比较困难的。然而，当X为正态总体时，已经有了许多关于抽样分布的结论。

关于正态总体X的样本nXXX,,,21的统计量的分布称之为关于正态总体的抽样分布。

下面先介绍3种关于正态总体的抽样分布：2分布、t分布和F分布，它们称为统计学的三大分布；然后再介绍关于正态总体抽样分布的几个重要结论。

2. 统计学三大分布

（1）2分布

若随机变量X的密度函数为

1221,0,2()2200,nnXxxexnfxx

其中2n是函数10()xtxtedt在2nx处的值，这种密度函数称为自由度为n的2分布，记为2()n，并称X服从自由度为n的2分布，记作2~()Xn。2分布的图形如图4.1所示

图4.1 ()Xfx

x

（2）t分布

设随机变量X与Y相互独立，且~(0,1)XN，2~()Yn，则XZYn的密度函数为

12212()12nZnxfxnnn， x。

这种密度函数称为自由度为n的t分布，记为()tn，并称Z服从自由度为n的t分布，记作~()Ztn,它的图形如图4.2所示

。

()Zfx

x

图4.2

（3）F分布

设随机变量X与Y相互独立，且2~()Xm，2~()Yn，随机

变量XmZYn的密度函数为

122222(),0,()220,0,mnmmnZmnmnxmxnxmnfxx

这种密度函数称为第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，记为(,)Fmn，并称Z服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，记作~(,)ZFmn。它的图形如图4.3所示。

x

图4.3

3. 关于正态总体的抽样分布

定理1 设nXXX,,,21是正态总体2~(,)XN的样本，则样本平均值

211~,niiXXNnn。

定理2 设nXXX,,,21是正态总体2~(,)XN的样本，则样本平均值X与样本方差2S相互独立，并且

222(1)~(1)nSn。

定理3 设nXXX,,,21是正态总体2~(,)XN的样本，则 ()Zfx 2~(1)XtnSn。

定理4设nXXX,,,21是正态总体21~(,)XN的样本，12,,,nYYY是正态总体

22~(,)YN的样本，并且总体X与总体Y相互独立，则

120()()~(2)11XYtmnSmn，

式中X，Y分别是两个总体的样本均值，

222120(1)(1)1mSnSSmn，

其中2212,SS分别是两个总体的样本方差。

定理5设nXXX,,,21是正态总体211~(,)XN的样本，12,,,nYYY是正态总体222~(,)YN的样本，并且总体X与总体Y相互独立，则

22112222~(1,1)SFmnS。

习题四

1．思考并回答以下问题：

（1）为什么可以把总体和一个随机变量等同起来看？

（2）统计量是不是一个随机变量？

（3）正态总体的样本均值和样本方差有一些什么性质？

2．设一样本观察值为33，36，34，36，36，31，35，33，27，计算x和2s。

3．设总体~()XP，nXXX,,,21为其样本，求()EX和()DX。

4．在总体2~(52,6.3)XN中抽取一容量为36的样本，求样本均值X落在50.8~53.8之间的概率。

5．某大型罐头厂出口的鲜蘑菇罐头的净重服从正态分布2(,)N，其中184克，2.5克，今从中随机抽取25个罐头，求其样本均值X超过184.5克的概率。

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《概率论与数理统计》习题 第五章 数理统计的基本概念

《概率论与数理统计》习题 第五章 数理统计的基本概念

1 第五章 数理统计的基本概念

一. 填空题

1. 设X1, X2, …, Xn为来自总体N(0, 2), 且随机变量)1(~)(221niiXCY, 则常数C=___.

解. niiX1~ N(0, n2), )1,0(~1NnXnii

所以 21,1ncnc.

2. 设X1, X2, X3, X4来自正态总体N(0, 22)的样本, 且243221)43()2(XXbXXaY,

则a = ______, b = ______时, Y服从2分布, 自由度为______.

解. X1－2X2～N(0, 20), 3X3－4X4～N(0, 100)

)1,0(~20221NXX, )1,0(~1004343NXX

201,201aa; 1001,1001bb.

Y为自由度2的2分布.

3. 设X1, X2, …, Xn来自总体2(n)的分布, 则._____)(______,)(XDXE

解. 因为X1, X2, …, Xn来自总体2(n), 所以

E(Xi) = n, D(Xi) = 2n (i = 1, 2, …, n)

,)(nXE 22)()(221nnnnXDXDnii

二. 单项选择题

1. 设X1, X2, …, Xn为来自总体N(0, 2)的样本, 则样本二阶原点矩niiXnA1221的方差为

(A) 2 (B) n2 (C) n42 (D) n4

解. X1, X2, …, Xn来自总体N(0, 2), 所以 2 ,1)(),1(~)(222iiXEX 2)(2iXD

nnnnXDnXDADniinii4242214212222))(()()(. (C)是答案.

第六章 数理统计的基本概念

第六章 数理统计的基本概念

2011智轩考研数学基础班讲义

1 第六章 数理统计的基本概念【数学1，3】

数理统计是以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象，对研究对象的客

观规律性作出种种合理的估计和判断。概率论中研究的随机变量分布都是假设已知的，进而研究随机变

量的性质、特点和规律，而数理统计中研究的随机变量分布是未知或不完全知道的，人们是通过对所研

究的随机变量进行重复独立的观察，得到许多观察值，对这些数据进行分析，从而推断随机变量的分布。

一、总体和样本

如检测产品的某一项数量指标（如研究100瓦灯泡的寿命）。需要检测的全体产品称为总体（如60000

个100瓦的灯泡，也可以是无限个），记为X，总体中的每一元素称为样品或个体（如一个100瓦灯泡）。

我们没有必要把全部60000个灯泡都测试，所以，需要从总体（60000个灯泡）中随机抽取n个样品（如

取50个灯泡）组成样本，称为抽样，n称为样本容量，由于抽取的50各灯泡相对于60000个灯泡很小，

故放回与不放回抽样的区别可以忽略，则样本能够看成是n个相互独立且分布相同的随机变量（ 以后简

称 “独立同” ），记为()

1250, ,, XXXL，即50维随机变量，称为简单随即样本。显然，测试前，

()

1250, ,, XXXL就是一个50维随机变量，测试完成后，()

1250, ,, XXXL就对应有一组具体值

()

1250, ,, xxxL，称为样本观察值，即样本值。

注意()

1250, ,, XXXL是一次所选择的需要测试的灯泡，是随机抽取的，对应于每一次的

()

1250, ,, XXXL，而测试样本值()

1250, ,, xxxL是确定的，每次抽取了50个全部测试一次，至于究竟

需要抽取多少次，则由测试要求决定。

如抽取样本（12,,,

nXXX…）10次，每次就相当于一个50维随机向量，10个随机向量称样本空间，

记为W，一次测试所得的一组样本观察值()

数理统计基本概念教案

数理统计基本概念教案

第17讲 2分布 t分布 F分布 正态总体统计量的分布

教学目的： 掌握2分布、t分布、F分布及正态总体统计量的分布。

教学重点： 2分布、t分布、F分布。

教学难点： 正态总体统计量的分布。

教学时数： 2学时。

教学过程：

第五章 数理统计的基本知识

§ 2分布、t分布、F分布

1. （

2. 2分布

定理1 设随机变量kXXX,,,21相互独立，且均服从1,0N，则随机变量

kiiX122

的概率密度为

.0,0;0,22121222xxexkxfxkk

我们称随机变量2服从自由度为k的2分布，记作k22~。

注（1）可以证明，2分布具有可加性：即若随机变量21和22相互独立，且

22221221~ ,~kk

"

则

.~2122221kk

（2）上分位数：对于不同自由度k及不同的数10，定义2是自由度为k的2分布上分位数，如果其满足

2222dxxfP

3. t分布

定理2 设随机变量X与Y相互独立，X服从1,0N，Y服从自由度为k的2分布，则随机变量

kYXt

的概率密度为

|

2121221ktkxkkkxf

我们称随机变量t服从自由度为k的t分布，记作ktt~。

注（1）可以证明，当自由度k时，t分布将趋于1,0N。

（2）上分位数：对于不同的自由度k及不同的数10，定义t是自由度为k的t分布上分位数，如果其满足

ttdxxfttP

4. F分布

定理3 设随机变量X与Y相互独立，分别服从自由度为1k与2k的2分布，则随机变量

21kYkXF

、

的概率密度为

;.0,00,222221122221212121121xxkxkxkkkkkkxfkkkkkF

概率论与数理统计教学大纲

概率论与数理统计教学大纲

本科课程教学大纲

《概率论与数理统计》教学大纲

课程名称： 概率论与数理统计 课程编码： A050760

开课单位： 经济与政治学院 开设学期： 第四学期

课程类型： 专业基础课 课程性质： 必修

总学时数： 共54学时，其中讲授54学时，实验0学时 周学时数： 3

适用专业： 经济学本科 编写时间： 2013年12月

先修课程： 有：高等数学

参考教材： 吴传生主编《经济数学--概率论与数理统计》，北京：高等教育出版社，高等教育出版社，2009

一、课程的教学目标与任务

概率论与数理统计是研究随机现象客观规律的数学学科，是高等学校本科的一门重要的基础理论课。本课程的任务是使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决、处理实际不确定问题的基本技能和基本素质

二、本课程与其它课程的联系

前导课程 《高等数学》 后续课程 经济管理类专业课程

三、课程内容及基本要求

第一章 随机事件的概率（6学时）

第一节 随机试验

随机试验

1.基本要求

掌握随机试验的概念。

第二节 样本空间、随机事件

样本空间，随机事件，事件间的关系与事件的运算

1.基本要求

（1）掌握样本空间、随机事件、基本事件、必然事件和不可能事件的概念；

（2）熟练掌握事件间的关系与事件的运算。

2.重点、难点

重点：事件间的关系与事件的运算

难点：事件间的关系与事件的运算

3.说明：重难点教学拟采用讲授和举例的方法，配合课后练习

4.重点考核内容

事件间的关系与事件的运算

第三节 频率与概率

频率，概率 1.基本要求

（1）了解频率的概念和性质；

（2）掌握概率的概念和性质，熟练掌握使用概率的性质计算事件的概率。

2.重点、难点

重点：使用概率的性质计算事件的概率

难点：使用概率的性质计算事件的概率

3.说明：重难点教学拟采用讲授和举例的方法，配合课后练习